018第七章 参数估计(1)共67页文档
第七章参数估计内容提要
i =1
i =1
d ln L = 0 ，求得似然函数 L 的极大值θˆ ，即为未知参数θ 的极大似然估计.其思 dθ
想是：在已知总体 X 概率分布时，对总体进行 n 次观测，得到一个样本，选取概
率最大的θ 值θˆ 作为未知参数θ 的真值的估计是最合理的.
（4）估计量的优劣标准
1）无偏性.设θˆ = θˆ( X1, X 2 ,Λ , X n ), E(θˆ) 存在，且 E(θˆ) = θ ，则称值θˆ 是 θ 的无偏估计量.否则称为有偏估计量.
计量.
2、参数的区间估计
设总体 X 的分布 F (x;θ ) 中含有未知参数θ ，若存在样本的两个函数
θ ( X1, X 2 ,Λ , X n ) 和θ ( X 1, X 2 ,Λ , X n ) ，使对于给定的α (0 < α < 1) ，有
P{θ < θ < θ} = 1 − α ，则随机区间（θ ,θ ）称为参数θ 的置信度为1 − α 的双侧
~
F (n1 −1, n2
− 1) ， σ 12
σ
2 2
的
置信度为1 − α 的置信区间为：
⎜⎛ ⎜ ⎝
S
2 2
⋅
Fα
2
S12 (n1 − 1, n2
− 1)
,
S
2 2
⋅
F1− α 2
S12 (n1 − 1, n2
−
1)
⎟⎞ ⎟ ⎠
.
5
解：由α = 0.02 ，查表得：
F0.01 (24,7)
=
6.07, F0.99 (24,7)
【例 3】某厂生产的钢丝.其抗拉强度 X ~ N (µ,σ 2 ) ，其中 µ,σ 2 均未知，从中
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n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
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定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
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• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
第七章 参数估计
，xk ) ，使 若对每个i( i=1，2，k)，存在连续函数 gi ( x1，x2，
i gi (E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k， 则称 i gi (1， 2， ， k ) 为 i 的矩估计量，其中
F(x； )来表示X的分布函数，当取不同的值，就会得到不 同的分布函数。我们称所有可能取值的集合为参数空间，记 为。把{F(x； )， }称为X的分布函数族。
若X为连续型随机变量，和分布函数族对应的是密度函数 族{ f (x； )， }。
若X是离散型随机变量，和分布函数族对应的是概率分布 函数族{ 第一节
f ( x；1， 2， ， k )，
由总体原点矩的定义，有
E( X i ) xi f ( x；1， 2， ， k )dx， i 1， 2， ，k.
从理论上来说，由上面k个方程，可以解出
i gi (E( X )，E( X 2 )， ，E( X k ))，i 1 ， 2， ，k.
的估计值。
( x1，x2， ，xn ) 作为未知参数
说明：1. 在统计推断中，当不致混淆时，通常对样本和样本 ，xn )。 观察值的表示法不加区分，均表成 ( x1，x2， 2. 对于两组不同的样本观察值 ，可得到未知参数 的两个 估计值，但 的估计量是同一个。
一、矩估计 矩估计法原理：用样本k阶原点矩(中心矩)作为总体k阶原点 矩(中心矩)的估计量，用样本k+m阶混合矩作为总体k+m阶混 合矩的估计量。 特别，用 X 作为E(X)的估计量，用 B2 作为D(X)的估计 量，用样本协方差(相关系数)作为cov(X，Y)和 rXY 的估计量。
第7章参数估计
31 100
假定A品牌袋装大米的重量服从正态分布，现随机抽取13袋大 米，测得其重量（单位：千克）分别为 ⎛ ⎞ 24, 24.2, 24.4, 24.6, 24.7, ⎝ 24.8, 25, 25.1, 25.1, 25.2, ⎠ 25.3, 25.4, 25.6. 分别计算该品牌袋装大米的重量的均值，及重量的标准差 的95%的置信区间。
4. 整理后，得到未知参数������的置信区间
参数估计的基本原理 点估计 区间估计 一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计 两个总体参数的区间估计 两个总体均值之差的区间估计 两个总体比例之差的区间估计 两个总体方差之比的区间估计 样本量������的确定 估计总体均值是样本量的确定 估计总体比例时是样本量的确定
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量大约 为8000袋左右。按规定每袋的重量应为100g。为了对产品质量进 行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符 合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋，测得每袋重 量如下所示： 112.5 102.6 100 116.6 136.8 101 107.5 123.5 95.4 102.8 103 95 102 97.8 101.5 102 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105 93.3
正态总体，������未知，因此应用公式①，即 ������ 2 ������ 2 方差的置信区间为[ ������(2������−(1) , ������2(������−1) ]， ������ − 1) ( ������ −1) ������/2 1−������/2 √︂ √︂ ������ 2 ������ 2 标准差的置信区间为[ ������(2������−(1) , ������2(������−1) ]。 ������−1) (������−1)
概率论第七章参数估计
们就将使得L取到最大值的参数值 ˆ1,ˆ2 , ,ˆk
称为1,2 ,
,
的极大似然估计值。
k
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定义 : 如果似然函数 L(1,2 , ,k )在ˆi (x1, x 2 , , xn ) 处取最大值, 则称ˆi为i的极大似然估计值，而相 应的统计量 ˆi ( X1, X 2 , , X n ) (i 1, 2, , k)称为参 数i的极大似然估计量。
其中
f
(x,
2)
x
2
e
x2
2 2
,
x
0
0 , x 0
求 2的矩估计。
例4.设总体X ~ f (x, ) 1 e|x|， x 2
( X1, X 2 , , X n )是来自总体X的样本，
求的矩估计。
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三、极大(jí dà)似然估计方法:
定义：总体X ~ f (x;1, 2 ,k ), 其中1, 2 ,k 是
例9.设总体X服从[θ,θ+1]区间上的均匀分布, 求的极大(jí dà)似然估计。
共三十七页
极大(jídà)似然估计的性质:
设的函数u u( ), 具有单值反函数 (u), u ,ˆ是参数的极大似然估计, 则uˆ u(ˆ)是u( )的极大似然估计。
例如，例8中参数θ的方差DX的极大似然估计
S n
t
2
,
X
S
n
t
2
n 1
(Xi
)2
2
(n)
,
2
n 1
(Xi
)2
2 1
(n)
2
(n
2
2
1)S 2 (n 1)
,
(n 1)S
第七章参数估计资料
第七章 参数估计参数估计是数理统计研究的主要问题之一.假设总体X ~N （μ，σ2），μ，σ2是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本，样本值是x 1，x 2，…，x n ，我们要由样本值来确定μ和σ2的估计值，这就是参数估计问题，参数估计分为点估计（Point estimation ）和区间估计(Interval estimation).第一节 点估计所谓点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上，故点估计又称为定值估计.定义7.1 设总体X 的分布函数为F （x ，θ），θ是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是X 的一样本，样本值为x 1，x 2，…，x n ，构造一个统计量（X 1，X 2，…，X n ），用它的观察值 （x 1，x 2，…，x n ）作为θ的估计值，这种问题称为点估计问题.习惯上称随机变量（X 1，X 2，…，X n ）为θ的估计量,称（x 1，x 2，…，x n ）为的估计值.构造估计量（X 1，X 2，…，X n ）的方法很多，下面仅介绍矩法和极大似然估计法. 1.矩法矩法（Moment method of estimation ）是一种古老的估计方法.它是由英国统计学家皮尔逊（K .Pearson ）于1894年首创的.它虽然古老，但目前仍常用.矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不够良好，再作适当调整. 矩法的一般作法：设总体X ~F （X ；θ1,θ2，…，θl ）其中θ1,θ2,…,θl 均未知. （1） 如果总体X 的k 阶矩μk =E (X k ) (1≤k ≤l)均存在，则μk =μk (θ1,θ2,…,θl )，（1≤k ≤l ）.(2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.),,,(,),,,(,),,,(2122121211l l l l l A A A θθθμθθθμθθθμ其中A k （1≤k ≤l ）为样本k 阶矩.求出方程组的解,ˆ,,ˆ,ˆ21l θθθ 我们称),,,(ˆˆ21n k k X X X θθ=为参数θk (1≤k ≤l )的矩估计量, ),,,(ˆˆ21nk k x x x θθ=为参数θk 的矩估计值. 例7.1 设总体X 的密度函数为：f （x ）=⎩⎨⎧-><<+.,0),1(,10,)1(其他αααx x其中α未知，样本为（X 1，X 2，…，X n ），求参数α的矩法估计.解 A 1=X .由μ1=A 1及μ1=E （X ）=21)1()(1++=+=⎰⎰+∞∞-ααααx x x x x xf d d ， 有21++=ααX ，得121ˆ--=X X α.例7.2 设X ~N （μ，σ2），μ，σ2未知，试用矩法对μ，σ2进行估计. 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======∑∑==.1)(,1)(12222111ni i ni i X n A X E X n A X E μμ 又 E (X )=μ, E (X 2)=D (X )+(EX )2=σ2+μ2,那么 .1ˆˆ,ˆ2222S nn A X -=-==μσμ. 例7.3 在某班期末数学考试成绩中随机抽取9人的成绩.结果如下：解 设X 为该班数学成绩，μ=E （X ）,σ2=D （X ）)558994(919191+++==∑= i i x x =75;2/19122)(819898⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=∑=i i x x s =12.14.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======∑∑==.91)(,91)(9122229111i i i i X A X E X A X E μμ 由于E （X 2）=D （X ）+（EX ）2=σ2+μ2，那么，2222228ˆˆˆ,().9X A A x S μσμ==-=-= 所以，该班数学成绩的平均分数的矩估计值x =μˆ=75分，标准差的矩估计值298ˆs =σ=12.14. 作矩法估计时无需知道总体的概率分布，只要知道总体矩即可.但矩法估计量有时不惟一，如总体X 服从参数为λ的泊松分布时，X 和B 2都是参数λ的矩法估计.2.极（最）大似然估计法极大似然估计法(Maximum likelihood estimation)只能在已知总体分布的前提下进行，为了对它的思想有所了解，我们先看一个例子.例7.4 假定一个盒子里装有许多大小相同的黑球和白球，并且假定它们的数目之比为3∶1，但不知是白球多还是黑球多，现在有放回地从盒中抽了3个球，试根据所抽3个球中黑球的数目确定是白球多还是黑球多.解 设所抽3个球中黑球数为X ，摸到黑球的概率为p ，则X 服从二项分布P {X =k }=k3C p k（1-p ）3-k， k =0，1，2，3.问题是p =1/4还是p =3/4？现根据样本中黑球数，对未知参数p 进行估计.抽样后，共有4种可能结果，其概率如表7-1所示.表7-1P {X =1}=9/64，这时我们就会选择p =1/4，即黑球数比白球数为1∶3.因为在一次试验中，事件“1个黑球”发生了.我们认为它应有较大的概率27/64（27/64＞9/64），而27/64对应着参数p =1/4，同样可以考虑X =0，2，3的情形，最后可得p =⎪⎩⎪⎨⎧==.3,2,43,1,0,41时当时当x x（1） 似然函数在极大似然估计法中，最关键的问题是如何求得似然函数（定义下文给出），有了似然函数，问题就简单了，下面分两种情形来介绍似然函数. （a ） 离散型总体设总体X 为离散型，P {X =x }=p （x ，θ），其中θ为待估计的未知参数，假定x 1，x 2，…，x n 为样本X 1，X 2，…，X n 的一组观测值.P {X 1=x 1，X 2=x 2，…，X n =x n }=P {X 1=x 1}P {X 2=x 2}…P {X n =x n }=p （x 1，θ）p （x 2，θ）…p （x n ，θ） =∏=ni ix p 1),(θ.将∏=ni ix p 1),(θ看作是参数θ的函数，记为L （θ），即 L （θ）=∏=ni ix p 1),(θ. （7.1）（b ） 连续型总体设总体X 为连续型，已知其分布密度函数为f （x ，θ），θ为待估计的未知参数，则样本（X 1，X 2，…，X n ）的联合密度为：f （x 1，θ）f （x 2，θ）…f （x n ，θ）=∏=ni ix f 1),(θ.将它也看作是关于参数θ的函数，记为L （θ），即L （θ）=∏=ni ix f 1),(θ. （7.2）由此可见：不管是离散型总体，还是连续型总体，只要知道它的概率分布或密度函数，我们总可以得到一个关于参数θ的函数L （θ），称L （θ）为似然函数.(2) 极大似然估计极大似然估计法的主要思想是：如果随机抽样得到的样本观测值为x 1，x 2，…，x n ，则我们应当这样来选取未知参数θ的值，使得出现该样本值的可能性最大，即使得似然函数L (θ)取最大值，从而求参数θ的极大似然估计的问题，就转化为求似然函数L （θ）的极值点的问题，一般来说，这个问题可以通过求解下面的方程来解决0)(=θθd d L . （7.3）然而，L （θ）是n 个函数的连乘积，求导数比较复杂，由于ln L （θ）是L （θ）的单调增函数，所以L （θ）与ln L （θ）在θ的同一点处取得极大值.于是求解（7.3）可转化为求解0)(=θθd dln L .（7.4）称ln L （θ）为对数似然函数，方程（7.4）为对数似然方程，求解此方程就可得到参数θ的估计值.如果总体X 的分布中含有k 个未知参数：θ1，θ2，…，θk ，则极大似然估计法也适用.此时，所得的似然函数是关于θ1，θ2，…，θk 的多元函数L （θ1，θ2，…，θk ），解下列方程组，就可得到θ1，θ2，…，θk 的估计值,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂.0),,,(ln ,0),,,(ln ,0),,,(ln 21221121k k k k L L L θθθθθθθθθθθθ （7.5） 例7.5 在泊松总体中抽取样本，其样本值为：x 1，x 2，…，x n ，试对泊松分布的未知参数λ作极大似然估计.解 因泊松总体是离散型的，其概率分布为：P {X =x }=λλ-e !x x,故似然函数为：L （λ）=∏∏==∑--⋅⋅==ni ni i x nixx x ni ii11!1!1λλλλee. ln L (λ)=11ln ln (!)nniii i n x x λλ==-+-∑∏,∑=+-=ni i x n 11)ln(λλλd d . 令λλd d ln =0，得： ∑=+-ni i x n 11λ=0.所以x x n ni i L ==∑=11ˆλ，λ的极大似然估计量为X L =λˆ（为了和λ的矩法估计区别起见，我们将λ的极大似然估计记为Lλˆ）. 例7.6 设一批产品含有次品，今从中随机抽出100件，发现其中有8件次品，试求次品率θ的极大似然估计值.解 用极大似然法时必须明确总体的分布，现在题目没有说明这一点，故应先来确定总体的分布.设 X i =,100,,2,1,0,1 =⎩⎨⎧i ，i ，i 次取正品第次取次品第则X i 服从两点分布： 表7-212100p （x i ，θ）=P {X i =x i }=θ xi （1-θ）1-xi ，x i =0，1，故似然函数为：L （θ）=∑-∑=-==-=-∏1001100110010011)1()1(i ii i i ix x i x x θθθθ由题知：∑=1001i ix =8，所以 L （θ）=θ8（1-θ）92. 两边取对数得：ln L （θ）=8ln θ+92ln （1-θ）.对数似然方程为：θθθθ--=1928)(ln d d L =0.解之得θ=8/100=0.08.所以Lθˆ=0.08. 例7.7 设x 1，x 2，…，x n 为来自正态总体N （μ，σ2）的观测值，试求总体未知参数μ，σ2的极大似然估计.解 因正态总体为连续型，其密度函数为f （x ）=222)(21σμσ--x eπ，所以似然函数为：L （μ，σ2）=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑∏==n i i nni i x x 122122)(21exp 212)(exp 21μσσσμσππ ln L （μ，σ2）=∑=----n i i x n n 1222)(21ln 22ln 2μσσπ. 故似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==.0)(212),(ln ,0)(1),(ln 124222122ni i ni i x n L x L μσσσσμμσμσμ 解以上方程组得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-===∑∑∑===.ˆ)(1)(1,12121221B x x n x n x x n ni i n i i ni i μσμ 所以 ⎩⎨⎧==.ˆ,ˆ22B X Lσμ例7.8 设总体X 服从［0,θ］上的均匀分布,X 1,X 2,…,X n 是来自X 的样本，求θ的矩法估计和极大似然估计.解 因为E （X ）=θ/2，令X =E （X ），得.2ˆX =矩θ 又 f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,1其他θθx所以L （θ）=nθ1，0≤x i ≤θ.要L （θ）最大，θ必须尽可能小，又θ≥x i ，i =1，2，…,n ，所以{}ini L X ≤≤=1max ˆθ.第二节 估计量的评价标准设总体X 服从［0，θ］上的均匀分布，由上节例7可知ˆ2X θ=矩，{}1ˆmax L i i nX θ≤≤ 都是θ的估计，这两个估计哪一个好？下面我们首先讨论衡量估计量好坏的标准问题.1.无偏性定义7.2 若估计量（X 1，X 2，…，X n ）的数学期望等于未知参数θ，即：ˆ()E θθ=， （7.6） 则称ˆθ为θ的无偏估计量（Non -deviation estimator ）.估计量ˆθ的值不一定就是θ的真值，因为它是一个随机变量，若ˆθ是θ的无偏估计，则尽管ˆθ的值随样本值的不同而变化，但平均来说它会等于θ的真值.例7.9 设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，E （X ）=μ，则样本平均数11nii X X n ==∑是μ的无偏估计量.证 因为E （X ）=μ，所以E （X i ）=μ，i =1，2，…，n ，于是1111()()n ni i i i E X E X E X n n ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑=μ.所以X 是μ的无偏估计量.例7.10 设有总体X ，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，（X 1，X 2，…，X n ）为从该总体中抽得的一个样本，样本方差S 2及二阶样本中心矩B 2=11()ni i X X n =-∑是否为总体方差σ2的无偏估计？解 因为E （S 2）=σ2，所以S 2是σ2的一个无偏估计，这也是我们称S 2为样本方差的理由.由于B 2=21n S n -， 那么 E （B 2）=2211()n n E S n nσ--=, 所以B 2不是σ2的一个无偏估计.还需指出：一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数相应函数的无偏估计量.例如，当X ~N （μ，σ2）时，X 是μ的无偏估计量，但2X 不是μ2的无偏估计量，事实上：22222()()().E X D X E X nσμμ⎡⎤=+=+≠⎣⎦2.有效性对于未知参数θ，如果有两个无偏估计量1ˆθ与2ˆθ，即E （1ˆθ）=E （2ˆθ）=θ，那么在1ˆθ，2ˆθ中谁更好呢？此时我们自然希望对θ的平均偏差E （ˆθ-θ）2越小越好，即一个好的估计量应该有尽可能小的方差，这就是有效性.定义7.3 设1ˆθ和2ˆθ都是未知参数θ的无偏估计，若对任意的参数θ，有 D （1ˆθ）≤D （2ˆθ）， （7.7） 则称1ˆθ比2ˆθ有效. 如果1ˆθ比2ˆθ有效，则虽然1ˆθ还不是θ的真值，但1ˆθ在θ附近取值的密集程度较2ˆθ高，即用1ˆθ估计θ精度要高些. 例如，对正态总体N （μ，σ2），11ni i X X n ==∑，X i 和X 都是E （X ）=μ的无偏估计量，但D （X ）=2nσ≤D （X i ）=σ2，故X 较个别观测值X i 有效.实际当中也是如此，比如要估计某个班学生的平均成绩，可用两种方法进行估计，一种是在该班任意抽一个同学，就以该同学的成绩作为全班的平均成绩；另一种方法是在该班抽取n 位同学，以这n 个同学的平均成绩作为全班的平均成绩，显然第二种方法比第一种方法好.3.一致性无偏性、有效性都是在样本容量n 一定的条件下进行讨论的，然而（X 1，X 2，…，X n ）不仅与样本值有关，而且与样本容量n 有关，不妨记为n ，很自然，我们希望n 越大时，n 对θ的估计应该越精确.定义7.4 如果n 依概率收敛于θ，即∀ε＞0，有{}ˆlim 1,nn P θθε→∞-<=，（7.8） 则称ˆnθ是θ的一致估计量（Uniform estimator ）. 由辛钦大数定律可以证明：样本平均数X 是总体均值μ的一致估计量，样本的方差S 2及二阶样本中心矩B 2都是总体方差σ2的一致估计量.第三节 区间估计1.区间估计的概念上节我们介绍了参数的点估计，假设总体X ~N （μ，σ2），对于样本（X 1，X 2，…，X n ），ˆX μ=是参数μ的矩法估计和极大似然估计，并且满足无偏性和一致性.但实际上X =μ的可能性有多大呢？由于X 是一连续型随机变量，P {X =μ}=0，即ˆμ=μ的可能性为0，为此，我们希望给出μ的一个大致范围，使得μ有较高的概率在这个范围内，这就是区间估计问题.定义7.5 设1ˆθ（X 1，X 2,…,X n ）及2ˆθ (X 1,X 2,…,X n )是两个统计量，如果对于给定的概率1-α（0<α<1），有：P {1ˆθ＜θ＜2ˆθ}=1-α, （7.9） 则称随机区间（1ˆθ，2ˆθ）为参数θ的置信区间（Confidence interval ），1ˆθ称为置信下限，2ˆθ称为置信上限，1-α叫置信概率或置信度(Confidence level).定义中的随机区间（1ˆθ，2ˆθ）的大小依赖于随机抽取的样本观测值，它可能包含θ，也可能不包含θ，（7.9）式的意义是指（1ˆθ，2ˆθ）以1-α的概率包含θ.例如，若取α=0.05，那么置信概率为1-α=0.95，这时，置信区间（1ˆθ，2ˆθ）的意义是指：在100次重复抽样中所得到的100个置信区间中，大约有95个区间包含参数真值θ，有5个区间不包含真值θ，亦即随机区间（1ˆθ，2ˆθ）包含参数θ真值的频率近似为0.95. 例7.11 设X ~N （μ，σ2），μ未知，σ2已知，样本X 1，X 2，…，X n 来自总体X ，求μ的置信区间，置信概率为1-α.解 因为X 1，X 2，…,X n 为来自X 的样本，而X ~N (μ,σ2)，所以uX ~N （0，1），对于给定的α，查附录中表2可得上分位点2z α，使得2P z α⎫<⎬⎭=1-α,即22P X z X z ααμ⎧-<<+⎨⎩=1-α. 所以μ的置信概率为1-α的置信区间为22X z X z αα⎛-+ ⎝. （7.10） 由（7.10）式可知置信区间的长度为22z α，若n 越大，置信区间就越短；若置信概率1-α越大，α就越小，2z α就越大，从而置信区间就越长.2.正态总体参数的区间估计由于在大多数情况下，我们所遇到的总体是服从正态分布的（有的是近似正态分布），故我们现在来重点讨论正态总体参数的区间估计问题.在下面的讨论中，总假定X ~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为其样本. （1） 对μ的估计 分两种情况进行讨论.（a ） σ2已知此时就是例7.11的情形，结论是：μ的置信区间为22X z X z αα⎛-+ ⎝， 置信概率为1-α.（b ） σ2未知当σ2未知时，不能使用（7.10）式作为置信区间，因为（7.10）式中区间的端点与σ有关，考虑到S 2=211()1n ii X X n =--∑是σ2X σ换成S 得 TX ~t （n -1）.对于给定的α，查附录中t 分布表4可得上分位点t σ/2（n -1），使得2(1)P t n α⎫<-⎬⎭=1-α，即22(1)(1)P X t n X t n ααμ⎧⎫-<<+-⎨⎬⎩⎭=1-α.所以μ的置信概率为1-α的置信区间为22(1),(1)X t n X t n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （7.11）由于=，S 0μ的置信区间也可写成22(1),(1)X t n X t n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（7.12） 例7.12 某车间生产滚珠,已知其直径X ~N (μ,σ2)，现从某一天生产的产品中随机地抽出6个，测得直径如下（单位：毫米）14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1试求滚珠直径X 的均值μ的置信概率为95%的置信区间.解 111(14.615.114.914.815.215.1)6n i i x x n ===+++++∑=14.95，s 0=， t α/2(n -1)=t 0.025(5)=2.571，所以2(t n α-=2.571=0.24， 置信区间为（14.95-0.24,14.95+0.24)，即（14.71,15.19)，置信概率为95%.σ2的置信区间我们只考虑μ未知的情形.此时由于S 2=211()1n i i X X n =--∑是σ2的无偏估计，我们考虑22(1)n S σ-，由于222(1)~(1)n S n χσ--，所以，对于给定的α，2122222(1)(1)(1)n S P n n ααχχσ-⎧⎫--<<-⎨⎬⎩⎭=1-α. 即22222221(1)(1)(1)(1)n S n S P n n αασχχ-⎧⎫--⎪⎪<<⎨⎬--⎪⎪⎩⎭=1-α.所以σ2的置信区间为2222221(1)(1),(1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭（7.13） 或222200221,(1)(1)nS nS n n ααχχ-⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭， 其中S 02=211()ni i X X n =-∑. 例7.13 某种钢丝的折断力服从正态分布，今从一批钢丝中任取10根，试验其折断力，得数据如下：572 570 578 568 596576 584 572 580 566试求方差的置信概率为0.9的置信区间.解 因为111(572570566)10n i i x x n ===+++∑ =576.2，s 02=2211n i i x x n =-∑=71.56，α=0.10,n -1=9，查附表得：2220.05(1)(9)n αχχ-==16.919，2220.951(1)(9)n αχχ--==3.325，22021071.56(1)16.919ns n αχ⨯=-=42.30， 220211071.56(1) 3.325ns n αχ-⨯=-=215.22.所以，σ2的置信概率为0.9的置信区间为（42.30,215.22).以上仅介绍了正态总体的均值和方差两个参数的区间估计方法.在有些问题中并不知道总体X 服从什么分布，要对E （X ）=μ作区间估计，在这种情况下只要X 的方差σ2已知，并且样本容量n 很大，X 准正态分布N （0，1），因而μ的置信概率为1-α的近似置信区间为22X z X z αα⎛-+ ⎝.小 结参数估计问题分为点估计和区间估计.设θ是总体X 的待估计参数.用统计量ˆθ=ˆθ（X 1，X 2，…，X n ）来估计θ称ˆθ是θ的估计量，点估计只给出未知参数θ的单一估计.本章介绍了两种点估计的方法：矩估计法和极大似然估计法.矩法的做法：设总体X ~F （X ；θ1，θ2,…,θl )其中θk (1≤k ≤l )为未知参数. （1） 求总体X 的k (1≤k ≤l )阶矩E （x k ）； （2） 求方程组112112(,,,)(),(,,,)().l l l l l E X A E X A μθθθμθθθ==⎧⎪⎨⎪==⎩的一组解1ˆθ,2ˆθ,…, ˆl θ，那么ˆk θ=ˆk θ (X 1,X 2,…,X n )(1≤k ≤l)为k 的矩估计量. ˆkθ（x 1，x 2,…,x n ）为θk 的矩估计值. 极大似然估计法的思想是若已观察到样本值为（x 1，x 2,…,x n ），而取到这一样本值的概率为P =P (θ1,θ2,…,θl ),我们就取θk (1≤k ≤l )的估计值使概率P 达到最大，其一般做法如下：（1） 写出似然函数L =L （θ1,θ2,…,θl ）当总体X 是离散型随机变量时,L =121(;,,,)nili P x θθθ=∏ ,当总体X 是连续型随机变量时L =121(;,,,)nili f x θθθ=∏ ,(2) 对L 取对数ln L =121ln (;,,,)nili f x θθθ=∑ ,(3) 求出方程组ln kLθ∂∂=0, k =1,2,…,l . 的一组解ˆk θ=ˆk θ (x 1,…,x n ) (1≤k ≤l )即k 为未知参数θ的极大似然估计值，ˆkθ=(X 1,X 2,…,X n )为θk 的极大似然估计量.在统计问题中往往先使用极大似然估计法，在此法使用不方便时，再用矩估计法进行未知参数的点估计.对于一个未知参数可以提出不同的估计量，那么就需要给出评定估计量好坏的标准.本章介绍了三个标准：无偏性、有效性、一致性.重点是无偏性.点估计不能反映估计的精度，我们就引人区间估计.设θ是总体X 的未知参数，1ˆθ,2ˆθ均是样本X 1，X 2，…，X n 的统计量，若对给定值α(0<α<1)满足P （1ˆθ<θ<2ˆθ）=1-α,称1-α为置信度或置信概率，（1ˆθ，2ˆθ）为θ的置信度为1-α的置信区间.参数的区间估计中一个典型、重要的问题是正态总体X （X ~N （μ,σ2））中μ或σ2的区间估计，其置信区间如表7-3所示.高（置信区间长度越小），可靠度越低；反之亦然.在实际中，应先固定可靠度，再估计精度.重要术语及主题矩估计量 极大似然估计量估计量的评选标准：无偏性、有效性、一致性， 参数θ的置信度为（1-α）的置信区间, 单个正态总体均值、方差的置信区间.习 题 七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计.3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ =k 1211()n i i i XX -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L ？ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. （1997年研考）12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本 （1） 求θ的矩估计量；（2） 求ˆ()D θ. (1999研考) 13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,0;0,.e x x x θθ--⎧>⎨≤⎩其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值. （2000研考）估计值和极大似然估计值. （2002研考）15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪<⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1） 当α=1时，求β的矩估计量；（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量；（3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. (2004研考) 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？2/2()d zt z t ϕ-=⎰17. 设总体X 的概率密度为f (x ，θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 的样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计. (2006研考)。
统计学第七章-参数估计-PPT
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根
据样本数据计算得：x 105.36
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z 2
n
105.36 1.96
10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
The two confidence intervals that are used extensively are the 95% and the 90%.
常用的置信水平及Ｚ值为： Z=1.96
Z=1.65
Interpretation of Confidence Intervals
For a 95% confidence interval about 95% of the similarly constructed intervals will contain the parameter being estimated.
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、 未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)
1.假定条件
– 总体服从正态分布,且方差(２) 未知
– 小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
t x ~ t(n 1)
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
t 值表
横坐标：自由度， df 纵坐标：概率， p, 即曲线下阴影部分的面积; 表中的数字：相应的 |t | 界值。
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档参数估计是概率论与数理统计中的重要内容之一，是通过样本数据来推断总体参数的方法。
在实际应用中，参数估计广泛应用于市场调查、医学研究、经济预测等领域。
本文将以一些常用的参数估计方法为例，进行演示说明。
首先，我们介绍最常见的点估计方法，矩估计。
矩估计是通过样本矩来估计总体矩。
以正态分布的均值和方差为例，假设我们有一个样本数据集，通过计算样本均值和样本方差，可以分别得到正态分布的均值和方差的矩估计值。
接下来我们介绍第二种常见的点估计方法，最大似然估计。
最大似然估计是通过找到使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值。
以二项分布的成功概率为例，假设我们有一组二项分布的观察数据，通过计算二项分布的似然函数，并求导得到其极大值点，可以得到二项分布的成功概率的最大似然估计值。
此外，假设检验是参数估计的重要应用。
在进行参数估计时，我们常常需要进行假设检验来判断参数估计是否具有统计意义。
以均值的假设检验为例，假设我们有两组样本数据，通过计算样本均值和样本方差，可以得到均值的矩估计值。
然后，我们可以利用假设检验的方法，比较这两个样本的均值，从而判断两个样本是否具有统计意义上的差异。
最后，我们介绍一种常用的参数区间估计方法，置信区间估计。
置信区间估计是通过样本数据得到一个区间，该区间内的参数值有一定的置信度。
以总体均值的置信区间估计为例，假设我们有一组样本数据，通过计算样本均值和样本标准差，可以得到总体均值的点估计值。
然后，我们可以利用参数估计的理论知识，计算得到总体均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
综上所述，参数估计是概率论与数理统计中的重要内容，应用广泛。
通过点估计方法可以从样本数据中推断总体参数的值，通过假设检验可以判断参数估计的统计意义，通过置信区间估计可以得到参数值的置信区间。
这些参数估计方法为我们提供了在实际问题中进行估计和推断的依据，使我们能够更好地理解和分析数据。
第7章 参数估计概率论课件
ˆ ˆ ˆ (4) 用方程组的解 1,2 ,,k 分别作为 1 ,2 ,,k
的估计量，这种估计量称为矩估计量. 矩估计量
的观察值称为矩估计值.
设 总 体X 在 [a , b] 上 服 从 均 匀 分 布 中a , ,其 例2 b 未 知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 来 自 总 体 的 样 本 求a , X , b 的矩估计量 .
解
a b 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )]
2
2
ab , 1 E(X ) 2
n
2
ab 1 令 A1 X i , 2 n i 1
12
a b
4
2
,
1 n (a b)2 (a b)2 2 A2 X i , n i 1 12 4
形式已知,θ为待估参数,
n
( X1 , X 2 ,, X n )
是总体X的一个样本，则样本 X1 , X 2 ,, X n 的 分布律为 p( xi ; ) , 当给定样本值 ( x1, x2 ,, xn )
i 1
后, 则样本 X1 , X 2 ,, X n 取到观察值 x1 , x2 ,, xn 的概率为 L( ) p( xi ; ) ,
2 i 1
n
1 e 2π
( xi )2 2 2
,
n n 1 n 2 2 2 ln L( , ) ln( 2 π) ln ( xi ) , 2 2 2 2 i 1
ln L( , 2 ) 0 令 ln L( , 2 ) 0 2
概率论与数理统计 第7章 参数估计
p ˆ x /1 0 x 1 x 2 . .x .15 1 0 12 1 0 0 8% 0
15
15
7.1.2 矩估计
【例7.3】设总体X的概率密度为
f(x;) (1)x,
0,
0x1 其他
其中θ(θ > – 1)为待估参数，X1，X2，…，Xn为总
称 ˆi(x1,x2, ,xn) 为未知参数i的估计值．
在不会混淆的情况下 ˆi(X 1,X2, ,Xn)和 ˆi(x1,x2, ,xn)
均可称为i的估计.
7.1.1 点估计问题的一般提法
例 如 ， 在 “ 装 配 线 的 平 衡 问 题 ” 中 ， 若 以 X1 ，
X2，…，X30表示一个操作台的30次装配时间，可
第7章 参数估计
7.1 参数的点估计 7.2 参数的区间估计
第7章 参 数 估 计
统计推断是根据样本所提供的信息对总体的 特性作出种种推断，
参数估计是统计推断的重要问题之一，它是 在总体的分布类型已知时，利用观测数据对总体 中的未知参数进行估计．
本章学习总体参数的两种估计方法，点估计 和区间估计．
本，x1，x2，…，xn是样本观测值，构造的m个统
计量：
ˆ i(X 1 ,X 2 , ,X n ),i 1 ,2 ,.m .,.,
用 ˆi(X 1,X2, ,Xn)的观测值 ˆi(x1,x2, ,xn)法．
7.1.1 点估计问题的一般提法
称 ˆi(X 1,X2, ,Xn)为未知参数i的估计量，
参数θ1,θ2,…,θm的情形．此时，只需要求出似然函
数
L (1 ,2 ,.m . ) .L ( , x 1 ,x 2 ,.x n ; .1 , .2 ,.m . ).,
第7章 参数估计PPT课件
pˆ Z 2
pˆ(1 pˆ ) n
0.217 1.645 0.217(1 0.217) 995
0.217 0.0215
结论：我们有90％的把握认为悉尼青少年中每 天都抽烟的青少年比例在19.55%~23.85%之间。
SPSS的计算结果
均值
在SPSS中将 “是否吸烟”
均值的 90% 置信区间
1. 两个总体均值的置信区间是由两个样本均值之差 加减估计误差得到的
2. 估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误 差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计 时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积 为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度
3. 两个总体均值之差(1-2)在置信水平下的置信区
9.5 50.3
标准 误
.8373
（二）总体比例的区间估计
1. 假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于5
2. 使用正态分布统计量 z
z p π ~ N(0,1) π(1 π) n
3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
p(1- p)
学习目标
1、掌握参数估计的基本方法和原理。 2、理解并掌握置信区间和置信水平的
含义。 3、理解并掌握评价估计量的标准。 4、掌握一个总体参数的区间估计方法，
了解两个总体参数区间估计的基本 方法。 5、掌握估计一个总体均值和总体比例 时样本量的确定方法。
一、 参数估计的一般问题
1.参数估计：总体分布类型已知，仅需对分布 的未知参数进行的估计
置信度1 - 的含义是：在同样的方法得到 的所有置信区间中，有100(1- )% 的区间 包含总体参数。
抽样分布是区间估计的理论基础。
第七章 参数估计
例如,在上例中u 的极大似然估计为 u ˆ X ( n ) 2
2
二.矩法(The Method of Moments) 矩法估计的理论基础是:辛钦大数定律. 设 X 1 ,, X n 是来自总体X的样本,则由样本的定义 r 知 X 1r , X 2r ,, X n 独立同分布,因此由辛钦大数定律, n 1 有 P r r X E ( X )
ˆ ); x1 , x2 ,, xn ) max L( , x1 , x2 ,, xn ) L( (u
max L( (u ); x1 , x2 ,, xn )
uU
性质得证
ˆ X ,再 在例 1 中,已经求出参数 的极大似然估计量
由 上 述 性 质 , P{ X 0} e 的 极 大 似 然 估 计 量 为
2 , 解之得, 的最大似然估计值为
ˆ x, ˆ2
, 2 的最大似然 2 n i 1
1 n (X i X )2 n i 1
例4 设总体 X服从 [0, ]上的均匀分布, 0 是未 知参数, X 1 ,, X n 是取自总体 X 的样本, x1 , , x n 是相应的样本观察值,求 的极大似然估计量. 解 似然函数为
此时,如果总体X表示的是某种电子产品的寿命 (单位:百小时),则该电子产品的寿命近似服从参数 为0.04494的指数分布.
样本, x1 , x 2 ,, xn 极大似然估计量.
2 X ~ N ( , ) , X 1 ,, X n 是来自总体X的 例3 设总体
2 , 是相应的样本观察值,求 的
本章介绍点估计的两种方法:最大似然法和矩法.