福建省四地六校高二下学期第二次(5月)联考考试数学文试卷8

第二学期第二次月考高二文科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}022≤-=x x x A ，{1,0,1,2}B =-，则A B ⋂=（ ）A ．{1}B ．{0}C ．{0,2}D ．{0,1,2} 2. 已知复数()2211z i i=++-，则z 的共轭复数是（ ） A ．13i + B ．12i + C ．12i - D ．13i - 3. 在独立性检验中，若求得2 6.202K ≈，则（ ）A. 我们有97.5%的把握认为两个变量无关B. 我们有99%的把握认为两个变量无关C. 我们有97.5%的把握认为两个变量有关D. 我们有99%的把握认为两个变量有关参考数据：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥4. 已知幂函数()f x k x α=⋅的图象经过点12⎛ ⎝⎭，则k α-=（ ） A.12 B.1 C.32D.2 5. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A. 存在一个有理数，它的平方是有理数B. 存在一个无理数，它的平方不是有理数C. 任意一个无理数，它的平方不是有理数D. 任意一个有理数，它的平方是有理数6. 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是（ ）A.59B.33C.13D.151 7. 使命题“存在0[1,2]x ∈，200x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件为( )A ．2a ≥ B. 2a ≤ C ．1a ≥ D. 1a ≤8.直线y k x b =+与曲线22ln y ax x =+-相切于点()1,4P ，则b 的值为（ ）A.3B.1C.1-D.3-9. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率12e =，且它的一个焦点在抛物线24y x =-的准线上，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2214x y +=B ．22186x y += C ．2212x y += D ．22143x y += 10. 已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的离心率等于2，则双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.不确定11. 已知函数()321,2,(1)7,2,xx ax x f x a x ⎧-+≥⎪=⎨--<⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(]2,3B. ()23， C ．[]2,3 D. (]2,612. 已知函数()222,0,1,0,x tx t x f x x t x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是()f x 的最小值，则t 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B. []1,0-C ．[]1,2D. []0,2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13. 11232250.02764-⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭________. 14. 已知函数()()2601x f x a n a a -=+>≠且的图象恒过定点(),2P m ，则m n -=________. 15. 如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.若sin y x =在区间()0,π上是凸函数，那么在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是________.16. 设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()0f x f x +-=；②()()11f x f x -=+；③当01x <≤时，()21x f x =+，则()()()135123222f f f ff f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知a R ∈. 命题p :函数()f x =R ，命题q :函数()()22x g x a x =-≤的值域为正实数集的子集. 若“p q ∨”是真命题，且“p q ∧”是假命题，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45 ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B ．（1C 的直角坐标方程； （219.（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）根据上表数据在图中作散点图，求y 与x 的线性回归方程；（2）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率.参考公式：回归直线的方程： y bxa =+ ，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， ay bx =- ， 附：已计算出：93x =，90y =，521()40i i x x =-=∑，51()()30i i i x x y y =--=∑.20.（本小题满分12分）已知直线12,2:.2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线12cos ,:2sin ,x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．(1)设l 与1C 相交于B A ,两点，求AB ； (2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍，纵坐标压缩为原来的23倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．21.（本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为R ，且对于x R ∀∈，都有()()f x f x -=成立.（1）若0x ≥时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求不等式()14f x >的解集；（2）若()1f x +是偶函数，且当[]01x ∈，时，()2x f x =，求()f x 在区间[]20152016，上的解析式.22.（本小题满分12分）已知函数()()32110,,32f x ax bx cx a b R c R =++>∈∈，()g x 是()f x 的导函数.(1)若函数()g x 的最小值是()10g -=，且1c =，()()()1,1,1,1,g x x h x g x x -≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩求()()22h h +-的值；(2)若1a =，0c =，且()1g x ≤在区间(]0,2上恒成立，试求b 的取值范围.高二文科数学月考二命题双向细目表“四地六校”联考2015-2016学年第二学期第二次月考高二文科数学参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.25 14. 2 15. 216. 7三、解答题：本大题共6小题，共70分．17. 解：若命题p 是真命题，则220x x a -+≥对任意x R ∈恒成立. ∴440a ∆=-≤即1a ≥. （2分）若命题q 是真命题，则0a -≥即0a ≤. （4分）∵“p q ∨”是真命题，且“p q ∧”是假命题，∴p q 、一真一假. （5分）若p 真q 假，则10a a ≥⎧⎨>⎩∴1a ≥. （7分）若p 假q 真，则1a a <⎧⎨≤⎩∴0a ≤. （9分）∴实数a 的取值范围是(][)01-∞+∞ ，，. （10分） 18. 解：（1）∵直线l 过点(1,2)P -，且倾斜角为45 ．∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数）， 即直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）. （4分） ∵2sin 2cos ρθθ=，∴22sin 2cos ρθρθ=.∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =. （8分）（2）把1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22y x =并整理得240t -+=. （10分）∵(2440∆=--⨯>设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则124t t ⋅=. （11分） ∴4PA PB ⋅=. （12分） 19. 解：（1）（3分）根据所给的数据，可以计算出300.7540b== ， 900.759320.25a =-⨯=， （5分） ∴y 与x 的线性回归方程为 0.7520.25y x =+. （6分）（2）从5名学生中,任取2名学生的所有取法为(,)A B 、(,)A C 、(,)A D 、(,)A E 、(,)B C 、(,)B D 、(,)B E 、(,)C D 、(,)C E 、(,)D E ,共有10种情况, （9分）其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况是(,)A D 、(,)A E 、(,)B D 、(,)B E 、(,)C D 、(,)C E 、(,)D E ,共计7种, (11分)因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率710. (12分) 20. 解：(1) 1C 的直角坐标方程为224x y +=． （1分）把12,2.x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y +=得220t t += （3分） 设B A ,两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则 由参数t 的几何意义知122AB t t =-=． （5分）解法二：直线l的普通方程为)2y x =-，1C 的直角坐标方程为224x y +=． （1分）联立方程组)222,4,y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 得232=0x x -+ （3分） 设()()()112212,,,A x y B x y x x <，则121,2,x x =⎧⎨=⎩ （4分）∴1222AB x =-=-=． （5分）(2) 曲线2C的参数方程为cos ,,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， （7分）故可设点P的坐标为()cos θθ，由题知直线l的普通方程为)2y x =-0y --= （8分）从而点P 到直线l的距离是4d πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（10分） 因此当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d取得最小值，且最小值为)12，即2（12分）21. 解：（1）由已知得()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在[)0+∞，上单调递减. （2分） ∴由()14f x >得()()2f x f >， （3分） ∴2x < （4分） ∴22x -<< （5分） ∴原不等式的解集是{}|22x x -<<. （6分）（2）∵()1f x +是偶函数，∴()()11f x f x -+=+. （7分）∵对于x R ∀∈，都有()()f x f x -=成立. ∴()()11f x f x -=+. （8分） ∴()()2f x f x =+. ∴()f x 是周期为2的函数. （9分） ∵当[]20152016x ∈，时，[]20160,1x -∈，且当[]01x ∈，时，()2x f x = ∴当[]20152016x ∈，时，()()()201620162x f x f x f x -=-=-=. 即当[]20152016x ∈，时，()20162x f x -=. （12分） 22. 解：（1）()()2g x f x ax bx c '==++ （1分）由已知得1,1,20,c b a a b c =⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩ （2分）∴1,1,2,c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩ （3分） ∴()221g x x x =++，即()()21g x x =+，∴()22,1,,1,x x h x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ （4分） ∴()()()22222+28h h +-=-=. （5分）（2）解法一：若1a =，0c =，则()21g x x b x =+≤在区间(]0,2上恒成立，等价于当(]0,2x ∈时，()max 1g x ≤. （6分） ①当02b-≤即0b ≥时，()2g x x bx =+在区间(]0,2上单调递增，由()max 421g x b =+≤得32b ≤-，这与0b ≥矛盾，∴此时无解. （7分）②当012b <-≤即20b -≤<时，()g x 在区间0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,2b b ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递- 11 - 减，在区间[],2b -上单调递增，∴()()max max ,22b g x g g ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭（8分） 由()21,242421,b b g g b ⎧⎛⎫-=≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+≤⎩得22,3,2b b -≤≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ∴322b -≤≤-，（满足20b -≤<） （9分） ③当122b <-<即42b -<<-时，()g x 在区间0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,22b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴由()2max124b b g x g ⎛⎫=-=≤ ⎪⎝⎭得22b -≤≤，这与42b -<<-矛盾，∴此时无解. （10分） ④当22b -≥即4b ≤-时，()g x 在区间(]0,2上单调递增，由()max 421g x b =--≤得52b ≥-，这与4b ≤-矛盾，∴此时无解. （11分）综上所述，b 的取值范围是322⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. （12分） 解法二：若1a =，0c =，则()21g x x bx =+≤在区间(]0,2上恒成立，等价于当(]0,2x ∈时，211x bx -≤+≤. （6分） 又等价于1b x x ≥--在区间(]0,2上恒成立，且1b x x≤-在区间(]0,2上恒成立. （7分） ∵当(]0,2x ∈时，12x x +≥（当且仅当1x =时等号成立），∴12x x--≤-，∴2b ≥- （9分） ∵()1h x x x =-在区间(]0,2上减函数，∴当(]0,2x ∈时，()min 3(2)2h x h ==-. ∴32b ≤- （11分） 综上所述，b 的取值范围是322⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. （12分）。