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④(－1，2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1，或 y＝2}
2x＋y＝0 其中能正确表示方程组 x－y＋3＝0
的解集的
是__________．(把所有正确答案的序号填在横线上)
解析：①中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解 集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；②代表元 素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确； ③中含有两个元素，是数集，所以不正确；④没有用“{}”
解：①中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分
胖与不胖，所以①不能构成集合，而②③④中的对象是 确定的，所以能构成集合.
[例2]
已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值． 分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根
[思路点拨]
据集合中元素的互异性进行取舍．
[精解详析] 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，
2．常用数集及表示符号 非负整数集
名称 (自然数集) 数集 N＋ Z
正整
整数集
有理
实数集 数集 Q R
符号
N
给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A；
(2)方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为B； (3)所有奇数组成的集合为C. 问题1：将集合A中的元素一一列举出来． 提示：2、4、6、8. 问题2：集合B中的元素满足的条件是什么？ 提示：x2＋x＋1＝0.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合
{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．
2．列举法与描述法 列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集 合时，只需把它的元素一一列举出来即可．同时，要注意 自然语言与集合语言的区别．描述法多适用于元素个数有 无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元
C．4
D．5
解析：“接近于 0 的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元 素不确定，所以①②不是集合．同样，“ 2的近似值”也不明 确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如 2 是不是它 的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
答案：A
2．判断下列对象能否构成集合． ①某中学里较胖的同学；②某中学里身高超过1.75米的 同学；③第29届奥运会中的所有比赛项目；④大于4且 小于8的偶数．
问题3：如何表示集合C ？
提示：C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z} ．
1．集合的表示方法
集合的常用表示法有列举法和描述法． (1)列举法：把集合中的元素 一一列举 出来写在大 括号内的方法叫列举法． (2)描述法：用 确定的条件 表示某些对象是否属于这
个集合的方法叫描述法．
2．集合的分类 集合可分为有限集和无限集，含 有限个 元素的集 合叫作有限集，含 无限个 元素的集合叫作无限集． 不含有任何元素的集合叫作 空集 ，记作 ∅ .
素及代表元素所满足的条件．
3．根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无 限集．
[例1]
考察下列每组对象能否组成一个集合？
(1)2011参加世界大学生运动会的所有国家； (2)2010年上海世博会的所有漂亮的展馆； (3)参加2012年五· 四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
点击下列图片进 入应用创新演练
1．集合中元素的特性 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确 定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个 集合是确定的．要么是该集合中的元素,要么不是，二者必 居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对
于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方 程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．
b，c不相等．
答案：D
4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，
求实数a的值．
解：∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1.
①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1，
与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，

1．组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也 可以是人或物等． 2．用列举法表示集合应注意：
①元素间用“，”隔开；②元素不重复；③不考虑元素
顺序；④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元 素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律
渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网， 轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴 地告诉渔民：“这就是集合！” 问题1：数学家说的集合是指什么？
提示：网中的所有鱼的全体．
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？ 提示：不能．
一般地，指定的某些对象的 全体 称为集合．集合常 用 大写字母A，B，C，D，… 标记．集合中的每个 对象 叫 作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d… 标记.
在知识点1的入门答辩所涉及的情景中．
问题1：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？ 提示：每一条鱼都是集合的元素，均在集合中． 问题2：网外面的鱼与集合的关系是什么？ 提示：不是集合的元素．
1．元素与集合的关系
(1)若元素a在集合A中，就说元素a 属于 集合A，记作 a∈A . (2)若元素a不在集合A中，就说元素a 不属于 集合A， 记作 a∉A .
当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意，
当a＝－2时，A中的元素为0,1,1，与集合中元素的互异 性矛盾，舍去； ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不 合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
[例 3]
用适当的方法表示下列集合．
x y (1)化简式子|x|＋|y|(x， 为非零实数)所得结果构成的集合； y (2)大于 4 的所有奇数组成的集合； (3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合； (4)方程(x－1)(x2－5)＝0 的根组成的集合． [思路点拨] 范围解答此题． 根据题目特点，结合列举法、描述法的适用
不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x2＝1，则x＝±1. 当x＝1时， 集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互
异性，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求． 若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异 性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
[一点通] 这类问题既要讨论元素的确定性，又要利
[思路点拨] 的属性来判断． 根据本题所列举的元素是否具有确定
[精解详析]
(1)中“所有国家”，(3)“所有同学”，都有确定
的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮”展馆，没有明确的标准，(4)中“接近原点”， 界限不明，都不能组成集合． 综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合． [一点通] 判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是
显示清楚后方能用省略号；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，
如所有实数构成的集合可以写为{实数}，写为{实数集}、{全 体实数}都是错误的．
3．用描述法表示集合应注意：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)； ②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时，应当准确使用“或”“且”“非”；⑤所有描述 的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述的语句力求简明、 准确．
用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断 涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的 表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．
3．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，
则△ABC一定不是 A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．等腰三角形 ( )
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，
[精解详析]
(1)根据 x，y 值的符号，两项分别可得 1
或－1，化简的结果有 3 种情形，用列举法表示为{0,2，－2}； (2)奇数的表达式为 2k＋1(k∈Z)．由于有无数个元素， 用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈Z}； (3)代表元素是有序数对(x，y)，用描述法表示为 {(x，y)|x<0 且 y>0}； (4)方程有 3 个根，用列举法表示为{－ 5，1， 5}．
[一点通] 1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性， 是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母
代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部
分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或 指出取值范围，如(2)小题． 2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元 素间存在明显规律的集合，可采用列举法．
知识点一
§ 1
第 一 章 集 合 集 合 பைடு நூலகம் 含 义 与 表 示
理解教材新知
知识点二 知识点三
考点一
把握热点考向 考点二 考点三
应用创新演练
一位渔民非常喜欢数学，但他
怎么也想不明白集合的意义．于是， 他请教数学家：“尊敬的先生，请你 告诉我，集合是什么？”集合是不加 定义的概念，数学家很难回答那位
否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观 标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集
合．
1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小 的
正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全 体；④正三角形的全体；⑤ 2 的近似值的全体．其 中能构成集合的组数是 A．2 B．3 ( )
解：(1)由所有非负奇数组成的集合可表示为： A＝ x|x＝2k＋1，k∈N ，也可以表示为 1，3，5，7… ， A 是无限集． (2)满足条件的数有 3,5,7,11,13,17,19，所以所求集合为： B＝ 3，5，7，11，13，17，19 ，B 是有限集． (3)因为方程 x2＋x＋2＝0 的判别式 Δ＜0，故无实根． 所以所求集合是空集，是有限集． (4)所求集合为 C＝{(x，y)|x＞0，y＜0，且 x∈R，y∈R}， C 是无限集．