§3初等多值函数解读
§3 初等多值函数
一、教学目标或要求：
掌握 基本的初等多值函数的定义、性质； 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质； 重点：基本的初等多值函数的定义、性质； 难点：支点的概念 三、教学手段与方法： 讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）
§3 初等多值函数
1.根式函数
定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．
对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n n
r w θ
i
0e = n
n r w π
2i
1e +=θ
n
n n
n r w π
)1(2i
1e
-+-=θ
因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．
(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则
称点a为函数)
F的支点．
(z
(3)根式函数n z
w 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．
根式函数
它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。
假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过
负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点
各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数
，，
利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有
，，
在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。比如原点。在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。
用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。即
下面以为例，来阐明有关多值函数的基本概念.
(i). 是多值函数
由得，令，则有
由此可得w 的模与z的模一一对应，而对应着每个；有三个不同的值(主值幅角)
故
所以：是多值函数
(ii).单值分支
对于同一z值的三个w 值的模相同，而幅角成公差为的一个等差级数.
如果在w 平面上作一个以原点为顶点，张角为的角形区域，而规定 w 在区域 I上取值，那么函数就建立了z 平面上区域的点与w 平面上区域I的点之间的一一对应关系.
例如在z平面上区域上任取一
点，函数在区域I 上有唯一的点
与之对应. 对来说，在w平面上区域 I ，能使不同的w值对应于z平面不同的z值，这样的区域称为的单叶性区域.
同理，对于z平面上区域上任取一点，在区域
和区域上，函数分别确定了唯
一的点和与之对应，区域II, III 都是的单叶性区域. 若区域I, II, III分别加上相邻的端边，构成,
, ，当用三个角形把w 平面布满后，一个多值函数划分成了三个单值分支:
分别为一个单值分支的值域，而此时有：.
(iii).支点
在z平面上选定一点，相应(取第一支)，再让点在z平面上沿一闭合曲线，按逆时针方向连续变化，如果这条曲线不包含原点(如图曲线)，则当动点回到原来位置时，连续变化的幅角也回到原来的值，相应的w 也回到原来的，但如果这条闭曲线内部包含原点,(如图曲线c)，那么当
动点沿逆时针方向绕一整圈回到原来位置时，z的幅角就要增加，成为
，与此相应的w 值就从变到 . 从以上分析可得，对于函数来说，z=0 点具有这样的性质，当z绕它转一整圈回到原
处时，多值函数由一个分支变到另一个分支，这个点就称为多值函数
的支点. 一般来说，对于一个多值函数，存在这样的点，当自变量z 绕它运动一周而回到原处，多值函数并不回到原值，而由一个分支变到另一个分支，这样的点，叫支点.
再看无穷远点，对于，令z绕无穷远点运行一周，绕无穷远点运行是指：由于复平面上的无穷远点对应着复数球的北极，如果在复数球面上作一个小圆环绕北极，这个圆就对应着复数平面上一个很大的圆，因此，绕无穷远点支行一周是指在复数平面上沿很大的圆运行一周. 显然z沿很大的圆绕
一周，由一个分支变成另一个分支，所以无穷远点也是函数的支点. 这个函数再没有其它支点了.
从以上分析可得，当z沿支点转一周时，由变成
，即由前一个分支变成后一个分支，再转一周，
变成，所以，复变多值函数不能分解成三个独立的单值
函数，不像多值的实变函数，如可分解为独立的和(iv).支割线
为了把多值函数分解为独立的单值函数，我们必须作支割线. 在z平面上从支点z=0到支点任意引一条射线，称为支割线，将z平面割开，并规定当z连续变化时，不得跨越支割线，即规定，这就使得在割开的z平面上的任意闭曲线不含支点在内，这样相应的函数值也只能在w平面上的
一个单值分支上取值，而不会由一支变到另一支，这样就将多值函数的三个单值分支完全分开了，即就将多值函数变成了独立的单值函数.
注意：把一个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关的，对不同的支割线，多值函数各单值分支的定义域和值域也就不同. 例如：
i）.当沿正实轴割开的z平面时,的三个单值分支为，定义域：
.值域为：
,
,
,
ii）.当沿负实轴割开的z平面时，三个单值分支为，定义域：
值域为：
,
,
,
其它情况可类似得到.
例设确定在沿正实轴割破的z平面上，并且，求
分析：本题求解的关键在于确定究竟取三个单值分支中的哪一支. 确定的方法
是：首行根据支割线的形式确定定义域与值域，然后由已知条件确定取哪一支.
解：由于是沿正实轴割破的z平面上，所以定义域为：(相应的三个单值分支的值域就确定了)
由于，因此故应取第三支
又，故.
.
(v).支割线可分为两岸
每个单值分支在支割线两岸取不同的值，在支割线上不连续. 如在沿负实轴割开在z平面上单值分支，从负实轴上方趋于负实轴上，
时,取.从负实轴下方趋于负实轴上
时，取.
(vi).三个单值分支在割破的z平面上都是解析的，且：
对于一般的根式可进行类似的讨论，此时支点为和，
。
例设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。
解设，则
由代入得
解得：，从而
。
2. 对数函数
定义2.10 规定对数函数是指数函数的反函数。即若
则复数称为复数的对数，记为。
为求
的表达式，令
，
，则有
因而
故
或
这说明对数函数
是无穷多值的多值函数。在平面上从原点
起割破负实
轴的区域内，可以得到的无穷多个不同的单值解析分支：
其主值支为
。每支相同的导数
对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数． 对数函数的基本性质:设∞≠,0,21z z ，
2121)(Lnz Lnz z z Ln +=
212
1
Lnz Lnz z z Ln
-= 例 设
则
例 计算)i 1(Ln +．
解)i 1(Arg i i 1ln )i 1(Ln +++=+
)π24
π
(i 2ln 21k ++=
（k ：整数） 例 计算)1(Ln -。
解： )1(Arg i 1ln )1(Ln -+-=- i π)12(+=k （k 为整数） 例 试求方程i πln 2=z 的解。 解 因为i 2
π
ln =
z ，所以，由对数函数主支的定义有 i 2
π
sin i 2πcos e
2
πi =+==z
即所给方程的解为i =z 。 若限定
取
,
，则z 的对数只有一个，称它为
的
主值支，记为
单值分支、支点、支割线
在w 平面上，用平行于实轴的直线，划出一个宽为
的带形，如
，而规定w 在带形I 中取值，则
给出z 平面与w 平面上
带形I 的一一对应关系. 带形I 是
的单叶性区域加一条端边. 用
的互不相交的带形把w 平面布满后，每个带形就是对数函数的一个相
应分支的值域.
对数函数只有两个支点
，从0点到
点作支割线，即可得到
在这割
破的z 平面上的无穷多单值分支.
无穷多个单值函数都是解析函数，且：
运算法则
但 不成立.
3.一般幂函数与一般指数函数
定义2.11 aLnz a e z w ==（,,0∞≠z 为复常数）称为z 的一般幂函数。 定义2.12 zLna z e a w ==（,,0∞≠a 为复常数）称为一般指数函数．
例 求i
3和()i
i 1+的值。
解：
()[]3
ln i 223arg i 3ln i 3Ln i 3e e e e k k ππ-++===
() ,2,1,0,
3ln sin i 3ln cos 2±±=+=-k e k π
()()[]()()
πk e e 2i 1arg i |i 1|ln i i 1Ln i i 1+++++==+
??? ??
+==??
?
??+-??
? ??+-22ln sin i 22ln cos 2412422ln i
k k e
e
πππ， ,2,1,0±±=k
4.具有多个有限支点的多值函数
对具有多个有限支点的多值函数，我们不便采取限制辐角范围的方法，而是求出该函数的一切支点，然后适当连接支点以割破平面。于是在平面上以此割线为边界的区域
内就能分出该函数的单值解析分支。
（1） 讨论函数
（2.24）
的支点，其中
是
次多项式，
是
的一切相异零点，
分别是他们的重数，满足
例 考查下列二函数有哪些支点
(a)
(b)
解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即
从而
故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。
任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简单闭曲线，则
故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
最后不是的支点。因若设含0，1的简单闭曲线，则
故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
（b）可能的支点是0，1，。设分别是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的简单闭曲线，则
结果的终值较初值均发生了变化。故0，1，都是支点，此外别无支点。
对函数作类似的讨论，可得如下结论：
（a）可能的支点是。
（b）当且仅当不能整除时，是的支点；
（c）当且仅当不能整除时，是的支点；
（2）由已给单值解析分支的初值，计算终值。
因
其中为从到的有向曲线（不穿过支割线），与的取值无关，可以相差的整倍数。
例试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出
在点取负值的那个分支在的值
解易知的支点是。因此，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上，能分出三个解析分支。
现取一条从到的有向曲线（不穿过支割线），则
于是
又由题设，可取。故得
。
（3）关于对数函数的已给单值解析分支，我们可以借助下面的公式来计算它的终值：
即
其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线；是满足条件那一支在起点之值的虚部，是一个确定的值。
例试说明在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。
解的支点为。这是因
当变点单绕一周时，
故的值增加了，的值未改变，从而，的值增加了
，从一支变成另一支。故是支点，同理也都是支点，此外
无其它支点。故在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。
现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则
故
这就是所要求之值。
5.反三角函数与反双曲函数
由于三角函数可用指数函数表示，可预见反三角函数可用指数函数的反函数——对数函数表示，先来看反正切函数：
用记号
表示方程
的解的总体。称之为反正切函数。由上面方程可解得反正切的表达式。因上面方程可改写为
故有
由此得反正切函数的表达式
。
对于反正弦函数，我们来解方程
方程可改写为
故有
由此得反正弦函数的表达式
。
同理可得反余弦函数的表达式
反三角函数都是无穷多值函数，分出单值解析分支的方法与前面的讨论类似。例求反正弦。
解
例求
解
。
本章内容课后讨论
1.f(z)在z 0点解析与f （z ）在z 0点可导有无区别？
2.f(z)在区域 内解析与f(z)在区域 内可导有无区别？
3.判断下列命题是否正确： （1）若f(z)在z
0连续，则 存在； （2）若
存在，则
在 z 0 是解析的；
（3）若z
0是 的奇点，则
在z 0处不可导；
（4）若z
0是 和g （z ）的一个奇点，则它也是
+
和
的奇点； （5）若
和 可导，则
=
也可导； （6）若
和
均为调和函数，则
=
为解析函数；
（7）若
在z 0点满足C-R 条件，则
在z 0点可导；
4.xy 2能否成为z 的一个解析函数的实部？为什么？
5.试总结：
（1）判断复变函数为解析函数的方法。 （2）判断解析函数为常数的方法。 6.试比较下列各对函数有何区别？ （1）
与 ； （2） 与
（3）
与
；
（4）
与
.
7.
和Lnz 的多值性分别体现在何处？Riemann 面如何构造？
8.判断下列等式是否正确？ （1）
； （2）
（3）
（4）
（5）
9.指出下列推导过程中的错误： 设z ≠0，则
（1）因为（-z）2=z2；（2）所以Ln(-z)2=Lnz2；（3）于是有Ln(-z)+Ln(-z)=Lnz+Lnz；
（4）所以2Ln(-z)=2Lnz；（5）故得Ln(-z)=Lnz
第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)
3．1．1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质． 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3） 【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。 1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。 2 、0a = ，n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。 规定负分数指数幂的定义是： 。 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠） （1） 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= （2）343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 （1 2（2 3）102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结：化简，注意体会指数的运算性质。 例3： 化简：3 3 2 b a a b b a 练习：（1 【补充练习】 1、 化简，注意体会指数的运算性质： （1）2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ （2）34 0.1 0.01 -- 3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换： （1） 2 1.53(0.027)-； （2 ； （3 完成教材89页2题
基本初等函数(整理)
1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数
1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 §2 初等解析函数及其基本性质 一、基本初等函数 1.指数函数 ()y i y e z x sin cos exp += 加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=?。 z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=?==+。 周期性 z e 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。 2.对数函数 定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。关于Lnz w =的表达式： 令θ i re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e e u i iv u iv u 2,+==?==+， 即Argz v z r u ===,ln ln 。从而 注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。 当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即 z i z z arg ln ln += ?i k z Lnz π2ln += 注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。 例2 证明对数运算性质： ⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=?；⑵212 1 Lnz Lnz z z Ln -=。 证明⑴ 由对数定义表达式， 212121ln z iArgz z z z Lnz +=? ()2121ln Argz Argz i z z ++?= 2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=； 同理可证⑵式。 例3 求()??? ? ? ?+--i Ln 232 1 ,3ln 及主值。 解 ( )() i i π+= -+-=- 3ln 2 1 3arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+??? ? ??+-++-=???? ??+- i k i k i πππ??? ? ? +=++=3122321ln ； 主值：i i i ππ32 321ln 2321ln =+=??? ? ??+- 。 由Lnz 的表达式，容易知道，有分析性质： Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续且解析。 i k z i z Lnz π2arg ln ++=，而z arg 在原点及负实轴上不连续，即 Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续。 又 在除原点及负实轴的平面内，z w e z w ln ,==有定义且互为反函数，有求导法则， z e dz z d w dw de w 1 11ln ===.Lnz ∴在除原点及负实轴的平面内解析。 从而，应用对数函数Lnz 时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。 3.复数乘幂b a 及其计算 定义3 复数b a ,构成的乘幂：bLna b e a =，其中0≠a 。 可以分析讨论知道，其取值情况有： 必修1基本初等函数复习题 换底公式：log a b = logc b ( a 0，且 a=1 ; c 0，且 c = 1 ; b 0) log c a n 1 (1 ) log a m b n log a b ； ( 2) log a b ——. m log b a 3、定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: （1）偶次方根的被开方数不小于零； （2）对数式的真数必须大于零； （3）分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法 1、 幂的运算性质 (1 ) a r ala r s (r,s R); (3) a r b r =(ab J (^ R) 2、 对数的运算性质 如果 a 0，且 a=1 , M 0 , (Dog a M N = log a M log a N ； ?og a M n 二 n log a M , n R . r s rs (2) (a ) =a ; (r,s R) m (4)a n =Q a m (a >0, m, n ^ N *,n >1) a * 二 N ：= log a N 二 N 0，那么: M D log a log a M - log a N ； N ④ log 0, log 1 C 、 0 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续． 基本初等函数及其应用复习 知识体系 "次方根及其性质 基本初等函数 定义 对数2运算性质 对数与对数函数 对数换底公式 实战训练 一、选择题 1. 下列函数与y 二兀有相同图象的一个函数是( ) A. y = B. y = — C. y =肆宀(a 〉0且a H 1) D. y = log (/ a x x ? 2. 函数y = 3V 与y = -3一“的图彖关于下列那种图形对称( ) A. x 轴 B. y 轴 C.庖线y 二x D.原点中心对称 3 _3 3. 已知x + 则迈+兀=值为( ) A. 3^3 B. 2^5 C. 4^5 D. -4^5 4. 函.数y 二Jlog/3兀一2)的定义域是( ) 2 2 2 A. [l,4-oo) B. (—, +00) C. [―,1] D. (~,1] 5. 若 A = {x \ y= \/x-\}, . B = {^ I y = x 2 +1},则 4cB=( ) A. [l,+oo) B. .(l,+oo) C. (0,+co) . . D. (0,4-oo) 6. 已知函数：①ytsin'x ；②y =兀'+兀；③y = _cosx ；④y = x 5，其中偶函数的个数 为( ) A..1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若/(Inx) = 3x + 4,则/(x)的表达式为() 指数 指数与指数函数 根式及其性质 分数指数幕 有理数指数幕的运算性质 指数函数 定义 图象和性质 幕函数 定义 对数函数 定义 图象和性质 图象和性质 A. 31nx B. 3 In x + 4 C. 3e x D. 3e x + 4 8. —次函数gS)满足g[g(x)] = 9x + 8,则￡(兀)是( )? A. ^(x) = 9x + 8 B. g(x) = 3x + 2 C. g(x) = -3x-4 D. g(x) = 3x + 2或g(x) = -3x-4 9. 函数y = 2一宀"J 的单调递增区间是( ) A. (—,+oo) B. (-00,—) . C. (-oo,l) D. (l,+oo) 2 2 10. —水池冇2个进水口，1个岀水口，进出水速度如图叩.乙所示.某天0点到6点，该 水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 11. 若 y = x 2,y = (―)A ,y = 4x 2,y = x 5 +l,y = (x-l)2,y =兀,y = a x (a > 1)上述函数是幕 2 函数的个数是() A.. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 12. 已知/(兀)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的() A.函数/⑴在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数于⑴在(3,5)内无零点 C.函数/(x)在(2,5)内有零点 D.函数/(x)在(2,4)内不一定有零点 13. 求函数/(X ) = 2X 6 7-3X +1零点的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 如果二次函数y = x 2 + mx + (m + 3)冇两个不同的零点，则加的取值范围是(.) A. (—2,6) B. [—2,6] C. {—2,6} D. (―oo, —2)U (6,+8) 15. 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩 二、填空题 1. ______________________________________________________ 已知 x 2 + y 2-4x-2y + 5 = 0，则 log r (y x )的?值是 _____________________________________________ I 2. _____________________________ 函数y = 的定义域是 ；值域是. 5. 函数尸(/-加-1卜宀心是幕函数且在(0,+oo)上单调递减，贝IJ 实数加的值为_? 6. _________________________________________________________________ 若函数/(兀)既是幕函数又是反上匕例 1+F 函数y = —-— , XG [3,4J 的最人值为 x-2 x-1 -2, | 设函数/(%) = ? 1 3. 4. 则 / [/(D] = 第三章 基本初等函数 第一讲 幂函数 1、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 注意： y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项 2、幂函数的图像 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3 y x = y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调增减性 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 3（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 第二讲 指数函数 1、指数 （1）n 次方根的定义 若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n ”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质 ①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=?? ?<-≥). 0(), 0(a a a a （3）分数指数幂的意义 ①a n m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a n m - = n m a 1= n m a 1 （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2、指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明： 因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 关于多值复函数的几个问题 石 彤 菊 复变函数作为实变函数在复数域上的推广，它与实函数既有着天然的联系又有本质的区别。这是学习复函数的关键所在。复函数的多值性就是复函数区别实函数的一大特点，应提起重视。本文就常见的几种复函数，分别讨论它们的一些特有的性质及与实函数不同之处。 1 复数的幅角 1).定义：复数可以用复平面上以原点为起点，以Z 为终点的向量来表示。即oz z → =。定义该向量与实轴正向的夹角为复数Z 的幅角。这里幅角有无穷多个，用Argz 表示幅角全体。称Argz 为幅角通值。 2).幅角表示：要把所有幅角表示出来，选定幅角主值-<≤ππarg z ， 即Argz=argz+2k π ，K 为任意整数。因此要求幅角Argz ，关键在于求出幅角主值argz 。 3). argz 的求法：argz 的值完全取决于复数Z 及Z 的位置。由于y x arctg y x y x arctg y x ><00时，表示第一象限角时，表示第四象限角,,因此： argz=arctg y x x z arctg y x x y z arctg y x x y z >+<>-<→<→=+=<-=-1整数) 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 新课标人教版数学B ·必修（1） 第三章基本初等函数(Ⅰ) 3．1指数与指数函数 3．1．1有理指数幂及其运算 教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义． 教学过程： （1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘 个 n a aaa ???=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念. （2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． （3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下： ①； ②； ③； ④ ； ⑤ ． 当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即： ①； ②； ③ ． 这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集 以至实数集 后，幂的运算性质仍然是上述3条，但 要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定． （4）例1:先化简再用计算机求值 （1）4 .12 13.2)549(+- （2）11(2 2--+-+m m m m （其中3.8=m ） 例2：已知：22 12 1=+-a a 求下列各式的值 （1）2 2 -+a a ；（2）3 3 -+a a ；（3）4 4-+a a . 例3：化简： 332b a a b b a 课堂练习：第97页练习A,练习B 小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 课后作业：第100页习题3-1A 第1题 3．1．2指数函数（1） 教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质. (1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域. (2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质. 2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 教学重点：指数函数的图象、性质。指数函数的图象性质与底数a 的关系 教学过程： （1）通过问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是y =2x 引出指数函数的概念：一般地，函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R. （2）指数函数的图像和性质： ① 通过描点画函数图像： 首先我们来画y=2x 的图象。 再来研究0 3.3 幂函数 教研中心 教学指导 一、课标要求 1.通过实例，了解幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣. 2.结合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x 1，y=x 21 的图象，发现并理解幂函数的性质,培养学生抽象概括和识图的能力,使学生进一步体会数形结合思想. 3.利用计算机,了解幂函数的图象变化规律,使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 二、教学建议 重点难点突破 本节主要介绍幂函数的定义以及它的图象与性质.前面已经学习了指数函数与对数函数，故可依照前两种函数的研究方法来研究幂函数. 本节知识的重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用；难点是引导学生概括出幂函数性质.加深对研究函数性质的基本方法和流程的经验.培养观察、分析、归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用. 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数.教材中给出 的“一般地，形如y=x α（α∈R ）的函数称为幂函数(power function)，其中x 是自变量， α是常数.其特征是以幂的底为自变量，指数为常数.”只是对幂函数的描述性说明,而对函数的研究都是通过函数的图象来研究它的性质. 掌握幂函数的图象特征，有利于进一步理解和应用幂函数的性质；但想掌握好幂函数的概念及其图象和性质，需理解并利用好函数的单调性和奇偶性及互为反函数等函数的性质及图象特点来分析幂函数的图象和性质.其中幂函数的单调性是幂函数性质中应用最广的，运用此性质可以比较两同指数不同底的幂的大小及求与幂函数有关的一般函数的值域、单调区间等；进一步加强和健全两个幂的大小比较的思路和方法. 资源参考 数学史话 幂的概念的形成 数学概念及数学符号是在交流传播中不断改进的，有的甚至还经历过戏剧性的变化. 我们知道，求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在数学史上，幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的. 我国古代的幂字有10种不同的写法，最简单的是“冖”.“冖”的含义是指用来覆盖食物的方巾，用一块方巾盖东西，四角下垂，就成“冖”的形状.将这个意义加以引申，凡是方形的东西也可以叫做幂.再进一步推广，矩形的面积或两数的积（特别是一个数自乘的结果）也叫做幂，这种推广是从刘徽开始的. 刘徽在公元263年为古书《九章算术》作注，在《方田》章求矩形面积法则,下面写道：“此积谓田幂.”他还说，长和宽的积叫幂.这是幂字第一次出现在数学文献中.在《勾股》章中，刘徽表述勾股定理为“勾股幂合以成弦幂”.这里幂是指边自乘的结果或正方形的面积. 300多年后，李淳风重注《九章算术》时，不同意刘徽这样使用幂字.到了明朝，有些数学书中完全不使用幂字. 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&） 由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有 lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==， 但从（&）知，0 lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以 lim 0x y ?→?=。 课题§函数的概念（1） 【教学目标】1. 培养从图表中获得函数关系的能力，明确自变量、因变量； 2. 理解函数的“集合式”定义及符号表达； 3. 理解函数的定义域和值域 . 【教学重点】函数的概念：对应法则、定义域和值域 【教学难点】从集合的观点对函数概念的理解。 【教学过程】 一、引入 同学们，我们生活的这个世界，有各种各样的事物，而每个事物间又是相互联系、相互依赖的。如：随着时间的变化，太阳东升日落，气温也在悄悄变化，我国的国民生产总值在不断增长等等。试问：我们如何刻画这些变化着的现象？怎样找到这些现象中变量之间的关系？ 二、探究活动 在现实生活中，我们会遇到下列问题： 1． ⑴上午8时的气温约是多少？图中的A点表示了什么信息？ ⑵请指出这一天气温相同的两对时间点。 ⑶这一天的最高气温是多少？最低气温是多少？分别在几时？ ⑷图3-1表示了该城市什么时间段的气温变化情况？这一天的温差是多少？气温从最低上升到最高经过了多长时间？ ⑸这段时间段内气温在上升？哪些时间段内气温在下降？ ＃对任一时刻t ，都有惟一的温度θ与之对应。 2．（书P39）问题解决 上述三个问题中，都反映出两个变量之间的关系，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之惟一确定。 回忆初中学习的函数的概念？（书P39页脚） 考察上述函数关系，回答下列问题： ⑴各个函数关系中自变量取值的集合分别是什么？其中有空集？ 每个问题均涉及两个非空数集A ，B 。 ⑵各个函数关系中对于自变量的每一个取值，按什么规则找到唯一的因变量值与之对 应？ 存在某种对应法则，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应。 〖单值对应〗 对于A 中的任一个元素x ，B 中有惟一的元素y 与之对应。 或一个输入值对应到惟一的输出值。 【练习1】 1． 问题1中的对应t →θ，是否为单值对应？ θ→t 是否为单值对应？ 2． 完成教材第39页练习，这些对应是单值对应吗？ 3． 完成教材第40页例题1，这些对应是单值对应吗？ 〖总结1〗单值对应为一对一，多对一，而不能一对多。 〖函数的概念〗 ⑴ 设A 、B 是一个非空的数集，如果对于集合A 中的任何一个元素x ， 按照某个确定的法则f ，在B 中都有惟一确定的元素y 与它对应，那么这种对应关系f 就称为从A 到B 的函数，记为y=f （x ）,其中x 为自变量，y 为因变量。 函数y=f （x ）也可简记为f （x ）。函数y=f （x ）在x=a 时的函数值记作f （a ）。 A B 问题1 ｛t|0≤t ≤24｝ ｛θ|-2≤θ≤10｝ 问题2 {1，2，3，…} ｛5，10，15，20，…｝ 问题3 ｛x|≤x ≤18｝ ｛y|＜y ≤175｝ 问题4 (0,10) (0,25] 1 2 3 4 ┇ 5 10 15 20 ┇ y x 问题2 θ 0 6 7 15 ┇ -2 -1 0 10 ┇ t 问题1 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、 sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、 v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2= ，,24（） 初等多值函数 1.根式函数 定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。 (1)根式函数为多值函数，它不是解析函数． 对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n n r w θ i 0e = n n r w π 2i 1e +=θ n n n n r w π )1(2i 1e -+-=θ 因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数． (2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点． (3)根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 根式函数 它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差 的整数倍）。为分出单值解析分支，在平面上从原点 到 引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在 内随意指定一点 ，并指定 的一个幅角值，则在 内任意的点，皆可根据 的 幅角依连续变化而唯一确定的幅角。 假定从原点其割破负实轴， 是 内过 的一条简单闭曲线，即 不穿过 负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点 各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。 因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数 ，， 利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有 ，， 在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。比如原点。在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。 用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。即 下面以为例，来阐明有关多值函数的基本概念. (i). 是多值函数 由得，令，则有 由此可得w 的模与z的模一一对应，而对应着每个；有三个不同的值(主值幅角) 3.2.1 对数及其运算 课时过关·能力提升1若log a=2c,则a,b,c满足的关系式是() A.a2c=b B.3a2c=b C.a6c=b D.=b 解析因为log a=2c,所以a2c=,所以(a2c)3=b,即a6c=b. 答案C 2lo的值等于() A. B.-C.6 D.-6 解析lo=lo3-3=log33=6. 答案C 3若ln x-ln y=a,则ln-ln等于() A. B.a C. D.3a 解析ln-ln=3=3(ln x-ln 2-ln y+ln 2)=3(ln x-ln y)=3a.答案D 4已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于() A. B. C. D. 解析由换底公式,得 log36=. 答案B 5在对数式log a-4(6-a)中,实数a的取值范围是() A.a>6或a<4 B.4 C.4初等解析函数及其基本性质
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