4.2.6 线索二叉树
(完整版)中国海洋大学数据结构试卷
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷信息学院《数据结构》课程试题(B卷) 共 2 页第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带文具(或本课程为开卷考试，可携带文具和资料)，满分为：100 分。
要求：算法描述用C语言，对算法中用到的数据结构要加以说明描述。
一、判断题：正确的打√，错误的打×（每题2分，共20分）1．在单链表中，要访问某个节点，只要知道该结点的指针即可：因此，单链表是一种随机存取结构。
（）2．快速排序的速度在所有排序方法中最快，而且所需附加空间也最少。
( )3、线性表可以看成是广义表的特例，如果广义表中的每个元素都是原子，则广义表便成为线性表。
（）4．广义表中原子个数即为广义表的长度。
（）5．哈希表的查找效率主要取决于哈希表造表时选取的哈希函数和处理冲突的方法。
（）6．线索二叉树比二叉树较为容易添加结点。
（）7．普里姆算法适合用于稠密图（）8．以冒泡排序法排序n个数据，其效率是O（n2）（）9．二叉树只有在二叉树只有一个根的情况下三种遍历结果相同。
（）10．归并排序要求的辅助空间最多。
（）二、解答下列各题（60 分，每小题12 分）1、对于输入关键字序列48，70，65，33，24，56，12，92建一棵平衡二叉树，画出过程（至少每次调整有一张，标出最小不平衡子树的根）。
2．若对序列（7，3，1，8，6，2，4，5）请写出起泡排序的第一趟结果和堆排序（小堆顶）初始堆。
3. 设有一组关键字｛01，25，20，31，63，65，70，74，79，82｝，如果进行折半查找，则查找到每个关键字的所需要的比较次数分别是多少？并求出在等概率查找情况下ASL。
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷信息学院《数据结构》课程试题(A卷) 共 2 页第 2 页4．已知树的先根访问序列为：GFKDAIEBCHJ。
树的后根次序访问序列为：DIAEKFCJHBG。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。
对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。
根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。
由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。
1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。
对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。
由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。
1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。
而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。
1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。
满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。
1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。
对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。
2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。
2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。
2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。
2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。
线索二叉树
6.4 线索化二叉树从前面的讨论可知，遍历二叉树就是将非线性结构的二叉树线性化，即按一定规则将二叉树中的结点排列成一个线性序列依次访问。
如图6.20(a)所示的二叉树，经中序遍历得到线性序列：BADEC，经前序遍历得到线性序列：ABCDE，经后序遍历得到线性序列：BEDCA。
在这些线性序列中，二叉树中的每个结点（除第一个和最后一个外）有且仅有唯一的一个前趋和唯一的一个后继，很容易找到各个结点的直接前驱和直接后继。
但当以二叉链表作为二叉树的存储结构时，只能找到结点的左、右孩子，而不能直接找到前驱和后继，只有在遍历的动态过程中得到这些信息。
如果将这些信息在第一次遍历时保存起来，在需要再次对二叉树进行“遍历”时就可以将二叉树视为线性结构进行访问，从而简化遍历操作。
那么，如何存储遍历中得到的结点前驱和后继的信息呢？一个简单的办法是在每个结点上增加两个指针域fwd和bkwd，分别指向存储遍历中得到的结点前驱和后继。
fwd L child data R child bkwd这是采用多重链表来表示二叉树。
这种方法虽简单易行，但这种结构的存储密度将大大降低，浪费存储空间。
另一种方法，是利用原有链域L child 和R child的空链域。
在n个结点的二叉链表中有2n个孩子链域，其中仅有n-1个链域是用来指示结点的左右孩子，而另外n+1个链域是空链域。
现在把这些空链域利用起来，使其指向结点的前驱或后继；对那些原来就不为空的链域，则仍然指向左或右孩子。
如果把指向前驱和后继的指针称为线索（Thread），那么，如何区分指向左、右孩子的指针和指向前驱、后继的线索呢？在原结点结构上增加标志域定义为：0 Lchild为左指针，指向左孩子0 Rchild为右指针，指向右孩子ltag＝rtag＝1 Lchild为左线索，指向前驱 1 Rchild为右线索，指向后继以这种结点构成的二叉链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表，其C语言类型说明如下：Typedef struct ThreadTNode{enum{0，1} ltag, rtag;Elem Type data;Struct ThreadTNode *Lchild, *Rchild;}ThreadTNode, *ThreadTree;为了节省内存空间，我们用C语言的位段方法将结点中的左标志域和右标志域与数据域合并在一个存储单元中（即各用一位表示左标志和右标志，其余各位表示结点值）。
【南邮考研辅导班】南邮邮政学院物流工程专硕考研科目参考书考研大纲考研分数线报录比考研经验
【南邮考研辅导班】南邮邮政学院物流工程（专业学位）考研科目参考书考研大纲考研分数线报录比考研经验一、南邮物流工程（专业学位）简介-启道1、“物联网技术及其在物流快递中的应用”研究物联网技术及其在物流工程中的应用。
包括物联网的体系结构、协议的分析与实现，基于物联网的物流信息网络的互联与融合技术，物联网路由与交换技术，基于物联网的物流信息网络服务质量分析和改善技术，基于物联网的物流信息网络的网络性能监控、测量、管理和优化技术，基于物联网的物流信息网络安全检测和分析、控制技术等。
2、“物流信息网络安全与隐私保护”研究物流信息网络的安全与隐私保护。
包括如何保护成本受限的RFID标签及传感器节点中的信息不会被获取、复制、篡改和滥用的技术；如何保证用户对位置信息的掌控能力，确保隐私信息不被攻击者利用，防止隐私信息泄露的技术；物流信息网络可生存性与系统安全技术、网络诱骗技术、密码理论与技术、网络认证与数字签名技术、数据取证技术；物流信息存储的安全技术等。
3、“物流大数据及其智能应用”研究物流大数据的收集、传输、存储、管理、分析等关键技术及其智能应用，包括如何通过GPS、RFID、传感器、条码等技术采集物流信息，并保证信息的完整性、实时性和准确性；如何通过各种网络接入方式实现采集信息的快速、稳定传输；如何对物流大数据进行有效存储、管理和分析，并保证数据的安全性；如何将分析结果运用到物流企业并提供战略规划、运营管理、行为分析和决策支持等。
4、“物流工程管理”研究物流网络工程和信息管理技术。
包括物流基础设施网络的规划理论和方法，物流信息网络的结构与模型，物流组织网络的运作模式与创新机制，以及子网络间衔接机理和服务协调的均衡方法，物流服务资源配置的网络化整合方法，物流网络的绩效评价体系，供应链与物流系统的信息共享理论，现代物流信息技术理论与应用，物流系统模拟与仿真，物流信息系统规划与合理性评价等。
二、南邮物流工程（专业学位）考研科目-启道085240 物流工程01物联网技术及其在物流快递中的应用02物流信息网络安全与隐私保护03物流大数据技术及其智能应用04物流工程管理①101思想政治理论②204英语二③303数学三④810微机原理及应用811数据结构（④为2选1）微机原理及应用数据结构操作系统（3选1）管理信息系统分析与设计高级语言程序设计三、南邮物流工程（专业学位）考研参考书-启道四、南邮物流工程（专业学位）考研大纲-启道810--《微机原理及应用》考研大纲一、基本要求1计算机基础1.1 计算机中的数制与码制1.2 浮点数概念1.3 计算机系统的基本组成2 80X86微处理器2.132位微处理器内部结构2.2 32位微处理器的工作模式2.3 32位微处理器典型时序3指令系统3.1 指令系统概述3.2 80486寻址方式3.3 80486基本集指令4宏汇编语言4.1 汇编语言程序的开发过程和语句类型4.2 宏汇编语言基本语法和基本语句5 汇编语言程序设计5.1 汇编源程序的编程格式5.2 系统功能调用5.3 程序设计6.总线6.1 总线概念6.2 总线标准与结构7.存储器系统7.1 存储器系统概述7.2 微型计算机系统中的存储器组织8.输入/输出系统8.1 输入输出系统概述8.2 可编程定时/计数器82549.中断系统9.1 中断的基本概念9.2 中断指令、中断向量、中断分类9.3 8259A中断控制器9.4中断程序设计10．串行接口10.1 串行通信基础10.2 串行异步通信接口芯片825010.3 串行通信接口芯片8251A11.并行接口11.1 并行I/O接口芯片8255A11.2 打印机并行接口12.DMA控制器12.1 8237A DMA控制器811--《数据结构》考研大纲一、考核内容：1 绪论1.1算法的基本概念1.2数据结构的基本概念1.3数据抽象和抽象数据类型1.4描述数据结构和算法1.5算法分析的基本方法2 线性表2.1线性表的定义及基本操作2.2线性表的顺序存储2.3线性表的链接存储3 栈和队列3.1栈和队列的基本概念3.2栈和队列的顺序存储结构3.3栈和队列的链式存储结构3.4表达式计算3.5递归数组4.1数组的基本概念4.2特殊矩阵4.3稀疏矩阵5 树和二叉树5.1树的基本概念5.2二叉树5.2.1二叉树的定义及主要特征5.2.2二叉树的顺序存储和链式存储5.2.3二叉树的遍历5.2.4 线索二叉树的基本概念和构造5.3树和森林5.3.1树的存储结构5.3.2森林和二叉树的转换5.3.3树和森林的遍历5.4树和二叉树的应用5.4.1二叉排序树5.4.2二叉平衡树5.4.3哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码6 图6.1图的基本概念6.2图的存储及基本操作6.2.1邻接矩阵法6.2.2邻接表表示法6.3图的遍历6.3.1深度优先搜索6.3.2广度优先搜索6.4图的基本应用6.4.1拓扑排序6.4.2关键路径6.4.3 最小代价生成树6.4.4最短路径7 搜索（Search）7.1搜索的基本概念7.2顺序搜索法7.3二分搜索法7.4 B-树及其基本操作7.5散列(Hash)表7.6搜索算法的分析及应用8 内排序8.1排序的基本概念8.2简单选择排序8.3直接插入排序8.4冒泡排序(bubble sort)8.5希尔排序(shell sort)8.6快速排序8.7堆排序8.8两路合并排序(merge sort)8.9基数排序8.10各种内部排序算法的比较8.11内部排序算法的应用五、南邮物流工程（专业学位）考研分数线-启道六、南邮物流工程（专业学位）考研报录比-启道七、南邮物流工程（专业学位）考研经验-启道考研经验——如何利用招生简章和招生目录面临人生道路的分叉口，我们每一个决定都应该是反复斟酌、最适合自己的。
数据结构课后习题及答案
填空题（10 ＊1’ = 10' ）一、概念题2。
2.当对一个线性表经常进行的是插入和删除操作时，采用链式存储结构为宜。
2。
3。
当对一个线性表经常进行的是存取操作，而很少进行插入和删除操作时，最好采用顺序存储结构。
2。
6。
带头结点的单链表L中只有一个元素结点的条件是L—〉Next->Next==Null。
3。
6。
循环队列的引入,目的是为了克服假溢出.4。
2。
长度为0的字符串称为空串。
4。
5.组成串的数据元素只能是字符。
4。
8.设T和P是两个给定的串，在T中寻找等于P的子串的过程称为模式匹配，又称P为模式。
7.2。
为了实现图的广度优先搜索，除一个标志数组标志已访问的图的结点外，还需要队列存放被访问的结点实现遍历。
5.7。
广义表的深度是广义表中括号的重数7。
8.有向图G可拓扑排序的判别条件是有无回路。
7.9。
若要求一个稠密图的最小生成树，最好用Prim算法求解。
8。
8.直接定址法法构造的哈希函数肯定不会发生冲突。
9。
2。
排序算法所花费的时间，通常用在数据的比较和交换两大操作。
1。
1。
通常从正确性﹑可读性﹑健壮性﹑时空效率等几个方面评价算法的（包括程序）的质量。
1。
2.对于给定的n元素，可以构造出的逻辑结构有集合关系﹑线性关系树形关系﹑图状关系四种。
1。
3。
存储结构主要有顺序存储﹑链式存储﹑索引存储﹑散列存储四种。
1。
4。
抽象数据类型的定义仅取决于它的一组逻辑特性,而与存储结构无关，即不论其内部结构如何变化，只要它的数学特性不变,都不影响其外部使用。
1。
5.一个算法具有五大特性:有穷性﹑确定性﹑可行性，有零个或多个输入﹑有一个或多个输入。
2.8.在双向链表结构中，若要求在p指针所指的结点之前插入指针为s所指的结点,则需执行下列语句:s—〉prior= p—〉prior; s-〉next= p; p-〉prior- next= s；p-〉prior= s；。
2.9。
在单链表中设置头结点的作用是不管单链表是否为空表，头结点的指针均不空,并使得对单链表的操作（如插入和删除)在各种情况下统一。
二叉树的5种基本形态。 -回复
二叉树的5种基本形态。
-回复二叉树是计算机科学中常用的数据结构之一，它由一个根节点和两个子节点组成，每个节点最多有两个子节点。
在这篇文章中，我们将探讨二叉树的五种基本形态。
一、满二叉树（full binary tree）：满二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个节点都有零个或两个子节点。
换句话说，满二叉树的每个内部节点都是一个分支节点。
满二叉树的特征是每一层的节点数量都是满的，最底层的节点与高度呈指数关系。
例如，一个满二叉树的高度为3，那么它有7个节点。
满二叉树的特点使得它在存储和搜索方面具有很高的效率。
然而，满二叉树的缺点是它需要较多的存储空间，并且在删除和插入节点时可能需要进行大量的重新排序。
二、完全二叉树（complete binary tree）：完全二叉树是一种二叉树，其中除了最后一层外，每一层的节点都是满的，并且最后一层的节点从左到右连续排列。
换句话说，完全二叉树是一颗填满节点的树，只有最后一层的节点位置可以是不完全的，但是它们仍然从左到右排列。
完全二叉树的特点是它可以使用数组来表示，这样节省了存储空间。
此外，在完全二叉树中，插入和删除节点的操作也非常高效。
但是，相对于满二叉树，完全二叉树的节点数可能较少，并且在搜索方面的效率稍低。
三、平衡二叉树（balanced binary tree）：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树和右子树高度之差不超过1。
换句话说，平衡二叉树的高度在对数范围内增长。
平衡二叉树的特点是它保持了二叉搜索树的有序性，并且在插入和删除操作时能够自动调整以保持平衡。
这使得在平衡二叉树中搜索和插入节点时的时间复杂度保持在O(log n)级别。
但是，这种平衡性的维护也增加了操作的复杂性和内存需求。
四、搜索二叉树（binary search tree）：搜索二叉树，也称为二叉查找树，是一种有序的二叉树。
在搜索二叉树中，所有左子树的值都小于父节点的值，而所有右子树的值都大于父节点的值。
东北大学2021年硕士研究生招生考试考试大纲(842)考试大纲-计算机专业基础
2021年硕士研究生统一入学考试《计算机专业基础》第一部分考试说明一、考试性质计算机专业基础是计算机科学与工程学院计算机科学与技术、电子信息专业类别人工智能、计算机技术领域（专业代码：计算机科学与技术081200；电子信息（人工智能、计算机技术）085400）硕士生入学考试初试的专业课之一。
考试对象为参加计算机科学与工程学院计算机科学与技术专业、电子信息专业类别人工智能、计算机技术领域2021年全国硕士研究生招生考试入学考试的准考考生。
二、考试形式与试卷结构（一）答卷方式：闭卷，笔试（二）答题时间：180分钟（三）考试题型及比例（均为约占）简答题49分（33%）综合题101分（67%）（四）参考书目《数据结构》，严蔚敏，清华大学出版社，2001年。
《C语言程序设计》（第3版），谭浩强，清华大学出版社,2010年。
《计算机操作系统教程》（第4版），张尧学、宋虹、张高，清华大学出版社，2013。
《计算机操作系统》（第四版），汤小丹、梁红兵、哲凤屏、汤子瀛，西安电子科技大学出版社，2014。
第二部分考查要点（一）数据结构考查要点1 绪论1.1 数据结构的基本概念和术语1.2 抽象数据类型的表示与实现1.3 算法和算法分析2 线性表2.1 线性表类型定义2.2 线性表的顺序表示和实现2.3 线性表的链式表示和实现3 栈和队列3.1 栈的类型定义、表示和实现3.2 栈的应用3.3队列的类型定义、表示和实现3.4 队列的应用4 串4.1 串的类型定义、表示和实现4.2串操作应用5 数组和广义表5.1数组的定义、顺序表示和实现5.2特殊矩阵的压缩存储5.3广义表的定义和存储结构6 树和二叉树6.1 树的定义和基本术语6.2二叉树的定义、基本性质和存储结构6.3遍历二叉树和线索二叉树6.4树和森林6.5哈夫曼树及哈夫曼编码7 图7.1 图的定义、基本术语和存储结构7.2图的遍历7.3图的连通性和最小生成树7.4有向无环图、拓扑排序和关键路径。
线索二叉树
0 A0 0 B1
0 C0
1 D0
1 E1
1F1
1 G1
(b) root
0
1
ห้องสมุดไป่ตู้
0 A0
0 B1
0 C0
0 A0
0 B1
0 C0
1 D0
1 E1
1F1
1 D0
1 E1
1F1
1 G1
1 G1
(c)
(d)
线索二叉树 b—中序 c—前序 d—后序
一旦建立了某种方式的线索二叉树后，用户程序就可以 像操作双向链表一样操作该线索二叉树。
if(tree->current == tree->root) tree->nextComplete = 1;
}
int EndOfNext(ThreadBiTree *tree) //判断是否已到中序线索二叉树的最后一个结点 { return tree->nextComplete; }
例8-3 编写一个程序，首先建立如图8-10（a）所示的不带头结点的二叉树， 然后中序线索化该二叉树，最后用循环结构输出该中序线索化二叉树各结 点的序列信息。
这种算法设计要求分别设计三个函数： First()：定位在第一个结点位置； Next()：移动到下一个结点位置； End()：是否已经到最后下一个结点位置； 当然，还需要一个根据二叉树构造线索二叉树的函数。
typedef struct { ThreadBiNode *root;
ThreadBiNode *current; int nextComplete; }ThreadBiTree;
规定：当某结点的左指针为空时，令该指针指向按某种方法遍历二叉树时 得到的该结点的前驱结点；当某结点的右指针为空时，令该指针指向按某种 方法遍历二叉树时得到的该结点的后继结点。仅仅这样做会使我们不能区分 左指针指向的结点到底是左孩子结点还是前驱结点，右指针指向的结点到底 是右孩子结点还是后继结点。因此我们再在结点中增加两个线索标志位来区 分这两种情况。
计算机学院2020年自命题科目《数据结构》考试大纲
计算机学院2020年自命题科目《数据结构》考试大纲一、考查目标1. 掌握数据结构及算法的基本概念、原理和方法。
2. 掌握数据逻辑结构、存储结构及建立其上数据基本操作实现，对基本算法能够进行相应时间和空间复杂度分析。
3. 运用数据结构原理和方法进行基本问题的分析求解，使用C或C++进行基本算法设计与实现。
二、考查内容1．数据结构与算法1.1 数据逻辑结构与存储结构1.2 数据类型与抽象数据类型1.3 算法概念及性质和时间及空间复杂度分析2．线性表2.1线性表概念和数据操作2.2线性表顺序与链式存储3. 栈、队列和数组3.1栈（1）栈概念与性质（2）栈的存储结构（3）栈的应用3.2队列（1）队列概念与性质（2）队列存储结构，循环队列（3）队列应用3.3矩阵（二维数组）（1）二维数组概念与存储（2）特殊矩阵压缩存储4. 二叉树与树4.1 二叉树（1）二叉树递归定义，特殊二叉树，基本性质（2）二叉树顺序和链式存储结构4.2 二叉树遍历4.3 线索二叉树基本概念和构造4.4 二叉树应用：二叉排序树，平衡二叉树，哈夫曼树与编码4.5 树与森林（1）树和森林概念及存储结构（2）树和森林遍历（3）树和森林与二叉树转换5.图5.1图相关概念性质：有向与无向图，邻接与连通，握手定理5.2图存储结构：邻接矩阵法，邻接表法5.3图的遍历：深度优先遍历，广度优先遍历5.4图的应用：最小生成树，最短路径，拓扑排序，关键路径6. 查找6.1查找基本概念，查找码与查找表，查找算法分析6.2 基于线性表查找：顺序查找法，二分查找法6.3 基于树表查找：二叉查找树6.4 基于散列表查找，冲突处理6.5 基于索引查找，B+树7.排序7.1排序基本概念，内排序与外排序，稳定性与算法分析7.2插入排序：直接插入排序，二分插入排序，表插入排序，希尔排序7.3交换排序：冒泡排序，快速排序7.4选择排序：直接选择排序，堆排序7.5 归并排序：二路归并排序7.6 各种（内）排序算法的比较未列出知识：广义表、B树、串（定义-已看及KMP算法）、基数排序、外部排序新增：握手定理（已在书上补充）、表插入排序。
遍历二叉树与线索二叉树PPT
作业：P217-218
后序列：DGJHEBIFCA, 中序列：DBGEHJACIF, 求：1、画出该二叉树； 2、先序； 3、画出该二叉树对应的森林。
由此可以看出：
（1）遍历操作实际上是将非线性结构线性化的过程， 其结果为线性序列； （2）遍历操作是一个递归的过程，因此，这三种遍历 操作的算法可以用递归函数实现。 先序遍历递归算法： DLR ( BiTree T ) { if (T) //非空二叉树 { printf(“%d”,T->data); //访问根结点D DLR(T->lchild); //递归遍历左子树 DLR(T->rchild); //递归遍历右子树 } return(0); }
这就是线索二叉树（Threaded Binary Tree）
如何预存这类信息？有两种解决方法： 缺点：空间效 ① 每个结点增加两个域：fwd和bwd； 率太低！ fwd lchild data rchild bwd ② 与原有的左右孩子指针域“复用”，充分利用那n+1 个空链域。 lchild data rchild 如何判断是孩 子指针还是线 规 定： 索指针？ 1）若结点有左子树，则lchild指向其左 孩子；否则，lchild指向其直接前驱(即 线索)； 如何区 别？ 2）若结点有右子树，则rchild指向其右 孩子；否则，rchild指向其直接后继(即线索) 。
中序遍历递归算法： LDR(BiTree T) { if(T) { LDR(T->lchild); printf(“%d”,T->data); LDR(T->rchild); } return(0); }
后序遍历递归算法 LRD (BiTree T) { if(T) { LRD(T->lchild); LRD(T->rchild); printf(“%d”,T->data); } return(0);}
线索二叉树
6·4 线索二叉树1、线索二叉树的结点结构二叉树的遍历本质上是将一个复杂的非线性结构转换为线性结构，使每个结点都有了唯一前驱和后继（第一个结点无前驱，最后一个结点无后继）。
对于二叉树的一个结点，查找其左右子女是方便的，其前驱后继只有在遍历中得到。
为了容易找到前驱和后继，有两种方法。
一是在结点结构中增加向前和向后的指针fwd和bkd，这种方法增加了存储开销，不可取；二是利用二叉树的空链指针。
现将二叉树的结点结构重新定义如下：其中：ltag=0 时ltag=1 时lchild指向前驱；rtag=0 时rchild指向左子女；rtag=1 时rchild指向后继；以这种结点结构构成的二叉链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表，指向前驱和后继的指针叫线索，加上线索的二叉树叫线索二叉树，对二叉树进行某种形式遍历使其变为线索二叉树的过程叫线索化。
学习线索化时，有三点必须注意：一是何种“序”的线索化，是先序、中序还是后序；二是要“前驱”线索化、“后继”线索化还是“全”线索化（前驱后继都要）；三是只有空指针处才能加线索。
2、对二叉树进行中序线索化的算法bithptr *pre; /* 全程变量*/void INTHREAD(bithptr *p){if(p!=NULL){ INTHREAD(p->lchild); /* 左子树线索化*/if(p->lchild==NULL) { p->ltag=1;p->lchild=pre;}if(p->rchild==NULL) p->rtag=1;if(pre!=NULL && pre->rtag==1) pre->rchild=p;pre=p; /* 前驱指向当前结点*/INTHREAD(p->rchild); /* 右子树线索化*/}3、在线索二叉树上查找前驱和后继（1）中序线索二叉树：若结点的ltag=1，lchild指向其前驱；否则，该结点的前驱是以该结点为根的左子树上按中序遍历的最后一个结点。
简述二叉树的五种形态
简述二叉树的五种形态二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
根据节点的分布情况，二叉树可以分为五种形态，分别是满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、搜索二叉树和线索二叉树。
一、满二叉树满二叉树是指除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点的二叉树。
也就是说，满二叉树的所有层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。
满二叉树的节点数可以通过公式计算得到，假设树的高度为h，则节点数为2^h - 1。
满二叉树的特点是结构简单，查找速度快。
在满二叉树中，任意两个节点的路径长度都相同。
二、完全二叉树完全二叉树是指除了最后一层之外，其他层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列的二叉树。
完全二叉树的特点是节点数较少，结构相对简单。
完全二叉树通常用数组来表示，因为它的节点之间的关系可以通过数组的下标来表示。
在完全二叉树中，任意一个节点的左子节点的下标为2i，右子节点的下标为2i+1。
三、平衡二叉树平衡二叉树是指左右子树的高度差不超过1的二叉树。
平衡二叉树的特点是查找、插入和删除的时间复杂度都为O(logn)，其中n是节点的数量。
平衡二叉树的高度可以通过节点的平衡因子来计算，平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度。
平衡因子的取值范围为-1、0和1，当平衡因子的绝对值大于1时，需要通过旋转操作来调整树的平衡性。
四、搜索二叉树搜索二叉树，也称为二叉搜索树或排序二叉树，是一种特殊的二叉树。
它的特点是对于树中的任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它，右子树中的所有节点都大于它。
搜索二叉树的中序遍历结果是一个递增的有序序列。
搜索二叉树的特点是可以快速地查找某个节点，时间复杂度为O(logn)，其中n是节点的数量。
但是，如果搜索二叉树不平衡，即左子树或右子树过深，则会导致查找的时间复杂度退化为O(n)。
五、线索二叉树线索二叉树是对二叉树进行了优化的数据结构，它通过添加指向前驱和后继节点的线索，使得遍历操作更加高效。
数据结构树和二叉树知识点总结
数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。
2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。
因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。
5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。
6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。
最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆常用于排序和优先队列。
7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。
Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。
以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。
线索二叉树的应用场景
线索二叉树的应用场景
线索二叉树是一种特殊类型的二叉树，其主要特点是在二叉树的空闲指针中存储指向前驱节点和后继节点的线索，从而可以方便地访问任意节点的前驱和后继。
这种数据结构在实际应用中具有多种使用场景，尤其是在需要频繁遍历二叉树或快速查找节点前驱和后继的情况下。
遍历优化：线索二叉树可以大大提高二叉树的遍历效率。
在传统的二叉树遍历中，如果需要访问某个节点的前驱或后继节点，通常需要重新从根节点开始遍历。
而线索二叉树则可以直接通过线索找到前驱或后继节点，无需重新遍历，从而大大提高了遍历效率。
路径总和问题：在解决路径总和问题时，线索二叉树可以提供一种高效的解决方案。
通过存储前驱和后继节点的线索，可以快速地回溯到之前的节点，从而方便地计算路径总和。
数据压缩与存储：在某些需要压缩存储数据的情况下，线索二叉树也可以发挥作用。
由于线索二叉树充分利用了空闲指针，因此可以在不增加额外存储空间的情况下，存储更多的信息。
图形渲染与优化：在计算机图形学中，线索二叉树也被广泛应用于场景图、渲染树等数据结构的优化。
通过利用线索二叉树的特性，可以更加高效地遍历和渲染场景中的对象。
总的来说，线索二叉树是一种非常实用的数据结构，特别适用于需要频繁遍历二叉树或快速查找节点前驱和后继的情况。
在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的遍历方法和存储策略，以实现最佳的性能和效率。
南京邮电大学-硕士研究生招生专业课考试大纲-811--《数据结构》考研大纲
811--《数据结构》考研大纲
一、考核内容：
1 绪论
1.1算法的基本概念
1.2数据结构的基本概念
1.3数据抽象和抽象数据类型
1.4描述数据结构和算法
1.5算法分析的基本方法
2 线性表
2.1线性表的定义及基本操作
2.2线性表的顺序存储
2.3线性表的链接存储
3 栈和队列
3.1栈和队列的基本概念
3.2栈和队列的顺序存储结构
3.3栈和队列的链式存储结构
3.4表达式计算
3.5递归
数组
4.1数组的基本概念
4.2特殊矩阵
4.3稀疏矩阵
5 树和二叉树
5.1树的基本概念
5.2二叉树
5.2.1二叉树的定义及主要特征
5.2.2二叉树的顺序存储和链式存储5.2.3二叉树的遍历
5.2.4 线索二叉树的基本概念和构造5.3树和森林
5.3.1树的存储结构
5.3.2森林和二叉树的转换
5.3.3树和森林的遍历
5.4树和二叉树的应用。
二叉树
6-2-2 二叉树的基本操作与存储实现
1、二叉树的基本操作 Initiate(bt)
Create(x, lbt, rbt)
InsertL(bt, x, parent) InsertR(bt, x, parent) DeleteL(bt,parent) DeleteR(bt,parent)
Search(bt,x)
BiTree DeleteL(BiTree bt, BiTree parent){ BiTree p; if(parent==NULL||parent->lchild==NULL){ cout<<“删除出错”<<endl; return NULL; } p=parent->lchild; parent->lchild =NULL; delete p; return bt ; }
a b c e 0 1 2 3 4 5 a b c d e ^ 6 7 8 9 10 ^ ^ ^ f g
d
f
g
特点：结点间关系蕴含在其存储位置中。浪费空间， 适于存满二叉树和完全二叉树。
二、链式存储结构 1、二叉链表存储法
A
B C E G D B A ^
lchild data rchild
F
^ C ^ typedef struct BiTNode { DataType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; }BiTNode, *BiTree; ^ E
二叉树的五种基本形态
A
A
A B
A
B 空二叉树
B
C 左、右子树 均非空
只有根结点 的二叉树
右子树为空
左子树为空
二叉树各种计算公式总结
二叉树各种计算公式总结二叉树是一种常见的数据结构，它由一个根节点和最多两个子节点组成。
许多计算问题可以通过对二叉树进行各种操作和遍历来解决。
在本文中，将总结二叉树的各种计算公式。
1.二叉树节点个数：二叉树节点个数的计算公式是N=N1+N2+1，其中N表示二叉树的节点个数，N1表示左子树的节点个数，N2表示右子树的节点个数。
2. 二叉树的高度：二叉树的高度是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数量。
计算二叉树的高度的公式是H = max(H1, H2) + 1，其中H表示二叉树的高度，H1表示左子树的高度，H2表示右子树的高度。
3.二叉树的深度：二叉树的深度是指从根节点到当前节点的路径的长度。
计算二叉树的深度的公式是D=D1+1，其中D表示二叉树的深度，D1表示父节点的深度。
4.二叉查找树：二叉查找树是一种有序二叉树，它要求对于树中的每个节点，左子树的值都小于节点的值，右子树的值都大于节点的值。
在二叉查找树中进行的公式是：-如果目标值等于当前节点的值，则返回当前节点；-如果目标值小于当前节点的值，则在左子树中继续；-如果目标值大于当前节点的值，则在右子树中继续。
5.二叉树的遍历：二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的二叉树遍历方式有三种：- 前序遍历：先访问根节点，然后递归地访问左子树，最后递归地访问右子树。
可以表示为：root -> 左子树 -> 右子树。
- 中序遍历：先递归地访问左子树，然后访问根节点，最后递归地访问右子树。
可以表示为：左子树 -> root -> 右子树。
- 后序遍历：先递归地访问左子树，然后递归地访问右子树，最后访问根节点。
可以表示为：左子树 -> 右子树 -> root。
6.二叉树的最大路径和：二叉树的最大路径和是指二叉树中两个节点之间路径上的节点值的最大和。
可以通过递归地计算每个子树的最大路径和，然后选择最大的子树路径和来得出最终结果。
二叉树的各种算法
二叉树的各种算法1.二叉树的前序遍历算法：前序遍历是指先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树的遍历顺序。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则直接返回。
-访问根节点，并输出或进行其他操作。
-递归地前序遍历左子树。
-递归地前序遍历右子树。
2.二叉树的中序遍历算法：中序遍历是指先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树的遍历顺序。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则直接返回。
-递归地中序遍历左子树。
-访问根节点，并输出或进行其他操作。
-递归地中序遍历右子树。
3.二叉树的后序遍历算法：后序遍历是指先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点的遍历顺序。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则直接返回。
-递归地后序遍历左子树。
-递归地后序遍历右子树。
-访问根节点，并输出或进行其他操作。
4.二叉树的层序遍历算法：层序遍历是按照从上到下、从左到右的顺序逐层遍历二叉树的节点。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则直接返回。
-创建一个队列，将根节点入队。
-循环执行以下步骤，直到队列为空：-出队并访问当前节点，并输出或进行其他操作。
-若当前节点的左子节点不为空，则将左子节点入队。
-若当前节点的右子节点不为空，则将右子节点入队。
5.二叉树的深度算法：二叉树的深度是指从根节点到叶节点的最长路径的节点数。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则深度为0。
-否则，递归地计算左子树的深度和右子树的深度，然后取较大的值加上根节点的深度作为二叉树的深度。
6.二叉树的查找算法：二叉树的查找可以使用前序、中序或后序遍历来完成。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则返回空。
-如果当前节点的值等于目标值，则返回当前节点。
-否则，先在左子树中递归查找，如果找到则返回找到的节点。
-如果左子树中未找到，则在右子树中递归查找，如果找到则返回找到的节点。
-如果左右子树中都未找到，则返回空。
7.二叉树的插入算法：二叉树的插入可以使用递归或循环来实现。
具体算法如下：-如果二叉树为空，则创建一个新节点作为根节点，并返回根节点。
二叉树的基本概念
二叉树的基本概念一、引言二叉树是计算机科学中最基础的数据结构之一，它是由节点和边组成的树形结构，其中每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树被广泛应用于搜索、排序、编译器等领域。
本文将详细介绍二叉树的基本概念。
二、定义二叉树是一种特殊的树形结构，其中每个节点最多有两个子节点。
通常将左子节点称为左子树，右子节点称为右子树。
三、基本术语1. 根节点：二叉树的顶层节点称为根节点。
2. 叶子节点：没有任何子节点的节点称为叶子节点。
3. 父节点和子节点：一个父亲可以有多个儿子，但是一个儿子只能有一个父亲。
4. 兄弟：具有相同父亲的两个或多个儿子称为兄弟。
5. 深度：从根到某个节点所经过的边数称为该节点的深度。
6. 高度：从某个节点到其所有后代中深度最大者加一（即包括该结点）称为该结点所在的二叉树的高度。
四、分类1. 满二叉树：一棵深度为k且有2^k-1个节点的二叉树称为满二叉树。
2. 完全二叉树：对于一棵深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时，称之为完全二叉树。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树也称为AVL树，是一种自平衡的排序二叉搜索树。
它具有以下性质：左右子树高度差不超过1，并且左右子树也是平衡二叉树。
五、遍历遍历是指按照某种顺序访问每个节点。
常见的遍历方式有三种：1. 前序遍历（Pre-order）：先访问当前节点，再依次遍历左子树和右子树。
2. 中序遍历（In-order）：先依次遍历左子树，再访问当前节点，最后遍历右子树。
3. 后序遍历（Post-order）：先依次遍历左子树和右子树，最后访问当前节点。
六、应用1. 搜索算法：在搜索算法中，二叉树被广泛应用于二分查找。
2. 排序算法：在排序算法中，二叉树被广泛应用于堆排序和快速排序。
3. 编译器：在编译器中，二叉树被广泛应用于语法分析和代码生成。
七、总结本文介绍了二叉树的基本概念、术语、分类、遍历以及应用。