初中数学规律题总结

初中数学规律题解题基本方法
（一）数列的找规律
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n 位的总增幅。

然后再简化代数式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。

分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。

那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：
［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧
（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2
（三）看例题：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24……，
序列号：1、2、3、4、5
分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例： 4，16，36，64，？，144，196，…？（第一百个数）
同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤
先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。

如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律
如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律
最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题
四、【典型例题】
例1 观察下列算式：
……
用你所发现的规律写出的末位数字是__________。

观察下列式子：
；；；……
请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。

五、图形找规律
小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。

合作交流，探索规律：
活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形
⑴填写下表：
⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：
①寻找数量关系；
②用代数式表示规律
③验证规律。

★练习：四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？五棱柱呢？十棱柱呢？n棱柱呢？
活动二：探索具体情景下事物的规律
问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？
问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子
⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐人。

⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：
问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起
⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？
⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。

⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人。

活动三：探索图表的规律
下面是2000年八月份的日历：
⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。

⑸你还能提出那些问题？
4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

……①②③
(1)将下表填写完整
（2
）在第n
个图形中有____________________个三角形（用含
n的式子表示）。

例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等
分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：
例7．把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是
例8.观察下列图形并填表。

个数 1 2 3 4 5 6 7…
周长 5 8 11 14 …
六、巩固练习题
1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖块；
（2）第个图案中有白色地面砖块。

……
图形编号 1 2 3 4 5 …
三角形个
数
1 5 9 …
1
1
2
2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有
个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S 与之间的关系可以用式子来表示。

……
3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。

①5，9，13，17，，。

②4，5，7，11，19，，。

③10，20，21，42，43，，，174，175。

④4，9，19，34，54，，，144。

⑤45，1，43，3，41，5，，，37，9。

⑥6，1，8，3，10，5，12，7，，。

⑦0，1，1，2，3，5，，。

⑧180，155，131，108，，。

⑨5，15，45，135，，。

⑩60，63，68，75，，。

4．你能很快算出吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数
可写成10•+5,即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。

通过计算，控索规律：
可写成
可写成
可写成
可写成
…………
可写成
可写成
从第（1）的结果，归纳、推测得：
根据上面的归纳、推测，请算出：
5．观察下列几个算式，找出规律：
1＋2＋1=4
1＋2＋3＋2＋1=9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25
……
利用上面规律，请你迅速算出：
①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=
②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？
③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？
12．给出下列算式：，，，
，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是。

6．研究下列算式，你会发现有什么规律？
；；；……
请将你找出的规律用公式表示出来：。

7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：
所表示的数：。

所表示的数：。

8．因为，，
那么。

9．将1，，，，，，…按一定规律排成下表：
试找出在第行第个数
10．如下图：
（1）（2）
9
45 24
285
17 21
227
36 43
466
25 31
11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。

如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。

当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？
当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
12．将1至1001个数如下图的格式排列。

用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。

13．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．
【关键词】规律
14、（2010盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是
0 4 2 6 8
A ．38
B ．52
C ．66
D ．74 关键词：数字排列规律 15．（2010年门头沟区）如图，，过
上到点
的距离分别为
的点作
的垂线与
相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为
．
则第一个黑色梯形的面积
；观察图中的规律，
第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积 ． 【关键词】规律题、梯形面积
16.（2010年山东省济南市）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按
的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在
点． 【关键词】点的移动 17、（2010年毕节地区）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．
【关键词】找规律 18、（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。

请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V ） 面数（F ） 棱数（E ） 四面体 4 7 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面
体
20 12 30
你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是_______________。

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。

（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。

【关键词】规律与探索
第
12题 C
A
F D E B
G 四面体 正八面体 正十二面体 四… A
B C P P
……
图③图②图①19、15．直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有 个点. 【关键词】点
20、 （2010年安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。

对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。

当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（ ） A ）495 B ）497 C ）501 D ）503 【关键词】探索规律 21、（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b = n ， 可以使：（a+c ）⊕b= n+c ，a ⊕（b+c ）=n －2c ， 如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 = ． 【关键词】阅读理解、探究规律
22、(2010重庆市)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A ．图①
B ．图②
C ．图③
D ．图④
解析：观察图形，可知每转动4次为一个循环，所以10÷4=2…2，即第10次旋转后得到图形是图②.
24.（2010年四川省眉山市）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
【关键词】规律与探索 25．（2010年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) . A. 669 B. 670 C.671 D. 672 【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索 26、 （2010江苏泰州，17，3分）观察等式：①，②
，③…按照这种规律写出第n 个等
式： ．
【答案】 【关键词】规律归纳猜想 27、（2010山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC 边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC 边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB 边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC 边的P3（第3次落点）处，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为Pn （n 为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．
【关键词】寻找规律
一、数字规律类： 1、一组按规律排列的数：，，，，，…… 请你推断第9个数是 ．
2、已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是 ．第n 个等式是 ．
3、观察下列各式；①、1+1=1×2 ；②、2+2=2×3； ③、3+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 。

4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子
5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是 。

6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。

第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15 ………………
7、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ． 8． 有一列数：……，第9个数是 .
9．观察下列各式：
，，，，……
将上面的规律用含有n 的公式表示出来是 . 10．观察下列各式：…，用n （自然数）把这个规律表示出来．
11．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……
这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n 表示自然数，请用含有n 的等式表示出来。

12 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．
A B C P 0
P 1 P 2 P 3 第27题图
二、图形规律类：
13、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点处，第二
次从点跳动到O 的中点处，第三次从点跳动到O 的中点处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为。

14、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴根.
……
1条2条3条
15、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…………
从第1个球起到第2005个球止，共有实心球个．
16、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含的代数式表示）。

……
n=3 n=4 n=5
（第12题）
17、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．
（1）当n = 5时，共向外作出了个小等边三角形
（2）当n = k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．
序号 1 2 3 …n
图形…(此空不填)
的个数8 24 …
的个数 1 4 …
19.研究下列等式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
…
设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.
20．探索规律可写成 , 可写成
可写成 ,可写成
（1）把这个规律用含有n的式子写出来；
（2）计算952．
21．观察：
…
计算：．
22. 如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖__________块；
（2）第n个图案中有白色地面砖__________块．
24(岳阳04)．观察：，
…………
计算：＝。

二，探索图形规律
25(浙江湖州05)．观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。

26：(05
山东泉州）下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．23，（05青岛）
27、探索题：如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆．
˙˙˙
（１）（２）（３）
请观察上图并填写下表
图形编号（１）（２）（３）（４）（５）（６）
圆的个数
你能试着表示出第n 个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第2008个图形中有多少
个圆.
28 电话费与通话时间之间的关系如下表：
通话时间
x(分)
电话费
y(元)
1 0.3+0.6
2 0.6+0.6
3 0.9+0.6
4 1.2+0.6
5 1.5+0.6
(1)写出用通话时间x表示电话费y的公式：_________.
(2)并用你所列的公式求当通话时间x=100分钟时的费用：__________.
(3)小明家四月份电话费是96.6元，那么他家一共打了多长时间的电话：__________.
探索找规律习题集及中考题集
如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第个图案所需花盆的总数是
___________________．
* * * *
* * * * * *
* * * * * * * * *
2.观察正方形图案，每条边上有个圆点，每个图案中圆点总数式，按此推断与的
关系式为
3．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成，通过观察可以发现：
………………
(3)(2)(1)（1）第4个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第个图形中火柴棒的根数是 ；
4． ① ② ③ ●●● ●●●●● ●●●●●●● ● ● ● ● ● ●
● ● ●
上面是用棋子摆成的“T ”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“T ”字需要多少个棋子？第n 个呢？
5．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折
痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．
6．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子．
7．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数______________
8．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有听罐头， 第二层有听罐头， 第三层有听罐头，
……
根据这堆罐头排列的规律，第（为正整数）层有 听罐头（用含的式子表示）．
9．按如下规律摆放三角形：
则第(4)堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为________________.
10．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。

依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为 ；第n 个图案中白色正方形的个数为
…… ① ② ③ 第8题图
11、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第n 个图案中正方形的个数是
12．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片 张；（2）第n 个图案中有白色纸片 张. 13．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，根据以上操作方法，请你填写下表：
15．观察下列等式：
; ; ; ……………
这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于的等式表示出来： 16.观察下列等式：
;
;;………………… 请你将猜想到的规律用自然数表示出来 ；
17.观察下列各式：
;;
;…………………
请你将猜想到的规律用自然数表示出来： ； （树苗原高100厘米）
年数a 高度h （单位：厘米） 1 115 2 130 3 145 4 … ……
a 的代数式表示高度h ：____________ (3)用你得到的代数式求生长了10年后的树苗可能达到的高度。

19．已知：，，，…若（a 、
b 为正整
数），则a ＋b ＝ 。

20．观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
操作次数N 1 2 3 4 5 … N …
正方形的个
数 4 7 10 … … …… 第2个 第3个 n=3
…… …… ①1=12； ②1+3=22； ③1+3+5=32； ④ ； ⑤ ；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
21．阅读下列一段话，并解决后面的问题
观察下面一列数：1，2，4，8，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．。