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当实验次数 n 增大时， 增大时， 逐渐趋向一个稳定值。 事件 A 的频率 fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。 此稳定值可理解为事件 此稳定值可理解为事件 A 的概率 。 频率通常用来估计和检验概率。 频率通常用来估计和检验概率。
概率的公理化定义
一个概率空间包括（ 一个概率空间包括（S, F, P）。 ）。 S: 是样本空间 是样本空间; F : 是 σ-algebra; P: F [0, 1], 是一个赋予事件概率的函数。 是一个赋予事件概率的函数。
前实验 将一枚硬币连抛三次，观察正反面” 例：前实验 E2：“将一枚硬币连抛三次，观察正反面” 。 样本空间 ： S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 随机事件 A = “至少出现一次正面” 至少出现一次正面” 至少出现一次正面 = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH} 恰好出现一次正面” 随机事件 C =“恰好出现一次正面” 恰好出现一次正面 = {HTT, THT, TTH}
易见 A - B = A B
事件的运算
交换律： 交换律：A ∪ B = B ∪ A， AB = BA ， 结合律： 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (AB)C = A(BC) 分配律： 分配律：(A ∪ B)C = (AC) ∪ (BC) (AB) ∪ C = (A ∪ C) (B ∪ C) DeMorgan 律：
给定一个样本空间 定义 (Kolmogorov) ：给定一个样本空间 S 和所对应 对任一事件 的 σ-algebra F ，对任一事件 A ，赋予一个定义在 F 上的实值函数 上的实值函数 P(A)。 。 满足以下条件， 的概率。 若 P(A) 满足以下条件，则称 P(A) 为事件 A 的概率。 (1): 0 ≤ P(A) ≤ 1； ； (2): P(S) = 1； ； (3)： 可数可加：设 A1, A2, … 是一列两两互不相容的 ： 可数可加： 事件， 事件，即 AiAj = φ， (i≠j), i , j = 1, 2, …, 则 ≠ P( A1 ∪ A2 ∪ … ) = P(A1) + P(A2) + …
几何概率：事件在样本空间内所占的比例。 几何概率：事件在样本空间内所占的比例。 样本空间（例如：线段，平面， 样本空间（例如：线段，平面，等）内可以 有无穷多个样本点。 有无穷多个样本点。
排列组合
1）排列数: 从 n 个不同元素中选出 m 个, 并按一定次序排成 ）排列数 一列, 则所有可能的排列数为： 一列 则所有可能的排列数为：
ABC
ABC
σ-algebra（σ-field） （ ）
满足： 若样本空间的子集所组成的一个集合 F 满足： 1) 若 A ∈ F，则 Ac ∈ F 对逆是封闭的） （即， F 对逆是封闭的） 2) 若 A1, A2, … ∈ F ，则 ∪ Ai ∈ F （即， F 对可数的并是封闭的） 对可数的并是封闭的） 则称 F 为 σ-algebra 或 σ-field。 。 σ-algebra 也就是事件的集合，或事件空间。 就是事件的集合，或事件空间。 事件的集合 一个样本空间 S 可以对应许多 σ-algebra，但是， ，但是， σ-algebra 通常特指包括 S 的所有子集的最小的 那一个。 那一个。
∪ Ak
k
= ∩ Ak
k
∩ Ak = ∪ Ak
k k
两事件: 两事件: 证明：练习。 证明：练习。
A ∪B
= A∩B
AB
= A∪ B
三人各抛一枚硬币， 例：甲、乙、丙 三人各抛一枚硬币，以 A、B、C 分别表示 、 、 他们得到正面。 他们得到正面。试用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： 、 、 的运算关系表示下列事件：
随机实验的特点: 随机实验的特点: 1）. 可在相同条件下重复进行 ） 可在相同条件下重复进行; 2）. 事先知道所有的可能结果（或范围）; ） 事先知道所有的可能结果（或范围） 3）. 一次实验之前无法确定具体哪种结果出现 ） 一次实验之前无法确定具体哪种结果出现. 随机实验： 表示. 随机实验：以字母 的可能结果所构成的集合为 样本空间， 样本空间，记为 S。 。 例：在前 E1 中，S = { H, T}。 。 例：在前 E3 中，S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}。 。 实验的一个结果（即样本空间的一个元素） 实验的一个结果（即样本空间的一个元素） 称为一个样本点， 称为一个样本点，记为 e。 。 样本空间可分为：可数的和不可数的。 样本空间可分为：可数的和不可数的。
是可数的， 若 S 是可数的， 则 F = {所有 S 的子集 。 所有 的子集}。 例：在前实验 E1“抛一枚硬币，观察正反面”中， 一枚硬币，观察正反面” F = { {H}, {T}, {H, T}, φ } 是不可数的， 使其包含任意感兴趣的集合。 若 S 是不可数的，可选择 F 使其包含任意感兴趣的集合。 例：若 S =（- ∞，∞） 则可选择 F 使其包含如下区间： 使其包含如下区间： ， [a, b], (a, b], [a, b), (a, b)。 。 将一枚硬币连抛三次，观察正反面” 例：前实验 E2：“将一枚硬币连抛三次，观察正反面”。 前实验 S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 个集合。 ∴ σ-algebra F 包含 28 个集合。
不相容（互斥）：事件 不能同时发生， 不相容（互斥）：事件 A 与 B 不能同时发生， ）： 即，AB = φ
对立（ 对立（逆, 补）： A∪B = S 且 AB = φ ， ∪ A 与 B 在一次实验中必定有且仅有一个发生 在一次实验中必定有且仅有一个发生. 的逆事件。 记作 B = A 或 Ac , 称为 A 的逆事件。
同时发生， 交（积）：A 与 B 同时发生，记作 AB （或 A ∩ B） ）
n 个事件 A1, A2, …, An 同时发生， 同时发生，记作 A1A2…An 或
i
∩ Ai =
1
n
的差事件， 差：A - B (或 A \ B ), 称为 A 与 B 的差事件， 或 不发生。 事件 A 发生而 B 不发生。
概率的性质: 概率的性质 1) 有限可加：设 A1, A2, …, An 是 n 个两两互不相容 有限可加： 的事件， 的事件，即 AiAj = φ ，(i≠j), i, j = 1, 2, …, n, 则 ≠ P( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) 2) 互补： P(A) = 1 - P(Ac) 互补： 3) 可分：对任意两事件 A、B，有 可分： 、 ， P(A) = P(AB) + P(ABc)
4) 事件差 A，B 是两个事件，则 事件差: ， 是两个事件， P(A - B) = P(A) - P(AB) 单调不减性： 5) 单调不减性：若事件 A ⊃ B， ， 则 P(A) ≥ P(B) 6) 加法公式： 加法公式：对任意两事件 A、B，有 、 ， P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) 推广到任意 推广到任意 n 个事件 A1，A2，…，An ： ， P( ∪ Ai) = ∑ P(Ai) - ∑ P(AiAj) + ∑ P(AiAjAk)
至少有一人得到正面： 至少有一人得到正面： 恰有一人得到正面： 恰有一人得到正面： 恰有两人得到正面： 恰有两人得到正面： 最多有一人得到正面： 最多有一人得到正面： 三人均得到正面： 三人均得到正面： 三人均未得到正面： 三人均未得到正面：
A∪ B∪ C ABC ∪ ABC ∪ ABC ABC ∪ ABC ∪ ABC BC ∪ AC ∪ AB
P
m n
= n(n - 1) … (n - m + 1) =
n! ( n - m)!
i i i<j < i<j<k <
+ … + (-1)n+1 P(A1…An)
证明：练习。 证明：练习。
等可能概型
满足： 若某实验 E 满足： 1). 有限：样本空间 S = { e1, e2, …, en } 有限： 2). 等可能：P(e1) = P(e2) = … = P(en) 等可能： 则称 E 为等可能概型（古典概型）。 等可能概型 古典概型）。 概型（ 的概率为: 等可能概型中事件 A 的概率为:
事件的频率
频率（相对频率） 次重复实验中出现的 频率（相对频率）： 若 nA 为事件 A 在 n 次重复实验中出现的次 频率（相对频率） 记为： 数，则称比值 nA/n 为事件 A 的频率（相对频率），记为： fn(A) = nA/n . 正面” 的概率是? 例：掷一枚匀质硬币，出现 “正面” 的概率是 0.5？ 掷一枚匀质硬币， ？ 实验者 DeMorgan Buffon K. Pearson K. Pearson n 2048 4040 12000 24000 nH 1061 2048 6019 12012 fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
P( A) =
NA NS
中所含的样本点个数， 其中 NA 为事件 A 中所含的样本点个数， NS 为样本空间 S 中的样本点总数。 中的样本点总数。
前实验 将一枚硬币连抛三次，观察正反面” 例：前实验 E2：“将一枚硬币连抛三次，观察正反面” 至少出现一次正面（ 。 求: 至少出现一次正面（事件 A）和 恰好出现一次正 ） 面 （事件 C）的概率。 ）的概率。 S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} A = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH} C = {HTT, THT, TTH} ∴ P(A) = NA / NS = 7/8 P(C) = NC / NS = 3/8