人教版九年级数学上册拔高专题 抛物线中的压轴题
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之角度关系处理(含解析)
中考数学抛物线压轴题之角度关系处理（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC＝∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．（1）求a，b的值；（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x 轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．12．如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP 可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，解得：x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB，∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，∴n2＝（n﹣3）2+16，解得：n＝，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；。
九年级数学全册拔高专题旋转变化中的压轴题练习
九年级数学全册拔高专题旋转变化中的压轴题练习一、基本模型构建常见模型思考上图中，△AE′B旋转到AED的位置，可得△AE′E为等腰三角形。
如果四边形ABCD是矩形或正方形，则三角形AE′E为等腰直角三角形。
上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，可以得到∠EAC=∠DAB ，如果∠B=60°，所以△ADB为等边三角形.二、拔高精讲精练探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换例1：（2015•盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： BE=CD ；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=12ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，AB AC BAE CAD AE AD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE=CD ；②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12ED ，∴AC=CD ，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°， ∴角α的度数是45°或225°．等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强【变式训练】1. 如图①，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC ，AB 与EC 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF=CH ；（2）如图②，Rt △ABC 不动，将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE ，∴∠1=∠2=90°-∠BCE ，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，在△ACF 和△DCH 中，12A D AC CD ∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝，∴△ACF ≌△DCH ，∴CF=CH ；（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。
人教版中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数的实际应用 类型二：抛物线型问题
解：∵a＝－510，b＝190，∴y＝－510x2＋190x＋66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝－510×752＋190×75＋66＝21， ∴基准点K的高度h为21 m.
9 ②若a＝－510时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为bb＞＞10 ； 【分层分析】运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞221 1，故－ 510×752＋75b＋66＞2211 ，即可解得答案；
(1)求抛物线的解析式； 解：由题意知， 点(5，3.2)是抛物线 y＝a(x－h)2 ＋k的顶点，∴y＝a(x－5)2 ＋3.2. 又∵抛物线经过点(0，0.7)， ∴ 0.7＝a(0－5)2 ＋ 3.2，解得a＝－ 0.1. ∴抛物线的解析式为 y＝－0.1(x－5)2 ＋3.2(或y＝－0.1x2 ＋x ＋0.7)．
解： b＝6，c＝1.
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
解：∵y＝－16x2＋76x＋1＝－16x－722＋7234， ∴当x＝72时，y有最大值7234，
73 即大棚最高处到地面的距离为24 m.
37 (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 24 m的竹竿支架若 干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共 需要准备多少根竹竿？
【分层分析】运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76 m，即是抛物线的顶点为((225，5，76)7，6)设抛物线解析式为y＝＝a(xa－(x225)25＋ ，可得抛物线解析式为y＝－－1225((xx－－2255))2＋2＋7676，当x＝777556时，y＝ 3366，从而可知他的落地点能超超 过K点．
解：令y＝－16x2＋76x＋1＝3274， 1 13
解得x1＝2，x2＝ 2 ， 1 11
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之基础面积问题(含解析)
中考数学抛物线压轴题之面积问题（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．2．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．3．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．13．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．15．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB ＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．17．已知抛物线y＝﹣x2+bx和直线l：y＝x﹣b．（1）求证：抛物线与直线l至少有一个公共点；（2）若抛物线与直线l交于A，B两点，当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时，求b的取值范围；（3）当b＞0时，将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l'，若抛物线y＝﹣x2+bx的顶点P在直线l'上，且与直线l'的另一个交点为Q，当点C在直线l'上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．20．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ 的长为d．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求d与m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．24．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．（1）求A、B的坐标．（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．（3）若a＝﹣1，过点D作x轴的垂线，垂足为H，当1≤t≤4时，DH+mHO的最大值为．求正实数m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A 的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．（1）求b和c的值；（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF ＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．27．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若＝，求a的值．29．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．35．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．2．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点M（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点M（，）；故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m ﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．4．【解答】解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．5．【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，n﹣m＝2＝＝，解得：k＝0（舍去）或1；将k＝1代入①式并解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，﹣）、（，）．（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则△KMG≌△GNR（AAS），GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，故m＝，故点K（1，）．6．【解答】解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c＝3，则函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b＝3a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝3a+1，即：﹣≥0，解得：a≥﹣，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，b＝3a+1＝﹣2二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝×3×PQ×＝，则PQ＝|y P﹣y Q|＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点Q（x，x+3），即：﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝±1，解得：x＝或，故点P（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）对称轴x＝，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝，联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得：x2+（﹣k）x+1＝0…①，m+n＝3﹣2k，mn＝﹣2，n﹣m＝＝＝解得：k＝0（舍去）或3；故y＝3x+1，则x2+x+2＝3x+1，解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，）；（3）设点K（，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，），过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M，交过点K与x轴的平行线于点N，则△GNK≌△K′MG（AAS），NK＝﹣＝＝MG，NG＝﹣m，则点K′（﹣m，）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m＝，故点K（，）或（，）．8．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．10．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．11．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．12．【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．13．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y|＝OC＝3，∴y＝±3．当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x＝+1．当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝2，x2＝0（舍去）．综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB′＝m，PB′＝2，设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．当0＜m≤2时，由已知得P′B＝2+m．∵OP′＝2﹣m，∴E（2﹣m，﹣m﹣）．由OB＝4得OP＝2，把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，∴D（2，﹣3），∴直线CD∥x轴．∵EP′＝m+，D′P＝3，∴ED′＝DP′﹣EP′＝3﹣m﹣＝﹣m+．过点F作FH⊥PD′于点H，则∠D′HF＝∠D′P′B′＝90°．∵∠HD′F＝∠P′D′B′，∴△D′HF∽△D′P′B′，∴＝．∵∠FCD′＝∠FBB′，∠FD′C＝∠FB′B，∴△CD′F∽△BB′F，∴＝．又∵CD′＝2﹣m，∴＝．设D′F＝k（2﹣m），B′F＝km，∴D′B′＝2k，∴＝．∴＝．∵P′B′＝2，∴HF＝2﹣m．∴S△ED′F＝ED′•HF＝×（﹣m+）×（2﹣m）．∵S△PB′D′＝PB′•PD′＝×3×2＝3，∴S＝S△PB′D′﹣S△ED′F＝3﹣×（﹣m+）×（2﹣m）＝﹣m2+m+．14．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，故直线AC为y＝x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得，x＝0或x＝1（舍去），∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），∵F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得x＝或x＝，。
人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题(最值问题)专题训练(含解析)
人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题（最值问题）专题训练(1)求三个点，，的坐标；(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时(3)设点的横坐标为，的长度为范围；是否存在最值，如有写出最值．(1)求二次函数的解析式；(2)当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；(3)在抛物线上是否存在点，若存在，请求出点A B C N N t MN L 8AOP S =△(1)求抛物线的表达式和点D 的坐标．(2)连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上的一个动点．Q 是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出存在，请说明理由．(3)如图，点P 在第四象限的抛物线上，连接AP 、BE 交于点G ，设（1）求二次函数解析式；（2）设的面积为，试判断PCD ∆S S请说明理由；（3）在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数，回答下列问题：（1）求出此抛物线的对称轴和顶点坐标；MB P PCD ∆P 2y x bx c =-++x ,A B A B y C M 1x =C (0,3)P MB P PD x ⊥D ,PD m PCD =∆S S m m S P MB P PCD ∆P 243y x x =++（2）写出抛物线与轴交点、的坐标，与轴的交点的坐标；（3）写出函数的最值和增减性；（4）取何值时，①，②．7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B (3，0)，C (0，3)，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．若OD ＝m ，△PCD 的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标；（3）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax+m ．（1）当a ＝2，m ＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a ＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y 轴向上平移k 个单位长度后，得到新的抛物线与x 轴没有交点，请判断k 的取值情况，并说明理由；（3）当m ＝0时，平行于y 轴的直线l 分别与直线y ＝x ﹣（a ﹣1）和该抛物线交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使点P ，Q 都在x 轴的下方，求a 的取值范围．9．如图，Rt △OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA 与x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt △OAB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O ，C ，A 三点．x A B y C x 0y <0y >(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，m ，连结，，与直线交于点E ．设别为和，设己，试求t 关于m 的函数解析式并求出OD (05)m <<MQ BQ MQ OB 1S 2S 12S t S =(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线CB上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，－2)为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M 为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．参考答案：∴β=1，∴A(-1，0)，B (3，0)，∴，解得：，∴抛物线的表达式为，当x =1时，y =1-2-3=-4，∴点D 的坐标为(1，4)；（2）解：∵A (-1，0)，B (3，0)，D (1，4)，设直线AD 的表达式为y =kx +c ，∴，解得，∴直线AD 的表达式为y =-2x -2，当x =0时，y =-2，∴点E 的坐标为(0，-2)，∵P 是抛物线上的一个动点，Q 是抛物线对称轴上一个点，∴设P (m ，)，Q (1，t )，①当BE 为边时，PQ BE 且PQ =BE ，当E 对应Q ，由(0，-2)变为(1，t )，要向右平移1个单位，则当B (3，0)对应P (m ，)，也要向右平移1个单位，即m =3+1=4，∴=5，∴P (4，5)；309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩12a b =⎧⎨=-⎩2=23y x x --04k c k c -+=⎧⎨+=⎩22k c =-⎧⎨=-⎩223m m --∥223m m --223m m --∵∠OBC=45°，∵轴∴时，轴∴，即，解得：，∴此时；②时，如图②，PD x ⊥90CDP ∠=︒//CP x 3c p y y ==263m -+=32m =3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭90P CD ''∠=︒∵轴，∴，∴，又∵，∴，即，∵，，，P D x ''⊥//P D OC ''12∠=∠90P CD D OC '''∠=∠=︒P CD D OC '''∆∆∽OC CD CD P D '='''(0,3)C (,0)D m (,26)P m m -+【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．8．（1）-9；（2）当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞0；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;综上，当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值问题和根据题意进行分类讨论是解本题的关键.9．(1)、y=﹣x2+4x；(2)、10；(3)、N1（2+2，﹣4），N2（2﹣2，﹣4）【详解】试题分析：(1)、根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；(3)、在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．试题解析：(1)、因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L max=10；=2+，﹣2+，﹣，，点Q 的横坐标为m ()1,16N MN ∴--=， (,Q m m ∴，()2245KQ m m m m m ∴=--=-+()121122B E S QK x x S MN =-= ，()21S 115QK m m ∴==--=-【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，最值，是解题的关键．13．（1）；（2）①m=2或4+2和．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a 2122y x x =-50.5-50.5+（2）∵点P在第四象限的抛物线上，设直线AP的解析式为代入，∵，∴，y=(1,0)A-2(,2P m m-03m<<10m+≠∵点C 与点关于对称轴对称∴设直线的解析式为解得：∴直线的解析式为：C '1x =()2,3C '-AC 'y kx b =+13432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩AC '3y =-设点在中，当时，在中，由勾股定理知：即：化简得：解得：（舍），233,384R k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭Rt OBC 222BC OC OB =+190BCR ∠= 1Rt BCR ()222334384k k k k ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭29+140k k =()9+14=0k k 0k =14k =-。
人教版九年级上册数学期末动点问题压轴题(含答案)
(1)直接写出C点的坐标；
(2)求证：MD＝MN；
(3)如图2，若M（1，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求点P的坐标；
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，Oபைடு நூலகம்分别在x轴和y轴上， ， ，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 和点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 过A，B，C三点，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，动点P在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(2)
(3) ， ，
(4)正方形MNED的边长为 或
8．(2)3
(3)
9．(1)
(2) 周长的最小值为
(3)N的坐标为 或 或
10．(1)解析式为 ；D（2， ）
(2)S△BCE有最大值为
(3)（ ）或（3，4）或（7，4）或（ ）
人教版九年级上册数学 抛物线中的压轴题
拔高专题 抛物线中的压轴题探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ． 求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a ≠0），将A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点代入函数解析式得：16404420a b c c a b c -+⎪-+⎪⎩+⎧⎨＝＝＝解得1412a b c -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，12m 2+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4．（3）设P （x ，12x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（12x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．由此可得Q （-4，4）或（-2-22+2 ）或（4，-4）．【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C （0，-4）的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A （-2，0），B 两点．（1）a ＞ 0，b 2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=13，b=-43，c=-4，∴抛物线的函数表达式为y=13x2-43x-4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，∵抛物线y=13x2-43x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=13x2-43x-4，解得：x1，x2，∴点E′的坐标为（，4），同理可得点E″的坐标为（，4）。
九年级数学上册数学压轴题(Word版 含解析)
九年级数学上册数学压轴题（Word 版 含解析）一、压轴题 1．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．2．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？3．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O于点E ）；（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长． 4．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．5．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．6．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，tan B ＝34，OB ＝8． （1）求OA 、AB 的长；（2）点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD ，QC ．①当t 为何值时，点Q 与点D 重合？②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．7．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值．8．如图 1，抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于C ，且OB OC =．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________9．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2GDGO=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.10．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．11．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2)求⊙P 的半径；(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值； （3）如图③，若DE CF ，求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，42AB =2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ， PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=，10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，155,222DH OD QH DH ∴==∴==，2222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,22OM QH MQ OH ∴====， 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.2．（1）见解析；（2）DB DF = 【解析】 【分析】（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到； ②过D 作DGBC 交AB 于点G ，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，得到BG DC =，DGB FCD ∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立； （2）连接BF ，根据题意，可证得BCF BDF A ∠=∠=∠，则B 、C 、D 、F 四点共圆，即可证明结论成立. 【详解】解：（1）①∵BDC A ABD ∠=∠+∠， 即BDF FDC A ABD ∠+∠=∠+∠， ∵BDF A ∠=∠， ∴FDC ADB ∠=∠； ②过D 作DGBC 交AB 于点G ，∴ADG ACB∠=∠，AGD ABC∠=∠，又AB AC=，∴AABC CB=∠∠，∴AGD ADG∠=∠，∴AD AG=，∴AB AG AC AD-=-，∴BG DC=，又ECF ACB AGD∠=∠=∠，∴DGB FCD∠=∠，在GDB△与CFD△中，,,DGB FCDGB CDGBD FDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()GDB CFD ASA△≌△∴DB DF=；（2）证明：如图：连接BF，由（1）可知，AABC CB=∠∠，∵ECF ACB∠=∠，∴ABC ECF∠=∠，∵BCA CA BCF E F=∠+∠∠+∠，∴A BCF∠=∠，∴BDF A BCF∠=∠=∠，∴B、C、D、F四点共圆，∴180DCB DFB∠+∠=︒，DBF ECF∠=∠，∴ACB DFB∠=∠，∵BC EC ACA F B=∠=∠∠，∴DBF DFB∠=∠，∴DB DF=.【点睛】本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明.3．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．【解析】【分析】（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数；（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝12∠COD＝60°，结合圆的直径为26可得出CD＝133，由△PCD的周长为24+133，可得出DF＝24，过点O作OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．【详解】（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠APD＝∠BPC，∴∠DPC是直径AB的回旋角．（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，∴∠APE＝∠APD．∵圆是轴对称图形，∴∠E＝∠D．∵OE＝OC，∴∠E＝∠C，∴∠D＝∠C．由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PFC是等边三角形，∴∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，∴CD＝2DG，∠DOG＝12∠COD＝60°，∵AB=26，∴OC=13，∴2CG=∴CD＝∵△PCD的周长为24+，∴PD+PC+CD＝24+，∴PD+PC＝DF＝24．过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝12DF＝12．在Rt△OHD中，OH5=,在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝2OH＝10，∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法，可得：BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．综上所述，AP的长为：3或23．【点睛】此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP 的长度由点P 所在的位置决定，因此必须分情况讨论.4．（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．【解析】【分析】（1）根据AD BD ⊥得到AB 是直径，连接OC 、OD ，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得30EBD ∠=︒，再进一步求得E ∠的度数；（2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得．【详解】解：（1）连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：∵1OD OC CD === ∴OCD 为等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DAC ∠=︒∴30EBD ∠=︒∵90ADB ∠=︒∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒ 证明：如图：∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =∴30A ∠=︒∴60E ∠=︒．故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质．此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径，进一步发现等边COD △，从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．5．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，60AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，y x =，∴212y x =-+，∵2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，360AH sin AB =︒=， ∵AB =23∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．6．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）3011；（3）0<t≤1813或3011<t≤5． 【解析】【分析】（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝34，OB ＝8，即可求解； （2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解；（3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．【详解】解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝34，OB ＝8， ∴34OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10； （2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ，∴△ACD ∽△ABO ，∴AC AD AB AO = ，即： 2,106t AD = ∴AD ＝65t ， 当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴66,5t t += 30.11t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°，∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ，∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ，∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC AB AO = 即：62106t t -= ，18.13t ∴= ∴当18013t <≤时，圆P 与QC 只有一个交点， 当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11t =∴30511t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点， 故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或30511t <≤. 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．7．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2【解析】【分析】（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【详解】解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，11x ∴=-，23x =，1m ∴=-，3n =，(1,0)A ∴-，(0,3)B ，把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，解得11x =-，23x =，∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，1OA ∴=，3OC =，∴对称轴为1312x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，∴BC = BD ==DC ==222CD DB CB =+，BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，∴112322S BCD BD BC ==⨯⨯=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），①在0≤x ≤3范围内，当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，21t = )；或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．综上，1t =-或2t =．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．8．（1）()221y x =--；（2）1023n <<；（3）552M x << 【解析】【分析】(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A 点坐标可求B 点坐标，代入解析式可得；(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P ，由题意可得ACB BCP ∠>∠，过点C 作//l x 轴.作PD l ⊥，可得ACO PCD ∠=∠，设()2,43P t t t -+，由13tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN=，设M 点坐标为()2,43t t t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式可得2MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2CN =2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由3MN CN =可得：52t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围.【详解】解：()1对称轴为422a x a-=-= ()3,0B ∴()0,1C ∴代入()224321y x x x ∴=-+=-- ()()222:21C x n --- ()2423x n x =-++CAP ∆的内心I 在CAB △内部 ,ACB BCP ∴∠>∠∴当ACB BCP ∠=∠时 过C 作//l x 轴.作PD l ⊥,ACB BCP ∠=∠90,OCD ∠=45,DCB ∠=,ACO PCD ∴∠=∠13tan ACD tan PCD ∠=∠= 设()2,43P t t t -+ 13PD CD ∴= 3p y DP OC +==214333t t t ∴-++= 113t = 将P 代入2C 解析式中 103n ∴=又P 在第一象限内 h AB ∴>2n ∴>1023n ∴<<(3)552M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3,MCB ∠为直角，C(0,3)，∴直线CM 的解析式为：y=x+3，则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为：2343x x x +=-+，解得：x=5或0(舍去)，所以，当MCB ∠为直角时，5M x =；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示： 过点M 作MN CB ⊥于N,则3MNCN=，设M 点坐标为()2,43t t t -+，MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3,∴MN 解析式可设：y=x+b,将P ()2,43t t t -+代入解析式可得： b=253t t -+,则直线MN 解析式为：253y x t t =+-+， 将直线MN 与直线CB 解析式联立可得： N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，∴2MN =2222215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2CN = 222215152222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 由3MNCN=可得：2213221522t t t t --=3； 解得：52t =或0(舍去) ；∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：552M x <<. 【点睛】本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键. 9．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 9922m -+= 【解析】 【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,,, ∴M 、N 关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃), ,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大. 10．（1）243y x x =-+-；（2）点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）；（3）①G 的坐标．，，；②t =或t = 【解析】 【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；（2）根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2，由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值，得出P 点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P 点横坐标；（3）①根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴右侧；当点G 在对称轴左侧；结合图像，分别求出点G 的坐标即可；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴左侧；当点G 在对称轴右侧；结合图像，分别列出方程，求出t 的值即可． 【详解】解：（1）把点(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++上，求得：4b =，3c =-， ∴243y x x =-+-；（2）依题意，得312AB =-=， 设P 点坐标为(,)a n ， 当0n >时，则8n =， 故2–438x x +-=， 即24110x x ++=，∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2（-），方程24110x x -++=无实数根； 当0n <时，则8n =- 故2438x x -+-=-， 即2450x x -+-=， 解得：11x =-，25x =所求点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）． （3）①分两种情况当点G 在对称轴右侧，设点G D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -，∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐ 当点D 的坐标为(,2)m m -，有2243m m m -=-+-，解得：135m +=，235m -=（不符题意舍去）， 此时点D 的坐标为：3551(,)+-． 当点D 的坐标为(,2)m m -时，有2243m m m -=-+-，解得：155m +=，255m -=（不符题意舍去），此时点D 的坐标为：5515(,)+--． 当点G 在对称轴左侧，设点D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -﹐因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -， 分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为：3551---，5515)--+． 综上所述点D 的坐标为：3551(+-﹐5515(+--，3551()22，5515()22--+．②分两种情况当点G 在对称轴左侧，此时有1EN t =-，2NF t =﹐因为//EN GF ，点E 为CG 的中点， 所以222GF EN t ==-， 所以点G 的坐标为(42,2)t t --， 将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：1513t +=，2513t -=（不合题意舍去）．当点G 在对称轴右侧，此时有1EN t =-，2NF t =，因为//EN GF ，点E 为CG 的中点， 所以222GF EN t ==-， 所以点G 的坐标为(42,2)t t --， 将(42,2)t t --代入243y x x =-+-中，得2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，解得：15134t +=（不合题意舍去），25134t -=．综上所述：5134t +=或5134t -=． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P点纵坐标的关系，注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．11．(1)点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)；抛物线的对称．轴为直线x＝1；(2)⊙P；(3)1＜y＜2；(4)3﹣2【解析】【分析】(1)分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；(2)连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值即可；(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F 为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF 的长即可.【详解】(1)当y＝0时，﹣(x+1)(x﹣3)＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)；当x＝0时，y＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，∴点C的坐标为(0，3)；∵抛物线与x轴交于点(﹣1，0)、(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)连接CP、BP，如图1所示，在Rt△BOC中，BC=∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，BC∴CP＝BP＝2∴⊙P(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝1，y2＝2，∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．∵AC＝2232OA OC+=，∠ACO＝45°，∴点C′的坐标为(3﹣32，0)，∠AC′O′＝45°，∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣32，∵点E在线段CO上，∴点F在线段C′O′上．过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，∵△OC′F为等腰直角三角形，∴OF＝22OC′＝22(32﹣3)＝3﹣322．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；(2)利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；(3)利用极限值法求出点D纵坐标；(4)利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．12．（1）12；（2）tan EAD∠=13；（3）51DECD-=【解析】【分析】（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△ADE≌△CDO，得到DE=DO，根据O是AD的中点，AD=CD，即可得到答案；（2）先证明△AFD≌△DOC，得到∠AFD=∠DOC，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD∽△FAD，根据对应边成比例得到DP ODAD DF=,设AF=OD=x，则AD=2x，5x，得到25x，求出35x，再证明△DEP∽△FAP，得到23DEAF=，根据AF=12CD，即可得到答案；（3）先证明△FCD≌△EDA，得到∠EAD=∠FDC，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，OC=5x ，可得PC=OC-OP=5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到514OD FC +=，进而得到251251CF CD -==+，即可得到结论. 【详解】（1）如图①中，∵四边形ABCD 是正方形，PDA PDC ∴∠=∠，DP DP =，DA DC =，PDA ∴≌()PDC SAS ，DAE DCO ∴∠=∠，90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，ADE ∴≌()CDO ASA ，OD DE ∴=，AO OD ∴=，CE DE ∴=，12DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．AF FB =，OA OD =，AB AD =，AF OD ∴=， AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒，FAD ∴≌()ODC SAS ，FDA OCD ∴∠=∠， 90FDA CDP ∠=∠=︒，∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，90CPD ∴∠=︒，90FAO FPO ∠=∠=︒，∴A ，F ，P ，O 四点共圆，PAO PFO ∴∠=∠，1tan 2OP OPD PD∠==， 5OP a ∴=，25PD a =， 5DF a =，355PF a ∴=， 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，∴ FCD ≌EDA ()SAS ，CDF EAD ∴∠=∠，90CDF ADP ∠=∠=︒，∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，∴ 90APD ∠=︒，OA OD =，∴ OP OA OD ==，∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，90ECF EPF ∠=∠=︒，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴ CFE EPC ∠=∠，∴ CFE DCF ∠=∠，ECF DCF ∠=∠，∴ FCE ∽DCF ，∴ 2·CF CE CD =，∴ ()2y x x y =+，∴ 220y xy x --=，∴ y x =x （舍弃），∴ 12y x +=，∴ DE y CD x y ===+． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
中考数学压轴题抛物线与动点精选
动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、（2012•钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x=﹣．）2、（2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二、梯形与抛物线1、已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2012•泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．3.（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线1、（2012•龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？4、如图，直线l 1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．5、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE 的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2012•铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．四、直角三角形与抛物线1、（2012•广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2、（2012•河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接P A、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△P AM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•海南）如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4、（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．五、相似三角形与抛物线1、（2012•福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．3、（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．4.（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．5、（2012•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6（2012•鞍山）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x 轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．六、抛物线中的翻折问题1、（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．2、（2010•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．动点与抛物线专题复习答案一、平行四边形与抛物线1、解：（1）由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B（0，4），则c=4；∵抛物线的对称轴x=﹣=﹣，∴b=5a=；即抛物线的解析式：y=x2+x+4．（2）∵A（4，0）、B（3，0）∴OA=4，OB=3，AB==5；若四边形ABCD是菱形，则BC=AD=AB=5，∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）．将C（﹣5，3）代入y=x2+x+4中，得：×（﹣5）2+×（﹣5）+4=3，所以点C在抛物线上；同理可证：点D也在抛物线上．（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：，解得∴直线CD：y=﹣x﹣．由于MN∥y轴，设M（t，t2+t+4），则N（t，﹣t﹣）；①t＜﹣5或t＞﹣1时，l=MN=（t2+t+4）﹣（﹣t﹣）=t2+t+；②﹣5＜t＜﹣1时，l=MN=（﹣t﹣）﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣t﹣；若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∥CE，则MN=CE=3，则有：t2+t+=3，解得：t=﹣3±2；﹣t2﹣t﹣=3，解得：t=﹣3；综上，l=且当t=﹣3±2或﹣3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．2、解：（1）解方程x2﹣7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5﹣2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有，即，解得t=．此时OP=OA﹣AP=，PQ=AP•tanA=，∴Q（，）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有，即，解得t=．此时AQ=，AH=AQ•cosA=，HQ=AQ•sinA=，OH=OA﹣AH=，∴Q（，）．综上所述，当t=秒或t=秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（，）或（，）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=，AE=AQ•cos∠QAP=，∴OE=OA﹣AE=，∴Q（，）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（，）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（，）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=，PF=AE=，∴OF=OP+PF=，∴M3（﹣，）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（﹣，）．3.解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．二、梯形与抛物线1、解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OB=4，OA=2；由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3；∴C点坐标为（，3）．（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点，∴，解得；∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2x．（3）存在．因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；因为∠BOA=30°，所以ON=t，∴P（t，t）；作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得t=，t=1（舍），∴P点坐标为（，），∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（，）．2、解：（1）∵抛物线y=x2+h经过点C（0，1），∴+h=1，解得h=1．（2）依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）过点A的直线l：y=kx+2经过点P、Q，∴a2+1=ak+2…①b2+1=bk+2…②①×b﹣②×a得：（a2b﹣b2a）+b﹣a=2（b﹣a），化简得：b=﹣；∴S△POQ=OA•|x Q﹣x P|=•OA•|﹣﹣a|=（﹣）+（﹣a）≥2•=4 由上式知：当﹣=﹣a，即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小；即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4．（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）直线BC：y=k1x+1过点P，∴a2+1=ak1+1，得k1=﹣a，即y=ax+1．令y=0得：x B=﹣，同理，由（2）得：b=﹣∴点B与Q的横坐标相同，∴BQ∥y轴，即BQ∥OA，又∵AQ与OB不平行，∴四边形AOBQ是梯形，据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同．故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形．3.解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，∴OC=OP+PC=4+4=8，又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．（2）结论：△AEF的面积S不变化．∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，∴，即，解得CE=．由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE=[4+（8﹣t）]×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）化简得：S=32为定值．所以△AEF的面积S不变化，S=32．（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，∴，即，化简得t2﹣12t+16=0，解得：t1=6+2，t2=6﹣2，由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去．∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．三、等腰三角形、菱形与抛物线1、解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA•tan60°=1×=，OB=OC•cot30°=×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；（2）①∵△OCE∽△OBC，∴=，即=，解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2时，△OCE∽△OBC；②存在．理由如下：抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1，所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC=60°，又∠DEF=60°，∴∠FEB=60°，∴∠BAC=∠FEB，∴EF∥AC，由A（﹣1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y=x+，∵点E（1，0），∴直线EF的解析式为y=x﹣，联立，解得，（舍去），∴点M的坐标为（2，），EM==2，分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，当PE=EM时，PE=2，所以，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2），当PE=PM时，∵∠FEB=60°，∴∠PEF=90°﹣60°=30°，PE=EM÷cos30°=×2÷=，所以，点P的坐标为（1，），当PM=EM时，PE=2EM•cos30°=2×2×=2，所以，点P的坐标为（1，2），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，﹣2）或（1，）或（1，2），使△PEM是等腰三角形．3、解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；当t=3时，AN=t=5=AB，即N是线段AB的中点；∴N（3，4）．设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则：4=3a（3﹣6），a=﹣；∴抛物线的解析式：y=﹣x（x﹣6）=﹣x2+x．（2）过点N作NC⊥OA于C；由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NA•sin∠BAO=t•=t；则：S△MNA=AM•NC=×（6﹣t）×t=﹣（t﹣3）2+6．∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．（3）Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=t，AC=AN•cos∠BAO=t；∴OC=OA﹣AC=6﹣t，∴N（6﹣t，t）．∴NM==；又：AM=6﹣t，AN=t（0＜t＜6）；①当MN=AN时，=t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；②当MN=MA时，=6﹣t，即：t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2=；③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=；综上，当t的值取2或或时，△MAN是等腰三角形．4、解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）三点，∴，解得a=，b=，c=，∴抛物线的解析式为：y=x2x．（2）设直线l1的解析式为y=kx+b，由题意可知，直线l1经过A（﹣1，0），C（0，）两点，∴，解得k=，b=，∴直线l1的解析式为：y=x；直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y=x．∵抛物线y=x2x=（x﹣1）2，∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，）；点E为x=1与直线l2：y=x的交点，令x=1，得y=，∴E（1，）；点G为x=1与直线l1：y=x的交点，令x=1，得y=，∴G（1，）．∴各点坐标为：D（1，0），E（1，），F（1，），G（1，），它们均位于对称轴x=1上，∴DE=EF=FG=．（3）如右图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF．△PCG为等腰三角形，有三种情况：①当CG=PG时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG．∵C（0，），对称轴x=1，∴P1（2，）．②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG．如右图，C（1，），H点在x=1上，∴H（1，），在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y G﹣y H|=|﹣（）|=，∴由勾股定理得：CG==2．∴PC=2．如右图，CP1=2，此时与①中情形重合；又Rt△OAC中，AC==2，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形．③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上．∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形，由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点，∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，）；又cos∠CGE==，∴∠CGE=30°，∴∠HCG=60°，又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形，∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合．综上所述，P点的坐标为P1（2，）或P2（1，）．5、解：（1）过点B作BF⊥x轴于F在Rt△BCF中∵∠BCO=45°，BC=6∴CF=BF=12∵C的坐标为（﹣18，0）∴AB=OF=6∴点B的坐标为（﹣6，12）．（2）过点D作DG⊥y轴于点G∵AB∥DG∴△ODG∽△OBA∵===，AB=6，OA=12∴DG=4，OG=8∴D（﹣4，8），E（0，4）设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）∴∴∴直线DE解析式为y=﹣x+4．（3）结论：存在．设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．如答图2所示，有四个菱形满足题意．①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2，则P4（2，2），由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（﹣2，2）．综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点Q的坐标为：Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．6、解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3）又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上∴，解得：．∴设抛物线的解析式为．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，若S△ADP=S△ADC，∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1），∴OC=1，∴，即或，解得：．∴点P的坐标为．（3）结论：存在．∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．四、直角三角形与抛物线1、解：（1）令y=0，即=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．（2）S△ACB=AB•OC=9，在Rt△AOC中，AC===5，设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=．如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，∴CE==．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，∴直线AC解析式为y=x+3．直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣．则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣4，）．同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，）综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）．（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．又FE=5，则在Rt△MEF中，ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×=，FN=MN•cos∠MFE=3×=，则ON=，∴M点坐标为（，）直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3．同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3．综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．2、解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：令x=0，y=4，则B（0，4）；令y=0，0=﹣x2+x+4，解得x1=﹣1、x2=8，则A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AC：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△P AB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；而∠APM是锐角，所以△P AM若是直角三角形，只能是∠P AM=90°；由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．3.解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（4，﹣4），∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣4）2﹣4，又二次函数过（0，0），∴0=a（0﹣4）2﹣4，解得：a=，∴二次函数解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣2x；（2）①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：设A（m，m2﹣2m），又O（0，0），∴直线AO的解析式为y=x=（m﹣2）x，则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4，m2﹣2m），∴OD=4，ND=m，HA=m﹣4，NH=ND﹣HD=m2﹣m，在Rt△OND中，tan∠ONM==，在Rt△ANH中，tan∠ANM====，∴tan∠ONM=tan∠ANM，则∠ANM=∠ONM；②△ANO不能为直角三角形，理由如下：分三种情况考虑：（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，∴△AHN为等腰直角三角形，∴HA=NH，即m﹣4=m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16=0，即（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，∵OA2=m2+（m2﹣2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（m2﹣2m+m）2，∴m2+（m2﹣2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（m2﹣2m+m）2，整理得：m（m﹣4）2=0，解得：m=0或m=4，此时A点与P点重合或与原点重合，故∠AON不能为直角；（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，∴△AMN∽△DMO，又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，∴△AMN∽△DON，∴△AMN∽△DMO∽△DON，∴=，即=，整理得：（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形4、解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OP A，∴，∴OC=，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，∴B（，）．如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（，0）；②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，∴，即，化简得：m2﹣m+=0，解得：x1=，x2=，∴此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．此时M点坐标为（0，）；④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（0，）．综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．五、相似三角形与抛物线1、解：（1）∵抛物线y=y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴，解得：∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．2、解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE==2，CE==2，故可得出AE=CE；（3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为y=x+4．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为（﹣，），则BF==，AF==，又∵AB=5，BC==3，∴=，=，∴=，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．3、解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），又∵函数的顶点坐标为（3，﹣），∴，解得：，故函数解析式为：y=x2﹣x，由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；（2）∵S△POA=2S△AOB，∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式得：2=x2﹣x，解得：x1=3+，x2=3﹣，即可得满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3﹣，2）．（3）存在．过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==，故可得∠BOA=60°，设Q1坐标为（x，x2﹣x），过点Q1作Q1F⊥x轴，∵△OAB∽△OQ1A，∴∠Q1OA=30°，故可得OF=Q1F，即x=（x2﹣x），解得：x=9或x=0（舍去），即可得Q1坐标为（9，3），根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）．4.解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如答图1，连接BC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OB，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点F，则BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．。
人教版初三数学九年级上期末压轴题(二次函数综合)(含答案)
初三数学九上-压轴题难题一．解答题（共8小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点1B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C过点M（2，2），求实数m的值；1（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三（4）在第四象限内，抛物线C1角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．（8，0）．∴C1②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．（16，0）．∴C2综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得 x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S=BC•OE=×6×2=6．△BCE（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x 轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴BF′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB =S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG =S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时，S△ACG的最大值为1．（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。
中考数学必刷压轴题专题：抛物线之任意角三角函数(含解析)
中考数学抛物线压轴题之任意角三角函数1．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O 的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．2．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P是y轴上的动点，当△CMN的面积最大时，求△MPN的周长取得最小值时点P的坐标；（3）如图2，线段AE在第一象限内交BD于点E，其中tan∠EAB＝，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形纪为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求点P的横坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE ∥CF．①若特征点C为直线y＝﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．6．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连BC交对称轴于G点，且BG ＝2CG．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有两动点M、N（点M在点N的下方），且MN＝6，若四边形ACMN的周长最小，试求AN+CM的长．（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使tan∠APC＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x﹣3交于点E，若tan∠DPE＝，求四边形BDEP的面积．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC①当△PBC的面积最大时，y轴上是否存在点M，使四边形PMAB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；②连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．10．综合与探究：如图，已知抛物线y＝2x2+4x﹣6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴相交于点D．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若点E为坐标平面内一点，且AE＝BE＝CE，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，点A（m，n）是抛物线y＝x2上的任意一点（m＞0）．直线y＝kx+b经过点A，交y轴于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，∠ABO的平分线交x轴于点D，交AC延长线于点E，且AD⊥BE．（1）求证：AB＝AE；（2）求点D的坐标（用含m的代数式表示）并求OB的长；（3）若60°≤∠BAE＜90°，且n是整数．①直接写出满足条件的所有k的值；②当k取最大值时，在x轴上找一点P，使tan∠APB＝，直接写出此时OP的长．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于点A和点D（点A在点D左侧），点C和点B在y轴正半轴上，且OC＝OA，OB＝OD，将线段OB，OD分别绕点O逆时针旋转α°（0＜α＜90）得到OB′，OD′，点BD的对应点分别是B′D′，（1）点A的坐标是，点D的坐标是；（2）判断AB′与CD′的关系，并说明理由；（3）直线CD′与x轴相交于点N，当tan∠B'AN＝2时，点N的坐标是；（4）连接BD，点Q在BD上，且2BQ＝5DQ，点P是抛物线上的一点，直线PQ交x轴于点K，设△BPQ的面积为S1，△DKQ的面积为S2，当S1：S1＝15：2时，直接写出满足条件的点P的纵坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR ∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E（﹣2，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM＝45°，求P点坐标．18．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．②连接BN，当∠PBN＝45°时，求m的值．19．如图1，直线AD对应的函数关系式为y＝﹣2x﹣2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x 轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t 的值；（图3为备用图）（3）如果点M是直线BC上的动点，是否存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°？若存在，直接写出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．20．已知抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于点B，且该抛物线经过点E（4，3），联结BD．（1）求点E关于直线BD的对称点E′的坐标：（2）联结BC，若点P在直线x＝2左侧的抛物线上，且∠PDB＝∠OBC，求点P的坐标：（3）点M在x轴负半轴上，如果∠AMB＝45°，求点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标．1．【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），可得a＝﹣，b＝﹣，∴y＝﹣x2﹣x+6；（2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，∵tan∠AED＝，∴AN＝，NE＝3，Rt△AFN∽Rt△EFO，∴，∵EF2＝OF2+4，∴NF＝3﹣EF，∴＝，∴OF＝2，∴F（﹣2，0），∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝，∴D（，）；（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，∴Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），∴Q点的轨迹长为2，故答案为2．2．【解答】解：（1）如图①，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C．∴A（﹣5，0），C（5，0）．∴OC＝OA＝5．∵S△ABC＝20，∴AB＝8．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A，B两点，∴．解得．∴抛物线解析式为：；（2）如图②，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交AC于点G设点P的横坐标为3n，则纵坐标为：．∴E（0，﹣3n2﹣2n+5），F（﹣3n，0）．∴OE＝﹣3n2﹣2n+5，OF＝﹣3n在矩形PEOF中，PE＝OF，PF＝OE，∴PE＝﹣3n，PF＝﹣3n2﹣2n+5．∵OC＝OA＝5，∴AF＝5﹣3n，∠OAC＝∠OCA＝45°．∴∠PDE＝∠DPE＝45°．∴．∵PD＝3PH，∴．∵∠DPE＝45°，∴∠GPH＝45°．∵PH⊥AC，∴PG＝﹣2n．∵∠OAC＝45°，∴AF＝GF＝5+3n，∴PF＝﹣2n+5+3n＝n+5．∵PF＝﹣3n2﹣2n+5，∴n＝﹣1或n＝0（舍）∵点P在第二象限的抛物线上．∴n＝﹣1．∴；（3）∵M（m，7+m），∴点M在直线y＝x+7上．∵n＝﹣1，∴P（﹣3，4）．∴点P也在直线y＝x+7上．①如图③，当点M在点P上方时，过点M作MN⊥PE于点N∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴N（m，4）．∴PN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN＝7+m﹣4＝m+3．∴∠MPN＝∠PMN＝45．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝∠MPN+∠DPE＝90°．在直角三角形PMN中，PN＝m+3，MN＝m+3，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣2．∴M（﹣2，5）；②如图④，当点M在点P下方时，过点M作MK⊥EP延长线于点K，∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴K（m，4）．∴PK＝﹣3﹣m，MK＝4﹣（7+m）＝﹣3﹣m．∴PK＝MK．∴∠MPK＝∠PMK＝45°．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝180°﹣∠MPK﹣∠DPE＝90°．在直角三角形PMK中，PK＝﹣3﹣m，MK＝﹣3﹣m，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣4．∴M（﹣4，3）．∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣4，3）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵对称轴为x＝＝，且C，D关于对称轴对称，∴D（，2）．令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣，x2＝2，∴A（﹣，0），B（2，0），设直线AD解析式y＝kx+b，．解得：k＝1，b＝，∴直线AD解析式y＝x+；（2）如图1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT设M（m，2），则T（m，m+）∵A（﹣，0），D（，2），∴AH＝DH∴∠DAH＝∠ADH＝45°＝∠CDA∵MT∥DH，KN∥CD∴∠KNT＝∠KTN＝45°＝∠CDA∴KT＝KN，MT＝MD∵MN∥BD，∴∠MND＝∠ADB且∠CDA＝∠DAB∴△ADB∽△MND，∴＝＝，∴ND＝MD．∵DT＝MD，∴NT＝MD．∵KN∥CD，∴＝＝，∴KT＝MT∴KM＝MT＝（﹣m）∴S△CMN＝CM×KM＝m×（﹣m）＝﹣m2+m∴当m＝时，S△CMN最大值．∴M（，2）．如图2 作M关于y轴对称点M1（﹣，2），由B（2，0），D（，2）得到直线BD的解析式为：y＝﹣2x+4．∵MN∥BD，∴设直线MN的解析式为：y＝﹣2x+t．把M（，2）代入求得：y＝﹣2x+3．联立方程组，解之得，即N（，），由M1（﹣，2），N（，）得到直线M1N的解析式为：y＝﹣x+．令x＝0，则y＝，即：P（0，）．（3）如图3：①当AG＝FG，∠GFB＝90°时，∵tan∠EAB＝，∴设FH＝a，则AH＝2a，设AG＝FG＝x，则GH＝2a﹣x∵FH2+GH2＝FG2∴a2+（2a﹣x）2＝x2∴x＝a，∴GH＝a，∵FH⊥AB，GF⊥FB∴∠FBG＝∠GFH∴tan∠GFH＝tan∠FBG∴＝，∴BH＝ a∵AH+BH＝AB＝3，∴2a+a＝3，∴a＝，∵OG＝AG﹣AO∴OG＝×﹣＝，∴G（，0）．不会题意，舍去．②如图4当FG＝BG，∠AGF＝90°时，设GF＝a，则AG＝2a，BG＝a，∴AB＝AG+BG＝3a＝3，∴a＝，∴G（，0）；③如图5：当FG＝BG，∠AFG＝90°时，设GF＝a，则BG＝a，AG＝a．∴AB＝AG+BG＝a+a＝3，∴a＝，∵OG＝AG﹣AO＝a﹣＝，∴G（，0），综上所述G（，0），（，0），（，0）．4．【解答】解：（1）该二次函数的对称轴是：直线x＝﹣＝﹣1；（1分）∵当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，连接AC，BC，∵S△ABC＝AB•OC＝12，AB＝6，∵A、B关于直线x＝﹣1对称，∴A（﹣4，0），B（2，0），把B（2，0）代入y＝ax2+2ax﹣4中得：4a+4a﹣4＝0，a＝，∴二次函数的解析式为：y＝x2+x﹣4；（2分）（2）如图1，∵∠BOC＝∠AOD＝90°，且OB＝2，OC＝OA＝4，∴＝，分两种情况：①当△AOD∽△COB时，＝2，∴OD＝2，即D1（0，2）或D2（0，﹣2）；②当△AOD∽△BOC时，，∴OD＝2OA＝8，即D3（0，8）或D4（0，﹣8）；综上所述，点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（6分）（3）如图2，过D作DF⊥x轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时，由（1）得：A（﹣4，0），∵D（﹣2，1），∴AF＝2，DF＝1，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，得tan∠ADF＝＝2，延长DF交抛物线于P1，则P1就是所求，∴P1（﹣2，﹣4）；（8分）②当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G，使得AG＝AP1，连接DG，作GH⊥x轴于H，∴△GHA≌△P1FA，∴HA＝AF，GH＝P1F，∵A（﹣4，0），P1（﹣2，﹣4），∴G（﹣6，4），易得DG的解析式为：y＝﹣x﹣，在△ADP1中，DA＝，DP1＝5，AP1＝2，∴，∴∠DAP1＝90°，∴DA⊥GP1，∴DG＝DP1，∴∠ADG＝∠ADP1，∴tan∠ADG＝tan∠ADP1＝2，设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设P2（x，+x﹣4），代入DG的解析式中，﹣x﹣＝+x﹣4，解得x＝，∵P2点在第二象限，∴P2点的横坐标为x＝（舍正）（11分）综上，P点的横坐标为﹣2或．（12分）5．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y＝ax+b，解得：a＝3，b＝0，∴直线y＝3x，抛物线解析式：y＝3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b＝0，∴（ax+b）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣，x＝1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y＝﹣4x上一点，∴b＝﹣4a．∵抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF＝1．∵特征直线y＝ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE＝DF＝1．∴a＝﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE＝DF，由题意可得：1+＝a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b＝2a2﹣2a即：b＝2（a﹣）2﹣当b＝2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．6．【解答】解：（1）如图，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则DG∥OC，∵BG＝2CG，∴BD：OB＝BG：CG＝2，∴BD＝2OD，∴B点的横坐标是3．将B（3，0）代入y＝（x﹣1）2+m，得4+m＝0，解得m＝﹣4．∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，将点C（0，﹣3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．∵CC′∥MN，CC′＝MN＝6，∴CC′NM是平行四边形，∴C′N＝CM．∵A、B两点关于MN对称，∴BN＝AN，∴AN+CM＝BN+C′N＝BC′．∵B（3，0），C′（0，3），∴BC′＝＝3，即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3；（3）如图，在x轴正半轴上取一点D，使OD＝9．∵tan∠ADC＝＝＝，tan∠APC＝，∴tan∠ADC＝tan∠APC，∴∠ADC＝∠APC，∴A、C、D、P四点共圆，易证∠ADC＝∠ACO，∴∠ADC+∠DAC＝∠ACO+∠DAC＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD是直径，∠APD＝90°．设在第一象限的抛物线上存在点P（x，y），使tan∠APC＝，则x＞0，y＞0．∵AP2+PD2＝AD2，A（﹣1，0），D（9，0），∴（x+1）2+y2+（x﹣9）2+y2＝102，化简整理，得y2＝（x+1）（9﹣x），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），∴（x+1）2（x﹣3）2＝（x+1）（9﹣x），∵x＞0，∴x+1≠0，∴（x+1）（x﹣3）2＝（9﹣x），化简整理，得x3﹣x2+4x＝0，∵x（x﹣1）（x﹣4）＝0，∵x＞0，∴x＝1或4，当x＝1时，y＝﹣4＜0，不合题意舍去；当x＝4时，y＝5＞0，符合题意．故所求P点坐标为（4，5）．7．【解答】解：（1）∵直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A（1，0），B（0，﹣3），∵抛物线y＝ax2+2x+c过点A（1，0），B（0，﹣3）∴，解得．∴y＝x2+2x﹣3，∴y＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）①∵B、C两点关于直线x＝﹣1对称，∴C（﹣2，﹣3），BC∥x轴∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝3x+b，∵C（﹣2，﹣3），∴﹣6+b＝﹣3，∴b＝3，∴直线CD的解析式为y＝3x+3∴D（0，3），②作DF⊥PE于F，则PF＝7，在Rt△DFP中，tan∠DPE＝＝＝，∴DF＝3，∴P（3，﹣4），即EP的方程为x＝3，∵点E在直线y＝3x﹣3上，∴y＝3×3﹣3＝6，∴点E（3，6），∴S四边形BDEP＝（BD+EP）•DF＝（6+10）×3＝24．8．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝，点N的横坐标为：+＝5，故点N的坐标为（5，﹣3）；（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，即点R的坐标为：（，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝＝，则sinα＝，cosα＝；①当0≤t≤时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，则DT＝＝＝＝t，DS＝，S＝S△DST＝DT×DS＝t2；②当＜t≤时（右侧图），同理可得：S＝S梯形DGS′T′＝×DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝t﹣；③当＜t≤时，同理可得：S＝t+；综上，S＝．9．【解答】解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，点B（5，0），C（0，﹣5），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5…①；（2）①存在．如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D．设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5）∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，S△PBC＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m，∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，），如图1，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，点P的坐标为（，），∴点P′的坐标为（﹣，），∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣5交x轴于A，B两点，且B（5，0），点A的坐标为（1，0），∴直线P′A的解析式为y＝﹣x+，∴点M的坐标为（0，）；②在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，则tan∠P′BO＝2tan∠ACO＝，如图2，当点P′位于第一象限时，过点B作直线BE交抛物线于点P′、交y轴于点E，设直线BP′的表达式为：y＝﹣x+b，将点B的坐标代入上式并计算得：b＝2，故直线BP′的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝（不合题意值已舍去），则点P′的坐标为（，）；当点P″位于第四象限时，同理可得P″（，﹣）；故点P的坐标为（，）或（，﹣）．10．【解答】解：（1）令y＝0，得2x2+4x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣6）；（2）∵EA＝EB＝EC，∴点E在AB的垂直平分线上，同时也在AC的垂直平分线上，∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，∴设E（﹣1，m），如图1，连接AE，EC，过点E作EG⊥y轴于点G，则AD＝2，DE＝﹣m，EG＝1，GC＝m+6，∵EA＝EC，∴22+m2＝12+（m+6）2，解得m＝﹣，∴点E的坐标为（﹣1，﹣）；（3）抛物线上存在点P，使tang∠ABP＝tan∠ABE，①当点P在x轴下方时，如图2﹣1，连接EB，PB，PB与直线l相交于点F，在Rt△DBE中，tan∠ABE＝＝，∴tan∠ABP＝tan∠ABE＝2，∴在Rt△DBF中，＝2，∴F（﹣1，﹣4），将B（1，0），F（﹣1，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得：k＝2，b＝﹣2，∴y BF＝2x﹣2，联立y＝2x2+4x﹣6与y BF＝2x﹣2，得2x2+4x﹣6＝2x﹣2，解得x1＝1，x2＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6），②如图2﹣2，当点P在x轴上方时，点F关于x轴的对称点F'的坐标为（﹣1，4），将B（1，0），F'（﹣1，4）代入y＝kx+b，得解得：k＝﹣2，b＝2，∴y BF＝﹣2x+2，联立y＝2x2+4x﹣6与y BF'＝﹣2x+2，得2x2+4x﹣6＝﹣2x+2，解得x1＝1，x2＝﹣4，∴P（﹣4，10）；综上所述，在抛物线上存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE，满足条件的点P的坐标为（﹣2，﹣6），（﹣4，10）．11．【解答】解：（1）∵AC⊥x轴，∴AC∥OB，∴∠E＝∠ABE＝∠OBD，∴AB＝AE；（2）在等腰三角形ABE中，∵AD⊥BE，∴D是BE的中点，∴BD＝DE，∠EDC＝∠BDO，∠ACO＝∠BOD＝90°，∴△EDC≌△BDO（AAS），∴OD＝DC，OB＝CE，点A（m，n），则：OC＝m，AC＝n，点D的坐标为（m，0）；AE＝AC+CE＝AC+OB＝n+CE＝n+OB，AB2＝（AC﹣OB）2+OC2＝m2+（n﹣OB）2，由AB2＝AE2，解得：OB＝＝1，即点B的坐标为（0，1），（3）①点B的坐标为（0，1），则直线AB的表达式为：y＝kx+1点A时抛物线和直线的交点，则：n＝km+1，n＝m2，整理得：n2﹣2（2k2+1）n+1＝0，…当n＝0时，k无解，当n＝1时，k无解，当n＝2时，k＝，当n＝3时，k＝，…经验证只有n＝2，3时，符合题意，即：当k＝或时，n为整数，即k值为或；②连接BP交AE于点M，tan∠APB＝，则∠APB＝60°，当k＝为最大值，则∠BAE＝60°＝∠APB，MC∥OB，则△ABE为等边三角形，则：AB＝2BD＝4OB＝4，CO＝2，又∠APB＝∠APB，∴△BAM∽△BPA，∴，即：BP•BM＝AB2＝16，∵MC∥AB，∴，即：，设：OP＝S，在Rt△BOP中，1+S2＝BP2＝，解得：S＝，即：OP的长为．12．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣＝0，解得：x＝7或﹣4，∵点A在点D左侧，∴A（﹣4，0），D（7，0）故答案为：（﹣4，0），（7，0）；（2）AB'＝CD'且AB'⊥CD'，理由是：如图1，由旋转得：OD＝OD'，OB＝OB'，∠DOD'＝∠BOB'，∵OB＝OD，OA＝OC，∴OB'＝OD'，∵∠DOB＝∠AOC，∴∠COD'＝∠AOB'，∴△AOB'≌△COD'，∴AB'＝CD'，∠AB'O＝∠CD'O，延长D'C交OB'于H，交AB'于G，∵∠BOD＝∠B'OD'＝90°，∠OHC＝∠GHB'，∴∠B'GH＝∠B'OD'＝90°，∴AB'⊥CD'；（3）如图2，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵tan∠B'AN＝2，即＝2，∴MO＝8，∴M（0，8）或（0，﹣8），易得△AOM≌△CON，∴ON＝OM，∴N（8，0）或（﹣8，0），故答案为：（8，0）或者（﹣8，0）；（4）如图3，点P在x轴上方时，过点P作PM⊥BD于M，过K作KN⊥BD于点N，过P作PI⊥x轴于点I，过Q作QH⊥PI于H，∵BQ：DQ＝5：2，可得Q（5，2），∵S△BPQ：S△KDQ＝15：2，∴＝，∴＝＝，可得PM：KN＝3：1，∵PM∥KN，∴△PMQ∽△KNQ，∴，同理得：PH：HI＝3：1，∵HI＝2，∴PH＝6，∴所以P点纵坐标为8；如图4，点P在x轴下方时，过点P作PM⊥BD于M，过K作KN⊥BD于点N，过P作PI⊥x轴于点I，过Q作QH⊥PI，交PI的延长线于H，同理得：Q（5，2），PM：KN＝PQ：KQ＝PH：HI＝3：1，∵HI＝2，∴PI＝4，所以P点纵坐标为﹣4．综上，所以P点纵坐标为8或﹣4．13．【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3，把y＝3代入y＝﹣x2+x+3得，3＝﹣x2+x+3；解得x＝0或x＝4，∴F（4，3）∴OH＝4，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠EDH＝90°，∴∠OCD＝∠EDH，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH＝OC＝3，∴OD＝4﹣3＝1；（3）①如图3，连接CE，DF，△OCD≌△HDE，∴HE＝OD＝1，∵BF＝OC＝3，∴EF＝3﹣1＝2，∵∠CDE＝∠CFE＝90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF＝∠EDF，在RT△CEF中，∵CF＝OH＝4，∴tan∠ECF＝＝＝，∴tan∠FDE＝；②如图4，连接CE，∵CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°∵EH＝1，OH＝4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝﹣x+3，设直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，∵D（1，0），∴0＝﹣×1+m，解得m＝，∴直线DG1的解析式为y＝﹣x+，当x＝4时，y＝﹣+＝﹣，∴G1（4，﹣）；设直线DG2的解析式为y＝2x+n，∵D（1，0），∴0＝2×1+n，解得n＝﹣2，∴直线DG2的解析式为y＝2x﹣2，当x＝4时，y＝2×4﹣2＝6，。
数学九年级(人教版)上学期期末备考压轴题专项习题：二次函数(含答案)
数学九年级（人教版）上学期期末备考压轴题专项习题：二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x 轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，P A，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．2．在平面直角坐标系中，过点A （3，4）的抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当S △AQD ＝2S △APQ 时，求点P 的坐标．（3）如图2，G 是线段OC 上一个动点，连接DG ，过点G 作GM ⊥DG 交AC 于点M ，过点M 作射线MN ，使∠NMG ＝60°，交射线GD 于点N ；过点G 作GH ⊥MN ，垂足为点H ，连接BH ．请直接写出线段BH 的最小值．3．如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．5．在直角坐标平面内，直线y ＝x +2分别与x 轴、y 轴交于点A 、C ．抛物线y ＝﹣+bx +c经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B ．点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果△ABE 的面积与△ABC 的面积之比为4：5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD ．若△CFD 与△AOC 相似，求点D 的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．8．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接P A、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．9．抛物线C1：y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点M（﹣2，3）是抛物线上一点．（1）求抛物线C1的表达式．（2）若抛物线C2关于C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称分别为A′、B′、M′．过M′⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．11．如图，二次函数y ＝﹣x 2+bx +3的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝ ；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．12．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围； （3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P 作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．参考答案1．解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2）代入得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设P（x，﹣x2+x+2），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠P AE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，此时，即＝，3x2﹣2x﹣16＝0，（x+2）（3x﹣8）＝0，x＝﹣2（舍）或，则点P的横坐标为；（3）如图1，△PCB的面积＝，∵OB＝4是定值，∴当PD的值最大时，△PCB的面积最大，∵B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣+2）＝﹣+x＝﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是，此时△PCB的面积＝＝×4＝2；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4，MG＝2，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH +HK +KG 的最小值为10．2．解：（1）将点A （3，4），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx +4， 得：，解得，∴y ＝﹣x 2+3x +4；（2）如图1，过点P 作PE ∥x 轴，交AB 于点E ，∵A （3，4），AD ⊥x 轴， ∴D （3，0）， ∵B （﹣1，0）， ∴BD ＝3﹣（﹣1）＝4，∵S △AQD ＝2S △APQ ，△AQD 与△APQ 是等高的两个三角形，∴＝，∵PE ∥x 轴， ∴△PQE ∽△DQB ，∴＝＝，∴＝，∴PE ＝2，∴可求得直线AB 的解析式为y ＝x +1， 设E （x ，x +1），则P （x ﹣2，x +1），将点P 坐标代入y ＝﹣x 2+3x +4得﹣（x +2）2+3（x +2）+4＝x +1，解得x 1＝3+，x 2＝3﹣，当x＝3+时，x﹣2＝3+﹣2＝1+，x+1＝3++1＝4+，∴点P（1+，4+）；当x＝3﹣时，x﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x+1＝3﹣+1＝4﹣，∴P（1﹣，4﹣），∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，∴点P的坐标为（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH＝a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP＝＝（a+1），BH＝＝2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴a+（a+1）＝4，解得a＝，＝2（1+a）＝．∴BH最小3．解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，∴y＝2x﹣6，令y＝0，解得：x＝3，∴B的坐标是（3，0）．∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），∴P（，）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴＝，即＝，∴DQ1＝，∴OQ1＝，即Q1（0，）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴＝，即＝，∴OQ2＝，即Q2（0，）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴＝，即＝，∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．4．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点B（0，﹣1），∴m＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵直线l：y＝x﹣1经过点C（4，n），∴n＝×4﹣1＝2，∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1；（2）令y＝0，则x﹣1＝0，解得x＝，∴点A的坐标为（，0），∴OA＝，在Rt△OAB中，OB＝1，∴AB＝＝＝，∵DE∥y轴，∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG中，EF＝DE•cos∠DEF＝DE•＝DE，DF＝DE•sin∠DEF＝DE•＝DE，∴p＝2（DF+EF）＝2（+）DE＝DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE＝（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）＝﹣t2+2t，∴p＝×（﹣t2+2t）＝﹣t2+t，∵p＝﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t＝2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x＝，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x＝﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．5．解：（1）当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4，则A（﹣4，0）；当x＝0时，y＝x+2＝2，则C（0，2），把A（﹣4，0），C（0，2）代入y＝﹣+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣﹣x+2；（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，当y＝0时，﹣﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，则B（1，0）设E（x，x+2），∵S＝•（1+4）•2＝5，△ABC而△ABE的面积与△A BC的面积之比为4：5，＝4，∴S△AEB∴•（1+4）•（x+2）＝4，解得x＝﹣，∴E（﹣，），∴BH＝1+＝，在Rt△BHE中，cot∠EBH＝＝＝，即∠DBA的余切值为；（3）∠AOC＝∠DFC＝90°，若∠DCF＝∠ACO时，△DCF∽△ACO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ＝∠AOC，∴∠DCF+∠ACQ＝90°，即∠ACO+∠ACQ＝90°，而∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ACQ＝∠CAO，∴QA＝QC，设Q（m，0），则m+4＝，解得m＝﹣，∴Q（﹣，0），∵∠QCO+∠DCG＝90°，∠QCO+∠CQO＝90°，∴∠DCG＝∠CQO，∴Rt△DCG∽Rt△CQO，∴＝，即＝＝＝，设DG＝4t，CG＝3t，则D（﹣4t，3t+2），把D（﹣4t，3t+2）代入y＝﹣﹣x+2得﹣8t2+6t+2＝3t+2，整理得8t2﹣3t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D（﹣，）；当∠DCF＝∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，∴点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝﹣﹣x+2得﹣﹣x+2＝2，解得x1＝﹣3，x2＝0（舍去），∴D（﹣3，2），综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．6．解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），则PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③当DN＝DM时，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或．7．解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， ∴OE ′2＝OM ′•OB ，∴＝，∵∠BOE ′＝∠M ′OE ′，∴△M ′OE ′∽△E ′OB ，∴＝＝，∴M ′E ′＝BE ′，∴AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小（两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时），最小值＝AM ′＝＝．8．解：（1）函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4， 将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4， 解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ， ∴S △OME ＝S △OBM ， ∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；（3）设点P （m ，n ），n ＝﹣m 2+2m +3，而m +n ＝﹣1， 解得：m ＝﹣1或4，故点P （4，﹣5）；如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．9．解：（1）将点A、M的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线C1的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由题意得：点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）、M（﹣2，3）、B′（﹣1，0）、A′（3，0），D（2，1），则AB′＝2，AC＝3，B′C＝，A′D＝，①当点P在直线AC的左侧时，当点P在DM′左侧时，A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则△AB′C∽△A′DP，则，即：，解得：A′P＝3，故点P（0，0），当点P在DM′左侧时，同理可得点P（P′）（，0）；②当点P在直线AC的右侧时，则△AB′C、△DA′P″不相似，综上，点P的坐标为（0，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，∴y＝2x﹣2，则，得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，∴N点坐标为（﹣2，﹣6），∵a＜b，即a＜﹣2a，∴a＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x ＝﹣＝﹣，∴E （﹣，﹣3），∵M （1，0），N （﹣2，﹣6）， 设△DMN 的面积为S ，∴S ＝S △DEN +S △DEM ＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，（3）当a ＝﹣1时，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +）2+，有，﹣x 2﹣x +2＝﹣2x ， 解得：x 1＝2，x 2＝﹣1， ∴G （﹣1，2），∵点G 、H 关于原点对称， ∴H （1，﹣2），设直线GH 平移后的解析式为：y ＝﹣2x +t ， ﹣x 2﹣x +2＝﹣2x +t ， x 2﹣x ﹣2+t ＝0， △＝1﹣4（t ﹣2）＝0，t ＝，当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y ＝﹣2x +t ， t ＝2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t ＜．11．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝0解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC的中点，∴D（0，）∴直线BD的解析式为y＝﹣+，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+∴MN＝NH∵PM＝MN∴﹣t2+3t＝﹣t+解得：t1＝，t2＝3（舍去）∴P（，）∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°∴BD＝＝∴cos∠OBD＝∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝∴PQ＝PE在Rt △PFR 中，cos ∠RPF ＝∴PR ＝PF∵S △PQB ＝2S △QRB ，S △PQB ＝BQ •PQ ，S △QRB ＝BQ •QR ∴PQ ＝2QR设直线BD 与抛物线交于点G∵﹣+＝﹣x 2+2x +3，解得：x 1＝3（即点B 横坐标），x 2＝﹣∴点G 横坐标为﹣设P （t ，﹣t 2+2t +3）（t ＜3），则E （t ，﹣t +）∴PF ＝|﹣t 2+2t +3|，PE ＝|﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +）|＝|﹣t 2+t +|①若﹣＜t ＜3，则点P 在直线BD 上方，如图2，∴PF ＝﹣t 2+2t +3，PE ＝﹣t 2+t + ∵PQ ＝2QR∴PQ ＝PR∴PE ＝•PF ，即6PE ＝5PF∴6（﹣t 2+t +）＝5（﹣t 2+2t +3） 解得：t 1＝2，t 2＝3（舍去） ∴P （2，3）②若﹣1＜t ＜﹣，则点P 在x 轴上方、直线BD 下方，如图3， 此时，PQ ＜QR ，即S △PQB ＝2S △QRB 不成立． ③若t ＜﹣1，则点P 在x 轴下方，如图4，∴PF ＝﹣（﹣t 2+2t +3）＝t 2﹣2t ﹣3，PE ＝﹣t +﹣（﹣t 2+2t +3）＝t 2﹣t ﹣ ∵PQ ＝2QR ∴PQ ＝2PR∴PE ＝2•PF ，即2PE ＝5PF∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）∴P（﹣，﹣）综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．12．解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，M （1，4） 设直线MB 的解析式为y ＝kx +n ，则有解得∴直线MB 的解析式为y ＝﹣2x +6 ∵PQ ⊥x 轴，OQ ＝m ， ∴点P 的坐标为（m ，﹣2m +6）S 四边形ACPQ ＝S △AOC +S 梯形PQOC ＝AO •CO +（PQ +CO ）•OQ （1≤m ＜3）＝×1×3+（﹣2m +6+3）•m ＝﹣m 2+m +；（3）线段BM 上存在点N （，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC 为等腰三角形CM ＝，CN ＝，MN ＝①当CM ＝NC 时，，解得x 1＝，x 2＝1（舍去）此时N （，）②当CM ＝MN 时，，解得x 1＝1+，x 2＝1﹣（舍去），此时N （1+，4﹣）③当CN ＝MN 时，＝解得x ＝2，此时N （2，2）．13．解：（1）由题意知，∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝x2+bx+c上，∴解得：∴所求抛物线的解析式为（2）由（1）知抛物线的解析式为，令x＝0，得y＝﹣2∴点C的坐标为C（0，﹣2）∵点D与点C关于x轴对称∴点D的坐标为D（0，2）设直线BD的解析式为：y＝kx+2且B（4，0）∴0＝4k+2，解得：∴直线BD的解析式为：∵点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q∴可设点M，∴MQ＝∵四边形CQMD是平行四边形∴QM＝CD＝4，即解得：m1＝2，m2＝0（舍去）∴当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形（3）由题意，可设点Q且B（4，0）、D（0，2）∴BQ2＝DQ2＝BD2＝20①当∠BDQ＝90°时，则BD2+DQ2＝BQ2，∴20+＝解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0） ②当∠DBQ ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2，∴20+＝解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）．14．解：（1）将点B 坐标代入y ＝x +c 并解得：c ＝﹣3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+bx ﹣3，将点B 坐标代入上式并解得：b ＝﹣，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣3； （2）过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设点P （x ， x 2﹣x ﹣3），则点H （x ， x ﹣3），S 四边形ACPB ＝S △AOC +S △PCB ，∵S △AOC 是常数，故四边形面积最大，只需要S △PCB 最大即可，S △PCB ＝×OB ×PH ＝×2（x ﹣3﹣x 2+x +3）＝﹣x 2+3x ，∵﹣＜0，∴S △PCB 有最大值，此时，点P （2，﹣）；（3）过点B 作∠ABC 的角平分线交y 轴于点G ，设∠MBC ＝∠ABC ＝2α，过点B 分别在x 轴之上和BC 之下作角度数为α的两个角，分别交y 轴于点N 交抛物线于点M ′，交抛物线于点M ，过点G 作GK ⊥BC 交BC 于点K ，延长GK 交BM 于点H ，则GH ＝GN ，BC 是GH 的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BN的表达式为：y＝﹣x+…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝1或4（舍去4），则点M（1，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，）；故点M（1，﹣）或（﹣，）．15．解：（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3OA＝3∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为，解得，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l＝﹣＝﹣1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，∴＝＝＝∴MP＝3ME，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3），∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得t1＝﹣2，t2＝3，（与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去），当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3∴P（﹣2，3），∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．。
2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题05 二次函数的图像和性质(含详解)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y22．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（）A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小C．当x取0和2时，所得到的y的值相同D．当x＝1时，y有最大值是13．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+4）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+4）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣24．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝35．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．6．（2分）（2022•长沙模拟）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．38．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤39．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0 10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x ＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是．20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有个．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．24．（8分）（2020•雨花区二模）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，设AE＝x，BF＝y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．【完整解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2．∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），﹣4＜﹣2＜＜1，∴y1＞y2＞y3，故选：B．2．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（）A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小C．当x取0和2时，所得到的y的值相同D．当x＝1时，y有最大值是1【思路引导】在y＝（x﹣1）2+1中，令x＝0得y＝2，可判定A不符合题意；由1＞0，对称轴直线x＝1可判断B不符合题意；根据当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝2，可判定C符合题意；由y＝（x﹣1）2+1，根据函数性质可判定D不符合题意．【完整解答】解：令x＝0，则y＝（0﹣1）2+1＝2，∴二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象与y轴的交点坐标为（0，2），故A不符合题意；∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；当x＝0时，y＝2，当x＝2时y＝（2﹣1）2+1＝2，故C符合题意；∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x＝1时，y有最小值，故D不符合题意．故选：C．3．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+4）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+4）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【完整解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线的表达式是y＝（x+4）2+1﹣3，即y＝（x+4）2﹣2．故选：C．4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3【思路引导】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【完整解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故选：A．5．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【完整解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．6．（2分）（2018秋•天心区校级期末）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【思路引导】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【完整解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【思路引导】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；⑥根据图形判断即可；逐个判断之后，可得出答案．【完整解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确的．故答案为：①②③④⑥．故选：B．8．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3【思路引导】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3【完整解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，解得≤m＜3，当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为m≥．故选：A．9．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0【思路引导】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．【完整解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【思路引导】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③由y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．【完整解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故①正确；②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故③错误；④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故④正确．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15 ．【思路引导】根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x＝1时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x＝3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．【完整解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），∴AB＝3，y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，∴顶点D（1，10），由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，此时S△PAB＝×2AB＝×2×3＝3，当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，此时S△PAB＝×10AB＝×10×3＝15，∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；故答案为：3≤S≤15．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有①③⑤．（填序号）【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，从而判断①，由x＝﹣3时y＞0可判断②，由抛物线经过（﹣1，0）及a与b的关系可判断③，由抛物线对称轴及开口方向可判断④，由x＝2时y取最大值可判断⑤．【完整解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝a+4a+c＝5a+c＝0，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴3a+c＝5a+c﹣2a＞0，③正确．由图象可得x＜2时，y随x增大而增大，∴④错误．∵x＝2时，函数取最大值，∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c，即4a+2b≥am2﹣bm，⑤正确．故答案为：①③⑤．13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为②⑤．（注：只填写正确结论的序号）【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【完整解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是①④⑤．【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【完整解答】解：∵图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴①正确；∵从图象可知：a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，b＝2a＞0，∴abc＜0，∴②错误；∵b＝2a＞0∴2a+b＝4a＞0，∴③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴④正确；∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，把b＝2a代入得：3a+c＞0，选项⑤正确；故答案为①④⑤．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 2 ．【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【思路引导】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．【完整解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝．【思路引导】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．【完整解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△PAB的面积是：＝，故答案为：．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1．【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），∴y1＝16a﹣8a+m＝8a+m，y2＝4a﹣4a+m＝m，y3＝a+2a+m＝3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是①②③⑤．【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【完整解答】解：①由图象可知：x＝1时，y＜0，∴y＝a+b+c＜0，故①正确；②由图象可知：Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③由图象可知：＜0，∴ab＞0，又∵c＝1，∴abc＞0，故③正确；④由图象可知：（0，0）关于x＝﹣1对称点为（﹣2，0）∴令x＝﹣2，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：a＜0，c＝1，∴c﹣a＝1﹣a＞1，故⑤正确；故答案为：①②③⑤20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 2 个．【思路引导】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【完整解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故答案是：2．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【完整解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴顶点坐标M（2，﹣1），（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：，∴．∴y＝﹣2x+3．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．【思路引导】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；（3）分a＜0、a＞0两种情况，分别求解即可．【完整解答】解：（1）把点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a+1≤﹣1，∴a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即9a﹣7≥﹣3，∴a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣；抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．【思路引导】（1）将点（1，m+7）代入函数解析式即可；（2）设符合题意的两点分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式，两式相加即可得到2（2m﹣1）x02+6＝0，根据二次函数的性质即可求得；（3）当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5②当2m﹣1＜0时，﹣＞1．【完整解答】解：（1）抛物线经过点（1，m+7），∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，∴m＝2；（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：，∴两式相加可得：2（2m﹣1）x02+6＝0，化简得：x02＝﹣，又∵x0≠0，∴﹣＞0，∴2m﹣1＜0，∴m＜，故满足条件的最大整数m＝0；（3）∵新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，∵当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5，∴＜m≤，②当2m﹣1＜0时，﹣＞1，∴＜m＜；综上所述：＜m≤且m≠；24．（8分）（2017春•雨花区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【思路引导】（1）直接把A点和C点坐标代入y＝﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD＝，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP ＝DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE＝﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF ＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD＝，所以S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．【完整解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，则D（，0），∴CD＝＝＝，如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；当DP＝DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．【思路引导】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；（2）连接AO，求出顶点坐标为（1，﹣4），C（0，﹣3），再由S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB即可求解；（3）连接BC交对称轴与点P，由题意可知B点与D点关于对称轴x＝1对称，则当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，求出BC＝3即为所求．【完整解答】解：（1）当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，则（x﹣3）（x+1）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴D（﹣1，0），B（3，0），∴BD＝4；故答案为：4．（2）连接AO，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．（3）连接BC交对称轴与点P，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝1，∵B点与D点关于对称轴x＝1对称，∴DP＝PB，∴PC+PD＝PC+BP≥BC，∴当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC＝3，∴PC+PD的最小值即BC＝．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【思路引导】（1）由抛物线解析式可得顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解．（2）由抛物线解析式可得顶点坐标，由抛物线顶点坐标及（1，3）可得直线解析式，进而求解．（3）由线y＝x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛物线与x轴交点坐标，进而可得n的值，将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值．【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），∴（0，﹣4）在直线y＝﹣x+p上，∴p＝﹣4．（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线顶点坐标为（2，11），将（2，11），（1，3）代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝8x﹣5．将x＝0代入y＝8x﹣5得y＝﹣5，将y＝0代入y＝8x﹣5得0＝8x﹣5，解得x＝，∴一次函数与坐标轴交点坐标为（0，﹣5），（，0），∴直线y＝8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为×＝．（3）∵y＝x2+2x+n，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4，﹣1+2＝1，﹣1﹣2＝﹣3，∴抛物线经过（1，0），（﹣5，0），将（1，0）代入y＝x2+2x+n得0＝1+2+n，解得n＝﹣3．∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），将（﹣1，﹣4）代入y＝mx﹣3得﹣4＝﹣m﹣3，解得m＝1．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；。
中考数学必刷题压轴题专题：抛物线之新定义之整点专题
中考数学抛物线压轴题之新定义（整点问题）1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c、b（用含t的代数式表示）；（2）嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗？（3）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．5．在平面直角坐标系中，y＝ax2﹣bx﹣c与y轴交于点A，将点A向右平移两个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有两个整点，结合函数图象，求a的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的各边与坐标轴平行，其中A（﹣4，2），B（2，2），反比例函数y＝的图象过B点，抛物线y＝﹣（x+m）2+2顶点在线段AB上．（1）若该抛物线与反比例函数y＝的交点在正方形的边AD上，求m的值．（2）若抛物线过原点O，判断抛物线与双曲线的交点能否在正方形的边上，试通过计算说明．（3）我们把横纵坐标都是整数的点称为整点（如A点），已知正方形，二次函数下方和反比例函数图象所形成的封闭区域（如图中阴影区域，包括边界）中的整点恰好有13个，求m的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．8．已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2的顶点为A，直线y＝x+3与抛物线交于点B，C（点B 在点C的左侧）．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W．①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．10．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．11．如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．①直接写出线段AB上整点的个数；②将抛物线y＝（x﹣1）2﹣1沿x翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数．13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2+2mx+m﹣1沿x轴翻折得到抛物线C2．（1）求抛物线C2的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）整点的个数；②如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）恰有7个整点，求出m的取值范围．14．如图，已知二次函数y＝x2+2x﹣1的图象经过点P（1，m）．（1）求m的值和图象的顶点A的坐标；（2）点Q（n，t）在该二次函数图象上．①将点Q向左平移6单位得点Q′，若Q′恰好也在抛物线上，求n，t的值．②将横、纵坐标均为整数的点称为整点，在直线y＝t下方的抛物线上（包括边界）恰好存在7个整点，则t的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）当a＞0时，抛物线a＝aa2﹣4aa+a的顶点为C，若△ABC为等边三角形，则求抛物线的解析式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）当a＝1时，求点A，B，D的坐标；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A（m，﹣1），点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）若抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，0）之间，求a的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2的顶点为M．（1）顶点M的坐标为．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若MN∥y轴且MN＝2．①点N的坐标为；②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N设△MPN的面积S，求S的取值范围；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点，称为“整点”若抛物线将这些“整点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．。
部编数学九年级上册专题11压轴大题精选一(函数类)(解析版)含答案
专题11 压轴大题精选一（函数类）1．抛物线C1：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C2上．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求a与b的关系式；（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：y=12于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．试题分析：（1）配方即可得顶点坐标；（2）由A（a，﹣a2+a）得抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x，再由点B仍在抛物线C2上得﹣a2+a ＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，求出a与b的关系即可；（3）先求出D（12，0），设E（m，﹣m2+m），求出直线DE的解析式，再将抛物线C2与直线DE联立，求出点M的横坐标为x=m−12m−1，再由直线EF与直线y=12的交点为N，求出点N横坐标为x=m−12m−1，即可证明直线MN与x轴互相垂直．答案详解：（1）解：∵y＝x2﹣2ax+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，∴顶点A的坐标为（a，﹣a2+a）；（2）解：∵顶点A（a，﹣a2+a）在抛物线C2上，令x＝a，则抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x，∵将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位，∴所得抛物线顶点B的坐标为（a+b，﹣a2+a），∵点B仍在抛物线C2上，∴﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，即b（b+2a﹣1）＝0，又∵b＞0，∴b +2a ﹣1＝0；（3）证明：∵抛物线C 2：y ＝﹣x 2+x ①的顶点式为y ＝﹣（x −12）2+14，∴顶点为F （12，14），∴抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点D 的坐标为（12，0），又∵点E 是抛物线C 2上不同于顶点F 的任意一点，∴设点E 的坐标为（m ，﹣m 2+m ），其中m ≠12，把D （12，0），E （m ，﹣m 2+m ）代入y ＝kx +b ，得：k +b =0+b =−m 2+m ，解得：k =2m 2−2m 1−2m b =m 2−m 2m−1，∴直线ED 解析式为y =2m 2−2m 1−2m x +m 2−m 2m−1②，联立①②，整理得（x ﹣m ）（x −m−12m−1）＝0，解得x ＝m 或m−12m−1，∵点E 与点M 不重合，∴点M 的横坐标为x =m−12m−1，∵E （m ，﹣m 2+m ），F （12，14），∴直线EF 解析式为y ＝（12−m ）x +12m ，∵直线EF 与直线y =12的交点为N ，∴点N 横坐标为x =m−12m−1，∵点M 的横坐标与点N 横坐标相同，∴直线MN 与x 轴互相垂直．2．已知抛物线y =−12x 2+mx +m +12与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，−52），点P 为抛物线在直线AC 上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y =−12x 2+mx +m +12在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ．现将图象G 沿直线AC 平移，得到新的图象M 与线段PC 只有一个交点，求图象M 的顶点横坐标n 的取值范围．试题分析：（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）令y ＝0，可求得：A （﹣5，0），B （﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC 的解析式为y =−12x −52，如图1，设P （t ，−12t 2﹣3t −52），过点P 作PH ∥y 轴交直线AC 于点H ，则PH =−12t 2−52t ，利用S △PAC ＝S △PAH +S △PCH =−54（t +52）2+12516，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；（3）运用翻折变换的性质可得图象G 的函数解析式为：y =12（x +3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M 的函数解析式为：y =12（x ﹣n ）2−12n −72，顶点坐标为（n ，−12n −72），当图象M 经过点C （0，−52）时，可求得：n ＝﹣1或n ＝2，当图象M 的端点B 在PC 上时，可求得：n =−185或n =75（舍去），就看得出：图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤﹣1或n ＝2．答案详解：解：（1）∵抛物线y =−12x 2+mx +m +12与y 轴交于点C （0，−52），∴m +12=−52，解得：m ＝﹣3，∴该抛物线的解析式为：y =−12x 2﹣3x −52；（2）在y =−12x 2﹣3x −52中，令y ＝0，得：−12x 2﹣3x −52=0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝﹣1，∴A （﹣5，0），B （﹣1，0），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∵A （﹣5，0），C （0，−52），∴−5k +b =0b =−52，解得：k =−12b =−52，∴直线AC 的解析式为y =−12x −52，如图1，设P （t ，−12t 2﹣3t −52），过点P 作PH ∥y 轴交直线AC 于点H ，则H （t ，−12t −52），∴PH =−12t 2﹣3t −52−（−12t −52）=−12t 2−52t ，∴S △PAC ＝S △PAH +S △PCH=12•PH •（x P ﹣x A ）+12•PH •（x C ﹣x P ）=12•PH •（x C ﹣x A ）=12×（−12t 2−52t ）×[0﹣（﹣5）]=−54t 2−254t =−54（t +52）2+12516，∴当t =−52时，S △PAC 取得最大值12516，此时，点P 的坐标为（−52，158）；（3）如图2，抛物线y =−12x 2﹣3x −52在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ，∵y =−12x 2﹣3x −52=−12（x +3）2+2，顶点为（﹣3，2），∴图象G 的函数解析式为：y =12（x +3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），∵图象G 沿直线AC 平移，得到新的图象M ，顶点运动的路径为直线y =−12x −72，∴图象M 的顶点坐标为（n ，−12n −72），∴图象M 的函数解析式为：y =12（x ﹣n ）2−12n −72，当图象M 经过点C （0，−52）时，则：−52=12（0﹣n ）2−12n −72，解得：n ＝﹣1或n ＝2，当图象M 的端点B 在PC 上时，∵线段PC 的解析式为：y =−74x −52（−52≤x ≤0），点B （﹣1，0）运动的路径为直线y =−12x −12，∴联立可得：y =−74x−52y =−12x−12，解得：x =−85y =310，将x =−85y =310代入y =12（x ﹣n ）2−12n −72，可得：12（−85−n ）2−12n −72=310，解得：n =−185或n =75（舍去），∴图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤﹣1或n ＝2．3．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断S1S2是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a的式子表示）．试题分析：（1）由题意得：S1=12×AB×OC，即可求解；（2）S2＝S梯形ADHO ﹣S△CDH﹣S△ACO＝3a，而S1＝6a，即可求解；（3）分a﹣1≤0、a﹣1＞0两种情况，利用点和对称轴的位置关系，确定函数的最大值和最小值，即可求解．答案详解：解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点，则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a，故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限，则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下：（1）由题意得：S 1=12×AB ×OC =12×4×3a ＝6a ＝3，解得a =12，故抛物线的表达式为y =12x 2+x −32；（2）是定值2，理由：过点D 作DH ⊥y 轴于点H ，则S 2＝S 梯形ADHO ﹣S △CDH ﹣S △ACO =12（1+3）×4a −12×1×（﹣3a +4a ）−12×3×3a ＝3a ，由（1）知S 1＝6a ，故S 1S 2=2；（3）∵抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 向右平移a 个单位后，得到函数y 1的图象，根据平移的性质，y 1＝a （x ﹣a ）2+2a （x ﹣a ）﹣3a ＝ax 2+2a （1﹣a ）x +（a 3﹣2a 2﹣3a ），由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝﹣1+a ，∵﹣1+a ＜a +1，故x ＝a +1在新抛物线对称轴的右侧．①当x ＝a ﹣1≤0时，即x ＝0在x ＝a ﹣1的右侧，即0＜a ≤1，当0＜a ≤1时，则a +1＜2，则抛物线在x ＝a +1时取得最大值，而在x＝0时取得最小值；当x＝a+1时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0，当x＝0时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数=12（a3﹣2a2﹣3a）=12a3﹣a2−32a；②当a﹣1＞0时，则此时，顶点的横坐标0＜a﹣1≤a+1，当x＝a﹣1时，y1取得最小值为y1＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）＝﹣4a，当a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即1＜a＜3，则当x＝a+1时，y1的最大值为0，∴y1的最大值与最小值的平均数=−4a02=−2a，当a﹣1﹣0≥a+1﹣（a﹣1），即a≥3，当x＝0时，y1取得最大值，此时y1＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数=a3−2a2−7a2；即y1的最大值与最小值的平均数=3−a2−32a(0＜a≤1)(1＜a＜3) (a3−2a2−7a)(a≥3)．4．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的解析式；（2）若抛物线与x轴的两交点坐标为A，B（A点在B点的左侧），与y轴的交点为C，满足OC＝2OB时，求a的值．（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）由二次函数图象上点的坐标特征求得点A、B、C的坐标，根据OC＝2OB来求a的值；（3）根据二次函数的性质，可得答案．答案详解：解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得﹣a2﹣a＝﹣2，整理，得（a+1）（﹣a）＝﹣2，解得a1＝﹣2，a2＝1，函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，综上所述：函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）当y＝0时x2﹣x﹣a2﹣a＝0整理，得（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，y的图象与x轴的交点是A（﹣a，0），B（a+1，0），当x＝0时，y＝﹣a2﹣a．即C（0，﹣a2﹣a）∵OC＝2OB，∴|﹣a2﹣a|＝2|a+1|．∵a＞0，∴a2+a＝2a+2，整理，得a2﹣a﹣2＝0，（a﹣2）（a+1）＝0，解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）．（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤1 2；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得12＜x0＜1，综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．5．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），该抛物线的顶点为D．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）①直线CD的解析式为 y＝x+8 ；②过点D作DH⊥x轴于H，在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长，求点P 的坐标；（Ⅲ）设直线CD交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？试题分析：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；（Ⅱ）①利用待定系数法可求解析式；②过点P作PM⊥CD于M，由勾股定理可求PO2，PM2，即可求解；（Ⅲ）抛物线向上平移或向下平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8+m或y＝﹣x2+2x+8﹣m，把x＝4或﹣8代入即可列出不等式，即可求出答案．答案详解：解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵抛物线与y轴交于点C（0，8），∴9＝﹣8a，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴顶点D坐标（1，9）；（Ⅱ）①设直线CD解析式为y＝kx+b，9=k+bb=8，∴k=1 b=8，∴直线CD的解析式为y＝x+8，所以答案是y＝x+8；②如图1，过点P作PM⊥CD于M，设点P（1，t），∵直线CD与x轴的夹角为45°，∴PM=9﹣t），∵PM＝PO，∴PM2＝PO2，∴1+t2=12（9﹣t）2，∴t1＝﹣t2＝﹣9﹣，∴点P的坐标为（1，﹣；（Ⅲ）如图2，∵直线CD交x轴于点E，∴0＝x+8，∴x＝﹣8，∴点E（﹣8，0），∵BF⊥x轴，∴点F的横坐标为4，∵点F在直线CD上，∴点F（4，12），①当抛物线向上平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0），当x＝﹣8时，y＝﹣72+m，当x＝4时，y＝m，∴﹣72+m≤0或m≤12，∴0＜m≤72；②当抛物线向下平移，设平移后解析式为y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0），联立方程组可得：y=−x2+2x+8−my=x+8，∴x2﹣x+m＝0，∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤1 4，∴0＜m≤1 4，∴抛物线向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移14个单位长度．6．如图，抛物线L：y=12x2−54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+35AD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y=12x2−54x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．试题分析：（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；（2）CD＝AD sin∠BAO=35AD，则PD+35AD＝PD+DC＝PC为最大，即可求解；（3）设点M（x1，y1），点N（x2，y2），则x1+x2＝2（m+34），而点A是MN的中点，故x1+x2＝8，进而求解．答案详解：解：（1）∵抛物线L：y=12x2−54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣3），设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝4k﹣3，∴k=3 4，∴直线AB解析式为：y=34x﹣3①，∵y=12x2−54x﹣3=12（x−54）2−12132，∴抛物线顶点坐标为（54，−12132）；（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=5，则sin∠BAO=OBAB=35，则CD＝AD sin∠BAO=35AD，则PD+35AD＝PD+DC＝PC为最大，当点P为抛物线顶点时，PC最大，故点P 的坐标为（54，−12132），则PD +35AD 的最大值＝PC 为最大，最大值为12132；（3）设平移后的抛物线L '解析式为y =12（x ﹣m ）2−12132②，联立①②并整理得：x 2﹣2（m +34）x +m 2−2516=0，设点M （x 1，y 1），点N （x 2，y 2），∵直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，∴x 1，x 2是方程x 2﹣2（m +34）x +m 2−2516=0的两根，∴x 1+x 2＝2（m +34），∵点A 是MN 的中点，∴x 1+x 2＝8，∴2（m +34）＝8，∴m =134，∴平移后的抛物线L '解析式为y =12（x −134）2−12132=12x 2−134x +32．7．如图，A ，B 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的点，已知点B 的坐标是（0，6），∠BAO ＝45°．过A ，B 两点的抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点落在线段OA 上，该抛物线与直线y ＝kx +m （k ＞0）在第一象限交于C ，D 两点，且点C 的横坐标为1．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线CD 与线段AB 的交点记为E ，当BE AE =12时，求点D 的坐标；（3）P 是x 轴上一点，连接PC ，PD ，当∠CPD ＝90°时，若满足条件的点P 有两个，且这两点间的距离为1，求直线CD 的解析式．试题分析：①根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质求出A的坐标，讲A，B点坐标代入解析式，即可求解出解析式，②过点E作EF⊥x轴于点F，根据△AEF∽△ABO，得到E的坐标，根据二次函数和一次函数的解析式计算可得，③过点E作EF⊥x轴交点F，根据直线和圆的性质，得到P点横坐标范围，结合一元一次方程判别式、根与系数的关系求解可得．答案详解：解：（1）∵B（0，6），∴OB＝6，∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝6，∴A（6，0），将A（6，0），B（0，6）代入解析得18+6b+c=0c=6，解得b=−4c=6，∴解析式为y=12x2﹣4x+6，故抛物线解析式为y=12x2﹣4x+6；（2）如图，过点E作EF⊥x轴于点F，∴∠AFE＝90°＝∠AOB，∴EF∥BO，∠AEF＝∠ABO＝∠BAO＝45°，∴OFAF=BEAE=12，OA＝OB＝6，∴OF=13OA＝2，F（2，0），∴FA＝4，∴EF=23OB＝4，E（2，4），∵点C横坐标为1，并且在抛物线上，∴将x＝1代入解析式可得，y＝2.5，∴C（1，2.5），∴由C（1，2.5），E（2，4）得直线CD的解析式为y=32x+1，将y=32x+1代入y=12x2﹣4x+6，得12x2﹣4x+6=32x+1，解得x1＝1，x2＝10，∵C（1，2.5），∴D的横坐标为10，将x＝10代入y=32x+1得y＝16，∴D点的坐标为（10，16），故点D的坐标为（10，16）；（3）由（2）的C（1，2.5），设D（x D，y D），P（t，0），由题意可知，点D在点C的上方，点P是以CD为直径的圆与x轴的交点，∴1＜t＜x D，如图，分别过点C，D作x轴的垂线交于点H，I，∴∠CHI＝∠DIH＝90°，∴∠HCP+∠HPC＝90°，∵∠CPD＝90°，∴∠IPD+∠HPC＝90°，∴∠IPD＝∠HCP，∴△HCP∽△IPD，∴CHPI=HPID，∴2.5x D−t=t−1y D，（t﹣1）（x D﹣t）＝2.5y D①，将点C（1，2.5）代入y＝kx+m中，得m＝2.5﹣k，∴直线CD的解析式为y＝k（x﹣1）+2.5，将y＝k（x﹣1）+2.5代入y=12x2﹣4x+6，整理可得x2﹣（2k+8）x+2k+7＝0，解得x C＝1，x D＝2k+7，∴D（2k+7，2k2+6k+2.5），将D（2k+7，2k2+6k+2.5）代入①，整理可得t2﹣（2k+8）t+5t2+17k+534=0，Δ＝﹣16k2﹣36k+11，因为满足条件的点P有两个，可设P点横坐标分别为t1，t2，且t1＜t2，根据韦达定理可知t1+t2＝2k+8，t1t2＝5k2+17k+53 4，由题意得t2﹣t1＝1，∴（t2﹣t1）2＝（t1+t2）2﹣4t1t2，化简得8k2+18k﹣5＝0．解得k1=14，k2=−52＜0（舍去），当k=14，Δ＝﹣16k2﹣36k+11＞0，满足条件，所以直线CD的解析式为y=14x+94，故直线CD的解析式为y=14x+94．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG的距离为d，求d的最大值．试题分析：（1）由二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，求得其对称轴，从而可得b的值，再将（﹣1，0）代入即可求得c的值，则可得抛物线的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD 的周长最小，用待定系数法求得直线DF的解析式，令y＝0，可得点P的横坐标，则问题得解；（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线AG的解析式；作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG 的距离d＝EK最大，设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立，得出关于x 的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得Δ＝0，从而可得n的值，最后由三角函数求得AH的值，即为所求的d的最大值．答案详解：解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝1，∴−b2=1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+c，将（﹣1，0）代入得：0＝1+2+c，∴c＝﹣3，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴顶点D的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3）．作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，如图：设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（1，﹣4），F（0，3）分别代入得：k+b=−4b=3，∴y ＝﹣7x +3，当y ＝0时，x =37，∴点P 的坐标为（37，0）；（3）∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，点G （2，m ）是该抛物线上一点，∴m ＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴点G （2，﹣3），设直线AG 的解析式为：y ＝px +q （p ≠0），将A （﹣1，0），G （2，﹣3）分别代入得：−p +q =02p +q =−3，解得p =−1q =−1，∴直线AG 的解析式为：y ＝﹣x ﹣1，作AG 的平行线MN ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，过点A 作AH ⊥MN 于点H ，如图：当直线MN 与抛物线相切时，点E 到直线AG 的距离d ＝EK 最大，∵AG ∥MN ，∴AH ＝EK ＝d ．设直线MN 的解析式为y ＝﹣x +n ，将其与抛物线解析式联立得：y =x 2−2x−3y =−x +n ，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣x +n ，整理得：x 2﹣x ﹣3﹣n ＝0，当MN 与抛物线相切时，Δ＝0，∴（﹣1）2﹣4（﹣3﹣n ）＝0，解得：n =−134，∴直线MN 的解析式为y ＝﹣x −134，∴点M 的坐标为（−134，0），点N 坐标为（0，−134），∴AM ＝﹣1﹣（−134）=94，∵OM ＝ON =134，∴∠AMN ＝45°，∴AH ＝AM •sin45°=94∴d 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标；（3）点F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P 的纵坐标为2时，过点P 作直线PQ ∥x 轴，点M 为直线PQ 上的一个动点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，在线段ON 上任取一点K ，当有且只有一个点K 满足∠FKM ＝135°时，请直接写出此时线段ON 的长．试题分析：（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PG ⊥x 轴，交BC 与G ，先求出直线BC 的解析式，设点P （p ，﹣p 2+2p +3），则点G 坐标为（p ，﹣p +3），可求PG 的长，由平行线分线段成比例可得PD OD =PG OC，利用二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，连接FM ，以FM 为斜边，作等腰直角△FHM ，当以H 为圆心FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K ，此时有且只有一个点K 满足∠FKM ＝135°，设点H （x ，y ），由“AAS ”可证△FHE ≌△HMQ ，可得HE ＝QM ＝y ﹣3，HQ ＝EF ＝x ﹣2，由勾股定理可求y 的值，可求点M 坐标，即可求解．答案详解：解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），∴0=a −b +30=9a +3b +3，解得：a =−1b =2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图1，过点P 作PG ⊥x 轴，交BC 于G ，∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3与y 轴交于点C ，∴点C （0，3），∴直线BC 解析式为y ＝﹣x +3，设点P （p ，﹣p 2+2p +3），则点G 坐标为（p ，﹣p +3），∴PG ＝﹣p 2+2p +3﹣（﹣p +3）＝﹣p 2+3p ，∵PG ∥OC ，∴PD OD =PG OC =−p 23p 3=−(p−32)43，∴当p =32时，PD OD 的值有最大值，∴点P （32，154）；（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，设点H（x，y），∵点A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，∴点F（2，3），CF∥x轴，∴CF∥PM，∴HK⊥CF，HK⊥PM，∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，∴∠QHM＝∠HFE，又∵FH＝HM，∴△FHE≌△HMQ（AAS），∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，∴y﹣2＝x﹣2，∴x＝y，∵FH2＝HE2+EF2，∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，∴y ＝5，∴QM ＝+5﹣3＝+2，∴点M 的坐标（7，2），∵MN ⊥x 轴，∴ON ＝当点M 在点F 的左侧，同理可求ON ＝综上所述：线段ON 的长为10．如图，点A ，B ，C 都在抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+2m ﹣5（其中−14＜a ＜0）上，AB ∥x 轴，∠ABC ＝135°，且AB ＝4．（1）当m ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离（用含a 的式子表示）；（3）若点C 到直线AB 的距离为1，当2m ﹣5≤x ≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．试题分析：（1）由配方法可求顶点坐标；（2）设点C 到直线AB 的距离为d ，求出点C 坐标，代入解析式可求解；（3）先求出a 值，分三种情况考虑：①当m ＞2m ﹣2，即m ＜2时，x ＝2m ﹣2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元二次方程，解之可求出m 的值；②当2m ﹣5≤m ≤2m ﹣2，即2≤m ≤5时，x ＝m 时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值；③当m ＜2m ﹣5，即m ＞5时，x ＝2m ﹣5时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值．综上即可得出结论．答案详解：解：（1）当m ＝1时，抛物线的解析式为y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣3，∵y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣3＝a （x ﹣1）2﹣3，∴顶点坐标为（1，﹣3）；（2）如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，∵∠ABC ＝135°，∴∠CBD ＝45°，∵CD ⊥AD ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∴BD ＝CD ，∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+2m ﹣5＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5，∴顶点坐标为（m ，2m ﹣5），∵AB ＝4，∴点B 的横坐标为m +2，∵点B 在抛物线y ＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5上，∴y ＝a （m +2﹣m ）2+2m ﹣5＝4a +2m ﹣5，∴点B （m +2，4a +2m ﹣5），设点C 到直线AB 的距离为d ，∴BD ＝CD ＝d ，∴点C （m +2+d ，4a +2m ﹣5﹣d ），∵点C 在抛物线y ＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5上，∴4a +2m ﹣5﹣d ＝，a （m +2+d ﹣m ）2+2m ﹣5，整理得：ad 2+4ad +d ＝0，∵d ≠0，∴d =−4a 1a ，∴点C 到直线AB 的距离为−4a 1a；（3）∵点C 到直线AB 的距离为1，∴−4a 1a=1，∴a =−15，∴抛物线的解析式为y =−15（x ﹣m ）2+2m ﹣5．分三种情况考虑：①当m ＞2m ﹣2，即m ＜2时，有−15（2m ﹣2﹣m ）2+2m ﹣5＝2，整理，得：m 2﹣14m +39＝0，解得：m 1＝7，m 2＝7+；②当2m ﹣5≤m ≤2m ﹣2，即2≤m ≤5时，有2m ﹣5＝2，解得：m =72；③当m ＜2m ﹣5，即m ＞5时，有−15（2m ﹣5﹣m ）2+2m ﹣5＝2，整理，得：m 2﹣20m +60＝0，解得：m 3＝10﹣，m 4＝综上所述：m 的值为72或11．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）交x 轴交于A （﹣1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）如图1，点D 是直线BC 上一点，过点D 作DE ∥y 轴，交抛物线于点E （点E 在点D 的上方），再过点E 作EF ∥x 轴，交直线BC 于点F ．当△DEF 的面积取最大值时，求点E 的坐标；（Ⅲ）如图2，点M 为抛物线对称轴l 上的一点，点N 为抛物线上的一点，当直线BC 垂直平分MN 时，求出点N 的坐标．试题分析：（Ⅰ）用待定系数法求函数的解析式即可；（Ⅱ）由题意先确定△DEF 是等腰直角三角形，设E （t ，﹣t 2+2t +3），则D （t ，﹣t +3），可得DE ＝﹣t 2+3t ＝﹣（t −32）2+94，当DE 最大时，△DEF 的面积就最大，又由当t =32时，DE 有最大值，可求此时E （32，154）；（Ⅲ）设M （1，m ），直线BC 与对称轴的交点为H （1，2），由题意可得△GHM 是等腰直角三角形，求出G （2−m 2，1+m 2），再由G 点是MN 的中点，可求N （3﹣m ，2），将N 点坐标代入抛物线解析式即可求m 的值，由此可求N 点坐标．答案详解：解：（Ⅰ）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3，∴a −b +3=09a +3b +3=0，解得a =−1b =2，∴y ＝﹣x 2+2x +3；（Ⅱ）令x ＝0，则y ＝3，∴C （0，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴b =33k +b =0，解得k =−1b =3，∴y ＝﹣x +3，∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵EF ∥x 轴，∴∠EFD ＝45°，∵DE ∥y 轴，∴∠FED ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，设E （t ，﹣t 2+2t +3），则D （t ，﹣t +3），∴DE ＝﹣t 2+3t ＝﹣（t −32）2+94，当t =32时，DE 有最大值94，∵S △DEF =12×DE 2=12×8116=8132，∴△DEF 的面积取最大值为8132，此时E （32，154）；（Ⅲ）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设M （1，m ），直线BC 与对称轴的交点为H （1，2），∴MH ＝m ﹣2，∵∠GHB ＝∠OBC ＝45°，∴△GHM 是等腰直角三角形，∴G （2−m 2，1+m 2），∵直线BC 垂直平分MN ，∴G 点是MN 的中点，∴N （3﹣m ，2），∴2＝﹣（3﹣m ）2+2（3﹣m ）+3，解得m ＝2+m ＝2∴N （12）或（1+2）．12．已知抛物线G ：y 1＝mx 2﹣（3m ﹣3）x +2m ﹣3，直线h ：y 2＝mx +3﹣2m ，其中m ≠0．（1）当m ＝1时，求抛物线G 与直线h 交点的坐标；（2）求证：抛物线G 与直线h 必有一个交点A 在坐标轴上；（3）在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m 怎样变化，求抛物线G 一定经过的点坐标；②将抛物线G 关于原点对称得到的图象记为抛物线G '，试结合图象探究：若在抛物线G 与直线h ，抛物线G '与直线h 均相交，在所有交点的横坐标中，点A 横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G 的对称轴的取值范围．试题分析：（1）把m ＝1代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；（2）联立方程组求解即可求证；（3）①由（2）可直接得到；②先求出抛物线G ′，再联立抛物线G ′和直线h ，求出交点，再进行分类讨论即可． 答案详解：（1）解：当m ＝1时，抛物线G ：y 1＝x 2﹣1，直线h ：y 2＝x +1，令x 2﹣1＝x +1，解得x ＝﹣1或x ＝0，∴抛物线G 与直线h 交点的坐标为（﹣1，0）或（0，1）；（2）证明：令mx 2﹣（3m ﹣3）x +2m ﹣3＝mx +3﹣2m ，整理得mx 2﹣（4m ﹣3）x +4m ﹣6＝0，即（x ﹣2）（mx ﹣2m +3）＝0，解得x ＝2或x =2m−3m ，当x ＝2时，y ＝3；当x =2m−3m时，y ＝0；∴抛物线G 与直线h 的交点分别为（2，3）和（2m−3m ，0），∴必有一个交点在x 轴上．（3）①证明：由（2）可知，抛物线一定过点（2，3）；②解：抛物线G ：y 1＝mx 2﹣（3m ﹣3）x +2m ﹣3＝（mx ﹣2m +3）（x ﹣1），则抛物线G 与x 轴的交点为（1，0），（2m−3m，0），∵抛物线G 与抛物线G ′关于原点对称，∴抛物线G ′过点（﹣1，0），（−2m−3m，0），∴抛物线G ′的解析式为：y ′＝﹣m （x +1）（x +2m−3m）＝﹣mx 2﹣（3m ﹣3）x ﹣2m +3，令﹣mx 2﹣（3m ﹣3）x ﹣2m +3＝mx +3﹣2m ，整理得mx 2+（4m ﹣3）x ＝0，∴x ＝0或x =3−4m m，即四个交点分别为：（0，3﹣2m ），（2，3），A （2m−3m ，0），（3−4m m ，6﹣6m ），a ．当0＜2m−3m ＜2时，m ＞32，符合题意；b ．当2m−3m ＜0时，则0＜m ＜32，若3−4m m ＜2m−3m ，可得m ＜0或m ＞1，此时1＜m ＜32；若3−4m m ＞2m−3m，可得0＜m ＜1，此时点A 的横坐标为最小值，不符合题意；c ．当2m−3m＞2时，解得m ＜0，若3−4m m ＜2m−3m，可得m ＜0或m ＞1，此时点A 的横坐标为最大值，不符合题意；若3−4m m ＞2m−3m，可得0＜m ＜1，无解，不符合题意；综上，m 的取值范围为：m ＞1且m ≠32，∴3m−32m ＞0且3m−32m ≠12．即抛物线G 对称轴的取值范围为：3m−32m ＞0且3m−32m ≠12．13．如图，抛物线y =−12x 2+32x +2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．①求点F 的坐标；②直接写出点P 的坐标．试题分析：（1）令y ＝0，可求A 点坐标，令x ＝0，可求B 点坐标；（2）由题意可知C 点在AB 的垂直平分线与抛物线的交点处，证明∠ABO ＝∠HGA ，再由三角函数sin ∠ABO 1=AH AG，可求G 点坐标，进而求出直线HC 的解析式y =−12x +34，联立y =−12x 2+32x +2y =−12x +34即可求C 点坐标；（3）①设E （t ，−12t 2+32t +2），则F （t ﹣2，−12t 2+32t +2），D （t ﹣2，−12t 2+32t +3），再由D 点在抛物线上，可求t ＝3，则F （1，2）；②过点P 作PN ⊥x 轴交于点N ，交EF 于点M ，证明△FMP ≌△PNO （AAS ），则PM +PN ＝2，设P （m ，2﹣m ），OP 2＝2m 2﹣4m +4，再由OF 2＝2OP 2，可得5＝2（2m 2﹣4m +4），即可求P （32，12）． 答案详解：解：（1）令y ＝0，0=−12x 2+32x +2，∴x ＝﹣1或x ＝4，∴A （﹣1，0），令x ＝0，则y ＝2，∴B （0，2）；（2）∵AC ＝BC ，∴C 点在AB 的垂直平分线上，∵A （﹣1，0），B （0，2），∴AB 的中点H （−12，1），∵∠AHG ＝90°，∴∠HAG +∠HGA ＝90°，∠BAG +∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠HGA ，∵AB∴AH =∵sin ∠ABO =AO AB =1，∴sin ∠AGH=AH AG，∴AG =52，∴OG =32，∴G （32，0），设直线HC 的解析式为y ＝kx +b ，k +b =012k +b =1，∴k =−12b =34，∴y =−12x +34，联立y =−12x 2+32x +2y =−12x +34，解得x ＝2∵C 点在y 轴右侧，∴x ＝2∴C （2+−14−；（3）①如图2，设E （t ，−12t 2+32t +2），∵OA ＝1，OB ＝2，∴F （t ﹣2，−12t 2+32t +2），D （t ﹣2，−12t 2+32t +3），∵D 点在抛物线上，∴−12t 2+32t +3=−12（t ﹣2）2+32（t ﹣2）+2，∴t ＝3，∴F （1，2）；②过点P 作PN ⊥x 轴交于点N ，交EF 于点M ，∵∠OPF ＝90°，∴∠FPM +∠OPN ＝90°，∵∠FPM +∠MFP ＝90°，FP ＝OP ，∴△FMP ≌△PNO （AAS ），∴FM ＝PN ，PM ＝ON ，∵F （1，2），∴PM +PN ＝2，设P （m ，2﹣m ），∴OP 2＝m 2+（2﹣m ）2＝2m 2﹣4m +4，∵PO ＝FP ，∴OF 2＝2OP 2，∴5＝2（2m 2﹣4m +4），∴m =32或m =12，∴P （32，12）或P （12，32），∵①结论可知F （1，2），PO ＝FP ，∴P （12，32）舍去，∴P （32，12）．14．已知直线y 1＝kx +1（k ＞0）与抛物线y 2=14x 2．（1）当﹣4≤x ≤3时，函数y 1与y 2的最大值相等，求k 的值；（2）如图①，直线y 1＝kx +1与抛物线y 2=14x 2交于A ，B 两点，与y 轴交于F 点，点C 与点F 关于原点对称，求证：S △ACF ：S △BCF ＝AC ：BC ；（3）将抛物线y 2=14x 2先向上平移1个单位，再沿直线y 1＝kx +1的方向移动，使向右平行移动的距离为t 个单位，如图②所示，直线y 1＝kx +1分别交x 轴，y 轴于E ，F 两点，交新抛物线于M ，N 两点，D 是新抛物线与y 轴的交点，当△OEF ∽△DNF 时，试探究t 与k 的关系．试题分析：（1）当x ＝﹣4时，函数y 2有最大值，y 2=14x 2=14×（﹣4）2＝4．当x ＝3时，函数y 1的最大值也是4．将x ＝3，y ＝4代入y 1＝kx +1，得4＝3k +1，则可得出答案；（2）求出C （0，﹣1）．依题意设A 点坐标为（m ，14m 2），求出点B 的坐标为（−4m ，4m 2）．分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q ．证明△APC ∽△BQC ，由相似三角形的性质得出AC BC =AP BQ，则得出结论；（3）证明∠NDF ＝∠EOF ＝90°，得出DN ⊥y 轴，可证出y D ＝y N ，则14t 2+kt +1＝kt +4k 2+1．整理可得出结论．答案详解：解：（1）∵抛物线y 2=14x 2的对称轴为y 轴，又﹣4≤x ≤3，∴当x ＝﹣4时，函数y 2有最大值，y 2=14x 2=14×（﹣4）2＝4．∵k ＞0，∴函数y 1＝kx +1随x 的增大而增大，∴当x ＝3时，函数y 1的最大值也是4．将x ＝3，y ＝4代入y 1＝kx +1，得4＝3k +1．∴k ＝1；（2）将x ＝0代入y 1＝kx +1得y 1＝1，∴F （0，1），∵C 点与F 点关于原点对称，∴C （0，﹣1）．依题意设A 点坐标为（m ，14m 2），代入直线y 1＝kx +1的解析式，得14m 2=mk +1，解得k =14m−1m ．∴y 1＝（14m−1m ）x +1，由y =(14m−1m )x +1y =14x 2得mx 2﹣（m 2﹣4）x ﹣4m ＝0．又由x 1+x 2＝m −4m ，x 1＝m ，得x 2=−4m，∴y 2=4m 2．∴B （−4m ，4m 2）．分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q ．可得AP ＝﹣m ，PC =14m 2+1+1，BQ =−4m ，QC =4m 2+1．∴AP BQ =−m −4m =m 24，CP CQ =14m 214=m 24，∴AP BQ =CP CQ ．又∠APC ＝∠BQC ＝90°，∴△APC ∽△BQC ，∴AC BC =AP BQ，∵S △ACF =12FC •AP ，S △BCF =12FC •BQ ，∴S △ACF ：S △BCF ＝AC ：BC ；（3）抛物线y2=14x2向上平移1个单位后为y2=14x2+1，再沿直线y1＝kx+1的方向，向右平移t个单位，相当于再向上移动了kt个单位，平移后的抛物线为y=14（x﹣t）2+（1+kt）……①，则点D的坐标为（0，14t2+kt+1），M点的坐标为（t，1+kt）．∴直线y＝kx+1……②，将①②联立并整理，得x2﹣2xt﹣4kx+t2+4kt＝0，∴x1+x2＝2t+4k．依题意，得x1＝x M＝t，∴x2＝x N＝t+4k，则点N的坐标为（t+4k，kt+4k2+1）．∵△OEF∽△DNF，∴∠NDF＝∠EOF＝90°，∴DN⊥y轴，∴y D＝y N，∴14t2+kt+1＝kt+4k2+1．解得t＝4k（t＝﹣4k不合题意，舍去），即t与k的关系式为t＝4k．15．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y 轴交于点C．（1）求证：b＝0；（2）若a＝﹣1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D，连接BP，过点A 作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．①求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）②求OD OEOC的值．试题分析：（1）由A、B两点关于y轴对称，可求b＝0；（2）①过点P作PG⊥x轴交于G点，过Q点作QH⊥x轴交于H点，求出A（0），B0），设P（p，﹣p2+c），Q（q，﹣q2+c），则有GB=p，AH＝q，再由−p2c=2q ﹣p ＝②设P （p ，﹣p 2+c ），Q （q ，﹣q 2+c ），求出直线AP 的解析式为y p ）x ﹣c ，同理可求AQ 的直线解析式为y q ）x ﹣+c ，分别求出D （0，﹣c ），E （0，﹣+c ），即可得OD ＝﹣+c ，OE ＝﹣c +，再求OD OEOC =q−p =2． 答案详解：解：（1）∵OA ＝OB ，∴A 、B 两点关于y 轴对称，∴−b 2a=0，∴b ＝0；（2）①过点P 作PG ⊥x 轴交于G 点，过Q 点作QH ⊥x 轴交于H 点，∵PB ∥AQ ，∴∠PBG ＝∠BAQ ，∵a ＝﹣1，∴y ＝﹣x 2+c ，令y ＝0，则﹣x 2+c ＝0，∴x =±∴A （0），B 0），设P （p ，﹣p 2+c ），Q （q ，﹣q 2+c ），∵P 点在第二象限，∴p ＜0，∴GB =p ，AH ＝q 22+p ＝q∴q ﹣p ＝②设P （p ，﹣p 2+c ），Q （q ，﹣q 2+c ），设直线AP 的解析式为y ＝kx +b ，+b =0b =−p 2+c，∴k =−b =，∴y p ）x ﹣c ，同理可求AQ 的直线解析式为y q ）x ﹣+c ，∴D （0，﹣c ），E （0，﹣c ），∴OD ＝﹣+c ，OE ＝﹣c +∴OD OEOC =q−p ，∵q ﹣p ＝∴OD OE OC=2．16．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx ﹣5m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A ，B 两点的坐标；（2）证明△BCM 与△ABC 的面积相等；（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）将抛物线化为顶点式y＝m（x﹣2）2﹣9m，则抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），令y＝0，解方程即可求出点A、B的坐标；（2）分别表示出△BCM与△ABC的面积即可证明；（3）用含m的代数式分别表示出BC2、CM2、BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况：当∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2；∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2；当∠CBM＝90°时，由25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．答案详解：解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），（2）当x＝0时，y＝﹣5m，∴点C的坐标为（0，﹣5m），∴S△ABC =12×|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，过点M作MD⊥x轴于D，则OD ＝2，BD ＝OB ﹣OD ＝3，MD ＝|﹣9m |＝9m ，∴S △BCM ＝S △BDM +S 梯形OCMD ﹣S △OBC ，=12BD •DM +12（OC +DM ）•OD −12OB •OC ，＝15m ，∴S △ABC ＝S △BCM ，（3）存在使△BCM 为直角三角形的抛物线．过点C 作CN ⊥DM 于点N ，则△CMN 为直角三角形，CN ＝OD ＝2，DN ＝OC ＝5m ，∴MN ＝DM ﹣DN ＝4m ，∴CM 2＝CN 2+MN 2＝4+16m 2，在Rt △OBC 中，BC 2＝OB 2+OC 2＝25+25m 2，在Rt △BDM 中，BM 2＝BD 2+DM 2＝9+81m 2．①如果△BCM 是直角三角形，且∠BMC ＝90°时，CM 2+BM 2＝BC 2，即4+16m 2+9+81m 2＝25+25m 2，解得 m =∵m ＞0，∴m∴存在抛物线y 2BCM 是直角三角形；②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得 m=∵m＞0，∴m∴存在抛物线y2BCM是Rt△；③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，综上，存在抛物线y=2y2BCM是直角三角形．。
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合抛物线中的线段定值
专题九 二次函数小综合（四）定点、定值、定线微专题15 抛物线中的线段定值典例精讲考点 设参数→构相似计算【例1】如图，抛物线y ＝－2x 2－2x ＋3交 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，D 为抛物线的顶点，E 为对称轴与x 轴的交点，P 是抛物线上B ，D 两点间的一个动点，PA ，PB 与直线DE 分别交于点F ，G ，当点P 运动时，EF ＋EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．考点 相似转化线段比→设参计算【例2】如图，抛物线y ＝a （x 2＋2mx －3m 2）（其中a ，m 是常数，a ＜0，m ＞0）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴交于点C （0，3），CD //AB 交抛物线于点D ，连接AD ，过点A 作射线AE 交抛物线于点E ，AB 平分∠DAE ，求证：AEAD为定值．考点 设直线的解析式→根系关系求解【例3】如图，抛物线2114y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，M 为B 点右侧的抛物线上一动点，M ，N 两点关于y 轴对称，直线MB 与直线NB 分别交直线x ＝－3于点F ，E ，EF 交x 轴于点P ，求PF －PE 的值．典题精练训练点 利用相似求线段比1．（2020镇江改）如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ，c 是常数，a ＜0）经过点M （－1，1），N ，已知点N 的横坐标是4，顶点为D ，它的对称轴与x 轴交于点C ，直线DM ，DN 分别与工轴相交于A ，B 两点，随着a 的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由．训练点 利用根系关系求线段积2．（2020原创题）如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋3交x 轴于点C ，B （C 在B 左边），交y 轴于点A ， 直线y ＝kx －3k ＋7（k ≠0）交抛物线于M ，N 两点（M ，N 不与C ，B 重合），直线MC ，NC 分别交y 轴于点I ，点J ．求证OI ．OJ 为定值．训练点 利用含参直线解析式求线段积3．（2020原创题）如图，抛物线2122y x bx =-++交y 轴于点A ，点B （2，2）在抛物线上，过点C （0，4）的直线交抛物线于M ，N 两点，MB ，NB 分别交y 轴于点F ，G ．求证：AF ⋅AG 为定值．专题九 二次函数小综合（四）定点、定值、定线微专题15 抛物线中的线段定值典例精讲考点 设参数→构相似计算【例1】如图，抛物线y ＝－2x 2－2x ＋3交 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，D 为抛物线的顶点，E 为对称轴与x 轴的交点，P 是抛物线上B ，D 两点间的一个动点，PA ，PB 与直线DE 分别交于点F ，G ，当点P 运动时，EF ＋EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】EF ＋EG 为定值8，理由如下：过点P 作PQ //y 轴交x 轴于Q ，设P （t ，－t 2－2t ＋3），则PQ ＝－t 2－2t ＋3，AQ －3＋t ，QB ＝1－t ，∵PQ //EF ，∴△AEF ∽△AQP ，∴EF AEPQ AQ=， ∴EF ＝2(23)22(1)3PQ AE t t t AQ t ⋅--+⨯==-+．又∵PQ //EG ，∴△BEG ∽△BQP ，∴EG BE PQ BQ =，∴EG ＝2(23)22(3)1PQ BE t t t BQ t⋅--+⨯==+-，∴EF ＋EG ＝2（1－t ）＋2（t ＋3）＝8．考点 相似转化线段比→设参计算【例2】如图，抛物线y ＝a （x 2＋2mx －3m 2）（其中a ，m 是常数，a ＜0，m ＞0）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴交于点C （0，3），CD //AB 交抛物线于点D ，连接AD ，过点A 作射线AE 交抛物线于点E ，AB 平分∠DAE ，求证：AEAD为定值．【解答】∵－3am 2＝3，∴am 2＝－1，由a （x 2＋2mx －3m 2）＝0，得x ＝m 或x ＝－3m ，∴．A （m ，0），由CD //AB 可得D （－2m ，3），设点E （n ，t ），t ＝a （n 2＋2mn －3m 2），分别过点D ，E 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∵AB 平分∠DAE ，∴Rt △ADM ∽△Rt △AEN ，∴AE NE NE =AD AM DM =，即23m n tm m --=+，解得：n m t m -=，∴E （n ，n m m -），∴a （n 2 ＋ 2mn －3m 2）＝n m m -，解得n ＝－4m 或m （舍去m ），∴5n m t m -==-，∴E （－4m ，－5），∴4533AE AN m m =AD AM m +==为定值．考点 设直线的解析式→根系关系求解【例3】如图，抛物线2114y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，M 为B 点右侧的抛物线上一动点，M ，N 两点关于y 轴对称，直线MB 与直线NB 分别交直线x ＝－3于点F ，E ，EF 交x 轴于点P ，求PF －PE 的值．【解答】易求点B （2．0），设BF 的解析式为y ＝kx －2k ，∴F （－3，－5k ），∴PF ＝5k ，设BN 的解析式为y ＝nx －2n ，∴E （－3，－5n ），∴PE ＝－5n ，∴PF －PE ＝5k ＋5n ＝5（k ＋n ），联立22114y kx k y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得x 2－4kx ＋8k －4＝0，∴x m ⋅x B ＝8k －4，∴x B ＝2，∴x M ＝4k －2，同理，x N ⋅x B ＝8n －4， ∴x N ＝4n －2，∵M ，N 关于y 轴对称，∴x M ＋x N ＝0，∴4k －2＋4n －2＝0，∴k ＋n ＝1， ∴PF －PE ＝5（k ＋n ）＝5． 典题精练训练点 利用相似求线段比1．（2020镇江改）如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ，c 是常数，a ＜0）经过点M （－1，1），N ，已知点N 的横坐标是4，顶点为D ，它的对称轴与x 轴交于点C ，直线DM ，DN 分别与工轴相交于A ，B 两点，随着a 的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由．解：∵y ＝ax 2－2ax ＋c 过M （－1，1），∴a ＋2a ＋c ＝1，∴c ＝1－3a ，∴y ＝a 2－2ax ＋（1－3a ），∴D （1，1－4a ），N （4，1＋5a ）．分别过点M ，N 作MG ⊥CD 于点E ，NT ⊥DC 于点T ，∴NT ＝3．DG ＝－4a ． ∵MG //TN //x 轴，∴△DMG ∽△DAC ，△DCB ∽△DTN ，∴ MG DG BC DCAC DC TN DT==，，∴24141493a a CB AC a a --==--，，∴1414,23a a AC BC a a --==--，∴32AC BC =训练点 利用根系关系求线段积2．（2020原创题）如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋3交x 轴于点C ，B （C 在B 左边），交y 轴于点A ， 直线y ＝kx －3k ＋7（k ≠0）交抛物线于M ，N 两点（M ，N 不与C ，B 重合），直线MC ，NC 分别交y 轴于点I ，点J ．求证OI ．OJ 为定值．解：易知C （1，0），设N （x 1，x 2－4x 1 ＋3），M （x 2，x 2－4x 2＋3），联立23743y kx k y x x =-+⎧⎨=-+⎩，得x 2－(4＋k )x －4＋3k ＝0，∴x 1 ＋x 2＝4＋k ，x 1x 2＝－4＋3k ，由N （x 1， 21x －4x 1＋3），C （1，0），可求得直线NC ：y ＝（x 1－3）x －（x 1－3），同理，直线MC ：y ＝（x 2－3）x －（x 2－3），∴OI ⋅OJ ＝121233(3)(3)x x x x -⋅-=---=－x 1⋅x 2＋3（x 1＋x 2）－9＝－（－4＋3k ）＋3（4＋k ）－9＝7．训练点 利用含参直线解析式求线段积3．（2020原创题）如图，抛物线2122y x bx =-++交y 轴于点A ，点B （2，2）在抛物线上，过点C （0，4）的直线交抛物线于M ，N 两点，MB ，NB 分别交y 轴于点F ，G ．求证：AF ⋅AG 为定值．解：易知A （0，2），抛物线为2122y x x =-++．设F （0，m ），G （0，n ），设直线BF 为y ＝kx ＋m ，则2－2k ＋m ，∴k ＝22m -，∴直线BF 为y ＝22m x m -+，同理可求直线BG 为y ＝22n-x ＋n ，由y ＝22m x m -+和2122y x x =-++，解得x ＝2或m －2，∴x M ＝m －2，同理，x N ＝n －2，设直线CN 的解析式为y ＝tx ＋4，由y ＝tx ＋4和2122y x x =-++，得21(1)202x t x +-+=，∴x M ⋅x N ＝4，即（m －2）⋅（n －2）＝4，∴AF ⋅AG ＝（2－m ）⋅（2－n ）＝4．。
九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)
二次函数常考题型与解析一．选择题（共12小题）1．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=72．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y33．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．108．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜110．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧11．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=1212．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0二．填空题（共9小题）13．已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．14．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．16．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．17．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．18．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．19．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB 时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．21．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．三．解答题（共12小题）22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．23．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．24．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．25．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．26．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．28．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．29．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．30．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．32．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．33．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？2017年03月20日初中数学3的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•荆门）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．3．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．4．（2016•临沂）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c 中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．5．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．7．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．8．（2016•泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，∴﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数，∴2a﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的值和a、b的符号，难度中等．9．（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜1【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函数的对称轴为x=﹣=﹣=﹣＜，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．【解答】解：由已知可知：，消去b得：c=3﹣2a＜3，消去c得：b=1﹣a＜1，对称轴：m=x=﹣=﹣=﹣＜，∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，∴n≤2，故B错．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．10．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．11．（2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=12【分析】由直角三角形相似得，得x=•（24﹣y），化简矩形面积S=xy 的解析式为S=﹣（y﹣12）2+180，再利用二次函数的性质求出S 的最大值，以及取得最大值时x、y的值．【解答】解：以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系，过点D作DE⊥x轴于点E，∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴=，∵CH=24﹣y，CE=24﹣8，DE=OA=20，NH=x，∴，得x=•（24﹣y），∴矩形面积S=xy=﹣（y﹣12）2+180，∴当y=12时，S有最大值，此时x=15．故选D．【点评】本题考查的是直角梯形以及矩形的性质的相关知识点．12．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0【分析】把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．【解答】解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，∴顶点（﹣，﹣），把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，∴a＜0，∴a＜k＜0，故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二．填空题（共9小题）13．（2016•厦门）已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是﹣≤a＜0．【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得：，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．14．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．15．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．16．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．17．（2014•宁德）如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．=6，．∴当x=1时，C最大值即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．18．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．19．（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两根之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=，化简，得x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD根据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，△BCD∵﹣＜0，∴S有最大值，最大值为15，△BCD故答案为15．【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．21．（2016•自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=，∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，∵a＞1，∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．三．解答题（共12小题）22．（2016•黔南州）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．【解答】解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．∴y=（x﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．∵a＞0，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．23．（2016•无锡）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B 且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．【分析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a 的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．【解答】解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，∵y=ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的对称轴为：x=1，∴OE=1∵OC∥BD，∴CP：PD=OE：EB，∴OE：EB=2：3，∴EB=，∴OB=OE+EB=，∴B（，0）∵A与B关于直线x=1对称，∴A（﹣，0）；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c﹣a，令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c∴PG=a，∵CF=OB=，∴tan∠PDB=，∴FD=2，∵PG∥BD∴△CPG∽△CDF，∴==∴PG=，∴a=，∴y=x2﹣x+c，把A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c，∴解得：c=﹣1，∴该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣1．【点评】本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．24．（2016•淄博）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题．（2）设M（t，t2），Q（m，），根据K OM=K OQ，求出t、m的关系，根据QO=QM 列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF 即可解决问题．【解答】解：（1）∵圆心Q的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），。
中考数学 抛物线-压轴题
1 / 5数学中考题精选----------抛物线1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ， △AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．2、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． ．4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴2 / 5上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ． （1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，把抛物线y ＝－x 2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l 1，抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线l 1、l 2与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线l 1、l 2的顶点，线段CD 交y 轴于点E ．（1）分别写出抛物线l 1与l 2的解析式；（2）设P 是抛物线l 1上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线l 1上是否存在点M ，使得S △ABM ＝S 四边形AOED ，如果存在，求出M 点的坐标；如果不存在，请说明理由．6、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （3，0），B （2，－3），C （0，－3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P 从B 点出发以每秒个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值X 围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值． 说明理由．7、如图，二次函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴交于A （－21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；3 / 5（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．8、如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－21，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，33），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式； （2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值X 围；（3）若点E E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F4 / 511、如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．x ＝m5 / 514如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为，高为（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？15、已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图。
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初中数学试卷
拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建
常见模型
思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形
ABCD。
在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得△ABC、△BEC、△CBD 为等腰三角形。
二、拔高精讲精练
探究点一：因动点产生的平行四边形的问题
例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a ≠0），
将A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点代入函数解析式得：16404420a b c c a b c -+⎪-+⎪⎩
+⎧⎨＝＝＝ 解得1412a b c -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，
12m 2+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =
12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4．
（3）设P （x ，12
x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标， 又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（
12x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±5x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．
由此可得Q （-4，4）或（5555）或（4，-4）．
【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．
（1）a＞0，b2-4ac＞0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=1
3
，b=-
4
3
，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=1
3
x2-
4
3
x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，
则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y=1
3
x2-
4
3
x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，
∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=1
3
x2-
4
3
x-4，
解得：x17，x27，
∴点E′的坐标为（7，4），同理可得点E″的坐标为（7，4）。
【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：
（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。
①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。
探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题
例2: （2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
10
3
b c
c
+
⎨
⎩
+
⎧＝
＝
，解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3
2
，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC-OC=32-3
∴P1（0，3+32），P2（0，3-32）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3-32）或（0，-3）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=1
2
×（2-t）×2t=-t2+2t=-
（t-1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。
【变式训练】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+13
4
x+c的图象与x轴的一个交
点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0．解得c=3，
二次函数y1的解析式为y=-x2+13
4
x+3，B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为y=-3
4
x+3，AB的中点为（2，
3
2
），
AB的垂直平分线为y=4
3
x-
7
6
，当x=0时，y=-
7
6
，P1（0，-
7
6
），
当y=0时，x=9
4
，P2（
7
8
，0），
综上所述：P1（0，-7
6
），P2（
7
8
，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。
【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.。