§8.6.3抛物线定义的应用及习题课68

y = x −1 , ⇒ x2 − 6 x + 1 = 0 由 2 y = 4x ∴ x1 + x2 = 6
抛物 线定 义可 知 ： AF = AA1 = x1 + 1, BF = BB1 = x2 + 1
A1 y O B1 F B x A
∴ AB = AF + BF = AA1 + BB1 = x1 + x2 + 2 = 8
y 2 = 2 px( p > 0) y 2 = −2 px( p > 0)
x2 = 2 py( p > 0)
x2 = −2 py( p > 0)
y F x
p ,0 ) 2 p x = − 2 F( F (−
y F ox .
y F o
p ) 2 p y = − 2 F (0,
y o F x
F (0,− p ) 2 p y = 2
§8.6.3抛物线的习题课 抛物线的习题课
【知识回顾】 知识回顾】 抛物线定义:平面内与一个定点F和一条定直线 和一条定直线l ★ 抛物线定义 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 ★ 抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 图 形 焦点 准线
y = 8 x(1 ≤ x ≤ 4, y > 0)
2
y D
B A
引申1.已知 为抛物线 上一动点， 到 引申 已知M为抛物线 2=4(x−1)上一动点， M到定 已知 为抛物线y 上一动点 的距离与M到 轴的距离之和的最小值是 点P(0,1)的距离与 到y轴的距离之和的最小值是 的距离与
5 ________.
y
P′
M
P (0,1)
oA(1, 0 ) F (2, 0)
| MF1 | | MF2 |
x2 y 2 C1 : 2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 引申2.双曲线 引申 双曲线 的左准线 a b
A : −1
B :1 C : − 1 D : 1 2
Y
分 析 ：M F 2 = d , M F1 − M F 2 = 2 a , M F1 d M F1 c = ⇒ a 2ac , = c − a 2a2 = c − a
2
M F1
O
F2
X
M F2
双基题目练练手 4.以抛物线 2=2px( p>0) 的焦点弦 为直径的圆与抛 以抛物线y 焦点弦AB为直径的圆与抛 以抛物线 物线的准线l位置关系为 物线的准线 位置关系为( 位置关系为 A.相交 相交 y
A
C
) D.不确定 不确定 y P
B.相离 相离
C.相切 相切
O B
斜率为1的直线 经过抛物线y 的焦点， 例1.斜率为 的直线 经过抛物线 2=4x的焦点，且与抛物 斜率为 的直线l经过抛物线 的焦点 线相交于A， 两点 求线段AB的长 两点， 的长． 线相交于 ，B两点，求线段 的长．
思路2: 设A, B坐标分别为(x1 , y1 ),( x2 , y2 ).
1 4 3 4
2 M N = AD + BC p 1 MN = + y = + y, 2 4 1 ⇒ AD + BC = 2( + y ) 4 AD = AF , BC = BF 1 ⇒ A F + B F = 2( + y ) 4
提炼总结 1.过抛物线 2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 过抛物线y 过抛物线 的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为 1,y1)、B(x2,y2),则： 两交点为A(x 线相交 两交点为 、 则 A(x1,y1) y p A1 (1) AF = x1 + 2 p (2) BF = x2 + 2 x O F (3) AB = x1 + x2 + p B1 B(x2,y2) l (4) AB ⊥ x轴时， AB = 2 p(抛物线的通径 ) p2 (6) y1 y2 = − p2 (5) x1 x2 = 4 (7)以AB为直径的圆与准线 相切 为直径的圆与准线l相切 以 为直径的圆与准线 相切. 以焦半径|PF|为直径的圆与 轴相切 为直径的圆与y轴相切 以焦半径 为直径的圆与 轴相切. 为直径的圆与AB相切于 相切于F 以A1B1为直径的圆与 相切于
3.动点 到直线x+4=0的距离减它到 动点P到直线 的距离减它到M(2,0)的距 的距 动点 到直线 的距离减它到 离之差等于2， 的轨迹是_______________; 离之差等于 ，则P的轨迹是 抛物线 的轨迹是 其方程为_____________. 其方程为 y2=8x 4.过抛物线 过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点，如果 x1 +x2 =6 ,那么 两点， 那么
引伸1: 对于y 过焦点F的弦为 引伸 对于 2=2px(p>0),过焦点 的弦为 过焦点 的弦为AB,且 且 y A(x1,y1) A(x1,y1),B(x2,y2), 则： p (1) AF = x1 + 2 焦半经） p （焦半经） (2) BF = x2 + x F O 2 l B(x2,y2) (3) AB = x1 + x2 + p（焦点弦） 焦点弦）
y = x−1 ⇒ x2 − 6x + 1 = 0 由 2 y = 4x
设 A, B坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ).
x1 + x 2 = 6 ∴ x1 x 2 = 1
y O F B
A x
由弦长公式 AB = 1 + k 2 x1 − x2
= 2 × 36 − 4 = 8
2.已知 为抛物线 2=4x上一动点，F为抛物线的焦 已知M为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦 已知 为抛物线y 上一动点 的最小值为( 点，定点P(3,1),则 |MP|+|MF|的最小值为 定点 则 的最小值为 (A)3 N O y (B)4 M (C)5 (D)6 y M
B)
F (1, 0)
y = 4x
2
AB =
8
斜率为1的直线 经过抛物线y 的焦点， 例1.斜率为 的直线 经过抛物线 2=4x的焦点，且与抛物 斜率为 的直线l经过抛物线 的焦点 线相交于A， 两点 求线段AB的长 两点， 的长． 线相交于 ，B两点，求线段 的长．
思 路 1 ： 由 题 意 , 抛 物 线 的 焦 点 F (1, 0)
F
x
O
F
x
引申1.以抛物线 的焦半径|PF|为直径的圆 引申 以抛物线y2=2px( p>0) 的焦半径 以抛物线 为直径的圆 轴位置关系为( 与y轴位置关系为 轴位置关系为 A.相交 相交 B.相离 相离
C
) C.相切 相切 D.不确定 不确定
| 2(a 5. 知抛物线y = x ,动弦AB 长为 AB |= a， > 0)， 已 的
x
. o
p ,0 ) 2 p x = 2
【训练一】 训练一】
1 2 1.抛物线 y = m x ( m < 0 )的焦点坐标是（ A ）。 的焦点坐标是（ 抛物线 1 1 m m ) ) (D) ( 0, − (A) ( 0, ) (B) ( 0,− ) (C) ( 0, 4m 4 4 4m
2.坐标系中， 2.坐标系中，方程 a2 x2 + b2 y2 =1与ax + by2 = 0(a > b > 0) 坐标系中 的曲线是（ 的曲线是（ D ） y o x (A) y o (B) x y o (C) x y o (D) x
(4)AB ⊥ x轴时， AB =2p(通径 通径) 通径
说明：抛物线的通径是抛物线的焦点弦中最短的一条。
圆锥曲线的通径都是最短的焦点弦。 圆锥曲线的通径都是最短的焦点弦。
引伸2: 对于y 过焦点F的弦为 引伸 对于 2=2px(p>0),过焦点 的弦为 过焦点 的弦为AB,且 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则：
解法一：建立如图所示的直角坐标系， 解法一：建立如图所示的直角坐标系，原点为 O(0,0) Rt∆ACM , MC = AD = AN = 3
AC = 2 2 , Rt∆ACN中， = 1 NC
⇒ MN = 4, 则N 为(2, 0) ⇒
l1 D l2
y A MO C N
B
p = 2得 p = 4 2
⋅
⋅ P
x
⋅P
O
F (1, 0)
⋅
x
3.已知 为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦 已知M为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦 已知 为抛物线 上一动点 点，定点P(-1,1),求|MP|与M到准线距离之和的最小 定点 求 与 到准线距离之和的最小 值为( 值为 C ) (A) 3 (B)4 (C) 5 (D)6
即抛物线方程： 即抛物线方程： y 2 = 8 x
4 12 由图得 A为（ ， 2） B为（4， 2）
x 曲线段C的方程为： 曲线段 的方程为： 的方程为
y = 8 x(1 ≤ x ≤ 4, y > 0)
2
解法二： 建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0) 解法二： 建立如图所示的直角坐标系，原点为
C
2 2
)
2 2
B. FP1 + FP2 = FP3 D. FP2 = FP1·FP3
2007年宁夏、海南高考题 年宁夏、 年宁夏 在抛物线的题型中，凡涉及到焦点和准线均 在抛物线的题型中，凡涉及到焦点和准线均 焦点和准线 要用定义进行转化，且转化过程相对于椭圆、 要用定义进行转化，且转化过程相对于椭圆、双 曲线的定义转化要简捷得多，因此， 曲线的定义转化要简捷得多，因此，在解题中一 定要加强定义 应用意识. 定义的 定要加强定义的应用意识