湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析).docx

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一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．．
1．若复数a i
的实部与虚部相等，则实数a（） A 2i
（ A）1（B）1（ C）2（ D）2
2.已知f (x1) 2 f (x), f (1) 1（ x N * ），猜想 f ( x）的表达式为（）.
f ( x)2
A.f (x)
4
B.
2
C.
f (x)
1
D.
f ( x)
2 2x2
f ( x)
x12x1
x 1
3．等比数列{ a n}中，a10 ，则“a1a3”是“a3a6”的B
（ A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
4．从甲、乙等5名志愿者中选出 4 名，分别从事 A ， B ，C， D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事 A 工作，则不同的工作分配方案共有B
（ A）60种（B）72种（ C）84种（ D）96种
5.已知定义在R上的函数f (x)的对称轴为x 3 ，且当 x 3 时，f (x)2x 3 .若函
数 f (x) 在区间 (k 1,k ) （k Z）上有零点，则k的值为A
（ A）2或7（B）2或8（ C）1或7（ D）1或8
6．已知函数f ( x)log 2 x 2log 2 ( x c) ，其中c 0．若对于任意的 x(0,) ，都有
f ( x) 1，则 c 的取值围是D
（ A）(0,1
]（B）[
1
,)（ C）(0,
1
]（ D）[
1
, ) 4488
7.已知函数f ( x)ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点x1， x2，则B A．当a 0时，x1x20 ， x1x20 B. 当a0 时，x1x20 ， x1 x20 C. 当a 0时，x1x20 ， x1 x20 D. 当a0 时，x1x20 ， x1 x20
.
8．如图，体 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中， P 为底面 ABCD
上的动点， PE
AC 于 E ，且
PA PE
，则点
P 的
1
轨迹是 A
（ A ）线段
（ B ）圆弧
（ C ）椭圆的一部分
（ D ）抛物线的一部分
第Ⅱ卷 （非选择题
共 110 分）
二、填空题：本大题共
6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．设等差数列 { a n } 的公差不为 0 ，其前 n 项和是 S n ．若 S 2
S 3 ， S k 0 ，则
k
． 5
10. (x
2
2)6
的展开式中 x 3 的系数是 ． 160
x
1
1． 设
a 0 . yx
与直线 x a, y 0
所围成封闭图形的面积为
a 2
,则
若曲线
a ______.
12．在直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A( 1,0) 关于原点 O 对称．点 P(x 0, y 0 ) 在抛物线
y 2 4x 上，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ，则 x 0
． 1 2
13. 数列 { a n } 的通项公式 a n
n cos
n
1 ，前 n 项和为 S n ，则 S 201
2 。

2
3018
14．记实数 x 1 , x 2 ,L , x n 中的最大数为 max{ x 1 , x 2,L , x n } ，最小数为 min{ x 1, x 2 ,L , x n } .
设△ ABC
的三边边长分别为 a, b, c ，且 a b
c ，定义△ ABC 的倾斜度为
t max{ a , b , c } min{ a
,
.
b c
, } ．
（ⅰ）若△ ABC 为等腰三角形，则 t
； 1
（ⅱ）设 a
1 ，则 t 的取值围是 ． [1,
1
5
)
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题共 14 分）
已知函数 f ( x) m ln x (m 1)x (m
R ) ．
（Ⅰ）当 m
2 时，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）讨论 f (x) 的单调性；
（III ）若 f ( x) 存在最大值 M ，且 M
0 ，求 m 的取值围．
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）当 m 2 时， f ( x) 2ln x x ．
f ( x)
2 1 x 2 ．
x x
所以 f (1)
3 ．
又 f (1) 1，
所以曲线 y
f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程是 y 1 3( x 1) ，
即 3x y 2 0．
（Ⅱ）函数 f ( x) 的定域 (0,) ，f ( x)m m 1(m 1)x m ．
x x
当 m≤ 0 ，由 x0 知f ( x)m
10恒成立，m
x
此 f ( x) 在区 (0,) 上减．
当 m≥ 1 ，由 x0知 f( x)m
10恒成立，m
x
此 f ( x) 在区 (0,) 上增．
当 0 m1，由f(x)0，得 x m，由 f(x)0 ，得 x m ，
1m 1 m
此 f ( x) 在区 (0,m) 增，在区 (m,) 减．
1m1m
（ III）由（Ⅱ）知函数 f ( x) 的定域 (0,) ，
当 m≤ 0或 m≥ 1 ，f ( x)在区(0,) 上，此函数 f (x) 无最大．
当 0 m 1 ，f ( x)在区(0,
m
) 增，在区 (m ,) 减，1m1m
所以当 0m 1 函数 f (x)有最大．
最大 M f (m )m ln
1m m ．
1 m m
因 M0 ，所以有m ln m m 0 ，解之得 m e．
1m1e
所以 m 的取是 (e,1) ．
1e
16．（本小分13 分）
π
已知函数 f (x) sin x a cos x 的一个零点是．
4
（Ⅰ）数 a 的；
（Ⅱ） g (x) f (x) f ( x) 2 3 sin xcos x ，求 g( x) 的增区．
（Ⅰ）解：依意，得
π
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分f ( ) 0
π
a cos π22a
0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
即 sin
422
4
解得 a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f (x)sin x cos x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
g (x) f ( x) f (x) 2 3 sin x cos x
(sin x cos x)(sin x cos x) 3 sin 2x⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
(cos 2 x sin 2 x) 3 sin 2 x⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
cos2x 3 sin 2 x⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
2sin(2 x π
⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分) ．
6
由 2kππ
2x
π
2kπ
π
，262
得 kππ
x kπ
π
，k Z ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分36
所以 g (x) 的增区 [ kπππ
， k Z ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分, kπ]
36
1
17. （本小分13 分）已知数列 {b}是等差数列， b =1,b+b+ ⋯ +b=145.
n11210
(1)求数列 {b n}的通公式 b n;
(2)数列 {a }的通 a1且 a≠1) S 是数列 {a}的前 n 和，比
=log (1+)(其中 a＞ 0
n n a n n
b n
1
S n与log a b n+1的大小，并明你的.
3
b 1 1
b 1 1
(1)解： 数列 {b n }的公差 d ,由 意得
10b 1 10(10 1) d 145
d
,∴ b n =3 n － 2
3
2
(2) 明：由
b =3 － 2 知
n
S n =log a (1+1)+log a (1+ 1
)+ ⋯+log a (1+
1 )
4
3n 2
=log a ［ (1+1)(1+
1
)⋯ (1+
1 )］
4
3n 2
而 1
log a n +1=log a
3n
1 ,
于 是 ， 比
n
与 1 log a b n +1
的 大 小
比
3
b
3 S
3
(1+1)(1+ 1
)⋯ (1+ 1
)与 3 3n 1 的大小 .
4 3n 2 取 n =1 ，有 (1+1)=
3
8
3
4
3
3 1 1
取 n =2 ，有 (1+1)(1+ 1)
3
8
3
7 3 3
2 1
1
4
1
(1+
)＞ 3
3n
*
推 ： (1+1)(1+
)⋯
2
1 ( )
4
3n
*
①当 n =1 ，已 ( )式成立 .
②假 n = k (k ≥1)
*
1
)⋯(1+
1 3k
1
( )式成立，即 (1+1)(1+
)＞ 3
4
3k
2
当 n =k +1
， (1 1)(1 1)
(1
1 )(1 3(k 1
) 3
3k 1(1
1 )
4
3k 2 1)
2
3k 1
3k 2 3 3k 1
3k 1
( 3k
2
3 3k 1)3 (3 3k
4 )3
3k 1
(3k 2)3 (3k 4)(3k 1)2
9k 4 0
(3k 1)
2
(3k
1)
2
3
3k 1
( 3k 2)
3
3k 4
3
3(k 1) 1
3k 1
从而 (1 1)(1 1
(1
1
)(1
1
)
3
3(k 1) *
) 3k 2
1 ,即当 n = k +1 ， ( )式成立
4
3k 1
由①②知， (* )式 任意正整数
n 都成立 .
于是，当 a ＞ 1 ， S ＞ 1 log b
n+1
,当 0＜ a ＜1 ， S ＜ 1 l og b
n
3 a n
3 a n+1
18．（本小 分 13 分）
已知函数 f (x)
ax ln x ， g( x)
e ax
3x ，其中 a R ．
（Ⅰ）求
f ( x) 的极 ；
（Ⅱ）若存在区 M ，使 f (x) 和 g( x) 在区 M 上具有相同的 性，求 a 的取 ．
18.（本小 分
13 分）
（Ⅰ）解：
f ( x) 的定 域 (0, ) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
.
且 f ( x)
a
1 ax 1 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
x
x
① 当 a 0 ， f ( x) 0 ，故 f ( x) 在 (0,
) 上 减．
从而 f (x) 没有极大 ，也没有极小 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
② 当 a
0 ，令 f ( x)
0 ，得 x
1 ．
a
f (x) 和 f (x) 的情况如下：
x 1 1 1
)
(0, )
a ( ,
a a
f (x) 0
f ( x)
↘
↗
故 f ( x) 的 减区 (0,
1
) ； 增区 ( 1
,
) ．
a
a
从而 f ( x) 的极小 f ( 1
)
1 ln a ；没有极大 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
a
（Ⅱ）解： g( x) 的定 域 R ，且 g ( x)
ae ax 3．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
③ 当 a 0 ， 然 g ( x) 0 ，从而 g (x) 在 R 上 增．
由（Ⅰ）得，此 f ( x) 在 ( 1
,
) 上 增，符合 意．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
a
④ 当 a 0 ， g( x) 在 R 上 增， f ( x) 在 (0,
) 上 减，不合
意．⋯⋯9 分
⑤ 当 a 0 ，令 g (x) 0
，得 x 0
1
ln(
3
) ．
a
a
g(x) 和 g ( x) 的情况如下表：
x
(
, x 0 ) x 0 ( x 0 ,
)
g (x) 0
g ( x)
↘
↗
当 3 a 0 ， x 0 0 ，此 g( x) 在 ( x 0 ,
) 上 增，由于 f (x) 在
(0,
) 上 减，不合 意．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
当 a
3 ， x 0
0 ，此 g( x) 在 ( , x 0
) 上 减，由于
f (x) 在 (0,)
上 减，符合 意．
上， a 的取 是 (
, 3) U (0, ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
19．（本小 分 14 分）
x 2
y 2
A ， B
如 ， 2
b 2 1( a b 0) 的左焦点 F ， 点 F 的直 交 于
a
两点．当直 AB 的一个 点 ，其 斜角恰 60 ．
（Ⅰ）求 的离心率；
（Ⅱ） 段
AB 的中点 G ， AB 的中垂 与 x 和 y 分 交于 D , E 两点．
△ GFD 的面 S 1 ，△ OED （ O 原点）的面 S 2 ，求
S 1
的取 ．
S 2
19．（本小 分 14 分）
（Ⅰ）解：依 意，当直
AB 的 点 (0, b) ，其 斜角
60 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
F ( c,0) ，
b
tan 603 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
c
将 b 3c 代入 a 2 b 2 c 2 ，
解得 a
2c ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
所以 的离心率
e
c 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
a
2
x 2 y 2 1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）， 的方程可
3c 2
4c 2
A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ．
依 意，直
AB 不能与 x, y 垂直，故 直 AB 的方程 y k( x c) ，将
其代入
3x 2 4 y 2 12c 2 ，整理得 (4 k 2 3) x 2 8ck 2 x 4k 2c 2 12c 2
0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
x 1 x 2
8ck 2 ， y 1 y 2 k ( x 1 x 2 2c) 6ck ，
4k 2 3 4k 2 3
4ck 2
3ck
) ．
G (
,
4k 2
4k
23
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
因 GD
AB ，
3ck
ck 2
所以
4k 2 3
k
⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
4ck
1， x D
．
2
x D
4k
2
3
4k 2 3
因 △ GFD ∽△ OED ，
S 1 2
( 4ck 2 ck 2 )2 ( 3ck ) 2
|GD |
4k 2 3 4k 2 3 4k 2 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
所以
|OD |2
ck 2
S 2
( ) 2
4k 2 3
(3ck 2 )2 (3ck) 2
9c 2k 4 9c 2 k 2
9 9 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯13
(ck 2 )2
c 2k 4
9
k 2
分
所以
S 1
的取 是 (9, ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分
S 2
（20）（本小 共 13 分）
A 是由
n 个有序 数构成的一个数 ， 作：
A (a ,a ,L ,a,L ,a ).其中 a i
1 2in
(i 1,2,L , n) 称 数 A 的“元”，i 称 a i 的下 . 如果数 S 中的每个“元”都是来自
数组 A 中不同下标的“元”，则称S 为 A 的子数组 . 定义两个数组 A
(a 1 , a 2 ,L , a n ) ，
B (b 1,b 2 ,L , b n ) 的关系数为
C ( A, B) a 1b 1 a 2b 2 L a n b n .
（Ⅰ）若 A ( 1 , 1
) ， B
( 1,1,2,3) ，设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组，求
2 2
C ( A, S) 的最大值；
（Ⅱ）若 A ( 3 , 3 ,
3
) ， B (0, a,b,c) ，且 a 2 b 2
c 2 1 ， S 为 B 的含有三
3 3 3
个“元”的子数组，求C (A, S) 的最大值 .
（20）（共 13 分）
解：（Ⅰ）依据题意，当
S ( 1,3) 时， C ( A, S) 取得最大值为 2．
（Ⅱ）①当 0 是 S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中 a, b, c 三个“元”的对
称性，可以只计算 C ( A, S)
3
(a b) 的最大值，其中 a 2 b 2 c 2 1．
3
由 (a b)2 a 2 b 2 2ab 2(a 2 b 2 ) 2( a 2 b 2
c 2 ) 2 ，
得
2 a b 2 ．
当且仅当 c 0 ，且 a
b
2
时， a b 达到最大值
2 ，
2
于是 C ( A, S)
3
(a b)
6 ．
3
3
②当 0 不是 S 中的“元”时，计算C ( A, S)
3
(a b c) 的最大值，
3
由于 a 2 b 2 c 2 1，
所以 (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac
2bc ．
3(a 2 b 2 c 2 ) 3 ，
当且仅当 a
b c 时，等号成立．
即当 a
b c
3
时， a b c 取得最大值
3 ，此时
3
C ( A,S)
3
(a b
c) 1．
3
综上所述， C ( A, S) 的最大值为 1．
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