2.示范 公开课教案(1.2集合间的基本关系)(1)

1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用V enn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈)推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn 图表示集合A 和B 的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x 2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn 图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A ⊆B,但存在x ∈B,且x ∉A,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A ⊆B 时,A B 或A=B.(7)方程x 2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.讨论结果：(1)①集合A 中的元素都在集合B 中;②集合A 中的元素都在集合B 中;③集合C 中的元素都在集合D 中;④集合E 中的元素都在集合F 中.可以发现:对于任意两个集合A,B 有下列关系:集合A 中的元素都在集合B 中;或集合B 中的元素都在集合A 中.(2)例子①中A ⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E 和集合F 中的元素完全相同.(3)若A ⊆B,且B ⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x 2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.应用示例思路11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B 表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A⊆B成立,否则A⊆B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:B⊆A,C⊆A.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5变式训练课本P7练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A⊆B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有A B;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有A B,且B A,即集合A、B互不包含.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合{a,b}的所有子集为∅,{a},{b},{a,b}.真子集为∅,{a},{b}.变式训练2007山东济宁一模,1已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.1分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,又集合Q⊆P,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为∅,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为∅,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为∅,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. ……集合A 中含有n 个元素,那么集合A 有2n 个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A 有(2n -1)个真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m 2}.若B ⊆A,则实数m=_______. 活动：先让学生思考B ⊆A 的含义,根据B ⊆A,知集合B 中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m 的值.因为B ⊆A,所以3∈A,m 2∈A.对m 2的值分类讨论. 解：∵B ⊆A,∴3∈A,m 2∈A.∴m 2=-1(舍去)或m 2=2m-1.解得m=1.∴m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m 2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m 的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N M,求实数a 的取值范围.分析:集合N 是关于x 的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠∅,由于N M,则N=∅或N≠∅,要对集合N 是否为空集分类讨论.解：由题意得M={x|x>2}≠∅,则N=∅或N≠∅.当N=∅时,关于x 的方程ax=1中无解,则有a=0;当N≠∅时,关于x 的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=a 1,又∵N M,∴a 1∈M.∴a1>2. ∴0<a<21.综上所得,实数a 的取值范围是a=0或0<a<21,即实数a 的取值范围是{a|0≤a<21} 2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:∅,{a},{a,b},{a,b,c}. (2)由(1)你发现集合M 中含有n 个元素,则集合M 有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：(1)∅的子集有:∅,即有1个子集;{a}的子集有:∅、{a},即{a}有2个子集;{a,b}的子集有:∅、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;{a,b,c}的子集有:∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M 有2=21个子集;当n=2时,集合M 有4=22个子集;当n=3时,集合M 有8=23个子集;因此含有n 个元素的集合M 有2n 个子集.变式训练已知集合A {2,3,7},且A 中至多有一个奇数,则这样的集合A 有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个分析:对集合A 所含元素的个数分类讨论.A=∅或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练课本P7练习1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x∉A时也必有x∉B.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n 个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( )A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于∅只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}⊆{0,1,2},④应是∅⊆{0,1,2},⑤应是∅⊆{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.答案：(1)C (2)C (3)D4.判断如下集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z };(2)A={x|x=2m,m ∈Z },B={x|x=4n,n ∈Z }.解：(1)因A={x|x=2k-1,k ∈Z },B={x|x=2m+1,m ∈Z },故A 、B 都是由奇数构成的,即A=B.(2)因A={x|x=2m,m ∈Z },B={x|x=4n,n ∈Z },又x=4n=2·2n,在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有BA. 点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.5.已知集合P={x|x 2+x-6=0},Q ={x|ax+1=0}满足QP,求a 所取的一切值. 解：因P={x|x 2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q ={x|ax+1=0}=∅,QP 成立. 又当a≠0时,Q ={x|ax+1=0}={a 1-},要Q P 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=21-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q =∅时,满足Q P.6.已知集合A={x ∈R |x 2-3x+4=0},B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0},要使AP ⊆B,求满足条件的集合P.解：由A={x ∈R|x 2-3x+4=0}=∅,B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0}={-1,1,-4},由A P ⊆B 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.7.设A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 应具有何种关系？解：因A={0,1},B={x|x ⊆A},故x 为∅,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=∅满足B ⊆A.当m+1≤2m -1即m≥2时,要使B ⊆A 成立,需⎩⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值范围m≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x ∈R ,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立. 则①若B≠∅即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;②若B≠∅,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4.综上有m<2或m>4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.拓展提升问题:已知A ⊆B,且A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 共有多少个？ 活动：学生思考A ⊆B,且A ⊆C 所表达的含义.A ⊆B 说明集合A 是集合B 的子集,即集合A 中元素属于集合B,同理有集合A 中元素属于集合C.因此集合A 中的元素是集合B 和集合C 的公共元素.思路1:写出由集合B 和集合C 的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A 的个数,转化为求集合B 和集合C 的公共元素所组成的集合的子集个数.解法一：因A ⊆B,A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足A ⊆B,有:∅,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).又满足A ⊆C 的集合A 有:∅,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4}, {0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).其中同时满足A ⊆B,A ⊆C 的有8个:∅,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.解法二：题目只求集合A 的个数,而未让说明A 的具体元素,故可将问题等价转化为B 、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个). 点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.课堂小结本节课学习了:①子集、真子集、空集、V enn 图等概念;②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.作业课本P 11习题1.1A 组5.设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.。