高斯消去法

高斯消去法
一．题目
应用高斯消去法求解下列方程组的解
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+--=-+-=-+2.453.82102.7210321321321x x x x x x x x x
二．引言
高斯消去法是约当消去法的一种改进，它比约当消去法计算简单，可以计算方程组的精确解，由于较约当消去法增加了回带过程，故算法结构比较复杂，但算法减少了计算量（约节省了50%的计算量）。

要求方程组对角占优。

三．算法
（1）消元过程
就一般形式的方程组
∑==n
j i
j
ij
b x a 1 i=1,2,3，
·····n 加工成方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧===+∑∑==n j i j ij n
j j ij n i b x a b x a x 2
21
1,.......3,2,
我们保留第一个方程
)1(12
)1(1b x a x j n
j ij =+∑=
则剩下的
)
1(2
)
1(i
n
j j
ij
b
x a =∑= i=2,3,4.····
是关于变元x j 的n-1阶方程组（较原方程组少了一阶），可以进一步对他实施消
元手续，使之进一步变成 ⎪⎩⎪
⎨⎧==+∑∑==n j i j j n
j j b x a b a x 3
)2()2(23)
2(2
)2(22 i=3,4.······n
如此进行下去，这样经过k-1步消元后，依次得出k-1个方程
)(2
)(i i j n
j i ij i b x a x =+∑= i=1,2,3，···k-1
和关于变元x j 的n-k+1阶方程组 )
1()1(-=-=∑k i
n
k
j j k ij b x a
i=k ，
k+1，·····n
第k 步进一步将方程组加工成
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧==+∑∑+=+=n
k j k i j k ij n
k j k k j k b x a b a x 1
)()(1)(2)(2 i=k+1,k+2,………n 这里计算公式为
)
1()1()(/--=k kk k kj k kj a a a
)
1()1()(/-+=k kk k k k k a b b j=k+1，k+2，·····n
而 )
()1()1()(.k kj
k ik k ij k ij a a a a ---=，
)()
1()1()(.k k k ik k i k i b a b b ---= i ，j=k+1，k+2·
····n 上述消元手续做了n 步以后，方程组被加工成下列形式
)(1
)(i i j n
i j i ij i b x a x =+∑+= i=1,2,3，···n
（2）回代过程
方程组 ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==+=+++=+++-----)
()
1(1)1(11)2(2
)2(23)2(232)
1(1)1(13)1(132)1(121..............n n
n n n n n n n n n n n b x b x a x b x a x a x b x a x a x a x
的解很方便，自下而上逐步回带得 ∑+=-
=n
i j i ij
i i
i a
b x 1
)()( i=n,n-1, (1)
综上所述，高斯消去法的计算过程是：先计算系数)
(k ij a ，)
(k i b ，然后再计算
i x 。

流程图如下所示：
四．程序及运行结果1.程序
program gaosixiaoqufa
implicit none
integer::k,i,j
integer,parameter::n=3
real::a(n,n),b(n)
data((a(i,j),i=1,3),j=1,3)/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/
data(b(i),i=1,3)/7.2,8.3,4.2/
do k=1,n
do j=k+1,n
a(k,j)=a(k,j)/a(k,k)
end do
b(k)=b(k)/a(k,k)
do i=k+1,n
do j=k+1,n
a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)
end do
end do
do i=k+1,n
b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k)
end do
end do
do i=n-1,1,-1
do j=i+1,n
b(i)=b(i)-a(i,j)*b(j)
end do
end do
write(*,*) b(1),b(2),b(3)
stop
End
2.运行结果
1.100000 1.200000 1.300000
五．算法评价
在高斯消去法中，我们要保证第k步的系数a kk 不能为0.这就要求方程组要对角占优阵。

另外解一般方程组时，如果要用高斯消去法时，即使a kk的系数不为零，但如果绝对值太小，舍入误差的影响也会严重的的损失精度，因此在计算过程中要选主元素来保证a kk不为零。

在高斯消去法中，我们得到了方程组的精确解，该算法算法减少了计算次数，
节省了内存，也是一种比较好的算法。