动态规划入门8

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OR8

部位
解：把对每一个部位派出巡逻队数量的决策，看成是一个阶段，可归结成4 个阶段的决策问题。
2 3 4
A 18 14 10
B 38 35Biblioteka 31C 24 22 21D 34 31 25
2007/08
--20--
--第8章动态规划--
一、建立模型
（1）阶段变量：k=1, 2, 3, 4 （2）状态变量：xk——第k阶段可用于分配的巡逻队数量；（3）决策变量：uk——第k阶段派出的巡逻队数量；允许决策集合D(xk)={2, 3, 4} （4）状态转移律：xk+1=xk－uk ；（5）阶段指标函数：vk(uk)——预期损失函数，如表示；（6）基本方程：fk ( xk )= min{vk(uk)+ fk+1(xk+1)} （7）边界条件：f5 ( x5 )=0
3+ 3 3+ 4
=6，u3 * (C3) = C3D1
3）k=2， f2(x2)=min{v2(x2，u2) + f3(x3)}， B1C1+ f3(C1) f2(x2=B1)= min B1C2+ f3(C2) B1C3+ f3(C3) B2C1+ f3(C1) f2(x2=B2)= min B2C2+ f3(C2) B2C3+ f3(C3) = min = min 7+4 5+7 6+6 3+4 2+7 4+6 =7， u2 * (B2) = B2C1 =11，u2 * (B1) = B1C1
2007/08 --8--
--第8章动态规划--
（3）决策（decision）：指在某阶段从给定的状态出发，决策者从面临的若干种不同的方案中所做出的选择。决策变量uk(xk) ∈Dk(xk)——允许决策集合， uk(xk)取值范围。要点： ① 决策变量是对活动过程控制的手段； ② 决策变量取值可以是连续型的，也可以是离散型的； ③ 允许决策集合相当于可行域。（4）策略（policy）与子策略（subpolicy）：各阶段决策组成的序列总体称为策略；从某一阶段开始到过程最终的决策序列称为子策略。 n 阶段策略可记为 {u1(x1), u2(x2) , … , un(xn)}，子策略可记为 {uk(xk), uk+1(xk+1) , … , un(xn)}。（5）状态转移律：状态参数变化的规律。从第k阶段的某一状态值xk 出发，当决策变量uk的取值确定之后，下一阶段的状态值xk+1按某种规律T(xk , uk)确定。第k+1阶段状态是第k阶段状态xk和变量uk的函数 xk+1 = T(xk , uk)，又称状态转移方程。

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第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。

即决策过程可划分为明显的阶段。

二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。

广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。

三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。

四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。

•连续型动态决策问题。

2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。

•随机型动态决策问题。

五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。

n = 1、2、3、4、5。

2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。

构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。

阶段的起点。

3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。

构成决策集，记为D n (S n )。

阶段的终点。

D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。

4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。

如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。

动态规划算法入门

动态规划算法⼊门1. 动态规划算法定义：动态规划，英⽂描述为Dynamic programming. 是⼀种可以把原始问题分解为若⼲相关联的⼦解问题，并通过求取和保存⼦问题的解，获得原问题的解。

动态规划算法可以解决的问题通常包含如下特征：重叠⼦问题最优⼦结构对于第⼀个特征，⽐较容易理解，即分解的若⼲⼦问题，包含着重复的解。

举例如：斐波那契数列，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，求解的F(n-1)的过程中，包含着求解F(n-2)的结果。

对于第⼆个特征，参考⽹上的说法为：假设当前决策结果是f[n],则最优⼦结构就是要让f[n-k]最优,最优⼦结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后⾯的决策没有关系,即让后⾯的决策安⼼地使⽤前⾯的局部最优解的⼀种性质。

关键字解读为：当前的决策与后⾯的决策是⽆关的， f[n-k]是最优的，转移到f[n]的状态是最优的2. 动态规划算法的⼀般步骤和难点使⽤动态规划算法解决问题的⼀般步骤是:找到问题的最优解的性质，⽤数学公式或者算法描述拆解⼦问题，确定问题的递推结构，保证可以收敛。

⽤知乎⼤神们的总结就是：找到问题的状态描述和状态转移⽅程。

3. 动态规划算法的分类和理解根据我的理解，以及⽹上的说法，我把动态规划算法分为三个类别和层次：简单动态规划算法，即状态⽅程是⽤⼀个维度的变量的描述的，常见的问题如：斐波那契数列，爬台阶问题等爬台阶问题问题描述：有⼀座⾼度是10级台阶的楼梯，从下往上⾛，每跨⼀步只能向上1级或者2级台阶。

要求⽤程序来求出⼀共有多少种⾛法。

状态描述：我们使⽤变量n表⽰台阶的级数，F(n)表⽰n级台阶⼀共有多少种⾛法状态转移⽅程与问题分解：根据每次能跨越的台阶数⽬：1级台阶或者2级台阶，因为⾛到N级台阶之前，⼈⼀定是处于N-1级台阶或者N-2级台阶。

F（n）的⾛法，⼀定是n-1级别的台阶的所有的⾛法和n-2级别台阶的所有⾛法之和。

F（n） = F(n-1) + F(n-2); 关于状态的分解，更详细的说明，可以看这篇⽂章：。

动态规划超级详细的讲义

动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。

他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。

显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。

每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。

下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。

每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。

一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。

经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。

下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。

这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。

对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。

这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。

二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。

第6章-动态规划

f*n(Sn)为从第n个阶段到终点的最短距离， f*n+1(Sn+1)为从第n+1个阶段到终点的最短距离， dn(Sn,Xn)为第n个阶段的距离，f*5(S5)为递推的起点，通常为已知的。
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始终盯住目标,不致脱离最终目标。顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同，求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*

动态规划(生产和存储问题)

动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。

二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。

通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。

阶段变量一般用k=1.2….n.表示。

1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。

它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。

通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。

描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。

变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。

用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。

n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。

动态规划(完整)

(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从
给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选
择。
用以描述决策变化的量称之决策变量，和状态变量一样，决策变量可以用一个数，一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
阶段变量描述当前所处的阶段位置，一般用下标 k 表示;
(2) 确定状态
每阶段有若干状态(state), 表示某一阶段决策面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为状态。反映状态变化的量叫作状态变量。 k 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;
每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk ，并有skSk。每个阶段的状态可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出状态，阶段的初始状态记作sk ，终止状态记为sk+1 ，也是下个阶段的初始状态。
状态转移方程在大多数情况下可以由数学公式表达, 如: sk+1 = sk + xk；
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
• 2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路
径；-----递推性
• 3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；----
-无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程
最优路径。-----动态规划
§7.1多阶段决策问题
• 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出;

运筹学动态规划

许多问题用动态规划的方法去处理，常比线性规划或非线性规划方法更有效。特别对于离散性的问题。
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法（如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题，用动态规划方法去处理。

动态规划基础

动态规划（一）、动态规划的基本思想：动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中，可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。

这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

二、设计动态规划法的步骤：1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3、以自底向上的方式计算出最优值；4、根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。

在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。

三、动态规划问题的特征：动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。

1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。

动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

（二）、动态规划算法的基本步骤设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：1.划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。

动态规划讲解大全(含例题及答案)

基本模型
多阶段决策过程的最优化问题。在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图）这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下：在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符）组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>

经典的动态规划入门练习题

动态规划入门练习题1.石子合并在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子(N<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分.编一程序,由文件读入堆栈数N及每堆栈的石子数(<=20).(1)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最小;(2)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最大;输入数据:第一行为石子堆数N;第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔.输出数据:从第一至第N行为得分最小的合并方案.第N+1行是空行.从第N+2行到第2N+1行是得分最大合并方案.每种合并方案用N行表示,其中第i行(1<=i<=N)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出,哪一堆先输出均可).要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示.输入输出范例:输入:44 5 9 4输出:－４５９－４－８－５９－１３－９２２４－５－９４４－１４－４－４－１８２２最小代价子母树设有一排数，共ｎ个，例如：22 14 7 13 26 15 11.任意2个相邻的数可以进行归并,归并的代价为该两个数的和,经过不断的归并,最后归为一堆,而全部归并代价的和称为总代价,给出一种归并算法,使总代价为最小.输入、输出数据格式与“石子合并”相同。

输入样例：412 5 16 4输出样例：－１２－５１６４１７－１６－４－１７－２０３７2.背包问题设有ｎ种物品，每种物品有一个重量及一个价值。

但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为ＸＫ，今从ｎ种物品中选取若干件（同一种物品可以多次选取），使其重量的和小于等于ＸＫ，而价值的和为最大。

输入数据：第一行两个数：物品总数Ｎ，背包载重量ＸＫ；两个数用空格分隔；第二行N个数,为Ｎ种物品重量；两个数用空格分隔；第三行N个数,为N种物品价值; 两个数用空格分隔；输出数据：第一行总价值；以下N行，每行两个数，分别为选取物品的编号及数量；输入样例：4 102 3 4 71 3 5 9输出样例：122 14 13.商店购物某商店中每种商品都有一个价格。

动态规划ppt.doc

1)当k=4时：要求f4(S4)，由于第4阶段只有两个城市C1、C2（即S4的取值为C1、
C2），从C1到T只有一条路，f4(C1)=d(C1,T)=9.2, 4(C1)=T同理f4(C2)=d(C2,T)=11, 4(C2)=T
2)当k=3时：S3的取值为B1、B2、B3，从B1出发到T有两条路，一条是经过C1到T，另一条是经过C2到T，显然
状态转移方程在不同的问题中有不同的具体表现形式，在例l中，状态转移方程表示为：Sk+1=Uk(sk)。
（6）阶段指标
阶段效益是衡量系统阶段决策结果的一种数量指标，记为：Vk(Sk,,Uk)
表示系统在第k阶段处于状态Sk做出决策uk时所获得的阶段效益。这里的阶段效益在不同的实际问题中有不同的意义。在例l中它表示两个中转站的距离，如V2(B2,U2(B2)=C2)=d(B2,C2)=7表示从中转站B2走到中转站C2之间的距离为7。更一般地有Vk(Sk,Uk(sk))=d(Sk,Uk(sk))。
f2(A1)= = =23.4, 2(A1)=B2
同理f2(A2)= = =18.1, 2(A2)=B3
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
动态规划最优化原理：“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。”简单地说就是一个最优策略的子策略也是最优的。

动态规划ppt

min{5 7, 8 5} 12.
这说明由 C1 到F 的最短距离为12，相应的决策为 u3* (C1) D1.
u3* (C1) D1.
2
f4 (D3 ) 5 4
A
5
f4 (D1) 7
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
(
D3
)

E1.
6
D2 2
1
E2
D3
3
u2* (B1) C2.
u5* (E2 ) F.
4
F
3
u4* (D1) E1.
u4* (D2 ) E2.
u
* 2
(
B2
)

C3.
（1）k=1 时，只有一个状态点A, 则
f1( A) min{ d1( A, B1) f2 (B1), d1( A, B2 ) f2 (B2 )}
min{1 4, 3 3} 5.
即 D3 到F 的最短距离为5，其路径为 D2 E2 F.
相应的决策为： u4* (D3 ) E1.
f4 (D1) 7
4
A
5
f4 (D2 ) 5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
（3）k=3 时，状态
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
4
A
5
2
B1 3
6
8 7

动态规划入门讲解PPT共33页

1.最优子结构
当前取得了最优值,那么直接用这个值来参与计算后面的状态能使后面的也最优
只要比较取一个值最优的保存
2.无后效性
当前作出决策只会影响后面的状态前面的决策的影响都在状态中被包含了顺序
3.重叠子问题
也就是有前所述的那种重复计算的减少,动态规划才能减少算法的运行时间
动态规划的要素
空的裂解原子核（POJ1887）
灵乌路空有着特别姿态的鸦。左足是“分解之足”、右足是“融合之足”、还有制御两者的右手“第三足”，她以这三足操控著究极的能源。
空居住在地灵殿在无聊的时候经常控制原子核进行核裂解来练习自己的能力。她捕捉到了N个原子核，控制每个原子核进行裂解会获得Ci的能量值，她可以依次挑选一个序列进行裂变（不必连续）。但是由于她能力的特殊性，她用来裂解的原子核的能量只能越来越低，否则会导致控制失败而造成核反应制御不能的后果。但是空是一个低智力的笨蛋，她想让你帮忙计算她最多可以控制几个原子核进行裂变。
动态规划的求解模式和程序实现
划分阶段设计状态确定决策写出转移写出方程和边界递推：看作递推方程，用循环依次递推出每一个状态记忆化搜索：按搜索的方式写，但是对于已经搜索过的
状态直接返回最优值，不再次搜索
按照方程的形态大致分类的几个例题
线性选择背包问题区间DP TreeDP
幻想乡的夏天的一天，萃香得到了N堆西瓜，她想把这些西瓜合并成一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆西瓜的数量之和，合并后与这两堆西瓜相邻的西瓜将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，找出一种合理的方法，使总的代价最小。
分析
阶段：顺序排列的西瓜堆将随着合并逐渐减少从i到j的长为j-i+1的区间可以认为是阶段

动态规划入门讲解

动态规划
这样的计算次数
进行1次比较和1次加法（1+4）*4/2-1=9个点共计算18次。虽然只少了6次，但n增长时与n^2成正比的计算量就可以接受了。
动态规划的定义
动态规划是：运筹学的一个分支解决策过程最优化的数学方法把多阶段过程转化为一系列单阶段问题
动态规划—— 求解可以划分阶段的最优化问题的方法

1=<i<=n 0<=j<=M 后面部分要求Wi<=j f[][0]=0
萃香的的西瓜

伊吹萃香是被赶到幻想乡的鬼，位列鬼族四天王之一，据传为“ 怪力乱神”四天王中怪的代表。虽然看上去是一个少女，但其实已活了几百年。她有操纵密和疏的能力，可以任意合并和分解周围的东西。

幻想乡的夏天的一天，萃香得到了N堆西瓜，她想把这些西瓜合并成一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆西瓜的数量之和，合并后与这两堆西瓜相邻的西瓜将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，找出一种合理的方法，使总的代价最小。

分析

经典的LIS模型，也就是线性选择型的DP 阶段：按顺序处理到哪一个原子核状态:f[i]表示处理到第i个，且选取第i个的最大序列长度
决策：上一个原子核是哪一个（逆推）
方程f[i]=max(f[j])+1 1<=j<i f[1]=1
帕秋莉的图书（POJ3624）

帕秋莉诺蕾姬是幻想乡中红魔馆的图书馆管理员，管理着图书馆中10万本魔法书。她总是试图整理这些图书，把质量好的放在一个专门的书架上。
这样要计算多少次？
我们先不引入时间复杂度的计算，来用一个n较小的例子手工计算我们需要做的计算量。 n＝＝4，共有2^(4-1)＝8条路线