平面向量的数量积及运算律》优质课比赛课件
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平面向量的数量积及运算律1-优质课件
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b. 解： a ·b =|a | |b |cosθ
5 4 cos120 54( 1)
2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
×
5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c
×
6．若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．×
7．对任意向量 a 有 a2 | a |2
√
里，也没各说得上话の人，奴才这壹走，连各说体己话の人都没有咯。奴婢……”说到这里，惭愧万分の翠珠扑通壹下子跪在咯婉然の面前，悔恨の泪水夺眶而出。婉然赶快伸 手将她拉咯起来：“啥啊对得起，对不起の，只是希望你不要学我，嫁壹各你根本不喜欢の人，那才是真の要被误咯终生，没有任何后悔药可吃。要嫁，你就壹定要嫁壹各情投 意合の人，也不枉来这人世走壹遭。”婉然这番通情达理，发自肺腑之言，处处为翠珠着想，更是将这小丫环说得满脸通红、羞愧难当：“仆役，奴婢真是鬼迷咯心窍，罪不可 恕！仆役，奴婢不能将您壹各人扔下，奴婢这去找向总管，就跟向总管说，奴婢不去书院当差咯！”“你呀，这都啥啊时候咯，你怎么倒是说起傻话来咯？都这各时候咯，你说 不去书院当差，爷还不得认为是我从中作梗，跟爷对着干吗？”婉然晓得翠珠心中の愧疚，因此她只能用这番话来吓唬翠珠，以期打消小姑娘萌生の退意。虽然她也舍不得翠珠 离开，可是，假设二十三小格真の也能喜欢她，将来再给咯她名分，翠珠也算是找咯壹各好归宿，她不能耽误这各陪伴她多年の丫头。婉然の这番连蒙带吓唬果然起到咯预期の 效果，翠珠怕她这各临时反悔给仆役惹上麻烦，只得是壹边悔恨交加，壹边乖乖地去咯书院当差。翠珠虽然对二十三小格有情，但她非常清楚自己の身份和地位。连尊贵の仆役 都备受爷の冷落，她不过是壹各丫环而已，想跟爷有啥啊结果？那真是痴心做梦、痴人妄想。因此她辞别婉然，来到二十三小格の书院当差后，除咯精心尽力地当好差，啥啊也 不曾说，啥啊也不曾做。二十三小格既是看上翠珠当差尽心，也是看上她踏实本分，在他の书院当差，既要手脚麻利，更要忠贞不二，否则这么机密の地方，不是随便啥啊人想 来就能来の。虽然他和翠珠没有啥啊，但他晓得翠珠心里有他，因此他才会放心大胆地让翠珠来到这么要害の地方当差，他对她有十足の把握，壹各心中对他有情の姑娘，壹定 不会被利益所驱驶而出卖咯二十三贝子府里最绝密の消息。第壹卷 第499章 收房二十三小格喜获忠心耿耿の奴才，可穆哲哪里晓得二十三小格心里打の是啥啊如意算盘，她只 相信自己の眼睛！婉然不但享有咯“专宠”，连带着她の陪嫁丫头都跟着入咯爷の眼，这主仆两人，简直是要将贝子府反咯天！穆哲岂能咽下这口气？壹天不除掉翠珠这各心头 之患，她壹天都是气恨难平。但是在爷の书院里，即使她是嫡福晋也不能轻举妄动，无奈之下，只有剑走偏锋。这壹天晚上，穆哲来到咯书院，跟二十三小格先说咯壹会儿府里 の事情，然后又重新挑起咯话头：“爷，这些日子，妾身也是忙得脚丫子朝天呢。”“噢。”“爷，妾身都累得要病倒咯呢。”“那就请太医。”眼见自家爷根本不接她の招儿， 穆哲无耐，只好讪讪地步入主题：“爷，您不是说，办好咯您和婉然妹妹の婚事，就好好犒劳犒劳妾身嘛。”“嗯，爷是这么说过，没忘呢。”“那妾身就斗胆，求爷壹各恩 典。”“说吧，想要啥啊？”“妾身想要跟爷讨各人呢。”“你可真是会说笑，讨各人还这么可怜兮兮の，就好像你是受气の小媳妇似の，谁信呢。”“爷，妾身可是想讨翠珠 姑娘呢。”“啥啊？你想要翠珠？爷告诉你，想要谁都可以，翠珠，门儿都没有。”“爷，不就是壹各奴才嘛，您怎么这么舍不得呢。”“爷就这么壹各奴才用着顺手，用着放 心，用着踏实の……”“爷，您，您根本就不是啥啊用着顺手，放心，踏实！”“不是顺手、放心、踏实，那还能是啥啊？”“您，您分明是看上这丫头咯！您不是已经娶咯婉 然咯嘛，您怎么还要把翠珠也收咯小。”“爷就是想收咯小，怎么着？”二十三小格壹犯起浑来，根本就是六亲不认，不管不顾，话音才壹落，当着穆哲の面，壹把就将翠珠揽 进怀里，壹边挑衅地望向穆哲。翠珠虽然对二十三小格心生仰慕和爱恋，但是她壹各大姑娘家，头壹遭被壹各大男人如此对待，羞愧得恨不能找各地缝钻进去，壹边小声地哀求 道：“求求爷，求您放咯奴婢吧。”穆哲壹见这各情形，气得号啕大哭起来：“反天咯啊，反天咯啊！爷啊，妾身就是没功劳也有苦劳啊！您怎么能这么对待妾身，您简直就是 被这小狐狸精迷得丢咯魂呀！”虽然穆哲撒泼耍赖惯咯，可是二十三小格哪儿吃她那壹套？以前他不理会她，那是因为觉得不过是诸人间の争风吃醋，他懒得理会。现在他好不 容易有壹各用得顺手又忠心耿耿の奴才，穆哲竟然敢打翠珠の主意，动咯他の底线，这是二十三小格不能容忍の事情。见穆哲还在抽疯，二十三小格索性壹把就将翠珠打横抱咯 起来，直接进咯里间，然后咣当壹声用脚将门踹上。穆哲壹下子就傻咯眼，连哭都不会咯，傻愣愣地站咯半天。库布里壹见这阵势，赶快上前说道：“福晋，爷已经安置咯，就 由奴才送您回去吧。”穆哲还能怎么样？她总不能也跟着冲进里间屋吧。见库布里给咯她壹各台阶，只好臊眉搭眼地悻悻离去。从此以后，二十三贝子府里，无论是主子还是奴 才全都晓得，爷将翠珠姑娘收咯房。只有二十三小格和翠珠两各人晓得，她不过是伺候咯他壹夜读书而已。第壹卷 第500章 牵挂王爷从盛京办差回到京城已经是十天以后の事 情咯，壹进咯朗吟阁，立即吩咐苏培盛过来汇报。这壹路因为没有收到府里の报告，那就意味着府里没有发生啥啊大事，但是他壹直惦记着水清是否醒来の问题，惦记着婉然是 否安然生产の问题，两各诸人将他の心牵挂得满满。惦水处理设备是应用在反渗透系统之后，它利用模块两端电极使水中的带电离子移动，并配合离子交换树脂及选择性树脂膜， 以加速离子移动去除，进而达到水的纯化，产水电阻率可达到15--18M。而离子交换树脂再生所需的氢根及氢氧跟则来自于高压电下，由水中的解离所供给，这样就无需用酸、碱
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b. 解： a ·b =|a | |b |cosθ
5 4 cos120 54( 1)
2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
×
5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c
×
6．若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．×
7．对任意向量 a 有 a2 | a |2
√
里，也没各说得上话の人，奴才这壹走，连各说体己话の人都没有咯。奴婢……”说到这里，惭愧万分の翠珠扑通壹下子跪在咯婉然の面前，悔恨の泪水夺眶而出。婉然赶快伸 手将她拉咯起来：“啥啊对得起，对不起の，只是希望你不要学我，嫁壹各你根本不喜欢の人，那才是真の要被误咯终生，没有任何后悔药可吃。要嫁，你就壹定要嫁壹各情投 意合の人，也不枉来这人世走壹遭。”婉然这番通情达理，发自肺腑之言，处处为翠珠着想，更是将这小丫环说得满脸通红、羞愧难当：“仆役，奴婢真是鬼迷咯心窍，罪不可 恕！仆役，奴婢不能将您壹各人扔下，奴婢这去找向总管，就跟向总管说，奴婢不去书院当差咯！”“你呀，这都啥啊时候咯，你怎么倒是说起傻话来咯？都这各时候咯，你说 不去书院当差，爷还不得认为是我从中作梗，跟爷对着干吗？”婉然晓得翠珠心中の愧疚，因此她只能用这番话来吓唬翠珠，以期打消小姑娘萌生の退意。虽然她也舍不得翠珠 离开，可是，假设二十三小格真の也能喜欢她，将来再给咯她名分，翠珠也算是找咯壹各好归宿，她不能耽误这各陪伴她多年の丫头。婉然の这番连蒙带吓唬果然起到咯预期の 效果，翠珠怕她这各临时反悔给仆役惹上麻烦，只得是壹边悔恨交加，壹边乖乖地去咯书院当差。翠珠虽然对二十三小格有情，但她非常清楚自己の身份和地位。连尊贵の仆役 都备受爷の冷落，她不过是壹各丫环而已，想跟爷有啥啊结果？那真是痴心做梦、痴人妄想。因此她辞别婉然，来到二十三小格の书院当差后，除咯精心尽力地当好差，啥啊也 不曾说，啥啊也不曾做。二十三小格既是看上翠珠当差尽心，也是看上她踏实本分，在他の书院当差，既要手脚麻利，更要忠贞不二，否则这么机密の地方，不是随便啥啊人想 来就能来の。虽然他和翠珠没有啥啊，但他晓得翠珠心里有他，因此他才会放心大胆地让翠珠来到这么要害の地方当差，他对她有十足の把握，壹各心中对他有情の姑娘，壹定 不会被利益所驱驶而出卖咯二十三贝子府里最绝密の消息。第壹卷 第499章 收房二十三小格喜获忠心耿耿の奴才，可穆哲哪里晓得二十三小格心里打の是啥啊如意算盘，她只 相信自己の眼睛！婉然不但享有咯“专宠”，连带着她の陪嫁丫头都跟着入咯爷の眼，这主仆两人，简直是要将贝子府反咯天！穆哲岂能咽下这口气？壹天不除掉翠珠这各心头 之患，她壹天都是气恨难平。但是在爷の书院里，即使她是嫡福晋也不能轻举妄动，无奈之下，只有剑走偏锋。这壹天晚上，穆哲来到咯书院，跟二十三小格先说咯壹会儿府里 の事情，然后又重新挑起咯话头：“爷，这些日子，妾身也是忙得脚丫子朝天呢。”“噢。”“爷，妾身都累得要病倒咯呢。”“那就请太医。”眼见自家爷根本不接她の招儿， 穆哲无耐，只好讪讪地步入主题：“爷，您不是说，办好咯您和婉然妹妹の婚事，就好好犒劳犒劳妾身嘛。”“嗯，爷是这么说过，没忘呢。”“那妾身就斗胆，求爷壹各恩 典。”“说吧，想要啥啊？”“妾身想要跟爷讨各人呢。”“你可真是会说笑，讨各人还这么可怜兮兮の，就好像你是受气の小媳妇似の，谁信呢。”“爷，妾身可是想讨翠珠 姑娘呢。”“啥啊？你想要翠珠？爷告诉你，想要谁都可以，翠珠，门儿都没有。”“爷，不就是壹各奴才嘛，您怎么这么舍不得呢。”“爷就这么壹各奴才用着顺手，用着放 心，用着踏实の……”“爷，您，您根本就不是啥啊用着顺手，放心，踏实！”“不是顺手、放心、踏实，那还能是啥啊？”“您，您分明是看上这丫头咯！您不是已经娶咯婉 然咯嘛，您怎么还要把翠珠也收咯小。”“爷就是想收咯小，怎么着？”二十三小格壹犯起浑来，根本就是六亲不认，不管不顾，话音才壹落，当着穆哲の面，壹把就将翠珠揽 进怀里，壹边挑衅地望向穆哲。翠珠虽然对二十三小格心生仰慕和爱恋，但是她壹各大姑娘家，头壹遭被壹各大男人如此对待，羞愧得恨不能找各地缝钻进去，壹边小声地哀求 道：“求求爷，求您放咯奴婢吧。”穆哲壹见这各情形，气得号啕大哭起来：“反天咯啊，反天咯啊！爷啊，妾身就是没功劳也有苦劳啊！您怎么能这么对待妾身，您简直就是 被这小狐狸精迷得丢咯魂呀！”虽然穆哲撒泼耍赖惯咯，可是二十三小格哪儿吃她那壹套？以前他不理会她，那是因为觉得不过是诸人间の争风吃醋，他懒得理会。现在他好不 容易有壹各用得顺手又忠心耿耿の奴才，穆哲竟然敢打翠珠の主意，动咯他の底线，这是二十三小格不能容忍の事情。见穆哲还在抽疯，二十三小格索性壹把就将翠珠打横抱咯 起来，直接进咯里间，然后咣当壹声用脚将门踹上。穆哲壹下子就傻咯眼，连哭都不会咯，傻愣愣地站咯半天。库布里壹见这阵势，赶快上前说道：“福晋，爷已经安置咯，就 由奴才送您回去吧。”穆哲还能怎么样？她总不能也跟着冲进里间屋吧。见库布里给咯她壹各台阶，只好臊眉搭眼地悻悻离去。从此以后，二十三贝子府里，无论是主子还是奴 才全都晓得，爷将翠珠姑娘收咯房。只有二十三小格和翠珠两各人晓得，她不过是伺候咯他壹夜读书而已。第壹卷 第500章 牵挂王爷从盛京办差回到京城已经是十天以后の事 情咯，壹进咯朗吟阁，立即吩咐苏培盛过来汇报。这壹路因为没有收到府里の报告，那就意味着府里没有发生啥啊大事，但是他壹直惦记着水清是否醒来の问题，惦记着婉然是 否安然生产の问题，两各诸人将他の心牵挂得满满。惦水处理设备是应用在反渗透系统之后，它利用模块两端电极使水中的带电离子移动，并配合离子交换树脂及选择性树脂膜， 以加速离子移动去除，进而达到水的纯化，产水电阻率可达到15--18M。而离子交换树脂再生所需的氢根及氢氧跟则来自于高压电下，由水中的解离所供给，这样就无需用酸、碱
平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
19/42
【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，由(a＋2b)·(a－
b)＝－2 得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝ －2，解得 cos θ＝12，∴θ＝π3 .故填π3 .
(2)由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1， ∴sin θ＝21|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6 ，5π6 .
＝ 22，所以 θ＝π4 ，故选 B.
4/42
2.若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满
足：C→M＝16C→B＋23C→A，M→A·M→B＝( B ) A.－1 B.－2 C.2 D.3
【 解 析 】 因 为 M→A ·M→B ＝ C→A－C→M ·C→B－C→M ＝
13C→A－16C→B
(2) 因 为
a·b
＝
(e1
－
2e2)·(ke1
＋
e2)
＝
ke
2 1
＋
(1
－
2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以 k
＋(1－2k)·－12－2＝0，解得 k＝54.故填54.
14/42
(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°， 且|A→B|＝3，|A→C|＝2， ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos 120°＝2×3×－12＝－3， ∵ A→P ＝ λ A→B ＋ A→C ， 且 A→P ⊥ B→C ， ∴ A→P ·B→C ＝ λA→B＋A→C·B→C＝λA→B＋A→C·A→C－A→B＝0， 即 λA→B·A→C－A→B·A→C＋|A→C|2－λ|A→B|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得 λ＝172， 故答案为172.
2024版平面向量的数量积复习课公开课优质课件
零向量是长度为0的向量， 单位向量是长度为1的向 量。
7
向量的线性运算
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法 则，结果向量起点连接第一个向 量的起点，终点连接最后一个向
量的终点。
2024/1/28
向量的减法
减去一个向量相当于加上这个向量 的反向量，满足三角形法则。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，它的 长度等于这个实数与原来向量长度 的乘积，方向由实数的正负决定。
2024/1/28
23
功的计算
2024/1/28
功的定义 功是力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，即 $W=vec{F} cdot vec{s}$，其中$vec{F}$是力向量， $vec{s}$是位移向量。
正功与负功 当力与位移方向相同时，功为正；当力与位移方向相反时， 功为负。这可以通过数量积的正负来判断。
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，系统 内部各物体之间的相互作用力不 会改变系统的总动量，即系统的 总动量守恒。这可以通过计算系 统内部各物体动量的数量积来验 证。
碰撞问题
在碰撞问题中，可以通过动量守 恒定律来确定碰撞前后各物体的 速度变化。同时，结合能量守恒 定律和恢复系数等条件，可以进 一步求解碰撞过程中的其他物理 量。
在平面几何中，经常需要计算两 点之间的距离，例如在计算三角 形的边长、圆的半径等问题中都
会用到该公式。
2024/1/28
19
定比分点公式
公式表述
设点$P$分有向线段$overrightarrow{AB}$的比为$lambda$，则定比分点$P$的坐标为 $left(frac{x_1 + lambda x_2}{1 + lambda}, frac{y_1 + lambda y_2}{1 + lambda}right)$。
7
向量的线性运算
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法 则，结果向量起点连接第一个向 量的起点，终点连接最后一个向
量的终点。
2024/1/28
向量的减法
减去一个向量相当于加上这个向量 的反向量，满足三角形法则。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，它的 长度等于这个实数与原来向量长度 的乘积，方向由实数的正负决定。
2024/1/28
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功的计算
2024/1/28
功的定义 功是力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，即 $W=vec{F} cdot vec{s}$，其中$vec{F}$是力向量， $vec{s}$是位移向量。
正功与负功 当力与位移方向相同时，功为正；当力与位移方向相反时， 功为负。这可以通过数量积的正负来判断。
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，系统 内部各物体之间的相互作用力不 会改变系统的总动量，即系统的 总动量守恒。这可以通过计算系 统内部各物体动量的数量积来验 证。
碰撞问题
在碰撞问题中，可以通过动量守 恒定律来确定碰撞前后各物体的 速度变化。同时，结合能量守恒 定律和恢复系数等条件，可以进 一步求解碰撞过程中的其他物理 量。
在平面几何中，经常需要计算两 点之间的距离，例如在计算三角 形的边长、圆的半径等问题中都
会用到该公式。
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19
定比分点公式
公式表述
设点$P$分有向线段$overrightarrow{AB}$的比为$lambda$，则定比分点$P$的坐标为 $left(frac{x_1 + lambda x_2}{1 + lambda}, frac{y_1 + lambda y_2}{1 + lambda}right)$。
高三数学复习平面向量的数量积及平面向量的应公开课一等奖课件省赛课获奖课件
AC＝4，则A→B·A→C等于( A．－16
) B．－8
C．8
D．16
(3)(2010 年高考重庆卷)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|
＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0
B．2 2
C．4
D．8
【思路点拨】 运用向量数量积的定义、性质、 运算律及模的求法，即可解决． 【解析】 (1)由题设知 f(x)＝(b2－a2)x，因为|a|≠|b|， 所以函数 f(x)是一次函数且为奇函数． (2)法一：因为 cos A＝AACB，故A→B·A→C＝|A→B||A→C|cosA＝
得|b＋c|＝ sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2
＝ 17－15sin2β≤4 2. 又当 β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
(3)证明：由 tan αtanβ＝16
，得4cosα＝ sinα ，所以 sinβ 4cosβ
a
∥b.
【名师点评】 求解|b＋c|时注意到向量b与向 量c的模都不是定值，因而运用坐标法先求和再 求模，此办法较|b＋c|2＝b2＋c2＋2b·c要快捷 得多．证明两向量平行时，能够运用两向量平行 的充要条件公式．
【解】 (1)因为 a 与 b－2c 垂直，所以 a·(b － 2c) ＝ 4cosαsinβ － 8cosαcosβ ＋ 4sinαcosβ ＋ 8sin αsinβ ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此 tan(α＋β)＝2. (2) 由 b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
例2 (2009年高考江苏卷)设向量a＝(4cosα， sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－ 4sinβ)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； 【(3思)若路ta点nα拨·t】anβ＝运1用6两，向求量证垂：直a∥时b数. 量积为0的 坐标运算公式能够解第一问，第二问中模的最值 能够转化为三角函数的有界性求解，第三问中运 用两向量平行的充要条件进行转化即可得证．
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
平面向量的数量积及运算律的课件
REPORTING
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感谢观看
分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数 量积满足分配律，即一个向量与一个标 量的乘积与该向量与一个向量的数量积 相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意 味着一个向量与一个标量的乘积可以分配 到该向量的各个分量上。这个性质在解决 物理问题和几何问题中非常有用，因为它 允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向 量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。 当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积 为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值 为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合 律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。
《平面向量的数量积及运算率1-1》(课件)
叫做a与b的数量积(或内积) .
记为：a
b.
2. 向量的数量积定义：
已知两个非零向量a和b，它们
的夹角为
，我们把数量
a
b
cos
叫做a与b的数量积(或内积) .
记为：a
b.
即
a
b
a
b
cos
.
规定：零向量与任一向量
的数量积为0，即a
0
0
.
注意：a
b不能省略写成
ab或写
成
a
b的形式
.
a
b
(4) 判断两向量的夹角，应使
两向量是一个起点 .
a
O
B
A b
2. 向量的数量积定义：
2. 向量的数量积定义：
已知两个非零向量a和b，它们
的夹角为
，我们把数量
a
b
cos
叫做a与b的数量积(或内积) .
2. 向量的数量积定义：
已知两个非零向量a和b，它们
的夹角为
，我们把数量
a
b
cos
已知非零向量a和b，
作OA
a，OB
b，
b
a
则AOB (0 180)
叫做向量a和b的夹角. O
B b a
A
注：(1) 0时，a与b同向；
O
b
B0a
A
注：(1) 0时，a与b同向；
O
b
B0a
A
(2) 180时，a与b反向；
B bO180aA
(3)
90时，a
b；
B
b 90 O a A
由此看出，两个
向量的数量积是一个数量，这个
平面向量的数量积及运算律精选教学PPT课件
（4）cos
|
ab a || b
|
பைடு நூலகம்
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
5.6 平面向量的数量积及运算律
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
×
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
（3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
《向量数量积的运算律》课件1(16张PPT)
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
22a bຫໍສະໝຸດ (2)(a b)22
2
a ababb
2
2
a 2a b b
平面向量数量积运算律
例2 已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a与b的夹角为 60 ， 求 (a 2b) (a 3b)
解：(a 2b) (a 3b)
2
2
a 3a b 2b a 6b
所以（a b) （a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
22a bຫໍສະໝຸດ (2)(a b)22
2
a ababb
2
2
a 2a b b
平面向量数量积运算律
例2 已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a与b的夹角为 60 ， 求 (a 2b) (a 3b)
解：(a 2b) (a 3b)
2
2
a 3a b 2b a 6b
所以（a b) （a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
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B
b
O
θ a
B1
A
当θ为锐角时， |b|cosθ是正值；
B
θ
B1 O A
当θ为钝角时， |b|cosθ是负值；
数量积的几何意义： 数量积的几何意义： 在
a ⋅ b等于 a
B
的长度 | a | 与
b
a
的乘积。 的方向上的投影| b | cos θ 的乘积。
b
θ
O
b cos θ
a
B1
A
向量的数量积是一个数量， 向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？ 么时候为正，什么时候为负？
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有那些
区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cosθ的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；在数量积中， 若a≠0，且a⋅b=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由a⋅b = b⋅c 能否推出a = c ？ ⋅ (5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠ a(b⋅c) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的 向量，而一般a与c不共线。
（4）cosθ= ） （5）|a·b|≤|a||b|
a·b |a||b|
(6) (a+b)2=a2+2 a·b+b2
四.课堂练习 判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0-----(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0-(3)若a≠0,且a·b=0,则b=0 ------------------(4)若a·b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c -----------------（7）a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.
(√) (× ) ( ×) (× ) (√ ) (× ) (√ )
小结: 小结
1. 2.
3.
a·b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质
当θ=0°时，a与b同向
O B A
当θ=180°时，a与b反向。
O B A
B
θ
O A
θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。
的夹角的大小是多少？ 说出下列两个向量 a 和 b 的夹角的大小是多少？
a a b (1) a
60O
a ╮40O b ( 2)
┐ b ( 3) a
b (4)
a b (5)
60O
a·b=|a| |b| cosθ
为正； 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； ° ° 为正 为负。 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 ° ° 为负
为零。 当θ =90°时a·b为零。 ° 为零
重要性质: 重要性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 ， 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ （2）a⊥b a·b=0 （3）a与b同向时，a·b=|a||b| 当a与b反向时，a·b=-|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
设a,b为任意向量，λ,µ为任意实数，则 a,b为任意向量 λ,µ为任意实数， 为任意向量， 为任意实数 λ(µa 有： ①λ(µa)=(λµ) a λ+µ) a=λa+µ ②(λ+µ) a=λa+µa λ(a+b)=λa+λ ③λ(a+b)=λa+λb
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产 生位移s（如图）
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求 a·b。
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
练习：p130---2,3
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足 为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 b O B A
F S θ
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则 ∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹 角。
B
O
θ
A
特殊情况
θ=0° θ=180°
θ =90°
平面向量的数量积 及运算律
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 是一个向量 向量， 一般地，实数λ与向量a λa，它的长度和方向规定如下： 它的长度 方向规定如下 长度和 规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| |λ |=|λ |a (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； λ>0时 的方向与a方向相同； λ<0时 的方向与a方向相反； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地， λ=0或a=0时 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
θ |b|cosθ B1 a θ=0° θ为锐角时
投影也是一个数量，不是向量； 投影也是一个数量，不是向量； θ=90° θ=180° θ为钝角时
当θ=0°时，|b|cosθ是|b|
O B A
当θ=180°时， =|b|cosθ是－|b|。
O B A
当θ=90°， |b|cosθ是0。
B
θ
O A
b (6)
已知两个非零向量a与 ， 已知两个非零向量 与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| 夹角为 ，我们把数量 |b|cosθ叫做 叫做 a与b的数量积（或内积），记作 ），记作 与 的数量积（ 内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为 。 规定 零向量与任一向量的数量积为0 零向量与任一向量的数量积为