《几何与代数》 科学出版社 第六章 二次型与二次曲面1
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几何与代数二次型(微改2)
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题1 命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的 +…+d 全大于零. 当且仅当 d1, d2, …, dn全大于零. 命题1’. diag{d 命题1’. diag{d1, …, dn}正定⇔ ∀ i, di > 0. 正定⇔ 0 d1
1 3 2
1 2 9 3 8 2 3 3
8 3
2 3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
y1 = x1 y2 = x2 + 1 x3 3 y = x 3 3
1 0 0 y = 0 1 1/3 x. 0 0 1
P
1 x= 0 0
0 0 1 -1/3 y. 0 1
第六章 二次型与二次曲面
B= PTAP
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.1. 定理6.1. 设n阶实对称矩阵A与对角阵合同. 阶实对称矩阵A与对角阵合同.
Q为正交阵， 为正交阵，
λ1
QT = Q-1
Q-1AQ=
λn
进一步， 推论 可得 阶实对称矩阵A 可得n 进一步，由推论6.2可得n阶实对称矩阵A与 下列对角阵合同 Ep ( p,q分别为 的 分别为A的 分别为 −Eq 正负惯性指数 ) O
2 2 2 =4x1 +3( x2 + 2 x2 x3 + x3 ) 3
=4x +3[( x + x2 x3 + x )− x ]+3x
2 1 2 2 2 3 1 9 2 3 1 9 2 3
2 3
=4x +3( x + x2 x3 + x )+ x
第六章 二次型与二次曲面
2 nn n
a21 x2 x1 a x
+
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn a1n x1 a11 a12 a21 a22 a2 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) ann xn an1 an 2 二次型的矩阵表达式：f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX 实对称矩阵A : 二次型 f 的矩阵 二次型 f : 实对称矩阵 A 的二次型
Q Y,
xn )
X
T
AX，
使得
2 n yn
X T AX Y T (QT AQ)Y 1 y12 Q 的 n个列向量是A的对应于1 ,
, n为 实对称矩阵 A的n个 特征 值； , n的n个单位正交
例 将二次型
2 2 f 17 x12 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
配方法
例 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x 3
为标准形, 并求所用的变换矩阵 .
含有平方项
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 2 2 2 x 2 x x 2 x x 1 1 2 1 3 x2 x3 2 x2 x3 2 2 2 2 5 x3 6 x2 x3 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 2 x1 x 2 x 3 2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
a21 x2 x1 a x
+
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn a1n x1 a11 a12 a21 a22 a2 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) ann xn an1 an 2 二次型的矩阵表达式：f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX 实对称矩阵A : 二次型 f 的矩阵 二次型 f : 实对称矩阵 A 的二次型
Q Y,
xn )
X
T
AX，
使得
2 n yn
X T AX Y T (QT AQ)Y 1 y12 Q 的 n个列向量是A的对应于1 ,
, n为 实对称矩阵 A的n个 特征 值； , n的n个单位正交
例 将二次型
2 2 f 17 x12 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
配方法
例 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x 3
为标准形, 并求所用的变换矩阵 .
含有平方项
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 2 2 2 x 2 x x 2 x x 1 1 2 1 3 x2 x3 2 x2 x3 2 2 2 2 5 x3 6 x2 x3 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 2 x1 x 2 x 3 2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
几何与代数(B)教学大纲
几何与代数（B）教学大纲（课程编号07 学分3，学时48+12+4课时，上机4课时）东南大学数学系一．课程的性质与目的本课程是工科电类专业学生本科阶段关于几何及离散量数学重要的数学基础课程。
本课程的目的是使学生熟悉空间解析几何与线性代数基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为后继课程的学习做好准备，并为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
二．课程内容的教学要求1．向量代数平面与直线（1）理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；（2）理解空间直角坐标系的概念，了解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；（3）理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；（4）理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；（5）理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程的确定方法，并了解参数方程的确定方法；（6）了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；（7）了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。
2．矩阵和行列式（1）理解矩阵和n维向量的概念；（2）理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；（3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；（4）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；（5）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；（6）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；（7）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，知道行列式的乘法定理；（8）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；（9）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；（10）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，了解利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵的方法；（11）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法；（12）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
第六章 二次型与二次曲面1
X’ = QTX ⇒ X = QX’
x cos π 4 ⇒ = y sin π 4 − sin π x′ 4 cos π y′ 4
y
50x’2+18y’2=450 50x’ +18y’ x’2 y’2 + =1 9 25 x
第六章 二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 正交变换把 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x3−4x2x3 . 3x +3x +2x +4x 3 1 2 的矩阵A 解: f 的矩阵A = 1 3 −2 , 2 −2 0 |λE−A| = (λ+2) (λ−4)2. ∴λ1= −2, λ2=λ3= 4. −5 −1 −2 1 5 −2 −2E−A = −1 −5 2 初等 0 2 −1 行变换 0 0 0 −2 2 −2 对应于λ = −2的一个特征向量: α1 = (−1, 1, 2)T, 的一个特征向量:
5 y’ 3 O x’
50x’2+18y’2=450 50x’ +18y’ x’2 y’2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |λE − A| =λ2− 68λ+50×18 50×
Q AQ TAQ =Λ = 50 0 =Q 0 18
∃正交阵 Q = −1
第六章 二次型与二次曲面
教学内容和学时分配 教 学 内 容 §6.1 二次型 §6.2 空间中的曲面与曲线 §6.3 二次曲面 Matlab解题 §6.4 用Matlab解题 学时数 4 2 2
x cos π 4 ⇒ = y sin π 4 − sin π x′ 4 cos π y′ 4
y
50x’2+18y’2=450 50x’ +18y’ x’2 y’2 + =1 9 25 x
第六章 二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 正交变换把 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x3−4x2x3 . 3x +3x +2x +4x 3 1 2 的矩阵A 解: f 的矩阵A = 1 3 −2 , 2 −2 0 |λE−A| = (λ+2) (λ−4)2. ∴λ1= −2, λ2=λ3= 4. −5 −1 −2 1 5 −2 −2E−A = −1 −5 2 初等 0 2 −1 行变换 0 0 0 −2 2 −2 对应于λ = −2的一个特征向量: α1 = (−1, 1, 2)T, 的一个特征向量:
5 y’ 3 O x’
50x’2+18y’2=450 50x’ +18y’ x’2 y’2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |λE − A| =λ2− 68λ+50×18 50×
Q AQ TAQ =Λ = 50 0 =Q 0 18
∃正交阵 Q = −1
第六章 二次型与二次曲面
教学内容和学时分配 教 学 内 容 §6.1 二次型 §6.2 空间中的曲面与曲线 §6.3 二次曲面 Matlab解题 §6.4 用Matlab解题 学时数 4 2 2
二次曲面及复习ppt课件
r个1
1 1 0 0
;
事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 假设
xTBx ≥ 0, ∨ n维列向量x，
那么 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个 特征值均为0.
另外，B与以下矩阵合同
r个1
1 1
0
0
;
P240第14题: 请注意在用定义说明一个 矩阵是正定时，需要强调x是非零的向量. 因为x=θ时， xTAx = 0 !
xTAx = (xT, T)Mx > 0,
yTBy = (T, yT)My > 0,
A, B都正定.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =
AO OB
,
证明: M正定 A, B都正定.
证明: ()
1
1
② 设P1AP =
, Q1BQ =
,
s
t
1
那么P O 1 A O OQ OB
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零 时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零 时，曲面为一对平行的平面.
8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零 时，曲面为一对平行的虚平面.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz.
a11 a12 a13
x
b1
A = a12 a22 a23 x = y B = b2
a13 a23 a33
z
b3
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
几何与代数
初等 行变换
1 0 0
0 1/2 1 1/2 0 0
对应于 = 2的一个特征向量：1 = (1, 1, 2)T，
1 1 2 4E–A = 1 1 2 2 2 4
初等 行变换
1 1 2 0 0 0 0 0 0
对应于 = 4的一个特征向量：2 = (0, 2, 1)T， 1 1 2 再解线性方程组 0 2 1
4 x 3[( x2 x3 ) x ] 3 x
2 1 1 3 2 1 9 2 3
2 3
2 2 8 2 4 x1 3( x2 1 x ) 3 3 3 x3
y1 x1 2+3y 2+(8/3)y 2 则 f =4 y 1 2 3 1 令 y2 x 2 3 x 3 1y y 可逆线性变换为 x =P x 3 3
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
n元实二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn 设 aij = aji f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
… … … …
0 0 … kn
y1 T y = y y2 … yn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次型 可逆线性变换
标准形
即寻求可逆的线性变换x = Py，使得
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = yTy = g(y) 寻求可逆矩阵P，使得
k1 0 T P AP = = … AT = A 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn
1 0 0
0 1/2 1 1/2 0 0
对应于 = 2的一个特征向量：1 = (1, 1, 2)T，
1 1 2 4E–A = 1 1 2 2 2 4
初等 行变换
1 1 2 0 0 0 0 0 0
对应于 = 4的一个特征向量：2 = (0, 2, 1)T， 1 1 2 再解线性方程组 0 2 1
4 x 3[( x2 x3 ) x ] 3 x
2 1 1 3 2 1 9 2 3
2 3
2 2 8 2 4 x1 3( x2 1 x ) 3 3 3 x3
y1 x1 2+3y 2+(8/3)y 2 则 f =4 y 1 2 3 1 令 y2 x 2 3 x 3 1y y 可逆线性变换为 x =P x 3 3
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
n元实二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn 设 aij = aji f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
… … … …
0 0 … kn
y1 T y = y y2 … yn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次型 可逆线性变换
标准形
即寻求可逆的线性变换x = Py，使得
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = yTy = g(y) 寻求可逆矩阵P，使得
k1 0 T P AP = = … AT = A 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
二次型与二次曲面
于是上述二次型可以写成如下求和形式
2020/10/14
南京邮电大学 邱中华
3
f ( x1 , x2 ,, xn )
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
f ( x1 , x2 ,, xn )
2020/10/14
南京邮电大学 邱中华
6
例1 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3
求二次型的矩阵A和二次型的秩。
解
2 1 2
A 1 1 3 ,
2 3 1
2 1 2 1 1 3 1 1 3 A 1 1 3 0 1 4 0 1 4 ,
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
ann xn2
由于 xi x j x j xi ，具有对称性，若令a ji aij ，i j ，则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ，i j ，
2 3 1 0 1 7 0 0 1
所以r(A) = 3，即二次型的秩等于3。
2020/10/14
南京邮电大学 邱中华
7
例2 求二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 )2
的矩阵A和二次型的秩，其中 a1, a2 , a3 不全为零。
解 f ( x1 , x2 , x3 ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 )2
a1 2
线代 第六章
则用矩阵将二次型(6.1)可写成
f ( x 1 , x 2 , , x n ) X A X （ 6.2）
其中矩阵A为实对称矩阵。 由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f 中平 方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i ≠j)正是中交叉 项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之 间存在一一对应的关系。
的化简时，经常用到定理1，通常称为主轴定理。
可以证明, 正交变换保持线段的长度不变, 所
以用正交变换化二次型为标准形, 具有保持几何
形状不变的优点, 因此正交变换法无论在理论上 还是在实际应用中都十分重要。
例1 用正交变换化下面的二次型为标准形：
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x 3
2 1 0
1 y1 1 y 2 1 y3
化为标准形 f y 1 2 2 y 2 2
2 2 另一方面 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 )
作可逆线性变换
z1 x 1 x 2 z2 x1 x 3 z3 x3
2
n
其中 1, 2,..., n是矩阵A的全部特征值。作正 交变换X=QY，则
f ( x 1 , x 2 , , x n ) X A X
Y ( Q A Q )Y Y Y
1 y1 n y n
2
2
在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面
负平方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指
数，它们的差p-q称为二次型 f 的符号差。
8.二次型与二次曲面解读
绕 x 轴一周 o
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
第六章 二次型与二次曲面2
若A =
x 1 y 与对角阵相合, 则(x, 1 2 0
y) = (1, 2)
等价关系汇总
相合的实对称阵的最简形: PTAP = Eq 不变量: 秩;正负惯性指数 O 实对称阵相合 正负惯性指数相同 规范形相同 相似的不变量: 秩; 特征值, 迹, 行列式 四种等价关系之间的相互关系 相抵 相 似 正交 相似 相 合
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 n 迹大于n. A 2E 2 证明2: 因为A是正定的n阶实对称矩阵, 所以A的n个特征值1, …, n均大于零. 设QTAQ = Q1AQ = =
1
n
n
,
则Q1(A+E)Q = +E, tr A E i 1 n
2 t 4 t 2 0 1 2 0, 2 t 2 2 3 A (2 2t )(2 t ) 0 2 4 t 0, 即 2 t 2, 当 -2< t <1 t 1, 时A正定. 2 2t 0,
例13 设ARmn, 证明ATA正定 r(A)=n. 证 若ATA正定,则 |ATA| > 0, n = r(ATA) r(A) n, r(A)=n. 由(ATA)T=ATA知ATA是n阶实对称阵,
三. 用配方法化实二次型为标准形 仿射变换时几何 形状可能改变
n
可逆线性变换下的不变量： r(f), p(f),q(f) 标准形不唯一，但规范形唯一. 2 2 f y1 y 2 y 21 yr2 0 yr21 0 yn p p
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
可逆线性变换 标准形 AT = A 实二次型
x 1 y 与对角阵相合, 则(x, 1 2 0
y) = (1, 2)
等价关系汇总
相合的实对称阵的最简形: PTAP = Eq 不变量: 秩;正负惯性指数 O 实对称阵相合 正负惯性指数相同 规范形相同 相似的不变量: 秩; 特征值, 迹, 行列式 四种等价关系之间的相互关系 相抵 相 似 正交 相似 相 合
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 n 迹大于n. A 2E 2 证明2: 因为A是正定的n阶实对称矩阵, 所以A的n个特征值1, …, n均大于零. 设QTAQ = Q1AQ = =
1
n
n
,
则Q1(A+E)Q = +E, tr A E i 1 n
2 t 4 t 2 0 1 2 0, 2 t 2 2 3 A (2 2t )(2 t ) 0 2 4 t 0, 即 2 t 2, 当 -2< t <1 t 1, 时A正定. 2 2t 0,
例13 设ARmn, 证明ATA正定 r(A)=n. 证 若ATA正定,则 |ATA| > 0, n = r(ATA) r(A) n, r(A)=n. 由(ATA)T=ATA知ATA是n阶实对称阵,
三. 用配方法化实二次型为标准形 仿射变换时几何 形状可能改变
n
可逆线性变换下的不变量： r(f), p(f),q(f) 标准形不唯一，但规范形唯一. 2 2 f y1 y 2 y 21 yr2 0 yr21 0 yn p p
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
可逆线性变换 标准形 AT = A 实二次型
第六章(二次型与二次曲面)
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 = [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2] (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
y1 y2 … yn
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2. 二次型在正交变换下的标准形 定理6.2. f(x1, x2, …, xn) = xTAx可经正交变换 化为标准形1y12 + 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的特征值.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. ETAE = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
寻求可逆的线性变换x = Py, 使得
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y)
第六章 二次型与二次曲面
二、线性变换
在平面解析几何中，为了确定二次方程
ax 2bxy cy d
2 2
所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：
x x cos y sin y x sin y cos
选择适当的 ，消去交叉项,可使上面的方程化为
ax 2 by 2 d , 上述 x , y 由 x , y 的线性表达式给出，通常称为
a22 x 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 , , xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
n
n
记
a11 a 21 A a n1
a12 a1n a22 a 2 n , an 2 ann
T
x1 x2 X , x n
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
2 a nn x n
2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
2014-1-23 南京邮电大学 邱中华
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j ,
4
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
例1 用正交变换将二次型 2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 化为标准形，并求所作的正交变换。 二次型的矩阵
线性代数 二次型与二次曲面4
将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形1。4
第六章 二次型与二次曲面
§6.4 二次曲面
例4.1 将二次曲面化为标准方程，指出曲面 类型：
2xy 2xz 2 yz 2x 2 y 1 0
解 二次型 2xy 2xz 2 yz的矩阵A
0 1 1
A
1
0
1
1 1 0
1 1 E A = 1 1 =( 2)( +1)2
z y
O x
9
第六章 二次型与二次曲面
双曲抛物面 (马鞍面)
x2 a2
y2 b2
=
z
(a>0, b>0)
z = h,
x2 a2
y2 b2
=
h
§6.4 二次曲面
z y
O x
当h = 0 时，是过原点的两条直线
当h > 0 时，是实轴是 x 轴的双曲线
当h < 0 时，是实轴是 y 轴的双曲线。
10
投影曲线方程
截痕法
曲线C:
F(x, G(x,
y, y,
z) z)
= =
0
在xOy面的投影曲线
H(x, y) = 0 z= 0
椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
3
第六章 二次型与二次曲面
§6.4 二次曲面
二次锥面
x2 a2
+
y2 b2
z2 c2
= 0 (a>0, b>0, c>0)
令X PY ,其中，X = x, y, z T ,Y x1, y1, z1 T
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第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i,j=1
n
一般形
x = Py P可逆
= xTAx x = Py P可逆 = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y
y1 = y T y y2 … yn
= k1y12 + k2y22 + … +knyn2 k1 0 = (y1, y2, …, yn) … 0 标准形 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn
5 y’ O
y 3
x
x’
/4
x’2 y’2 + =1 9/2 25/2 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
y O
几何:仿射变换 几何:旋转变换
34x2 + 32xy + 34y2 = 450 正交 x 34 16 x 变换 x y 16 34 y = 450
X’ = QTX X = QX’ 代数 :可 :正 逆变 交变 换
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 . 解: 1= 2, 2=3= 4. 对应于 = 2的一个特征向量: 1 = (1, 1, 2)T, 1 1 2 1 1 2 1 1 2 初等 0 0 0 4E–A = 2 2 4 行变换 0 0 0 对应于 = 4的一个特征向量: 2 = (0, 1, 1/2)T, 1 1 2 x= 再解线性方程组 0 1 1/2 得对应于 = 4的另一个特征向量3 = (5, 1, 2)T,
= XT QQT X = X’ TX’ X’
5 y’ 3 O x’
50x’2+18y’2=450 x’2 y’2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |E A| =2 68+5018
Q 正交阵 1
Q AQ TAQ = = 50 0 =Q 0 18
几何与代数
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |E A| =2 68+5018
Q 正交阵 1
34x2 + 32xy + 34y2 = 450
,
Q AQ TAQ = = 50 0 =Q 0 18
2 2 2 2
2 2 2 2
,
34x2 + 32xy + 34y2 = 450 34 16 x x y 16 34 y = 450
X’ = QTX X = QX’
x cos 4 y sin 4 sin x 4 cos y 4
标准形
m(x’)2+n(y’)2 =1
m 0 x’ x’ y’ 0 n y’
代数: 可作(特殊的)正交变换， 它能保持几何图形的形状不变. 代数: 也可作一般的可逆线性变换， 它可能改变几何图形的形状.
第六章 二次型与二次曲面
教学内容和学时分配
教 学 内 容 §6.1 二次型 §6.2 空间中的曲面与曲线 §6.3 二次曲面 §6.4 用Matlab解题 学时数 4 2 2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示 n元实二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn
设 aij = aji
f(x1, x2, …, xn) = i,j=1aijxixj
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 . 解: 1= 2, 2=3= 4. 对应于 = 2的一个特征向量: 1 = (1, 1, 2)T, 对应于 = 4的两个线性无关的特征向量: 2 = (0, 1, 1/2)T, 3 = (5, 1, 2)T, 0 5 30 1 6 单位化可得正交矩阵Q = 1 6 2 5 1 30 , 2 6 1 5 2 30 令x = Qy, 得该二次型的标准形为 f = 2y12 + 4y22 + 4y32.
x 1 18 x 17 x 若 y 1 1 y 0 1 y
5 y’ O
y 3
x
x’
34x’2+450/17y’2=450 100x’2+36y’
/4
x’2 y’2 225 +25/2= 1 9/2 17
实二次型 正交变换 标准形 实对称阵的正交相似对角化问题 •标准形不唯一,与特征值的顺序有关 ； •正交矩阵不唯一,与选取的正交特征向量有关.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 .
2 2 2 2
AT = A 34 16 x x y 16 34 y
5 y 3 O x x2 y2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |E A| =2 68+5018
Q 正交阵 1
34x2 + 32xy + 34y2 = 450
n
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
A的二次型 f(x1, x2, …, xn) =
n
f 的秩: r(A)) r( f
i,j=1
aijxixj
aij = aji
f(x) = xTAx
AT = A a11 a21 A= … an1 f 的矩阵 a12 a22 … an2 … … … … a1n a2n … ann x1 x2 x= … xn
2 2 2 2
2 2 2 2
,
34x2 + 32xy + 34y2 = 450 34 16 x x y 16 34 y = 450
= XT QQT X = X’ TX’ X’
5 y’ 3 O x’
50x’2+18y’2=450 x’2 y’2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
y
50x’2+18y’2=450 x’2 y’2 + =1 9 25 x
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 y 34x2 + 32xy + 34y2 = 450 34 16 x x x y 16 34 y = 450 O
X’ = QTX X = QX’
x cos 4 y sin 4 sin x 4 cos y 4
y
50x’2+18y’2=450 x’2 y’2 + =1 9 25 x
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 y 34x2 + 32xy + 34y2 = 450 34 16 x x x y 16 34 y = 450 O
几何:旋转变换 X’ = QTX X = QX’ 代数 x cos sin x 4 4 :正 y sin cos y 4 4 交变 50x’2+18y’2=450 换
5 y’ O
y 3
x
x’
50x’2+18y’2=450 x’2 y’2 + =1 9 25
/4
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |E A| =2 68+5018
Q 正交阵 1
Q AQ TAQ = = 50 0 =Q 0 18
2 2 2 2
17
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
2 0 A = 0 0.5
A = 0.5
正交变换不 改变图形的 大小和形状
/6 可逆 正交 变换 正交 变换 cos sin B= sin cos
A = 2
二次曲线及其矩阵表示 一般形 二次曲线ax2+2bxy+cy2 = 1 a b x X = PX’ x y b c y P可逆
X’ = QTX X = QX’
x y
2 2 2 2
5 y’ O
y 3
x
2 2 2 2
x y
x’
50x’2+18y’2=450 x’2 y’2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |E A| =2 68+5018
Q 正交阵 1
Q AQ TAQ = = 50 0 =Q 0 18
2 2 2 2
2 2 2 2
,
34x2 + 32xy + 34y2 = 450 34 16 x x y 16 34 y = 450
X’ = QTX X = QX’
x cos 4 y sin 4 sin x 4 cos y 4