2013上半年运筹学第一次作业
运筹学1
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
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线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
运筹学第一次作业
练习一1、 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同,产品A 需200件,产品B 需300件。
这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。
在毛坯制造阶段,产品A 每件需要2小时,产品B 每件需要4小时。
机械加工阶段又分粗加工与精加工两道工序,每件产品A 需粗加工4小时,精加工10小时;每件产品B 需粗加工7小时,精加工12小时。
若毛坯生产阶段能力为1700小时,粗加工设备拥有能力为1000小时,精加工设备拥有能力为3000小时。
又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。
此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产,但加班生产时间内每小时增加额外成本4、5元。
试根据以上资料,为该厂制订一个成本最低的生产计划。
解:设正常生产A,B 产品数12,x x ,加班生产A,B 产品数34,x x13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 13241212121220030024170047100010123000475000i x x x x x x x x x x x x x +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎪+≤⎨⎪+≤⎪+≤⎪⎪≥⎩且为整数，i=1,2,3,42、 对某厂I ,Ⅱ,Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。
时为15000小时,生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。
因更换工艺装备,产品I 在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时,产品I ,Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元,产品Ⅲ赔偿10元;又生产出来产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费用为5元。
问:该厂应如何安排生产,使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型,不需求解)。
解:设x ij 为第j 季度产品i 的产量,s ij 为第j 季度末产品i 的库存量,d ij 为第j 季度产品i 的需求量。
运筹学第一次作业
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？（1）约束条件①的右端常数由20变为30；（2）约束条件②的右端常数由90变为70；（3）目标函数中X 3的系数由13变为8；（4） X 1的系数列向量由 变为； （5）增加一个约束条件③⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-++-=0x ,x ,x ）2（90x 10x 4x 12）1（20x 3x x .t .s x 13x 5x 5Z max 321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50）3（50x 5x 3x 2321≤++在上述线性规划问题的第①、②个约束条件中分别加入松弛变量X4，X5得列出此问题的初始单纯形表，并进行迭代计算，由表可知，线性规划问题的最优解X*=(0，20，0，0，10)T，目标函数最优值z*=5×20=100。
(1) 列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，由表可知，线性规划问题的最优解变为X*=(0，0，9，3，0)T，目标函数最优值z*=13×9=117。
（2）列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解由表可知，线性规划问题的最优解变为X*=(0，5，5，0，0)T，目标函数最优值z*=5×5+13×5=90。
(3)x3为非基变量，其检验数变为σ3=8-5×3-0×(-2)=-7＜0，所以线性规划问题的最优解不变。
(4) x1在最终单纯形表中的系数列向量变为P'1=B-1，从而x1在最终单纯形表中的检验数变为(X1X2X3)=(0200)f max=100所以线性规划问题的最优解不变(5)增加一个约束条件：2x1+3x2+5x3≤50。
在约束条件③中加入松弛变量x6，得2x1+3x2+5x3+x6=50，加入原单纯形表，并进行迭代计算。
由表中计算结果可知，目标函数最优值。
运筹学第1次及目标规划
第一次实验要求：建模并求解（excel规划求解）1、合理下料问题．现要做100套钢架，每套由长2.8米、2.2米和1.8米的元钢各一根组成，已知原材料长6.0米，问应如何下料，可以使原材料最省？如果每套钢架由2.8米的元钢1根、2.2米的元钢2根、1.8米的元钢3根，则如何修改数学模型？2、配料问题．某工厂要用三种原材料甲、乙、丙混合调配出三种不同规格的产品A、B、C．已知产品的规格要求、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价（分别见表1和表2），问该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？表1表23、连续投资问题．某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%．该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？4、购买汽车问题．某汽车公司有资金600 000元，打算用来购买A、B、C三种汽车．已知汽车A每辆为10 000元，汽车B每辆为20 000元，汽车C每辆为23 000元．又汽车A每辆每班需一名司机，可完成2 100吨·千米；汽车B每辆每班需两名司机，可完成3 600吨·千米；汽车C每辆每班需两名司机，可完成3 780吨·千米．每辆汽车每天最多安排三班，每个司机每天最多安排一班．限制购买汽车不超过30辆，司机不超过145人．问：每种汽车应购买多少辆，可使每天的吨·千米总数最大？5、人员安排问题．某医院根据日常工作统计，每昼夜24小时中至少需要如下表所示数量的护士，护士们分别在各时段开始时上班，并连续工作8小时，向应如何安排各个时段开始上班工作的人数，才能使护士的总人数最少？目标规划实验要求：建模并求解(1-5选2个,6-12选3个)【案例6.1】升级调资问题．某高校领导在考虑本单位员工的升级调资方案时，依次考虑如下的目标：(1)年工资总额不超过900万元；(2)每级的人数不超过定编规定的人数；(3)副教授、讲师、助教级的升级面尽可能达到现有人数的20％；助教级不足编制的人数可直接聘用应届毕业研究生．教授级人员中有10％要退休．有关资料见表6.6，请为该领导拟定满意的方案．表6.6【案例6.2】农场生产计划问题．友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物．各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨．预计秋后玉米每亩可收获500kg，售价为0.24元／千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元／千克，小麦每亩可收获300千克，售价为0.70元/千克．农场年初规划时考虑如下几个方面：P1：销售收入不低于350万元；P2：总产量不低于1.25万吨；P3：小麦产量以0.5万吨为宜；P4：大豆产量不少于0.2万吨；P5：玉米产量不超过0.6万吨；P6：农场现能提供5 000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好．试就该农场生产计划建立数学模型．【案例6.3】多目标运输问题．已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价，见表6.7有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：P1：B4是重点保证单位，必须全部满足其需要；P2：A3向B1提供的产量不少于120；P3：每个销地的供应量不小于其需要量的80%；P4：所订调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的20%；P5：因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往B4；P6：给B1和B3的供应率要相同；P7：力求总运费最省．试求满意的调运方案．表6.7【案例6.4】电台节目安排问题．一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间．据有关规定，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为17.50美元．根据规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目．问每天的广播节目该如何安排?优先级如下：P1：满足规定要求；P2：每天的纯收入最大．试建立该问题的目标规划模型．【案例6.5】混合配方问题．某酒厂用三种等级的原料酒I、II、III兑制成三种混合酒(A、B、C牌)．这些原料酒的供应量受到严格限制，它们每日的供应量分别为1 500千克，2 000千克和1 000千克，供应价格分别为18元/千克，13.5元/千克和9元/千克．三种混合酒的配方及售价见表6.8．表6.8厂长确定：首先必须按规定比例兑制混合酒；其次是获利最大；再次是混合酒A每天至少生产2 000千克．试建立数学模型．6、公司决定使用100万元新产品开发基金开发A，B，C三种新产品．经预测估计，开发A，B，C三种新产品的投资利润率分别为5％，6％，8％．由于新产品开发有一定风险，公司研究后确定了如下优先顺序目标：第一，A产品至少投资30万元；第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35%；第三，应至少留有10％的开发基金，以备急用；第四，使总的投资利润最大．试建立投资方案的目标规划模型．7、某电子制造公司生产两种立体声耳机，一种为普及型，装配一个需1小时，另一种为豪华型，每个装配时间为2小时．正常的装配作业每周限定为40小时．市场调查表明，每周生产量普及型不超过30件，豪华型不超过15件．净利润普及型为每件40元，豪华型每件60元．已知公司经理对优先级的排序如下：P1：总利润最大；P2：装配线尽可能少加班；P3：销售耳机尽可能多；试建立此问题的目标规划模型．8、某工厂生产甲、乙两种产品，单位甲产品可获利6元，单位乙产品可获得4元．生产过程中每单位甲、乙产品所需机器台时数分别为2和3个单位，需劳动工时数分别为4和2个单位．该厂在计划期内可提供100个单位的机器台时数和120个劳动工时数，如果劳动力不足尚可组织工人加班．该厂制定了如下目标：第一目标：计划期内利润达180元；第二目标：机器台时数充分利用；第三目标：尽量减少加班的工时数；第四目标：甲产品产量达22件，乙产品产量达18件．上述四个目标分别为四个不同的优先等级．请列出该目标规划问题的数学模型，并用图解法、单纯形法(表格形式)分别求解之．9、已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆固醇含量等有关数据如下表，如果只考虑三种食物，并且设立了下列三个目标：第一，满足三种维生素的每日最小需要量；第二，使每日摄入的胆固醇最少；第三，使每日购买食品的费用最少．要求建立问题的目标规划模型．10、某工厂生产白布、花布两种产品，其生产率皆为1 000米/小时；其利润分别为1.5元／米和2.5元／米；每周正常生产时间为80小时(加班时间不算在内)．第一目标：充分利用正常生产时间进行生产；第二目标：每周加班时数不超过10小时；第三目标：销售花布要求达到70 000米，白布达45 000米；第四目标：每周利润达15万元．试建立上述问题的数学模型．11、某工厂生产唱机和录音机两种产品，每种产品均需经A、B两个车间的加工才能完成．表中给出了全部已知条件，要求尽可能实现的目标有以下六个：第一目标：仓库费用每月不超过4 600元；第二目标：唱机每月售出50台；第三目标：勿使A、B车间停工(权系数由两车间的生产费用决定)；第四目标：车间A加班不超过20小时；第五目标：录音机每月售出80台；第六目标：车间A、B加班时数的总和要限制(权系数由两车间的生产费用决定)．试列出该问题的目标规划数学模型．12、某公司下设三个工厂，生产同一种产品，现在要把三个工厂生产的产品运送给四个订户．工厂的供应量、订户的需求量以及从三个工厂到四个订户的单位运费如表所示(表格中方格内数字为单位运费)．现在要作出一个产品调运计划，依次满足下列各项要求：p1：订户4的订货量首先要保证全部予以满足；p2：其余订户的订货量满足程度应不低于80％；p3：工厂3调运给订户1的产品量应不少于15个单位；p4：因线路限制，工厂2应尽可能不分配给订户4；p5：订户1和订户3的需求满足程度应尽可能平衡；p6：力求使总运费最小．试建立上述问题的目标规划模型．。
运筹学考试复习资料
《运筹学课程》第一次作业 第一题：某工厂生产某一种型号的机床，每台机床上需要2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴、分别为1根、2根、1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4m 。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？试建立其线性规划模型。
第二题：用图解法求解，线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0,52426155..2max 212121221x x x x x x x t s x x Z 第一题：求以下各图的最小支撑树（1）（2）第二题：表1《运筹学课程》第二次作业第一题：用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最忧解、多重最优解、无界解或无可行解．第二题：将下列线性规划模型的一般形式转化为标准型（1）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞-∞∈≥≤++=+-≥+-+-=，321321321321321,0,1036345..32max x x x x x x x x x x x x t s x x x Z （2）()⎪⎩⎪⎨⎧-∞∞∈≥≤-≤-+--=++-+-=,,0,0824..22min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x Z第三题：用单纯型法求解线性规划问题，并用图解法进行验证注：按照我上课所讲例题的求解步骤进行（参照课件），好好理解单纯型法的基本原理，做题时先不要使用单纯型法的表格形式。
第四题：自己亲自动手推到一下单纯型法中的检验数，参照课件中29-31页。
第一题：（1）求点v 1到图中个点的最短路；（2）指出v 1不可到达哪些点。
第二题：已知某地区的交通网络如图所示，图中点代表居民小区，边表示公路，l ij为小区间公路距离，问该地区中心医院应建在哪个小区较为合适。
第一题：用最简单方法求解该线性规划问题（提示：求出该问题的对偶问题，然后用单纯型法求解对偶问题，可减少计算量，从最后一张单纯形表获得原问题的最优解）第二题：表1第三题：已知产销平衡问题，见表2表2分别用“最小元素法”和“伏格尔法”求该问题的初始基可行解，并求出这两个基可行解的目标函数值。
运筹学第一次作业详解
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42366432min 21212121x x x x x x x x z（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0,12432223max 21212121x x x x x x x x z（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 212121x x x x x x z（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322265max 21212121x x x x x x x x z1.2将下述线性规划问题化成标准形式。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束4,03,2,12321422245243min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，''4'44x x x -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,232142222455243'max 65''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束3,02,016324322min 21321321x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，1'1x x -=，''3'33x x x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++-+=-+++-+=0,,,,6243322'max 4''3'32'14''3'32'1''3'32'1''3'32'1x x x x x x x x x x x x x x x x x x z1.3对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。
2013《运筹学》考试题及其答案
T()
15
{10}
oo
11
00
00
6
P( )+Wi
j
10+0
10
+4
10+0
10+0
10+0
T()
15
14
{11}
00
00
7
P( )+Wi
j
11+0
11+0
11+0
11+9
T()
15
{14}
00
20
8
P( )+Wi
j
14+o
14+
1
14+o
T()
{15}
{15}
11
9
P( )+wi
j
15+
4
T()
0
1
0
3/5
1/5
0
6/5
0
X3
0
0
1
1
1
1
0
rj(-z)
0
0
0
1/5
—M+7/5
——M
18
/5
表中所有检验数rj0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解X(3,§,0,0,0,0)t,目标函
5 5
数的最优值maxz43 618。
555
二、试用表上作业法求解下列运输问题的最优解。
'产
B1
B2
B3
B4
初始值
T(
)
{0}
00
00
oo
oo
OO
oo
运筹学一试题1
（可不抄题，答案必须写在我校统一配发的专用答题纸上！）一、 （13分） 某汽车公司有资金600000元，打算用来购买A 、B 、C 三种汽车。
已知汽车A 每辆为10000元，汽车B 每辆为20000元，汽车C 每辆为23000元。
又汽车A 每辆每班需一名司机，可完成2100吨-公里；汽车B 每辆每班需两名司机，可完成3600吨-公里；汽车C 每辆每班需两名司机，可完成3780吨-公里。
每辆汽车每天最多安排三班，每个司机每天最多安排一班。
限制购买汽车不超过30辆，司机不超过145人。
问：每种汽车应购买多少辆，可使每天的吨-公里总数最大？要求建立这个问题的线性规划模型。
（不用求解）二、 （16分） 考虑线性规划问题max Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4约束条件 x 1 + x 2 ≤ 2x 3 + x 4 ≤ 5x j ≥ 0 j = 1, 2, 3, 4（1） 求此线性规划问题的全体最优基可行解； （2） 确定任意最优解的表达式。
三、 （12分） 判断下列说法是否正确，为什么？（1） 若线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；（2） 若线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； （3） 如果线性规划的原问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定具有最优解；（4） 已知线性规划问题 max Z = CX , AX ≤ b , X ≥ 0 。
若X ~是它的一个基解，Y ~是其对偶问题的一个基解，则恒有b Y ~X ~C ≤。
四、 已知线形规划问题min Z = 8x 1 ＋ 6x 2 + 3x 3 ＋ 6x 4约束条件 x 1 + 2x 2 + x 4 ≥33x 1 ＋ x 2 + x 3 ＋ x 4≥6 x 3 ＋ x 4≥2 x 1 + x 3 ≥2 x 1，x 2，x 3，x 4≥0 （1） 写出其对偶问题；（2） 已知原问题最优解为X *=(1,1,2,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
【精品】2013年运筹学 上机第一次培训 课件
第一次上机练习【1】 已知某工厂计划生产A1、A2、A3三种产品，各产品需要在甲、乙、丙设备上加工。
有关数据如下表：试问:（1）如何制定生产计划，使工厂获利最大？（2）若市场上A1产品供不应求，单位产品利润可提高到5千元，试问原生产计划是否需要改变？如需改变，请给出新的生产计划。
（3）接问题（1），如可增加丙设备的生产工时，生产计划是否需要调整？（4）接问题（1），若为了增加产量，可租用其它工厂的设备甲工时，每月最多可租用60工时，租金比该厂的设备甲工时成本多0.3千元/工时，试问是否需要租用其它工厂的设备甲？若需租用，应租用多少工时？【解】（1）如何充分发挥设备能力，使工厂获利最大？ 设x i 为生产Ai 产品的数量，则目标函数为：123max z 32 2.9x x x =++通过QSB 软件建模如图1-1所示。
求解如图1-2所示。
即生产A1产品38单位，可使工厂获利最大为：3千元*38=114千元（2）根据图1-2可知，价值系数c1的y影响范围为（2.32，M），而当价值系数增加到5时，在此范围之内，故原生产计划不发生改变。
（3）根据图1-2可知，丙设备的生产工时的影子价格为0，即通过调整丙的总工时，不会带来目标函数值的增加，故原生产计划不需要改变。
（4）设租用设备甲的工时数为x4，则模型修订如图1-3所示。
求解如图1-4所示。
根据图1-4求解可知：最优值为115.2，因为115.2>114，即租用设备甲增加了利润，所以需要租用设备甲，租用工作时为16工时。
【2】某工厂生产两种绳子：橡筋绳与钢丝绳，利润分别为1.7元/米和2.8元/米。
正常情况下该厂每周生产两种绳子的总生产能力为80工时，每小时可生产任一一种绳子1000米。
据市场需求情况预测每周销售量为：橡筋绳15000米、钢丝绳72000米。
请拟定生产计划以满足下列目标：P1：每周利润不低于220000元P2：不使产品滞销P3：充分利用生产能力，尽量少加班。
运筹学课程作业答案
工厂5
工厂9 工厂6
工厂3
8
线性规划 Linear Programming（LP）
３. 河流污染治理规划问题
曾几何时长江水， 哺育华夏代代人， 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
工厂2 工厂8
工厂7
工厂1 工厂3
工厂4
工厂5
工厂9
工厂6
今日认识未为晚， 吾辈齐心治环境， 线性规划大有用， 定让江水绿如蓝。 9
10
线性规划 Linear Programming（LP）
背景资料:
表-1 污水排放量
单位：万m3
化工厂1
1.2
化工厂4
2
化工厂7
2
化工厂2
1
化工厂5
1
化工厂8
0.8
化工厂3
3
化工厂6
1
化工厂9
1.5
表-2 流经各化工厂的河流流量
单位：万m3
化工厂1
500
化工厂4 1200 化工厂7 1200
化工厂2
6
第一章作业
３. 河流污染治理规划问题 曾几何时长江水， 哺育华夏代代人， 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
7
线性规划 Linear Programming（LP）
案 例 河流污染治理规划问题
曾几何时长江水， 哺育华夏代代人， 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
工厂1
工厂2 工厂8
工厂7
工厂4
5
▪ ▪
对化工厂7应有—— 3 （2-X7）+ 0.8（1.5-X9） / 1200 ≦ 0.2%
13
线性规划 Linear Programming（LP）
▪ 对化工厂4应有——
运筹学第1次
《运筹学》作业第2章1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）产品1和产品2分别生产15和7.5单位,最大利润是975.2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？1)因为劳动时间的阴影价格是8,所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班；2)因为允许的增加量是10,所以生产计划不变Microsoft Excel 9.0 敏感性报告工作表 [ex2-6.xls]Sheet1报告的建立: 2001-8-6 11:04:02可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量$B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20$C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5$D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0$E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量$G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100$G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 2004某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）（20分）5. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？1)因为劳动时间的阴影价格是8,所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班2)日利润增加2×8=163)因为允许的增加量是10,所以生产计划不变.Microsoft Excel 9.0 敏感性报告工作表 [ex2-6.xls]Sheet1报告的建立: 2001-8-6 11:04:02可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量$B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20$C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5$D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0$E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量$G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100$G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200第3章1．一公司开发出一种新产品，希望通过广告推向市场。
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《管理运筹学》第一次作业答案你的得分： 96.0完成日期：2013年06月15日 11点17分说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，标准答案将在本次作业结束(即2013年09月12日)后显示在题目旁边。
一、单项选择题。
本大题共20个小题，每小题 2.0 分，共40.0分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.规划的目的是（）( C )A.合理利用和调配人力、物力，以取得最大收益。
B.合理利用和调配人力、物力，使得消耗的资源最少。
C.合理利用和调配现有的人力、物力，消耗的资源最少，收益最大。
D.合理利用和调配人力、物力，消耗的资源最少，收益最大。
2.当线性规划问题的一个基解满足下列哪项要求时称之为一个可行基解。
（ ）( A )A.非负B.小于0C.大于0D.非正3.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )( C )A.等于m+nB.大于m+n-1C..小于m+n-1D.等于m+n-14.在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（）( B )A.多余变量B.松弛变量C.自由变量D.人工变量5.约束条件为AX=b，X≥0的线性规划问题的可行解集是（）( B )A.补集B.凸集C.交集D.凹集6.线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（）上达到。
( C )A.内点B.外点C.极点D.几何点7.若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的（）( D )A.值B.个数C.机会费用D.检验数8.若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（）( A )A.大于或等于零B.大于零C.小于零D.小于或等于零9.若链中顶点都不相同，则称Q为（）( B )A.基本链B.初等链C.简单链D.饱和链10.若f 是G的一个流，K为G的一个割，且Valf=CapK，则K一定是（）( A )A.最小割B.最大割C.最小流D.最大流11.若f*为满足下列条件的流：Valf*=max{Valf |f为G的一个流}，则称f*为G的（）( C )A.最小值B.最大值C.最大流D.最小流12.线性规划标准型中bi （i=1，2，……m）必须是（）( B )A.正数B.非负数C.无约束D.非零的13.基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得 ( )( C )A.基本解B.退化解C.多重解D.无解14.原问题的第i个约束方程是“=”型，则对偶问题的变量q i是（）(B )A.多余变量B.自由变量C.松弛变量D.非负变量15.．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（）( D )A.等式约束B.“≤”型约束C.“≥”约束D.非负约束16.若原问题是求目标最小，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中剩余变量的（）( C )A.机会费用B.个数C.值D.机会费用的相反数17.若一个闭链C除了第一个顶点和最后一个顶点相同外，没有相同的顶点和相同的边，则该闭链C称为（）( B )A.初等链B.圈C.回路D.饱和链18.若G中不存在流f增流链，则f为G的（）( B )A.最小流B.最大流C.最小费用流D.无法确定19.若f 是G的一个流，K为G的一个割，且Valf=CapK，则K一定是（）( A )A.最小割B.最大割C.最小流D.最大流20.若树T有n个顶点，那么它的边数一定是（）( D )A.n＋2B.nC.n+1D.n-1二、多项选择题。
运筹学作业（清华版第一章习题）答案
运筹学作业（清华版第一章习题）答案运筹学作业（第一章习题）答案1．1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（2）12121212m ax 322..34120,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≥??≥≥?解：先画出问题的可行区域：如右图所示，两条边界直线所围成的区域没有公共部分，即可行区域是空的。
故该问题无可行解。
1．2将下述线性规划问题化成标准形式：（1）12341234123412341234m in 3425422214..232,,0,z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+-=-??+-+≤??-++-≥??≥?无约束, 解：由于4x 无约束，故引进两个新变量，即444x x x '''=-代入原问题，并对方程2和方程3分别引入新变量5x 和6x ，则此问题的标准形式为： 12344123441234451234461234456m ax ()342554222214..232,,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x '''-=-+-+'''-+-+=-??'''+-+-+=??'''-++-+-=??'''≥?1．4分别用图解法和单纯型法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯表中的各基可行解对应图解法中可行区域的哪一顶点。
（1）12121212m ax 105349....5280,0z x x x x s t s t x x x x =++≤??+≤??≥≥? 解：图解法：先画出可行区域K ，如右图所示，K 即为OABC ，B 点为最优解。
2013运筹学答案
《运筹学》参考答案一、（1）首先化标准型：1231234125123452 6.. 4,,,,0MaxZ x x x x x x x s t x x x x x x x x =-++++=⎧⎪-++=⎨⎪≥⎩此时所有的检验数都不大于零，可以得到最优解x 1*=6，x 2*=0，x 3*=0，最优值z *=12。
（2）由(1)中的最优表知1 1 01 1B -⎛⎫=⎪⎝⎭， 16 1 06642 1 14210B λλλλλλ-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，要使原最优基不变，必有60,100λλ+≥-≥且，即610λ-≤≤。
（3）要使（1）的原最优解不变，必须11130,10,20c c c --∆≤--∆≤--∆≤且，即11c ∆≥- （4）由(1)中的最优表知，对偶问题的最优解为**122,0y y ==。
二、(1) 该问题的对偶问题为(2)设Z =－W ，x 1=x 1’－x 1’’ ，x 2=－x 2’， 则原问题的标准型为三、（1）112311234112351123112345max 2'2''2'42'2''3'5 23'3'''7 3..'''4'6 5','',',,,0W x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-++---+-=⎧⎪--++=⎪⎨--+=⎪⎪≥⎩123123123123123max 235232342..57640,0,W y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++=⎧⎪++≥⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩无约束V s V 1V 2 V 3V 4 V t (8,6)(7,4)(5,5) (5,5)(10,5) (6,2)(5,2)(3,3)(6,1)(0,+∞)(Vs,2)(V 1,2)(V 4,2)(V 3,2)（2）根据（1），C 12=1，对应的检验数为0，此时有无穷多最优运输方案，另外一个最优解是X=（1,3,0,0,0,0,2,4,4,0,2,0），（1）中的最优解记为X ’，则也是最优解。
运筹学第一章作业答案
第一章作业1．对于下列线性规划模型，找出顶点和约束之间的对应关系（图解法）122121212 max 25156224..50,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩（答案略: 任何一个顶点对应两个约束的交点）2．用单纯形法求解线性规划模型12121212 max 2324..50,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩（答案略：最好两阶段法和大M 法均练习一遍）3．通过观察，判断下列线性规划模型有无最优解、在有解的情况下是否为无界解(说明理由)（1）12121212 max 25..2280,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩因为 125x x +≥和12228x x +≤是两个矛盾的条件，所以问题无解（2）12312312312 max 225..32580,0z x x x x x x s t x x x x x =++-+≥⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩ 因为(M ，0，0)是模型的一个可行解，所以可认为问题为无界解。
4．判断题(说明理由)1．最优解不唯一，那么一定有两个最优基可行解。
错误。
最优解不唯一，可能存在一个基可行解，也可能存在r(r ≥2)个基可行解。
举一例子进行反驳即可。
（注意区分基可行解和可行解）2．在最优单纯形表中，如果某个非基变量的检验数值为0，且相应的技术系数均小于等于0，则相应的线性规划有无界解。
错误。
判定无界解的原则有二：（1）某一单纯表中某一非基变量的检验数为正(目标函数求最大值时，求最小值时正好相反)，而该变量的技术向量P ≤0；（2）某一单纯表中某一非基变量的技术向量P ≤0，而该变量的价值系数又大于0(目标函数求最大值时，求最小值时正好相反)。
（注意：区分无界解和无穷多最优解） 5 线性规划问题max ,,0z CX AX b X ==≥，如果*X 是该问题的最优解，又0λ>为一常数，分别讨论下述情况时最优解的变化：（a ） 目标函数变为 max z CX λ= 方法1: 使用检验数进行讨论最优单纯表中, 变量X 的检验数为1B C C B A σ-=-, 显然 10B C C B A --≤设这时的最优解为*X . 当价值系数变为C λ时, *X 仍然是新问题的可行解,但变量X 的检验数变为111()B B C C B A C C B A σλλλ--=-=-仍有10σ≤, 因而两个问题具有同样的最优基, 进而有同样的最优解,仅仅最优目标函数值变化了λ倍.方法2: 设*X 为原问题的一个最优解, X 是原问题的任意一个可行解因而必有*CX CX ≥由于*X 和X 均也为新问题的可行解,由于0λ≥, 因而 *CX CX λλ≥ 因而*X 也是新问题的最优解.（b ） 目标函数变为 max ()z C X λ=+提示: 通过选择具体的例子, 分析目标函数的变化, 最优解可能发生改变, 也可能不变. 6．已知线性规划问题1122331111221334121122223352max ..01,2,3,4jz c x c x c x a x a x a x x b s t a x a x a x x b x j =++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥ =⎩试确定模型中各参数的值 解法1: 直接使用矩阵变换.解法2: 使用B 和1B -解题(关键知识点), 具体略.11/201/61/3B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦7． (证明题)线性规划问题max ,,0z CX AX b X ==≥，设0X 是问题的最优解，若目标函数中用*C 替换C 后，问题的最优解为*X ，则必有**()()0C C X X --≥证明：对于原问题，由于0X 和*X 均为可行解，0X 为最优解，因而有0*CX CX ≥ （7.1）对于替换后的问题，由于0X 和*X 均为可行解，*X 为最优解，因而有 ***C X C X ≥ （7.2） 结合（7.1）和（7.2）命题成立.8．(选做题)对于大M 法和两阶段法下面线性规划需要引入m 个人工变量, 你是否可以设计一种方法只引入一个人工变量就可112211112211211222221122 m i n .................0,1,2,...,n n n n n n m m mn n mi z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x bx i n=++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪≥=⎪⎩ 9．（选做题）证明标准的线性规划模型，要么不存在可行解，要么至少存在一个基可行解。
2013年9月份考试运筹学第一次作业
2013年9月份考试运筹学第一次作业一、单项选择题(本大题共100分,共 40 小题,每小题 2.5 分1. 0-1规划求解方法没有( 。
A. 枚举法B. 隐枚举法C. 单纯形法D. 避圈法2. 整数规划要靠( 为之提供其松弛问题的最优解。
A. 0-1规划B. 动态规划C. 动态规划D. 线性规划3. 运筹学是一门( 。
A. 决策科学B. 数学科学C. 应用科学D. 逻辑科学4. 基可行解对应的基,称为( 。
A. 最优基B. 可行基C. 最优可行基D. 极值基5. 隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的( 的一种检验过程。
A. 基本可行解B. 最优解C. 基本解D. 可行解6. 运筹学有助于管理人员正确决策,因为它把研究对象当成( 。
A. 决策变量B. 决策目标C. 有目标的系统D. 影响模型的关键7. 对偶问题与原问题研究出自( 目的。
A. 不同B. 相似C. 相反D. 同一8. 敏感性分析假定( 不变,分析参数的波动对最优解有什么影响。
A. 可行基B. 基本基C. 非可行基D. 最优基9. 运筹学有明确的目标要求和为实现目标所具备的各种(A. 资源要素B. 必需条件C. 求解算法D. 实现工具10. 从系统工程或管理信息预测决辅助系统的角度来看,管理科学与( 就其功能而言是等同或近似的。
A. 统计学B. 计算机辅助科学C. 运筹学D. 人工智能科学11. 闭回路的特点不包括( 。
A. 每个顶点都是直角B. 每行或每列有且仅有两个顶点C. 每个顶点的连线都是水平的或是垂直的D. 起点终点可以不同12. 运输问题分布m*n矩阵表的横向约束为( 。
A. 供给约束B. 需求约束C.以上两者都有可能D. 超额约束13. 动态规划综合了分级决策方法和( 。
A. 系统化原理B. 理想化原理C. 最优化原理D. 最小化原理14. 动态规划综合了( 和“最优化原理”。
A. 一次决策方法B. 二次决策方法C. 系统决策方法D. 分级决策方法15. 线性规划问题不包括( 。
2013《运筹学》考试题及其答案
2012-2013 学年第 1 学期《运筹学》考试题答案要求 :第一题必做（ 50 分），二三四题任选两题（每题各25 分）。
一、考虑下面线性规划问题minz 4x1x23x1x23（）14 x13x26（）2s.t.2x23（）x13x1, x20（1）用图解法求解该问题；（2）写出该问题的标准形式；（3）求出该问题的松弛变量和剩余变量的值；（4）用单纯形法求解。
【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的可行域 ,目标函数z 4 x1x2,即 x24x1z 是斜率为 4 的一族平行直线 ,由线性规划的性质知 ,其最值在可行域的顶点取得 ,将直线z4x1 x2沿其法线方向逐渐向上平移,直至A点,A 点的坐标为 ( 3,6),所以 min z 43618 55555此线性规划问题有唯一解x13， x26。
55(2)给等式（ 2）左端添加剩余变量x3，给等式（3）左端添加松弛变量x4，则得到该问题的标准型为：maxz 4 x1x20x30x43x1x23,（）14x1 3x2x3 6 ,（）2s.t.2 x2x43,（）x13 x1 , x2 , x3 , x40（3）在上面标准型中令x13， x26，得到剩余变量 x3=0，松弛变量 x4=0。
55（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（ 2）中分别加入人工变量x5, x6，得到如下数学模型，maxz4x1x20x30x4Mx 5 Mx63x1x2x53,（）14x13x2x3x6 6 ,（）2s.t.2x2x43,（）x13x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x60由此列出单纯形表逐步迭代，用大M 法求解计算结果如下表所示。
C j－4－100－ M－ Mx jC B X B x1x2x3x4x5x6b i － M x5【3】1001031－M x643－ 100163/20x412010033 r j7M－4 4M－1－ M000－ 9M － 4x111/3001/3013－ M x60【5/3】－ 10－ 4/3126/50x405/301－ 1/3026/5 r j(-z)0(5M+1)/3－ M0(－7M+4)/30－ 4-2M － 4x1101/503/5－ 1/53/51/3－ 1x201－ 3/50－ 4/53/56/5－0x400【 1】11100 r j(-z)001/50－ M+8/5－ M-1/5－18/5－ 4x1100－ 1/52/503/5－ 1x20103/5－ 1/506/50x300111－ 10r j(-z)000－1/5－ M+7/5－ M－18/5表中所有检验数 r j0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解36T ，目标函X (, ,0,0,0,0)55数的最优值 maxz43618 。
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一．填空题
1.节点、箭线是网络计划图的基本元素。
2. 一般的排队系统由 _输入过程__,排队规则__，_服务机构___组成。
3.等待制的服务规有:__先到先服务__,__后到先服务__,__随机服务__,有优先权的服务_。
4. ___具有对策行为_的模型称为对策模型。
5. 对策模型包含的基本要素有：__局中人_______、_策略集_、___赢得函数___。
二．名词解释
（1）策略：一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案。
（2）局中人：在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行动方案的对策参加者。
（3）主观概率：，是由决策者对事件的了解去确定，而这样确定的概率反映了决策者对事件出现的信念程度。
（4）先验概率：是指根据以往经验或专家评估分析得到的概率。
（5）决策树：有些决策问题，当进行决策后又产生一些新情况，并需要进行新的决策，又接着又有一些新情况，又需要进行新的决策，这样决策，情况，决策……构成一个序列，这就是序列决策。
描述序列决策的有力工具之一是决策树，决策树是由决策点，事件点及结果成的树形图。
三．解答题
1.某厂有大量同一型号的车床，当这种车床损坏后或送机修车间或由机修车间派人来修理。
已知该车床损坏率服从泊松分布，平均每天2台。
又机修车间对每台
损坏车床的修理时间为负指数分布的随机变量，平均每台的修理时间为,天。
但是一个与机修人员编制及维修设备好坏（即与机修车间每年开支费用K）有关的函数。
已知
又知机器损坏后，每台每天的生产损失为400元，每个月工作天数为22天，
试决定使该厂生产最经济的K及值。
解：设机器损坏造成的生产损失S 1；（2）机修车间的开支S 2。
要使整个系统最经济，就是要使S = S 1 +S 2为最小。
以一个月为期进行计算如下： S 1=（正在修理和待修机器数）×（每台每天的生产损失）×（每个月的工作日数）=
S2 = K / 12
令 ，得
K =16430元 μ=17.65
2.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从指数分布，平均需6分钟，求：
（1）修理店空闲的时间概率
（2）店内有3个顾客的概率
（3）店内至少一名顾客的概率
（4）在店内顾客平均数
（5）在店内平均逗留时间
（6）等待服务的顾客平均数
（7）平均等待修理的时间
（8）必须在店内耗费15分钟以上的概率。
解:本例可看成一个M/M/1/∞/∞排队问题，其中
（1）修理店空闲概率 240022880088008800010001000119s L ..K .K .λλμλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯=⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2880012000119S K /.K .⎛⎫=⨯+ ⎪-⎝⎭21176000001012000119dS .dK (.K .)
⨯=-=-
（2）店内有3个顾客的概率
（3）店内至少有1个顾客的概率
（4）在店内的顾客平均数
Ls= /( - )=4/(10-4)=0.667人
（5）在店内的平均逗留时间
Ws=1 =1/(10-4)=0.167h
（6）等待服务的顾客平均数
Lq= / =4*0.4/(10-4)=0.267人
（7）平均等待修理(服务)时间
（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率
P(T>15)= exp(/4)=exp(-(10-4)/4)=exp(-1.5)=0.223 2. 用线性规划求下列矩阵对策
A=
解：求解问题可化成两个互为对偶的线性规划问题
min（x1+x2+x3）
3x
1-1x
2
-3X
31
≥
-3x
1+3x
2
-1x
31
≥
-4x
1-3x
2
+3x
31
≥
x 1,x
2
,x
30
≥
max(y1+y2+y3)
3y1-1y2-3y31
≤
-3y1+3y2-1y31
≤
-4y1-3y2+3y31
≤
y1+y2+y30
≥
四．证明题
1.证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列：
（1）7,6,5,4,3,2
（2）6,6,5,4,3,2,1
（3）6,5,5,4,3,2,1
证明：
1.已知定理：∑∈v v v d)(=2q,而在此序列中，∑)(v d=27，为奇数，所以此序
列不可能为图的次的序列。
又知定理：奇点的个数应为偶数，而在此序列中，奇点7，5，3为奇数个，所以此序列不可能为图的次的序列。
2.在序列中，奇点5，3，1为奇数个，所以此序列不可能为图的次的序列。
3.对于七顶点的图，假定d(v1)=6,d(v2)=5,d(v7)=1,并假设G为简单图，则
v1存在与其它六个点的连线（包含与v7）,v2与v1间存在边e12,而v7次为1，所以必不与v1外的其它点相连，因而v2 与除v1，v7外的四点间各有一连线。
假设G（V，E）为简单位图，则余下的v3,v4,v5,v6中任一点（用vi 表示）已确定存在ei,ei2，无ei7，对于d(vi)=5的该点来说，必与除 v7外的每一点都有连线，由此推论，v4,v5,v6都同时与v1,v2,v3，相连，即v4,v5,v6的次至少是3，这与d（v6）=2相矛盾。
故假设不成立，该图中可能有环或多重边，非简单图的次的序列。