2.4 功能原理和机械能守恒
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功能关系与机械能守恒定律
功能关系与机械能守恒定律的应用实例
自由落体运动
01
在忽略空气阻力的情况下，物体只受到重力的作用，重力做功
与物体下落距离成正比，机械能守恒。
单摆运动
02
单摆在摆动过程中，重力做功与摆动角度有关，满足功能关系，
同时机械能守恒。
弹性碰撞
03
两个物体发生弹性碰撞时，碰撞过程中能量守恒，满足功能关
系和机械能守恒定律。
机械能守恒定律的证明
01
证明机械能守恒定律可以通过数学推导和实验验证两种方式 进行。
02
在数学推导方面，可以通过拉格朗日函数或哈密顿函数等工 具，利用变分法或微积分等数学方法证明机械能守恒定律。
03
在实验验证方面，可以通过设计实验测量系统在不同状态下 的机械能值，然后比较这些值是否相等来验证机械能守恒定 律。
课程目标
01
理解功能关系的概念及 其在力学中的应用。
02
掌握机械能守恒定律的 原理及其适用条件。
03
能够运用功能关系和机 械能守恒定律解决实际 问题。
04
培养学生对物理现象的观 察、分析和解决问题的能 力，提高科学素养。
02 功能关系
功能定义
功能是指物理系统在 力的作用下所完成的 能量转换或传递的量 度。
机械能守恒定律的表述
1
机械能守恒定律表述为：在一个封闭的系统内， 重力势能、弹性势能和动能之间相互转化，但总 和保持不变。
2
当没有外力做功时，系统的机械能保持不变。
3
机械能守恒定律是经典力学中的基本定律之一， 适用于不受外力或合外力为零的惯性参考系。
机械能守恒定律的适用条件
系统必须是封闭的，即系统内的能量不能向外泄漏。 系统必须不受外力或合外力为零。 系统必须没有其他形式的能量（如热能、电能等）转化为机械能或从机械能转化成其他形式的能量。
2.4-2.5功动能定理势能机械能守恒定律
v v0
t
adt 0
0
t 6tdt 3t2
0
dx vdt 3t2dt
A=
F dx
3
12t
3t
2dt
336t3dt 9t4 3 729J
0
0
0
P F 12t 3t2 t 3s时 P 972W
二、几种常见力的功
1、保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置
A
A
A A1 A2 A3
例1：质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运
动，该质点的速度为 4t2i 16 j ,开始时质点位于坐
标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中， 外力做的功。
解：
x
dx dt
4t 2
y
dy dt
16
y 16t
dx 4t2dt
y 16时 t 1
有关，而与路径无关。这种力称为保守力。
保守力沿闭合路径一周所 做的功为零，即 A F dr 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 作功与路径有关的力称为非保守力（也称为耗散力） 典型的耗散力： 摩擦力
2、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
ab
mg
dr
b
a ( mg )k ( dxi dyj dzk ) Z
l a
态
b0g 0(l b0)g 0
b0
0 1 0
l
a
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开
始滑动。μ0为最大静摩擦力系数。
(2)到链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功？
（2）当链条下落x时，
大学物理课件24功动能势能机械能守恒定律
守恒定律的意义
Ep Ek
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
21
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
22
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
B
d ( A ) 2 AdA
2
A m r (t) dr M r (t dt )
O
d ( A A) 2 A d A A d A AdA
r dr 同理 r dr rdr r0 dr r dr rB Mm Mm Mm A G 2 dr [(G ) (G )] rA r rB rA
Mm Ep G r 弹性势能
1 2 Ep kx 2
A ( Ep2 Ep1 ) EP
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算
A (Ep Ep0 ) Ep
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
Ep Ek
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
21
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
22
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
B
d ( A ) 2 AdA
2
A m r (t) dr M r (t dt )
O
d ( A A) 2 A d A A d A AdA
r dr 同理 r dr rdr r0 dr r dr rB Mm Mm Mm A G 2 dr [(G ) (G )] rA r rB rA
Mm Ep G r 弹性势能
1 2 Ep kx 2
A ( Ep2 Ep1 ) EP
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算
A (Ep Ep0 ) Ep
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
2-4功能原理 机械能守恒定律
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上， 如图的系统， ， 置于光滑的桌面上，
之间摩擦因数均不为零， 物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 ， 后拆除外力， 弹开过程中， 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 、 B、C、D 组成的系统 、 、 （A）动量守恒，机械能守恒 . ）动量守恒， （B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒， （C）动量不守恒，机械能不守恒 . ）动量不守恒， （D）动量守恒，机械能不一定守恒 . ）动量守恒， C A D B C A D B
有一轻弹簧, 例 2 有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 顶点 另一端系一质量为 的小球 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦 开始小球静止于点 不计摩擦) 在圆环上运动 不计摩擦 .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径 当小球运动到圆环 处于自然状态 其长度为圆环半径R; 其长度为圆环半径 的底端点B时 小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数. 小球对圆环没有压力. 的底端点 时,小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 以弹簧、小球和地球为一系统，
势能具有相对性 势能大小与势能零点的选取有关） 势能具有相对性（势能大小与势能零点的选取有关） 相对 大小与势能零点的选取有关 不论零势能点选在何处对于给定的两点， 不论零势能点选在何处对于给定的两点，系统势 能的增量相同。 能的增量相同。 势能是属于系统的 势能是属于系统的 （势能取决于系统内物体之间相 系统 互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置） 互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置）
功能原理 机械能守恒定律
h
``````
2GmE RE
2
2 gRE
E 0
第二宇宙速度
11.2km/s
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 v3 ，是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .
h
v
设
地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .
2. 公式推导：
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK 0＝EK
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK A内保＋A内非
则 又
A外＋A内保＋A内非＝EK－EK 0＝EK
A内保 E p
即保守内力作的功等于质点系势能增量的负值.
3、功能原理与动能定理并无本质的区别。它们的区别
仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑保守内力的功，这正 是功能原理的优点；因为计算势能增量常比直接计算功方便。
4 – 5
二
功能原理
机械能守恒定律
机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy) 由质点系的功能原理
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
作 业：
4.5.1 ， 4.5.3.
4 – 5
四 宇宙速度
功能原理
机械能守恒定律
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 v1，是在地面上发射人造地球卫星 所需的最小速度 . 设 地球质量
``````
2GmE RE
2
2 gRE
E 0
第二宇宙速度
11.2km/s
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 v3 ，是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .
h
v
设
地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .
2. 公式推导：
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK 0＝EK
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK A内保＋A内非
则 又
A外＋A内保＋A内非＝EK－EK 0＝EK
A内保 E p
即保守内力作的功等于质点系势能增量的负值.
3、功能原理与动能定理并无本质的区别。它们的区别
仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑保守内力的功，这正 是功能原理的优点；因为计算势能增量常比直接计算功方便。
4 – 5
二
功能原理
机械能守恒定律
机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy) 由质点系的功能原理
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
作 业：
4.5.1 ， 4.5.3.
4 – 5
四 宇宙速度
功能原理
机械能守恒定律
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 v1，是在地面上发射人造地球卫星 所需的最小速度 . 设 地球质量
2-4功能关系
1 mM 2 初状态: E = mv2 G 初状态: 2 R
末状态: 末状态:
E =0
1 mM 2 =0 由机械能守恒定律有: 由机械能守恒定律有: mv2 G 2 R
2GM v2 = = 11.2 ×103 m.s 1 R
E = E (Q) E ( P) = ( EKQ + EPQ ) ( EKP + EPP ) = EK + EP
问题: 问题 解决 思路: 思路:
系统从
Q状态 状态
P状态, 状态,
对于系统: 对于系统
EK = ? EP = ?
E = ?
E = ?
二: 质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力 外力: 外力 系统外的物体作用于系 统内各质点的力 内力: 系统内各质点之间的相 内力: 互作用力 系统内的所有内力总是由 注: 一对对的作用力和反作用力 一对对的作用力和反作用力 组成 系统的内力对于系统内 的每一质点均属于外力
Ek Q + E pQ = EkP + E pP
E k = E p
如果一切外力和非保守内力作功代数和为零, 如果一切外力和非保守内力作功代数和为零,只有 保守内力作功 则质点系的动能和势能发生相互转换, 作功,则质点系的动能和势能发生相互转换 保守内力作功 则质点系的动能和势能发生相互转换, 但系统的机械能保持不变: 但系统的机械能保持不变:机械能守恒定律
1 2 v 2 0
规定出发点为 势能零点,则有 势能零点 则有 即有
解得
=
gssinα
gscos α
=
1 2 × 6.0 2
9.8× 2.0 × 2
功能原理机械能守恒定律
功能原理机械能守恒定律
本节介绍能量的定义与基本概念，能量守恒定律的表述以及能量转化和转移 的基本原理。
能量的定义和基本概念
1 能量是什么？
2 能量的种类
3 能量守恒定律
能量是物体系统能够进行的 物理变化或工作的物理量。
包括动能、势能、热能、光 能等多种形式。
能量不会被创造也不会消失， 只会在不同形式之间转化。
1 机械能定义
机械能是指物体具有的动能和势能的总和。
2 机械能计算公式
机械能 = 动能 + 势能，动能 = 1/2 * m * v^2，势能 = m * g * h。
机械能守恒定律的推导和应用
1
定律推导
机械能守恒定律可由能量守恒定律推导得出。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用场景
运用机械能守恒定律解题时，首先确定系统内外力和能量转化方式。
机械能
机械能是动能和势能的总和，动能和势能可通过计 算公式求得。
能量守恒定律
能量不会被创造也不会消失，只会在不同形式之间 转化。
机械能守恒定律
机械能在封闭系统中的总量保持不变，可应用于解 决各种问题。
能量守恒定律的表述
能量守恒定律可简述为：能量的总量在任何一个封闭系统中都保持不变。
能量转化和转移的基本原理
能量转化
能量可以在不同形式之间相互转 化，如机械能转化为热能。
能量转移
能量可以通过传导、辐射、对流 等方式在物体之间传递。
能量守恒
能量在转化和转移过程中保持总 量不变。
机械能的定义和计算公式
3
示例问题
通过示例问题演示机械能守恒定律的实际应用。
例题分析和实例演示
过山车的机械能变化
通过过山车的例子，解析过程中机 械能如何转化和守恒。
本节介绍能量的定义与基本概念，能量守恒定律的表述以及能量转化和转移 的基本原理。
能量的定义和基本概念
1 能量是什么？
2 能量的种类
3 能量守恒定律
能量是物体系统能够进行的 物理变化或工作的物理量。
包括动能、势能、热能、光 能等多种形式。
能量不会被创造也不会消失， 只会在不同形式之间转化。
1 机械能定义
机械能是指物体具有的动能和势能的总和。
2 机械能计算公式
机械能 = 动能 + 势能，动能 = 1/2 * m * v^2，势能 = m * g * h。
机械能守恒定律的推导和应用
1
定律推导
机械能守恒定律可由能量守恒定律推导得出。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用场景
运用机械能守恒定律解题时，首先确定系统内外力和能量转化方式。
机械能
机械能是动能和势能的总和，动能和势能可通过计 算公式求得。
能量守恒定律
能量不会被创造也不会消失，只会在不同形式之间 转化。
机械能守恒定律
机械能在封闭系统中的总量保持不变，可应用于解 决各种问题。
能量守恒定律的表述
能量守恒定律可简述为：能量的总量在任何一个封闭系统中都保持不变。
能量转化和转移的基本原理
能量转化
能量可以在不同形式之间相互转 化，如机械能转化为热能。
能量转移
能量可以通过传导、辐射、对流 等方式在物体之间传递。
能量守恒
能量在转化和转移过程中保持总 量不变。
机械能的定义和计算公式
3
示例问题
通过示例问题演示机械能守恒定律的实际应用。
例题分析和实例演示
过山车的机械能变化
通过过山车的例子，解析过程中机 械能如何转化和守恒。
功能原理机械能转换和守恒定律
功能原理机械能转换和守 恒定律
本节将介绍功能原理机械能转换的定义、基本原理以及机械能守恒定律的概 念和表达式。
功能原理机械能转特定方 式转换为其他形式的能量的过程。
2 原理
通过改变物体的运动状态或形状，将机械能 转换为电能、热能或其他形式的能量。
机械能转换的基本原理
能量转换
机械能可以转换为其他形式的 能量，如电能或热能。
动力学定律
根据牛顿第二定律，物体受到 的力越大，其动能转换效率越 高。
工程设计
通过合理设计机械结构，可以 实现高效的能量转换。
机械能守恒定律的概念
1
封闭系统
2
这一定律适用于封闭的物理系统，其中
只有内部力和势能发生变化。
3
能量守恒
机械能守恒定律指出，在没有外部能量 输入或损失的情况下，系统的机械能保 持不变。
蒸汽机车
通过蒸汽发动机将燃料燃烧产生的热能转换为机械 能，推动火车行驶。
水力发电
利用水流所具有的动能，通过涡轮机将其转换为机 械能，再转换为电能。
机械能转换的能源效率
能源损耗
在机械能转换过程中，总会有能量损耗，导致能源效率低于100%。
能量回收
通过改进设计和应用高效能源转换技术，可以提高能源回收率。
可再生能源
利用可再生能源可以减少对非可再生能源的依赖，提高能源转换效率。
机械能转换的未来发展前景
随着科技的进步，机械能转换技术将越来越智能化和高效化，为可持续能源 发展和人类生活带来更多创新和便利。
应用范围
机械能守恒定律广泛应用于机械工程、 物理学以及能源领域。
机械能守恒定律的表达式
系统起始状态 机械能 = 动能 + 势能
系统终止状态 机械能 = 动能 + 势能
本节将介绍功能原理机械能转换的定义、基本原理以及机械能守恒定律的概 念和表达式。
功能原理机械能转特定方 式转换为其他形式的能量的过程。
2 原理
通过改变物体的运动状态或形状，将机械能 转换为电能、热能或其他形式的能量。
机械能转换的基本原理
能量转换
机械能可以转换为其他形式的 能量，如电能或热能。
动力学定律
根据牛顿第二定律，物体受到 的力越大，其动能转换效率越 高。
工程设计
通过合理设计机械结构，可以 实现高效的能量转换。
机械能守恒定律的概念
1
封闭系统
2
这一定律适用于封闭的物理系统，其中
只有内部力和势能发生变化。
3
能量守恒
机械能守恒定律指出，在没有外部能量 输入或损失的情况下，系统的机械能保 持不变。
蒸汽机车
通过蒸汽发动机将燃料燃烧产生的热能转换为机械 能，推动火车行驶。
水力发电
利用水流所具有的动能，通过涡轮机将其转换为机 械能，再转换为电能。
机械能转换的能源效率
能源损耗
在机械能转换过程中，总会有能量损耗，导致能源效率低于100%。
能量回收
通过改进设计和应用高效能源转换技术，可以提高能源回收率。
可再生能源
利用可再生能源可以减少对非可再生能源的依赖，提高能源转换效率。
机械能转换的未来发展前景
随着科技的进步，机械能转换技术将越来越智能化和高效化，为可持续能源 发展和人类生活带来更多创新和便利。
应用范围
机械能守恒定律广泛应用于机械工程、 物理学以及能源领域。
机械能守恒定律的表达式
系统起始状态 机械能 = 动能 + 势能
系统终止状态 机械能 = 动能 + 势能
机械能守恒和功能原理
能量守恒定律与功能原理主要内容：一、能量守恒定律1）在机械运动范围内，物体所具有的动能、势能（重力势能和弹性势能），统称为机械能。
物体的动能和势能之间是可以相互转化的。
例如：自由下落的物体，由于重力做功，所以其势能减少，动能增加，势能转化为动能；竖直上抛的物体，由于要克服重力做功，所以其动能减少,势能增加，动能转化为势能。
下面从动能定理出发，推证机械能守恒的条件：选某物体为研究对象，根据动能定理，有：ΣW=ΔE k可写成：W重+W弹+W其它=ΔE k，其中W弹为弹簧弹力的功。
又根据重力、弹簧弹力做功与势能的关系有：W重=－ΔE P重，W弹=－ΔE P弹－ΔE P重－ΔE P弹+W其它=ΔE k，如果W其它=0，即其它力不做功，则：－ΔE P重－ΔE P弹=ΔE k，即ΔE k+ΔE P重+ΔE P弹=0即ΔE=0（机械能的增量为零）从上面推证可以看出，系统机械能守恒的条件为：除了重力、弹簧弹力以外无其它力对物体做功。
2）实际上，物质运动的形式不仅是机械运动，另外，热运动、电磁运动、化学运动、核运动等也是物质的不同运动形式，不同的运动形式对应着不同形式的能量，物质各种形式的运动是可以相互转化的，因此不同形式的能也是可以相互转化的，且在能量转化的过程中，总的能量守恒。
因此，系统机械能守恒条件的严格表述为：物体系（系统）内只有重力、弹力做功，而其它一切力都不做功时，系统机械能守恒。
二、功能原理（或称功能关系）1）由动能定理可以知道，外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，可表示为：ΣW=ΔE k 这里说的外力包括作用于物体上的全部做功的力，可分为三部分：(1)系统内的重力、弹力；(2)系统内的摩擦力；(3)系统外物体对它的作用力，则动能定理的表达式可写成W重+W弹+W摩擦+W外=ΔE k，又因为：W重=－ΔE P重，W弹=－ΔE P弹，所以有：W摩擦+W外=ΔE k+ΔE P重+ΔE P弹等式的右边为动能的增量跟势能增量的和，即为物体机械能的增量，即：W摩擦+W外=ΔE表述为：除重力、弹簧弹力以外力对物体做功的代数和，等于物体机械能的增量。
质点系的功能原理和机械能守恒定律
【保守力场】存在保守力的空间区域。如：重力场。
对保守力，必有：
C
B
LF dr 0
A•
C'
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
一、保守内力 势能
若
F
dr
0
则
F
为非保守力
L
如：摩擦力沿任意闭合路径的功
L
0
一对摩擦力：机械能耗散为热能的途径和量度。
一般地，若
F
dr
0
则F
为耗散力
L
一、保守内力 势能
3、重力的功
重力：
A(0, hA ,0)
WAB mg (hA hB )
y hA
mg j
hB
O
z
B(0, hB ,0)
x
重力做功只与始末相对位置有关!
一、保守内力 势能
小结
1、引力的功
2、弹性力的功
1、重力的功
一、保守内力 势能
【保守力】做功只与始末位置有关，而与质点所经历路径无 关的力。如：重力、引力、弹性力。
亦即：当系统中只有保守内力做功
则其机械能
（常量）
（1）机械能守恒条件： 系统在某一过程中始终只有保守内力做功！ 而不能只考虑始末两状态的
（2）适用于惯性系，且与惯性系的选择有关； （3）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学
问题中的体现。
三、机械能守恒定律
例：用弹簧连接两个木板m1 、m2，弹簧压缩x0
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
二、质点系的功能原理
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
意义：质点系机械能的增量等于所有的外力和 所有非 保守内力做功的代数和。
对保守力，必有：
C
B
LF dr 0
A•
C'
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
一、保守内力 势能
若
F
dr
0
则
F
为非保守力
L
如：摩擦力沿任意闭合路径的功
L
0
一对摩擦力：机械能耗散为热能的途径和量度。
一般地，若
F
dr
0
则F
为耗散力
L
一、保守内力 势能
3、重力的功
重力：
A(0, hA ,0)
WAB mg (hA hB )
y hA
mg j
hB
O
z
B(0, hB ,0)
x
重力做功只与始末相对位置有关!
一、保守内力 势能
小结
1、引力的功
2、弹性力的功
1、重力的功
一、保守内力 势能
【保守力】做功只与始末位置有关，而与质点所经历路径无 关的力。如：重力、引力、弹性力。
亦即：当系统中只有保守内力做功
则其机械能
（常量）
（1）机械能守恒条件： 系统在某一过程中始终只有保守内力做功！ 而不能只考虑始末两状态的
（2）适用于惯性系，且与惯性系的选择有关； （3）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学
问题中的体现。
三、机械能守恒定律
例：用弹簧连接两个木板m1 、m2，弹簧压缩x0
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
二、质点系的功能原理
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
意义：质点系机械能的增量等于所有的外力和 所有非 保守内力做功的代数和。
机械能守恒及功能关系
在日常生活中的应用
机械能守恒
在日常生活中，许多现象遵循机械能守恒原理。例如，骑自行车时，人体的动能和重力势能之间相互转换；滑滑 梯时，人体的重力势能转换为动能。
功能关系
功能关系在日常生活中主要应用于分析不同形式的能量转换。例如，在做饭过程中，电能转换为热能；在跑步过 程中，化学能转换为动能和内能。通过了解这些能量转换过程，人们可以更有效地利用能源，提高生活质量。
02
机械能守恒定律是物理学中一个 基本而重要的定律，它描述了物 体在运动过程中能量的转化和守 恒。
机械能守恒的条件
系统不受外力或所受外力做功代 数和为零。
系统内只有动能和势能之间的相 互转化，不存在其他形式的能量
（如内能、电能等）的转化。
系统内各部分之间的相互作用都 是完全弹性碰撞，没有能量损失。
机械能守恒及功能关系
contents
目录
• 引言 • 机械能守恒定律 • 功能关系 • 机械能守恒与功能关系的实际应用 • 结论
01 引言
主题简介
机械能守恒
机械能守恒是物理学中的一个基本原 理，它指出在一个没有外力作用的孤 立系统中，动能和势能的总和保持不 变。
功能关系
功能关系是描述力与距离、力与时间 等物理量之间关系的定律或公式。
对未来研究和发展的展望
深入研究
随着科学技术的发展，我们需要更深入地研究和理解机械 能守恒及功能关系，以解决复杂问题和新出现的挑战。
跨学科应用
机械能守恒及功能关系可以与其他学科领域相结合，如生 物学、化学和地球科学等，以开拓新的应用领域。
创新技术
利用机械能守恒及功能关系原理，我们可以开发出更高效、 环保和可持续的技术和设备，以推动社会进步和发展。
功能原理和机械能守恒定律
【例3-6】如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定 ，沿斜面放置，斜面倾角为θ。质量为m的物体从与弹簧上端 相距为a的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b ，求物体与斜面之间的摩擦因数μ。
【解】将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、 物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力 为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦 力为外力，做功。
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内＝Ep0 －Ep，则上式可写为（功能原理）：
W外 W非保内 (Ek E p ) (Ek0 E p0 ) E E0 ΔE
1.2 机械能守恒定律
根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力 不做功或做功之和始终等于零，即W外＋W非保内＝0，则有：
1.3 能量守恒定律
由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为 零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的 能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电 流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用 力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。
在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要 的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个 物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为能 量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒 定律只是这条定律在力学领域的特例。
物理学
功能原理和机械能守恒定律
1.1 功能原理
系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即
E Ek Ep 力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内 力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也 可分为保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内，即W 内＝W保内＋W非保内。因此，质点系的动能定理式可写为：
2-4功能关系
A非保内
规定 势能 零点
明确作功过程 的初末状态
确定 EKP , EPP EKQ E
列方程,求解 列方程 求解
PQ
一物体以初速v 例3:一物体以初速 0= 6.0 ms1沿倾角为 α =30° 一物体以初速 的斜面向上运动,如图 物体沿斜面运行了 = 2.0 m 的斜面向上运动 如图, 物体沿斜面运行了s 如图 后停止。若忽略空气阻力, 试求: 后停止。若忽略空气阻力 试求 (1) 斜面与物体之间的摩擦系数； 斜面与物体之间的摩擦系数 ； v (2) 物体下滑到出发点的速率 。 物体下滑到出发点的速率v。
A外 + A非保内= E(Q) E(P)
功能原理
功能原理的应用: 功能原理的应用
选取研究对 系统) 象(系统 系统
A外 + A非保内 = E(Q) E ( P)
计算 A外 和
受力分析
（区分外力， 区分外力， 非保守内力， 非保守内力， 保守内力） 保守内力）
A非保内
规定 势能 零点
明确作功过程 的初末状态
P
重力势能 E p
引入势能的条件:系统内存在保守力 引入势能的条件:系统内存在保守力 Mm 1 2 弹性势能 E p = kx = mgh 引力势能 E p = G r 2
A保内 = ( Ep2 Ep1 ) = Ep
需要研究的问题
一.机械能 系统的动能和势能之和,称为机械能, 系统的动能和势能之和,称为机械能,用E表示 表示
→υ
O
W,F N , f : 外力 A外 = AN + A f = A f = mgx A非保内 = 0
选取O点为弹性势能零点, 选取O点为弹性势能零点,桌面 为重力势能零点则有: 为重力势能零点则有: 初状态: E0 = 初状态
机械能守恒机械能守恒定律和应用
机械能守恒机械能守恒定律和应用机械能守恒——机械能守恒定律和应用机械能守恒是动力学中的一个基本定律，表明在没有外力做功和无能量损失的情况下，机械能将保持不变。
本文将详细介绍机械能守恒定律的原理和应用。
一、机械能守恒的原理机械能守恒是基于动力学中的能量守恒定律。
在理想条件下，一个物体的机械能等于其动能和势能之和。
动能由物体的质量和速度决定，而势能则由物体的质量、重力加速度和高度决定。
根据机械能守恒定律，一个系统的机械能在任何时刻都保持不变。
二、机械能守恒定律的应用1. 自由落体运动自由落体是指只有重力作用的物体运动，根据机械能守恒定律，自由落体运动中物体的势能转化为动能，其总量保持不变。
例如，一个物体从高处自由落下，其势能逐渐减小，而动能逐渐增加，最终达到最大值。
2. 弹簧振子弹簧振子是一种涉及机械能转化的系统。
当弹簧振子偏离平衡位置时，它具有势能；当它通过振动重新回到平衡位置时，势能转化为动能。
根据机械能守恒定律，弹簧振子在振动过程中机械能保持不变。
3. 动能转化机械能守恒定律也适用于动能在不同形式之间的转化。
例如，当一个物体由静止开始沿斜面滑下时，其势能减少，而动能增加，保持总机械能不变。
同样地，当一个物体沿反方向上升时，动能减少，势能增加，机械能仍然保持不变。
4. 能量利用和设计机械能守恒定律在工程设计和能量利用中有着广泛的应用。
例如，水力发电利用水的下落产生的机械能，转化为电能。
再如，机械能守恒定律可以帮助工程师设计高效的机械系统，以最大限度地利用能量，减少能量浪费。
总结：机械能守恒定律是动力学中的重要定律，描述了一个系统中机械能保持不变的原理。
通过对机械能守恒定律的应用，可以解释自由落体运动、弹簧振子等物理现象，并在工程设计和能量利用中发挥重要作用。
理解和应用机械能守恒定律有助于我们深入理解能量转化和守恒的基本原理。
系统的功能定理机械能守恒定律能量守恒定律
02 03
拓展功能定理和机械能守恒定律的应用范围
功能定理和机械能守恒定律在解决许多物理问题时具有重 要价值，未来可以进一步拓展其应用范围，探索其在其他 领域的应用可能性，如材料科学、生物医学等。
加强能量守恒定律与其他物理定律的联系研究
能量守恒定律是物理学中的基本原理之一，与其他物理定 律有着密切的联系。未来可以进一步研究能量守恒定律与 其他物理定律的内在联系，揭示它们之间的相互作用和影 响机制。
问题描述
系统功能定理应用
守恒定律应用
一个由两个质点组成的系统在光 滑水平面上运动，质点1的质量 为m1，速度为v1，质点2的质 量为m2，速度为v2。两质点之 间用一根轻弹簧连接，求弹簧的 伸长量x。
根据系统功能定理，外力对系 统所做的功等于系统动能的增 量。由于系统内部只有弹力做 功，因此可以根据动能定理求 出弹簧的伸长量x。
根据热力学第一定律，系统吸收的热量 等于系统内能的增量与对外做功之和。 即Q=ΔU+W，其中ΔU为系统内能增 量，W为气体对外所做的功。
在加热过程中，气体的质量保持不变 。因此，可以根据质量守恒定律求出 气体的最终温度T2和吸收的热量Q。
PART 06
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
通过测量物体在不同位置的速度和高度，可以验证机械能是否守恒。如果动能和势能之和 在物体运动过程中保持不变，则可以确认机械能守恒。
分析复杂运动
对于涉及多种力作用的复杂运动，可以通过分析机械能是否守恒来简化问题。如果机械能 守恒，则可以只关注动能和势能的变化，而不必考虑其他力的影响。
工程应用
在工程领域，机械能守恒定律被广泛应用于各种机械装置和系统的设计、分析和优化中。 例如，在机械设计中，可以利用机械能守恒定律来评估机构的性能、优化设计方案或预测 系统的动态行为。
机械能守恒定律的原理与应用
机械能守恒定律的原理与应用一、机械能守恒定律的原理1.定义：机械能守恒定律是指在一个封闭的系统中，如果没有外力做功，或者外力做的功为零，那么系统的机械能（动能和势能之和）将保持不变。
2.表达式：机械能守恒定律可以用数学公式表示为：E_k + E_p =constant，其中E_k表示动能，E_p表示势能，constant表示常数。
3.条件：机械能守恒定律成立的条件是：系统受到的合外力为零，或者外力做的功为零。
在实际问题中，通常需要忽略摩擦力、空气阻力等因素。
二、机械能守恒定律的应用1.判断能量转化：在分析一个物体在受到外力作用下从一个位置移动到另一个位置的过程中，可以通过机械能守恒定律判断动能和势能的转化关系。
2.解决动力学问题：在解决动力学问题时，如果系统受到的合外力为零，或者外力做的功可以忽略不计，可以直接应用机械能守恒定律来求解物体的速度、位移等物理量。
3.设计机械装置：在设计和分析机械装置（如摆钟、滑轮组等）的工作原理时，可以利用机械能守恒定律来解释和预测系统的行为。
4.航天工程：在航天工程中，卫星、飞船等航天器在太空中运动时，由于受到的空气阻力很小，可以近似认为机械能守恒。
因此，机械能守恒定律在航天器的轨道计算、动力系统设计等方面有重要应用。
5.体育运动：在体育运动中，例如跳水、跳高等项目，运动员在运动过程中受到的空气阻力和摩擦力相对较小，可以忽略不计。
因此，机械能守恒定律可以用来分析运动员的速度、高度等参数。
6.生活中的例子：如滚摆运动、电梯运动等，可以通过机械能守恒定律来解释和预测物体在不同位置、不同速度下的状态。
综上所述，机械能守恒定律是物理学中的一个重要原理，在解决实际问题时具有广泛的应用价值。
在学习和应用过程中，要掌握其原理和条件，并能够灵活运用到各种场景中。
习题及方法：1.习题：一个物体从地面上方以5m/s的速度竖直下落，不计空气阻力，求物体落地时的速度和落地时的高度。
方法：根据机械能守恒定律，物体的势能转化为动能，即 mgh = 1/2 mv^2，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为高度，v为速度。
2.4 功 动能 势能 机械能守恒
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
大学物 理学
无关，而只与质点的初末位置有关。
非保守力: 力所做的功与路
B
径有关。（例如摩擦力）
重力功 W (mgy2 mgy1)
D
L
C
弹力功
W
(
1 2
k
x22
1 2
k
x12
)
A
引力功
W
(G
F
d r
m' m) (G
rB F
d r
m' m rA
)
2
Ep mgl sin
机械能守恒 m+地球：
0 0 1 mv2 (mgl sin )
2
大学物 理学
例 一轻弹簧, 其一端 系在铅直放置的圆环的顶
PR
点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在
30 A
o
环上运动(μ =0)．开始球
静止于点 A, 弹簧处于自然
B
状态，其长为环半径R;
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
2.4 机械能守恒定律
b
l0
o x1 x x2 x
a
F
b
= ∫
a
位置有关，而与弹簧的 中 间 形 变 过 程 无 关
x2 1 2 1 2 − kxdx= −( kx2 − kx1 ) x1 2 2
演示:弹簧振子 演示 弹簧振子
作者 杨 鑫
2.4 机械能守恒定律
第2章 质点动力学 11
保 守 力
作 功 只 与运动 物 体 的 始、末 位 置有关，而与路径无关的力 物体沿任意闭合路径绕行一 周 ， 该 力 所 作 的 功 为 零
任一位置
M m 1 2 EP = kx EP = mgh EP = -G r 2
作者 杨 鑫
2.4 机械能守恒定律
第2章 质点动力学 20
三、功能原理
A外力 + A非保守内力 = E − E0
四、机械能守恒定律
A外力 + A非保守内力 = 0
EK + EP = 常量 =常
作者 杨 鑫
a a
当物体沿任一闭合路径绕行一周 重 力 所 作 的 功 为 零
第2章 质点动力学
7
作者 杨 鑫
2.4 机械能守恒定律
第2章 质点动力学
8
2.万 有 引 力 作 功 的 特 点
M
r2
r r dA= f ds =f dscosα
⋅
o
r1 r
c am
rα f
r+ drc' r
b
ds π −α
Mm ds cos(π −α) = dr = −G 2 dr ds cosα = −dr r
作者 杨 鑫
=A保守力(位置1 →位置2) EP =A保守力(任一位置→势能零点) 任一位置→ r r F保守力⋅ dr =∫
l0
o x1 x x2 x
a
F
b
= ∫
a
位置有关，而与弹簧的 中 间 形 变 过 程 无 关
x2 1 2 1 2 − kxdx= −( kx2 − kx1 ) x1 2 2
演示:弹簧振子 演示 弹簧振子
作者 杨 鑫
2.4 机械能守恒定律
第2章 质点动力学 11
保 守 力
作 功 只 与运动 物 体 的 始、末 位 置有关，而与路径无关的力 物体沿任意闭合路径绕行一 周 ， 该 力 所 作 的 功 为 零
任一位置
M m 1 2 EP = kx EP = mgh EP = -G r 2
作者 杨 鑫
2.4 机械能守恒定律
第2章 质点动力学 20
三、功能原理
A外力 + A非保守内力 = E − E0
四、机械能守恒定律
A外力 + A非保守内力 = 0
EK + EP = 常量 =常
作者 杨 鑫
a a
当物体沿任一闭合路径绕行一周 重 力 所 作 的 功 为 零
第2章 质点动力学
7
作者 杨 鑫
2.4 机械能守恒定律
第2章 质点动力学
8
2.万 有 引 力 作 功 的 特 点
M
r2
r r dA= f ds =f dscosα
⋅
o
r1 r
c am
rα f
r+ drc' r
b
ds π −α
Mm ds cos(π −α) = dr = −G 2 dr ds cosα = −dr r
作者 杨 鑫
=A保守力(位置1 →位置2) EP =A保守力(任一位置→势能零点) 任一位置→ r r F保守力⋅ dr =∫
功能原理和机械能守恒定律
A
GMm
rb dr r ra 2
G
Mm rb
G
Mm ra
三、弹性力(elastic work)所做的功
建立如图所示 坐标系, 弹性力的 元功可写为:
ac d O xa x
b
xb X
dA F (dxi ) (kxi ) (dxi ) kxdx
A
b
dA
a
xb xa
kxdx
v
g (l 2 d 2 ) l
解三: 用机械能守恒定律求解；
系统: 整个绳子和地球. 并由于绳不可伸长，有：
A(e) AN 0
A(i) nc
0
系统机械能守恒.
d2
1
mg
2l
2
设水平桌面处重力势能
mv2 l mg 2
v
Ep
g (l l
0.
2 d2
)
比较三种方法：
①牛顿定律方程两端： 均为瞬时值，需对方程两端积分；
牵引力所做的功.
解: 由 dv Fx 6 103t 3t 得 dt m 2103
dv 3tdt
积分
v
dv
t
3tdt
得
0
0
v dx 1.5t 2 dt
dx vdt 1.5t 2dt 所以牵引力前10s做功为:
A
Fxdx
10 6 103t 1.5t 2dt 2.25107 (J )
(nonconservative force ).
对于任意闭合路径:
F dr 0 即做功为零, 为保守力, 如: 重力, 弹性力.
L
F dr 0 为非保守力(耗散力). 如:摩擦力
大学物理 2.4 功能原理 机械能守恒定律
得到
A A
外
E E E E
kA
pA
pA
k p
系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用 E表示，则 E E E
以 E 和 E 分别表示系统初态和末态的机械能，则
A B
A A E E
外 非保 B
A
外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结 论为功能原理。
即
把
x1和 x2
1 1 2 K (x2 ) m1 gx2 K (x1 ) 2 m1 gx1 2 2 1 1 K (x 2 ) 2 K (x1 ) 2 m1 g (x1 x 2 ) 2 2
代入上式，化简可得： 所以得
F 2 (m1 g m2 g ) 2
2.4 功能原理 机械能守恒定律
由质点系动能原理
A A E E
外 内 kB
kA
内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内 力做的功和非保守内力做的功
A A A
外 保内
非保内
E E
kB
kA
保守力的功等于相应势能增量的负值，则
A E E
保内 pB 非保内 kB pB
x 2
1
如图2-12(a)所示；弹簧自然长度时的位置为弹性势能的零点，同时取作 m1 m2 g x m1 上跳过程必须使弹簧伸长 1 的零势能点，如图2-12(b)所示。撤力后 k 才能使下面的木板 m2 恰能提起，如图2-12(c)所示。
k
图2-12
把两个木块、弹簧、地球做系统，只有重力和弹力做功，所以 系统机械能守恒，初终状态动能均为零，故初始状态的弹性势能和 重力势能之和与终了状态的弹性势能和重力势能之和相等。
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《大学物理》 祝之光 编
高等教育出版社
§2.4 功能原理 机械能转化与 守恒定律
qscao@
一、保守力
1. 重力、 弹性力和万有引力作功的特点 （1）重力作功
dr dxi dyj dzk B zB W F dr mgdz
F mg k
二、系统的势能和保守力的功
1 2 1 2 W重 (mghB mghA ) W弹 （ kx kx0） 2 2 m' m m' m W引 ( G ) ( G ) rB rA
重力、弹性力和万有引力作功的计算式右方都出 现了只与物体位置有关的差式，并且差式的两项具有
mM 引力势能： Ep G r
W引 ( Ep Ep0 ) Ep
重力、弹簧的弹力、万有引力都是物体间相互作 用的保守内力，对一切保守内力，都具有与之对应的势 能.
W保内 ( Ep Ep0 ) Ep
结论：系统中保守力所作的功等于与这种保守内
力有关的系统势能增量的负值.
结论：弹性力作功都与路径无关.
一、保守力
（3）万有引力作功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
结论：万有引力作功与路径无关. 保守力: 力所作的功与路径无关，仅与物体的 始末位置有关.
物体沿任一闭合路径运动一周，保守力作功为零。
非保守力: 力所作的功不仅与路径有关，还与 物体的始末位置有关.
讨论：
（ 1 ） W 保内 >0 ，保守力作正功，系统的势能减少。 （2）W保内<0，保守力作负功，系统的势能增加。
说明
1. 势能是状态函数
E Ep ( x, y, z ) 由质点间相对位置决定.
2. 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有,因 此势能的绝对值没有意义 .
3. 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关. 4. 势能是属于系统的，如说物体的势能不确切. 5. 势能计算 W ( Ep Ep0 ) Ep
E Ek E p
质点组的功能原理：外力和非保守内力对质点组所 做的功等于系统机械能的增量。
W外 W非保内 E E0 E
当W外+ W非保内= 0 时：
E E0
机械能守恒定律：当外力和非保守内力做功的代 数和为零时，系统内的动能和势能可以相互转化， 但总的机械能保持不变。 机械能守恒定律是能量转化和守恒定律在机械运 动中的表现形式。
v0 m1 m2
例1：
如图所示，质量分别为m1、m2的两木块由劲度系 数为K的弹簧相连，静止的放在光滑地面上，质 量为m0的子弹以水平速度v0射入木块m1，求：弹 簧的最大压缩长度
v0
m1 m2
例2：
已知子弹质量 m1 0.02kg，木块质量 m2 8.98kg 弹簧的劲度系数为540 N/m ，子弹以初速度 v 0 射入木块后，弹簧被压缩10cm，设木块与 水平面间的摩察因数为0.2，不计空气阻力， 2 求子弹初速度的大小。（ g取10 m / s ）
三、功能原理
根据质点组的动能定理：
W W外 W内 W外 W非保内 W保内 Ek Ek 0 Ek
W保内 ( E p E p0 ) E p W外 W非保内 ( Ek E p ) ( Ek 0 E p0 )
定义：系统的总动能和总势能之和称为系统的机械能。
A
zA
z
A
zB
mg
B
(mgzB mgzA )
zA
x
o点的始、末位 置有关。
一、保守力
（2）弹性力作功
F kxi
W Fdx kxdx
xA xA xB xB
F
O
xA
xB
x
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
v0 m1 m2
例3：
质量分别为m1和m2的两块木板用质量可忽略的弹 簧相连并置于地上。求对上面的木板必须施以多 大的正压力，才能使该力撤去后上面的木板跳起 来，下面的木板刚好能被提离地面。
x
o
m1
F x1 m2
x2
N
例4：
质量为m1的物体静止地置于光滑的水平桌面 上并连接有一轻弹簧，另一质量为m2的物体 以速度v0与弹簧相撞，求当弹簧压缩最甚时 （1）物体m1的速度大小 （2）有百分之几的动能转化为弹性势能
同样的表达式. 鉴于功是能量变化的量度，显然，差
式的两项应视为是与相互作用的两物体间的相对位置
有关的能量，我们称之为势能，用Ep表示.
重力势能：E
p
mgh
W重 ( Ep Ep0 ) Ep 1 弹性势能：Ep kx2 2 W弹 ( Ep Ep0 ) Ep
高等教育出版社
§2.4 功能原理 机械能转化与 守恒定律
qscao@
一、保守力
1. 重力、 弹性力和万有引力作功的特点 （1）重力作功
dr dxi dyj dzk B zB W F dr mgdz
F mg k
二、系统的势能和保守力的功
1 2 1 2 W重 (mghB mghA ) W弹 （ kx kx0） 2 2 m' m m' m W引 ( G ) ( G ) rB rA
重力、弹性力和万有引力作功的计算式右方都出 现了只与物体位置有关的差式，并且差式的两项具有
mM 引力势能： Ep G r
W引 ( Ep Ep0 ) Ep
重力、弹簧的弹力、万有引力都是物体间相互作 用的保守内力，对一切保守内力，都具有与之对应的势 能.
W保内 ( Ep Ep0 ) Ep
结论：系统中保守力所作的功等于与这种保守内
力有关的系统势能增量的负值.
结论：弹性力作功都与路径无关.
一、保守力
（3）万有引力作功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
结论：万有引力作功与路径无关. 保守力: 力所作的功与路径无关，仅与物体的 始末位置有关.
物体沿任一闭合路径运动一周，保守力作功为零。
非保守力: 力所作的功不仅与路径有关，还与 物体的始末位置有关.
讨论：
（ 1 ） W 保内 >0 ，保守力作正功，系统的势能减少。 （2）W保内<0，保守力作负功，系统的势能增加。
说明
1. 势能是状态函数
E Ep ( x, y, z ) 由质点间相对位置决定.
2. 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有,因 此势能的绝对值没有意义 .
3. 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关. 4. 势能是属于系统的，如说物体的势能不确切. 5. 势能计算 W ( Ep Ep0 ) Ep
E Ek E p
质点组的功能原理：外力和非保守内力对质点组所 做的功等于系统机械能的增量。
W外 W非保内 E E0 E
当W外+ W非保内= 0 时：
E E0
机械能守恒定律：当外力和非保守内力做功的代 数和为零时，系统内的动能和势能可以相互转化， 但总的机械能保持不变。 机械能守恒定律是能量转化和守恒定律在机械运 动中的表现形式。
v0 m1 m2
例1：
如图所示，质量分别为m1、m2的两木块由劲度系 数为K的弹簧相连，静止的放在光滑地面上，质 量为m0的子弹以水平速度v0射入木块m1，求：弹 簧的最大压缩长度
v0
m1 m2
例2：
已知子弹质量 m1 0.02kg，木块质量 m2 8.98kg 弹簧的劲度系数为540 N/m ，子弹以初速度 v 0 射入木块后，弹簧被压缩10cm，设木块与 水平面间的摩察因数为0.2，不计空气阻力， 2 求子弹初速度的大小。（ g取10 m / s ）
三、功能原理
根据质点组的动能定理：
W W外 W内 W外 W非保内 W保内 Ek Ek 0 Ek
W保内 ( E p E p0 ) E p W外 W非保内 ( Ek E p ) ( Ek 0 E p0 )
定义：系统的总动能和总势能之和称为系统的机械能。
A
zA
z
A
zB
mg
B
(mgzB mgzA )
zA
x
o点的始、末位 置有关。
一、保守力
（2）弹性力作功
F kxi
W Fdx kxdx
xA xA xB xB
F
O
xA
xB
x
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
v0 m1 m2
例3：
质量分别为m1和m2的两块木板用质量可忽略的弹 簧相连并置于地上。求对上面的木板必须施以多 大的正压力，才能使该力撤去后上面的木板跳起 来，下面的木板刚好能被提离地面。
x
o
m1
F x1 m2
x2
N
例4：
质量为m1的物体静止地置于光滑的水平桌面 上并连接有一轻弹簧，另一质量为m2的物体 以速度v0与弹簧相撞，求当弹簧压缩最甚时 （1）物体m1的速度大小 （2）有百分之几的动能转化为弹性势能
同样的表达式. 鉴于功是能量变化的量度，显然，差
式的两项应视为是与相互作用的两物体间的相对位置
有关的能量，我们称之为势能，用Ep表示.
重力势能：E
p
mgh
W重 ( Ep Ep0 ) Ep 1 弹性势能：Ep kx2 2 W弹 ( Ep Ep0 ) Ep