关于边对称树的广义优美性 - 西南大学期刊社

第35卷第2期 西南大学学报(自然科学版) 2013年2月V o l .35 N o .2J o u r n a l o f S o u t h w e s tU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )F e b . 2013文章编号:16739868(2013)02006207关于边对称树的广义优美性①郭璟霞, 姚 兵, 张家娟西北师范大学数学与统计学院,兰州730070摘要:数十年来,在对优美树猜想和优美图的研究中,(k ,d )优美标号的参数k ,d 可以取到很多值,使得一些优美图和奇优美图是(k ,d )优美图的特例.通过研究,证明了m 边对称树具有(k ,d )优美性和(k ,d )强优美性.关 键 词:m 边对称树;优美树;(k ,d )优美标号;(k ,d )强优美标号;完美匹配中图分类号:O 157.5文献标志码:A优美图研究是图论学科中重要的研究分支,有着广泛的应用(参见文献[1-6]).在对优美图的研究中,(k ,d )优美标号的参数k ,d 可以取到很多值,使得一些优美图和奇优美图是(k ,d )优美图的特例.所以,研究图的(k ,d )优美性就变得重要而有意义了.本文研究了m 边对称树的(k ,d )优美性和(k ,d )强优美性.1 基本术语和概念我们采用常规的图论术语和记号(参见文献[2]).用记号[m ,n ]表示整数集合{m ,m +1, ,n },其中n >m ȡ0.说f 是n 个顶点的图G 的正常标号,是指f 为顶点集合V (G )到集合[0,N ]的映射,使得对不同的顶点u ,v ɪV (G ),总有f (u )ʂf (v ),其中N ɪN +,特记f (V (G ))={f (u )|u ɪV (G )}我们称标号h (u )=M +m -f (u ) u ɪV (G )为f 的对偶标号,其中M =m a x {f (u )|u ɪV (G )} m =m i n {f (u )|u ɪV (G )} 令(X ,Y )表示树T 的顶点集的二部划分,故有V (T )=X ɣY 和X ɘY =Ø,且树T 的任何一条边u v 满足u ɪX 和v ɪY .定义1 对m ɪN +,设树T ᶄm -1是(m -1)边对称树T m -1的拷贝,用一条边连接顶点u m -1(u m -1ɪV (T m -1))与其同构顶点u ᶄm -1(u ᶄm -1ɪV (T ᶄm -1)),得到m 边对称树T m =T m -1T ᶄm -췍췍1,简记为T m =T <T 0;m >.注1 对同一棵树H ,1边对称树췍췍HH ᶄ会有很多种形式的结构.例如,选择u 是树H 的最大度顶点或是最小度顶点,产生的1边对称树相互之间可能是不同构的(参见图1).也可以使得直径D (췍췍HH ᶄ)=①收稿日期:20110718基金项目:国家自然科学基金资助项目(61163054,61163037).作者简介:郭璟霞(1982),女,山西昔阳人,硕士研究生,主要从事图的标号及染色的研究.2D (H ),或Δ(췍췍 HH ᶄ)=Δ(H )+1,或Δ(췍췍HH ᶄ)=Δ(H )等.m 边对称树的一个描述性说法:m 边对称树T <T 0;m >有2m-1条边,使得去掉这些边后的森林恰有2m个均同构于T 0的分支.定义2[7] 设有整数k ȡ1和d ȡ1,图G 承认一个正常标号f :V (G ң)[0,k +(|E (G )|-1)d ]定义每条边u v ɪE (G )的标号为f (u v )=|f (u )-f (v )|,全体边标号的集合f (E (G ))={f (u v )|u v ɪE (G )}如果边标号集合满足f (E (G ))={k ,k +d , ,k +(|E (G )|-1)d }则称G 为(k ,d )优美图,f 为它的一个(k ,d )优美标号.由(k ,d )优美标号的定义不难知:具有(k ,d )优美标号的图必然是二部分图.这一性质也可由奇优美图是二部分图得到[3].我们给出(k ,d )强优美标号的定义:定义3 设G 是一棵具有完美匹配M 和q 条边的优美图,f 是它的(k ,d )优美标号.如果对每条边u v ɪM ,总有f (u )+f (v )=k +(q -1)d 成立,则称f 为图G 的(k ,d )强优美标号,也说G 是(k ,d )强优美图.当(k ,d )=(1,1)时,如果f 还是图G 的优美标号,则说G 是强优美图,f 也叫作G 的强优美标号.图1 树H 及其不同形式的1边对称树2 主要结果及证明引理1 如果H 为优美树,则1边对称树췍췍HH ᶄ是(k ,d )优美的.证 令(X ,Y )是H 的顶点集的二部划分,H ᶄ是H 的拷贝,(X ᶄ,Y ᶄ)是(X ,Y )的拷贝.任选一个顶点u ɪV (H ),设H ᶄ中的顶点v 是与u 同构对应的顶点.用一条边将顶点u 和顶点v 连接,则得1边对称树T ,记T =췍췍HH ᶄ.易知,T 的顶点集二部划分为(X T ,Y T ),其中X T =X ɣY ᶄ,Y T =X ᶄɣY .设f 为H 的一个优美标号,记它在H ᶄ中的拷贝为f ᶄ.我们定义T 的一个标号函数h :当x ɪX T ,且x ɪX 时,h (x )=f (x );当x ɪX T ,且x ɪY ᶄ时,h (x )=f ᶄ(x );当y ɪY T ,且y ɪX ᶄ时,h (y )=f ᶄ(y )+n ,其中n =|V (H )|;当y ɪY T ,且y ɪY 时,h (y )=f (y )+n .注意到f (V (H ))=f (V (H ᶄ))=[0,n -1],所以h (V (T ))=[0,2n -1],显然有m a x {h (x )|x ɪX T }<m i n {h (y )|y ɪY T }(1)考察在标号h 下树T 的边标号.对边x y ɪE (H )⊂E (T ),其中x ɪX 和y ɪY ,我们有h (x y )=|h (x )-h (y )|=f (y )+n -f (x )(2)对边x y ɪE (H ᶄ)⊂E (T ),其中x ɪX ᶄ和y ɪY ᶄ,有h (x y )=|h (x )-h (y )|=f (x )+n -f (y )(3)因为f (E (H ))=[1,n -1],则(2)式和(3)式成对偶,结合h (u v )=|h (u )-h (v )|=n ,有h (E (T ))=[1,2n -1].所以,h 是T 的优美标号.设k ,d 为正整数,我们定义T 的另一个标号g :当x ɪX T 时,g (x )=d ㊃h (x );当y ɪY T 时,g (y )=k +d ㊃[h (y )-1].根据(1)式,对每条边x y ɪE (T ),其中x ɪX T ,y ɪY T ,有2西南大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第35卷g (x y )=|g (x )-g (y )|=g (y )-g (x )=k +d ㊃[h (y )-h (x )-1]=k +d ㊃[h (x y )-1](4)根据(4)式和h (E (T ))=[1,2n -1],得g (E (T ))={g (x y )|x y ɪE (T )}={k ,k +d ,k +2d , ,k +(2n -2)d }从而说明T 是(k ,d )优美树.定理1 如果T 0是优美树,则m 边对称树T <T 0;m >是(k ,d )优美的,其中m ȡ1.证 当m =1时,T <T 0;1>=T 0T ᶄ췍췍 0,根据引理1,则T <T 0;1>是(k ,d )优美树.设当m ɤk -1时,定理1成立.当m =k 时,T <T 0;k >=T k -1T ᶄk -췍췍1,其中T k -1=T <T 0;k -1>,T ᶄk -1是T k -1的拷贝.引理1的证明方法可用于证明T k -1是优美树.按照数学归纳法,T <T 0;k >是(k ,d )优美树.定理2 设T 0是强优美树,则m 边对称树T <T 0;m >是(k ,d )强优美的.证 设T 0是有n 个顶点的强优美树,它的顶点集合二部划分为(X ,Y ),其中X ={x 1,x 2, ,x s } Y ={y 1,y 2, ,yt }树T 0的完美匹配为M (T 0).已知T 0有一个强优美标号f ,使得对每条边x y ɪM (T 0),满足f (x )+f (y )=n -1(见定义3).相应地,T 0的拷贝T ᶄ0的顶点集二部划分为(X ᶄ,Y ᶄ),其中X ᶄ={x ᶄ1,x ᶄ2, ,x ᶄs } Y ᶄ={y ᶄ1,y ᶄ2, ,yᶄt }树T ᶄ0的完美匹配为M (T ᶄ0),强优美标号f ᶄ是T 0的强优美标号f 的拷贝,使得对每条边x y ɪM (T ᶄ0),满足f ᶄ(x )+f ᶄ(y )=n -1.由m 边对称树的定义,1边对称树T 0T ᶄ췍췍0的顶点集二部划分为(X T ,Y T ),其中X T =X ɣY ᶄ,Y T =X ᶄɣY ,它有完美匹配M (T 0)ɣM (T ᶄ0).我们定义1边对称树T 0T ᶄ췍췍0的一个标号h:h (x i )=d ㊃f (x i )i ɪ[1,s ]h (y i )=d ㊃(f ᶄ(yᶄi )+n )i ɪ[1,t ]h (x ᶄi )=k -d +d ㊃(f ᶄ(x ᶄi )+n )i ɪ[1,s]h (y j )=k -d +d ㊃f (y j )j ɪ[1,t ]根据引理1,h 是树T 0T ᶄ췍췍0的(k ,d )优美标号.下面推证h 也是(k ,d )强优美标号.考察匹配边x i y j ɪM (T 0)ɣM (T ᶄ0),我们有h (x i )+h (y j )=d ㊃f (x i )+k -d +d ㊃f (y j )=k -d +d ㊃(f (x i )+f (y j ))=k -d +d ㊃(n -1)=k +(n -2)d 对匹配边x ᶄi y ᶄj ɪM (T 0)ɣM (T ᶄ0),同理有h (x ᶄi )+h (y ᶄj )=k +(n -2)d .这说明1边对称树T 0T ᶄ췍췍0是(k ,d )强优美树.根据数学归纳法,我们可证得m 边对称树T <T 0;m >是(k ,d )强优美的.定理3 毛毛虫树是(k ,d )优美树,且有(k ,d )优美标号f ,使得m a x {f (x )|x ɪX }<m i n {f (y )|y ɪY }其中(X ,Y )是毛毛虫树的顶点集的二部划分.证 设T 为毛毛虫树.根据毛毛虫树的定义,去掉T 的所有叶子后,剩余的图恰好是一条路P =a 0a 1 a n .设与顶点a i 所相邻的叶子集合为L i ={a i ,j |j ɪ[1,m i ],i ɪ[0,n ]}按照毛毛虫树的定义,有m 0ȡ1和m n ȡ1,但是,允许某些m j =0(j ɪ[1,n -1]),即路P 上的某些顶点a j 的叶子集合L j =Ø.令毛毛虫树T 0的顶点集为3第2期 郭璟霞,等:关于边对称树的广义优美性4西南大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第35卷V(T0)={a0,a1,a0,i|iɪ[1,m0]}边集合为E(T0)={a0a0,i,a0a1|iɪ[1,m0]}定义T0的一个标号f0:f0(a0)=0f0(a1)=k+m0df0(a0,i)=k+(i-1)d iɪ[1,m0]易见f0(E(T0))={k,k+d, ,k+m0d}f0(V(T0))⊆[0,k+m0d]我们证得毛毛虫树T0是(k,d)优美的.定义f0的对偶标号fᶄ0为fᶄ0(x)=(k+m0d)-f0(x)xɪV(T0)显然,fᶄ0是T0的(k,d)优美标号,且fᶄ0(a1)=0.对于毛毛虫树T0顶点集的二部划分(X0,Y0),有m a x{fᶄ0(x)|xɪX0}<m i n{fᶄ0(y)|yɪY0}我们把这种性质记为fᶄ0(X0)<fᶄ0(Y0),以下相同.给毛毛虫树T0的顶点a1连接m1片叶子a1,jɪL1,然后再连接顶点a2,我们得到毛毛虫树T1.定义T1的标号f1为f1(x)=fᶄ0(x)xɪV(T0)⊂V(T1)f1(a1,j)=k+m0d+j d jɪ[1,m1]f1(a2)=k+d+dð1k=0m k不难得到f1(E(T1))={k,k+d, ,k+d+dð1k=0m k}故T1是(k,d)优美树.再定义f1的对偶标号fᶄ1为fᶄ1(x)=(k+d+dð1k=0m k)-f1(x)xɪV(T1)易知,fᶄ1也是T1的(k,d)优美标号,且有fᶄ1(a2)=0.此外,由标号fᶄ1的定义知:毛毛虫树T1的顶点集的二部划分(X1,Y1)满足fᶄ1(X1)<fᶄ1(Y1).给T1的顶点a2连接m2片叶子a2,jɪL2,然后连接顶点a3,得到毛毛虫树T2.类似地,可以得到T2的(k,d)优美标号fᶄ2,使得fᶄ2(a3)=0,以及毛毛虫树T2顶点集的二部划分(X2,Y2),满足fᶄ2(X2)< fᶄ2(Y2).继续这个生长过程,我们得到毛毛虫树T n-1,它有一个(k,d)优美标号fᶄn-1,使得fᶄn-1(a n)= 0,并且T n-1的顶点集的二部划分(X n-1,Y n-1)满足fᶄn-1(X n-1)<fᶄn-1(Y n-1).我们给T n-1的顶点a n连接m n片叶子a n,jɪL n,得到毛毛虫树T n,即T n=T.定义T n的(k,d)优美标号f n为f n(x)=fᶄn-1(x)xɪV(T n-1)⊂V(T n)f n(a n,j)=k+(n-1)d+j d+dðn-1k=0m k jɪ[1,m n]所以毛毛虫树T n的边标号集合为f n(E(T n))=fᶄn-1(E(T n))ɣ{k+d+N n-1,k+2d+N n-1, ,k+m n d+N n-1}={k,k+d, ,k+(n-1)d+dðn k=0m k}其中N n-1=(n-1)d+dðn-1k=0m k.毛毛虫树T(=T n)的(k,d)优美性得到了证明.根据归纳法,我们可证得毛毛虫树T 顶点集的二部划分(X ,Y )满足f n (X )<f n (Y ).定理4 具有完美匹配的毛毛虫树都是(k ,d )强优美的.证 设T 为具有完美匹配M 的毛毛虫树,去掉它的全部叶子,剩余一条路P =a 1a 2 a n -1a n .我们分两种情形进行讨论:情形1 完美匹配M ={a i b i |i ɪ[1,n ]},其中b i 为毛毛虫树T 的叶子.注意到|V (T )|=2n ,毛毛虫树T 1的顶点集V (T 1)={b 1,a 1},边集E (T 1)={b 1a 1}.我们定义T 1的一个标号h 1:h 1(a 1)=0,h 1(b 1)=k .易有h 1(E (T 1))={k } h 1(V (T 1))⊆[0,k ]证得T 1是(k ,d )优美的,且是(k ,d )强优美的.给T 1的顶点a 1连接顶点a 2,再给顶点a 2连接叶子b 2,得到毛毛虫树T 2={b 1,a 1,a 2,b 2},其中a 1b 1,a 2b 2是完美匹配M 的边.定义T 2的标号h 2为h 2(a 1)=0 h 2(b 1)=k +2d h 2(a 2)=k +d h 2(b 2)=d 易有h 2(E (T 2))={k ,k +d ,k +2d } h 2(V (T 2))⊆{k +2d ,0,k +d ,d }我们证得T 2是(k ,d )优美的.又因为h 2(a 1)+h 2(b 1)=k +2d h 2(a 2)+h 2(b 2)=k +2d 则T 2是(k ,d )强优美的.继续在T 2的顶点a 2后连接顶点a 3,并给a 3连接叶子b 3,得到毛毛虫树T 3={b 1,a 1,a 2,b 2,b 3,a 3},其中a 1b 1,a 2b 2,a 3b 3是完美匹配M 的边.我们定义T 3的标号h 3为h 3(a 1)=0 h 3(b 1)=k +4d h 3(a 2)=k +3d h 3(b 2)=d h 3(a 3)=2d h 3(b 3)=k +2d 通过观察知道|h 3(a 2)-h 3(a 3)|=|h 3(b 2)-h 3(b 3)|,即边标号h 3(a 2a 3)=h 3(b 2b 3),所以把连接a 2a 3的边移到连接b 2b 3上,所得到的树仍然是(k ,d )强优美的.再将移边后的树拉直成为一条路P 3=b 1a 1a 2b 2b 3a 3,易得h 3(E (T 3))={k ,k +d ,k +2d ,k +3d ,k +4d }h 3(V (T 3))⊆{k +4d ,0,k +3d ,d ,k +2d ,2d }从而证得T 3为(k ,d )优美的.又因为h 3(a 1)+h 3(b 1)=k +4d h 3(a 2)+h 3(b 2)=k +4d h 3(a 3)+h 3(b 3)=k +4d 所以T 3是(k ,d )强优美的.继续这个增长过程,得到毛毛虫树T n -1,利用移边方法可将毛毛虫树T n -1转变为一条路.当n 为奇数时,P n -1=b 1a 1a 2b 2b 3a 3 a n -1b n -1;当n 为偶数时,P n -1=b 1a 1a 2b 2b 3a 3 b n -1a n -1,它有(k ,d )强优美标号h n -1.我们给T n -1的顶点a n -1连接新顶点a n ,并给a n 连接叶子b n ,得到树T n .定义T n 的标号h n 为:当n 为奇数时,h (a n )=(n -1)d h (b n )=k +(2n -2-n +1)d 利用移边方法得到路P n =b 1a 1a 2b 2b 3a 3 a n -1b n -1b n a n ,易知T n 是(k ,d )优美的,且h n (a n )+h n (b n )=k +(2n -2)d ,说明T n 是(k ,d )强优美的;当n 为偶数时,h (a n )=k +(2n -2-n +1)d =k +(n -1)d h (b n )=(n -1)d 其余的证明同上.情形2 完美匹配M 包含形如a i a i +1的边.根据情形1,如果路P 上的点均有自己的叶子,则移边后得到的路一定为5第2期 郭璟霞,等:关于边对称树的广义优美性6西南大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第35卷P n=b1a1a2b2b3a3 a n-1b n-1b n a n或P n=b1a1a2b2b3a3 a n b n如果a i有自己的叶子b i,而a i+1没有,因为T是一棵带有完美匹配的毛毛虫树,则a i+1a i+2是匹配边,因a i+2没有自己的叶子,此路的顺序为P i=b1a1a2b2 a i b i a i+2a i+1 a n b n.我们利用情形1的证明过程,在顶点a2后连接顶点a3和a4,得到T4={b1,a1,a2,b2,a4,a3},其中a1b1,a2b2,a3a4是属于完美匹配的边,我们给出标号h4为h4(a1)=0h4(b1)=k+4d h4(a2)=k+3dh4(b2)=d h4(a3)=2d h4(a4)=k+2d不难得到|h4(a2)-h4(a3)|=|h4(b2)-h4(a4)|即边标号h4(a2a3)=h4(b2a4),所以把连接a2a3的边移到连接b2a4上,所得到的树仍然是(k,d)强优美的,再将移边后的树拉直成为一条路P3=b1a1a2b2a4a3.故有h4(E(T4))={k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d}依次进行下去,就可证得具有完美匹配的毛毛虫树T是(k,d)强优美的.3讨论与问题设树T顶点集的二部划分为(X,Y),它有正常标号f满足性质f(X)<f(Y)(这个性质在文献[6]中也被使用过).显然,这种性质的要求不适合于一般的研究情形,从而导致有些树没有(k,d)强优美标号.此外,我们没有发现不具有(k,d)优美标号的树.问题1对(k,d)ʂ(1,1)或(k,d)ʂ(1,2),是否每棵树承认一个(k,d)优美标号?根据文献[7]中的奇优美图的定义,我们有:定理5如果图G承认一个(k,d)优美标号,则G是奇优美图.证注意到,具有(k,d)优美标号的图G必是二部分图.设(X,Y)是图G的顶点集合的二部划分, h是(k,d)优美标号,则对每一个顶点xɪX,必有h(x)=i d;对每一个顶点yɪY,必有h(y)=k+j d.当(k,d)=(1,2)时,X中顶点标号皆为偶数,Y中顶点标号皆为奇数.所以,G的顶点标号两两不相同.又因边标号集合f(E(G))={1,3, ,1+2(|E(G)|-1)}说明G是奇优美图.注2图G承认一个(k,d)优美标号f,但当(k,d)=(1,1)时,可能有2个顶点u和v,使得f(u)= f(v).这说明图的优美标号和(k,d)优美标号在一般情形下是不等价的(参见图2).图2优美标号和(k,d)优美标号的不等价性参考文献:[1]G A R 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dG r a c e f u l n e s s o fE d g e S ym m e t r i cT r e e s G U OJ i n g -x i a , Y A O B i n g , Z HA N GJ i a -j u a n S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a A b s t r a c t :D e c a d e s -o l d i n v e s t i g a t i o no f g r a c e f u l t r e e c o n j e c t u r e a n d g r a c e f u l g r a p h sh a s r e s u l t e d i nv a r i o u s n e w g r a p h l a b e l l i n g s .T h e p a r a m e t e r s k a n d d i n (k ,d )-g r a c e f u l l a b e l i n g ca nb e o f i n f i n i t e v a l u e s ,s o t h a t s o m e g r ac e f u l (od d -g r a cef u l )g r a ph s b e l o n g t o t h e s e t o f g r a p h sh a vi n g (k ,d )-g r a c e f u l l a b e l l i n g s .I n t h i s p a p e r ,t h e (k ,d )-g r a c e f u l n e s sa n d (k ,d )-s t r o n gg r a c e f u l n e s so f s o m ec l a s s e so f m -e d g es y mm e t r i c t r e e s a r e p r o v e n .K e y w o r d s :m -e d g e s y mm e t r i c t r e e ;g r a c e f u l t r e e ;(k ,d )-g r a c e f u l l a b e l l i n g ;(k ,d )-s t r o n g l yg r a c e f u l l a b e l -l i n g ;p e r f e c tm a t c h i n g责任编辑 廖 坤7第2期 郭璟霞,等:关于边对称树的广义优美性8西南大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第35卷。