《比较线段的长短》教案 探究版

《比较线段的长短》教案

新课标要求

知识与技能

1．了解“两点之间的所有连线中，线段最短”．

2．能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短．

3．能用圆规作一条线段等于已知线段．

过程与方法

1．经历对线段的长短进行比较的过程．

2．通过自己动手演示探索、发现规律，了解线段的性质公理以及比较线段长短的方法，并能用所学知识解决实际问题．

情感与态度

通过交流合作，体验在解决数学问题的过程中与他人合作的重要性．

教学重点

比较线段的方法，线段的公理，线段中点的概念．

教学难点

比较线段的方法以及线段的中点．

教学过程

一、创设情境，播放视频《比较线段的长短》导入新课．

老师手中有两根筷子，如何比较它们的长短？

先移动一根筷子，与另一根筷子一头对齐，两根棒靠紧，观察另一头的位置，多出的较长．

比较长短的关键是什么？

必有一头对齐．

除此之外，还有其他的方法吗？

可以用刻度尺分别测出两根筷子的长度，然后比较两个数值．

我们可以用类似于比筷子长短的两种方法来比较两条线段的长短．

设计意图：以实物为例，在学生熟知的事物和操作过程中激发学生的学习兴趣，自然引入新课．这样引入，既符合学生已有的认知基础，又较好地激发了学生探索问题的欲望．在处理问题的过程中，教师的主要目的是带领学生复习回顾小学中有关线段长短的知识，同时鼓励学生用不同的方法比较筷子的长短，多角度地分析问题，交换自己好的想法，在实际操作中抽象出数学方法，实践证明，这样处理能较好地调动学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入了新课．

二、讲授新课

1．线段的比较．

教师在黑板上画出横竖两条长度相近的线段，如何比较这两条线段的长短？

师生活动：小组讨论，探索方法，总结出问题的解决方法．对好的方法给予鼓励和肯定，激励学生的学习兴趣．

方法汇总：目测；用刻度尺度量；借助圆规（或绳子）比较等方法．

2．尺规作图．

已知线段a，怎样画线段AB，使它等于a？

师生活动：小组讨论，探索方法，板书并讲解问题的解决方法．教师规范尺规作图的方法，注意数学语言的引导．

方法一、度量法：

先量出线段a的长度，再画出一条等于这个长度的线段AB．

方法二、尺规作图法：

第一步：先用直尺画一条射线AC；

第二步：用圆规量出已知线段的长度；

第三步：用圆规在射线AC上截取AB＝a．

归纳：尺规作图就是用无刻度的直尺和圆规作图．

注意：这里教材上给出了两种画线段等于已知线段的方法，一种是尺规作图，另一种通过使用刻度尺测量解决，要使学生明白这两种方法的不同之处，并能准确掌握第一种方法．（第二种方法学生已经有经验）

设计意图：向学生初步渗透圆规的作用，并为后面用叠合法比较线段长短和尺规作图打基础．

3．怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到一些启发吗（下图）？

你能再举出一些比较线段长短的实例吗？

方法一、数量比较法：

用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比较．

总结：用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小（从“数”的角度去比较线段的长短）．

方法二、重叠比较法：把线段AB、CD放在同一直线上比较，

师生活动：教师采用圆规截取线段比较形象，还需向学生讲明从“形”角度去比较线段的长短．

步骤有三：

（1）将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合；

（2）线段AB沿着线段CD的方向落下；

（3）若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记作AB＝CD．若端点B落在C，D之间，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD．

若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．

练一练1：估计下列图形中AB，AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验你的估计．

（3）

（2）（1）

A

B

C

C

B

A

C

B

A

解：（1）AB ＞AC ；（2）AB ＜AC ；（3）AB ＝AC ．

设计意图：学生通过亲身实践，感受知识的形成过程，培养学生的动手、动脑、动口能力．归纳重叠比较法，进而向学生渗透分类的思想．

4．中点的意义． 请按下面的步骤操作：

（1）在一张透明纸上画一条线段AB ；

（2）对折这张纸，使线段AB 的两个端点重合； （3）把纸展开铺平，标明折痕点C .

线段AC 和线段BC 相等吗？你可以用什么方法去说明？

师生活动：学生可以用刻度尺测出它们的长度，再比较．也可以用圆规测量比较． 像上图这样，点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 与BC ，点C 叫做线段AB 的中点．

用几何语言表示：

因为点C 是线段AB 的中点，所以1

2

AC BC AB ==

(或AB ＝2AC ＝2BC )． 刚才用折纸的方法找出AB 的中点C ，你还能通过什么方法得到中点C 呢？ 用刻度尺去量出AB 的长，再除以2，就得到点C ．让学生板演)

设计意图：以折纸的方法，使学生在动手操作的基础上发现中点问题中所存在的数量关系，在课本中的方法的基础上鼓励学生发现更多的找中点的方法，从而对中点这一重要的数学概念有更好的理解．

练一练2：在直线l 上顺次取A ，B ，C 三点，使得AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ．如果O 是线段AC 的中点，那么线段OB 的长度是多少？

解：先画出图形，如图所示：

A

l

AC＝AB＋BC＝4＋3＝7（cm），因为O是AC的中点，

所以AO＝1

2

AC＝

1

2

×7＝3.5（cm）．

所以OB＝AB－AO＝4－3.5＝0.5（cm）．

设计意图：对于表示法的强调，揭示了线段中点的主旨，培养了学生分析问题的能力．5．线段的性质．

思考：如下图，从A地到Ｃ地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到Ｃ地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线．

师生活动：在这一过程中，教师不必急于得出结论，可让学生多试一试，找一找，是否还有其他的可能，在此基础上，再让学生举出一些实际生活中的例子，进一步让学生感受数学与生活的紧密联系．

归纳：两点的所有连线中，线段最短．

简单说成，两点之间，线段最短．

设计意图：通过对以上问题的解决，归纳出关于线段的基本事实，培养学生观察、发现问题的能力和归纳总结的能力．

连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离．

老师在学生探讨的过程中，强调我们所测量的最短的距离就是两点间线段的长度也就是两点间的距离：两点的距离指的是两点间线段的长度．（强调距离是长度）

三、课堂练习

1．比较折线AB和线段A′B′的长短，你有什么方法？需要什么工具？

B'

A'

B

解：比较折线AB与线段A′B′的长短有两种方法：

一种方法是用刻度尺量出折线中每一条线段的长度，求出它们的长度和．再量出线段A′B′的长度，再进行比较．

另一种方法是将折线AB的端点A与线段A′B′的端点A′重合，用圆规把折线中的每一条

线段按顺序分别移到线段A ′B ′上去，再进行比较．需要的工具有刻度尺、圆规．

2．按下列语句画图并填空： （1）画AB 的中点C ，使BC ＝

2

1

AB ； （2）延长线段BA 到D ，使AD ＝2AB ； （3）找AC 中点M ，BD 中点N ； （4）根据所画图形，可知AB ＝3

4

BM ，AN ＝________AB ，CN ＝________AB ，DM ＝________AB ；

（5）若AB ＝4 cm ，则MN ＝________cm ． 答：根据（1）（2）（3）画出的图形如图所示：

N B

D

A

（4）

12，1，94

；（5）3． 3．如图，已知线段a 和 b ，直线AB 和CD 相交与点O ．利用尺规，按下列要求作图： （1）在射线OA ，OB ，OC 上作线段OA ′，OB ′，OC ′，使它们分别与线段a 相等； （2）在射线OD 上作线段OD ′，使OD ′与线段b 相等； （3）连接A ′C ′，C ′B ′，B ′D ′，D ′A ′．

你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．

b

a

O

D

C

B

A

解：所得到的图形如图所示：

D ′C ′

B ′

A ′

O

D

C

B

A

设计意图：通过练习来发现学生对本节内容的掌握情况，发现学生学习中的问题，及时解决，争取把问题反映在课堂上，在课堂上解决．

四、课堂小结 这节课你学到了什么？ ①画一条线段等于已知线段． ②线段比较大小．

③线段的性质：两点之间，线段最短．

设计意图：培养学生自我总结、自我评价能力，学会把零散的知识进行整理和优化，完善自己的知识构建．

五、布置作业

1．分别比较图中各条线段的长短．

D

C

A

D

C

D

C

B

A

2．如图，已知线段a ，b ，用尺规作一条线段c ，使c ＝a ＋b ．

b

a

3．如图，已知线段AB ，请用尺规按下列要求作图：

B

A

（1）延长线段AB 到C ，使得BC ＝AC ； （2）延长线段BA 到D ，使得AD ＝AC ；

如果AB ＝2 cm ，那么AC ＝ cm ，BD ＝ cm ，CD ＝ cm ．

4．如图在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们．想一想，你得到的图形周长与原四边形周长

哪一个大？为什么？如果是五边形呢？六边形呢？

参考答案：

1．（1）AB ＜CD ．（2）AB ＜CD ．（3）ABCD ＜AD ＜BC ＜AB ．

2．如图所示，线段c 即为所求．

3．解：4；6；8．

因为AB ＝2 cm ，

所以AC ＝2AB ＝2×2＝4（cm ）． 由题意可知使BC ＝AB ，AD ＝AC ， 所以AD ＝4 cm ，

BD ＝AB ＋AD ＝4＋2＝6（cm ）， CD ＝AD ＋AC ＝4＋4＝8（cm ）． 4．解：原四边形的周长大一些．

理由：如图所示，对于四边形ABCD ，设点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 上任意一点，

G

H

F

E

D

B

C

A

根据两点之间线段最短可得BE ＋BF ＞EF ，CF ＋CG ＞FG ，DG ＋DH ＞GH ，AE ＋AH ＞EH ，

所以BE ＋BF ＋CF ＋CG ＋DG ＋DH ＋AE ＋AH ＞EF ＋FG ＋GH ＋EH ．

即（AE ＋BE ）＋（BF ＋CF ）＋（CG ＋DG ）＋（DH ＋AH ）＞EF ＋FG ＋GH ＋EH ， 所以AB ＋BC ＋CD ＋DA ＞EF ＋FG ＋GH ＋HE ， 所以四边形ABCD 的周长＞四边形EFGH 的周长．

对于五边形、六边形同样成立，即原五边形周长大、原六边形周长大．

六、课堂检测

1．下列各直线的表示法中，正确的是（ ）． A ．直线A

B ．直线AB

C ．直线ab D

．直线aB

2．如图所示，共有线段（ ）．

A ．3条

B ．4条

C ．5条

D ．6条

3．小丽家分了一套新经济适用房，她想在自己的房间里的墙上钉一根细木条，挂自己喜欢的装饰物品，小丽要使细木条固定，至少需钉的钉子的根数是（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

（第4题图）

4．C 为线段AB 延长线上的一点，且AC ＝

3

2

AB ，则BC ＝__________AB . 5．已知线段AB ＝4 cm ，在线段AB 所在的直线上画线段BC ＝2 cm ，则AC 的长为__________．

6．小明家在A 处，学校在C 处，从A －B －C 是宽敞的马路，从A －C 是一条小路，小明上学时，经常不走马路而走小路，有人说：“这孩子真淘气，放着宽敞的大道不走偏走小路．”小明对他解释一番后，这个人恍然大悟，你知道小明怎样解释的吗？

7．如图，A ，B ，C 三个城市在同一直线上，A 到B 有三条道路，B 到C 有两条道路，试分析从A 经B 到C 的走法有几种，用笔描出哪种最近．

8．根据下列语句画图：

（1）延长线段AB 到点C ，使BC ＝AB ； （2）延长线段BA 到点C ，使AC ＝BA ； （3）反向延长线段AB ；

（4）在射线OA 上顺次截取OB ＝BC ＝CD ．

设计意图：加深了对比较线段大小的理解与掌握以及线段的中点的应用．

参考答案：

1．B ． 2．D ． 3．B ．

4．1

2

．

5．6 cm或2 cm．

6．利用“两点之间，线段最短”的原理解释．7．6种；最近的是A－B－C．

8．解：画图如图所示．