高三数学考前知识点整理与辅导

高三数学考前整理与辅导一、集合与命题1．集合元素具有确定性、无序性和互异性．（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的有 个．（答：8） （2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有 个． （答：7）2．“极端”情况不要忘记∅=A （优先考虑空集）．集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝ ．（答：10,1,2a =） 3．集合的代表元素． （1）设集合{|2}M x y x ==-，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = ．（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈， 则=N M ．（答：)}2,2{(--） 4．补集思想．★已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围．（答：3(3,)2-）5．复合命题真假的判断． 在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件．其中正确的是 ．(答：⑴⑶） 6．充要条件．设命题p ：|43|1x -≤；命题q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ．若命题q 是命题p 的必要不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．（答：1[0,]2） 7．一元一次不等式的解法．已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为 ．（答：{|3}x x <-）8．一元二次不等式的解集．解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax ． （答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，11x a<<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a<<） 9．一元二次方程根的分布理论．（1）实系数方程220x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则12--a b 的取值范围是 ．（答：（41，1）） （2）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是 ． （答：∅） 二、函数1．研究函数问题时要树立定义域优先的原则． （1）函数()()24lg 3x x y x -=-的定义域是 ．(答：[0,2)(2,3)(3,4))（2）设函数2()lg(21)f x ax x =++．①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围．（答：①1a >；②01a ≤≤） （3）复合函数的定义域：①若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 ．（答：{}42|≤≤x x ）②若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为 ．(答：[1,5]）（1）配方法：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 ．（答：21-≥a ） （2）换元法：①22sin 3cos 1y x x =--的值域为 ．（答：17[4,]8-） ②211y x x =++-的值域为 ．（答：[3,)+∞）（令1x t -=，0t ≥，运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围） ③x x x x y cos sin cos sin ++=的值域为 ．（答：1[1,2]2-+） （3）函数有界性法：求函数2sin 11sin y θθ-=+，313xxy =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域．（答：1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞） （4）单调性法：求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x=++的值域为 ． （答：80(0,)9、11[,9]2） （5）数形结合法：已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2yx +及2y x -的取值范围． （答：33[,]33-、[5,5]-） （6）不等式法：设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是 ．（答：(,0][4,)-∞+∞） 3．分段函数的概念．（1）设函数2(1).(1)()4 1.(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是 ．（答：(,2][0,10]-∞-）（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)x x f x+++≤的解集是 ．（答：3(,]2-∞）（1）待定系数法：已知()f x 为二次函数，且)2()2(--=-x f x f ，且1)0(=f ，图像 在x 轴上截得的线段长为22，求()f x 的解析式．（答：21()212f x x x =++） （2）配凑法：①已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2xf 的解析式 ．（答：242()2,[2,2]f x x x x =-+∈-） ②若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f = ．（答：223x x -+） （3）方程的思想：已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式．（答：2()33f x x =--） 5．函数的奇偶性．（1）①定义法：判断函数2|4|49x y x--=-的奇偶性 ．（答：奇函数）②等价形式：判断11()()212x f x x =+-的奇偶性 ．（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称． （2）函数奇偶性的性质：①若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31(f =2，则不等式2)(log 81>x f 的解集为 ．（答：(0,0.5)(2,)+∞）②若()f x 为奇函数，D ∈0，则(0)0f =．若22()21x xa a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝ ．（答：1） ③设)(x f 是定义域为R 的任一函数，()()()2f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=，则)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数．若将函数)110lg()(+=xx f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝ ．（答：)(x g ＝12x ） 6．函数的单调性．（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．(答：3-≤a ） （2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围 ． （答：1(,)2+∞）（3）函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是 ．(答：（1,2）)（4）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围．（答：1223m -<<）7．常见的图像变换．（1）设()2,()xf x gx -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为 ．(答：2()log (1)h x x =--) （2）函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有 个(答：2) 8．函数的对称．（1）已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝ ．(答：212x x -+) （2）己知函数33(),()232x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是 ． （答：221x y x +=-+） （3）若函数x x y +=2与)(x g y =的图像关于点()3,2-对称，则)(x g ＝ ．（答：276x x ---） 9．函数的周期性．（1）类比“三角函数图像”：已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有 个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义①设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ．(答：5.0-)（3）利用一些方法①若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是 ． （答：奇函数）②若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是 ． （答：偶函数）③已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，则不等式0cos )(<⋅x x f 的解集是 ．（答：(,1)(0,1)(,3)22ππ--）三、数列 1．数列的概念．（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为 ．（答：125） （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为 ．（答：n a <1+n a ） 2．等差数列的有关概念．（1）等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ．（答：210n +） （2）首项为24-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 ． （答：833d <≤） （3）数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝ ，n ＝ ．（答：13a =-，10n =）（4）已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T ．（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩） 3．等差数列的性质．（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝ ．（答：27）y（2）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝ ．（答：2）（3）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数．（答：5；31）（4）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值． （答：前13项和最大，最大值为169）（5）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 ．（答：4006） 4．等比数列的有关概念．（1）等比数列的判断方法：数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+，求证：数列｛n b ｝是等比数列．（2）等比数列的通项：设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q ．（答：6n =，12q =或2） （3）等比数列的前n 和：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ．（答：44） （4）等比中项：①已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为 ．（答：A ＞B ）②有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数．（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5．等比数列的性质．（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a = ． （答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310l og l o g l o g a a a +++= ．（答：10）（3）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o g a n a n xx +=+(*)n N ∈，且12100100x x x+++=，则101102200x x x +++= ．（答：100100a ）（4）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为 ．（答：40） 6．数列的通项的求法．（1）已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ．（答：{3,12,2n n n a n ==≥）；（2）数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+，求n a ．（答：{114,12,2n n n a n +==≥） （3）已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a = ．（答：121n a n =+-+）（4）已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a （答：4(1)n a n n =+）（5）已知111,32n n n a a a -==+，求n a （用待定系数法，答：11235+--⋅=n n n a ）； （6）已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a （答：132n a n =-）；（7）数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a （答：⎩⎨⎧≥⋅==-243141n n a n n ） 7．数列求和的常用方法．（1）公式法：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++ ＝ ．（答：413n -）（2）分组求和法：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--．（答：(1)nn -⋅） （3）倒序相加法：已知22()1x f x x=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝ ．（答：72） （4）错位相减法：设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式．（答：①11a =，2q =；②122n n T n +=--） （5）裂项相消法：在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且9=n S ，则9=n ，则n ＝ ．（答：99）（6）通项转换法：求和：111112123123n++++=+++++++ ．（答：21nn +） 四、三角函数 1．α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝ ；（答：Z k k ∈+,32ππ） 若α是第二象限角，则2α是第_____象限角；（答：一、三）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．（答：22cm ）2．三角函数的定义．（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααc os sin +的值为 ．（答：713-） （2）设α是第三、四象限角，mm --=432sin α，则m 的取值范围是 ． （答：（－1，)23）3．同角三角函数的基本关系式．（1）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θt a n ＝ ．（答：125-）（2）已知11tan tan -=-αα，则ααααc o s s i n c o s 3s i n +-＝ ；2cos sin sin 2++ααα＝ ． （答：35-；513）4．三角函数诱导公式． （1）97costan()sin 2146πππ+-+的值为 ．（答：2323-） （2）已知54)540sin(-=+α，则=-)270cos(α ，若α为第二象限角， 则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα ．（答：54-；1003-） 5．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式．131080sin sin -的值是 ．（答：4）6．三角函数的化简、计算、证明． （1）巧变角：已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是 ．（答：322） （2）公式变形使用：设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，34sin Acos A =，则此三角形是 三角形（答：等边）（3）三角函数次数的降升：函数2553f (x )sin xcos x cos x =-532(x R )+∈的单调递增区间为 ．（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈） （4）“知一求二”：①若sin cos x x t ±=，则sin cos x x = ．（答：212t -±)特别提醒：这里[2,2]t ∈-②若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值．（答：473+-）7．辅助角公式中辅助角的确定．（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是 ．（答：[－2,2]） （2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是 ．(答：32-) （3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ．(答：－2) （4）求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222 ．(答：32) 8．正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质． （1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a ，=b ． （答：1,12a b ==或1b =-） （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[ππ-∈x ）的值域是 ．（答：[－1，2]）（3）若2αβπ+=，则6y c o s s i n βα=-的最大值和最小值分别是 、 ． （答：7；－5）（4）函数2()2cos sin()3sin 3f x x x x π=+-sin cos x x +的最小值是 ，此时x ＝ ．（答：2；()12k k Z ππ+∈）（5）己知21cos sin =βα，求αβcos sin =t 的变化范围．（答：1[0,]2）（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值． （答：1max =y ，222min -=y ） 9．周期性． （1）若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝ ．（答：0）（2）函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为 ．（答：π）（3）设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为 ．（答：2） 10．奇偶性与对称性． （1）函数522y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的奇偶性是 ．（答：偶函数） （2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-= ． （答：－5）（3）函数)c o s (s i n c o s2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是 、 ．（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈） （4）已知3f (x )sin(x )cos(x )θθ=+++为偶函数，求θ的值． （答：6k (k Z )πθπ=+∈）11．形如sin()y A x ωϕ=+的函数．（1）()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2πϕ<的图像如图所示，则()f x ＝ ．（答：15()2sin()23f x x π=+）（2）要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2xy =的图象向 平移 个单位（答：左；2π） 23题图2π9YX-223（3）将函数72sin(2)13y x π=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量． （答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6a π=--）12．研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法． （1）函数23y sin(x )π=-+的递减区间是 ．（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）（2）1234x y log cos()π=+的递减区间是 ．（答：336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈） （3）对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图像关于原点成中心对称；②图像关于直线12x π=成轴对称；③图像可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像．其中正确结论是 ．（答：②④）（4）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图像与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为3π，那么此函数的周期是 ．（答：π） x y x y sin ,sin 2==的周期都是π，但s i n y x =cos x +的周期为2π，而1|2s i n (3)|,|2s i n (3)2|626y x yx ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变．13．三角形．（1）ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状． （答：直角三角形）（2）在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 条件（答：充要）（3）在ABC ∆中，若其面积22243a b c S +-=，则C ∠= （答：30）（4）在ABC ∆中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为3，则ABC ∆外接圆的直径是 ．（答：2393）（5）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ．（答：06C π<≤）14．求角的方法．（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值 ．（答：34π）（2）ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝ ．（答：3π）五、平面向量 1．向量有关概念．（1）向量的概念：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 ．（答：（3,0）） （2）下列命题：（1）若a b =，则a b =．（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同． （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形． （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =． （5）若,a b b c ==，则a c =． （6）若//,//a b b c ，则//a c ．其中正确的是 ．（答：（4）（5）） 2．向量的表示方法．（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c = ．（答：1322a b -）（2）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为 ．（答：2433a b +） 3．平面向量的数量积．（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ．（答：－9）（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于 ．（答：1）（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于 ．（答：23）（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为 ．（答：30） （5）5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为 ．（答：512） （6）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ．（答：43λ<-或0λ>且13λ≠） 4．向量的运算． ★几何运算：（1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= ．（答：①AD ；②CB ；③0）（2）若正方形A B C D 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝ ．（答：22）（3）若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则△ABC 的形状为 ．（答：直角三角形） ★坐标运算：（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝ 时，点P 在第一、三象限的角平分线上．（答：12） （2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += ． （答：6π或2π-）（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 ．（答：（9,1））（4）已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝ ．（答：13） ★向量的运算律：（1）若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝ 时a 与b 共线且方向相同．（答：2）（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝ ．（答：4） （3）设(,12),(4,5),(10,)P A k P B P C k ===，则k ＝ 时，A,B,C 共线．（答：－2或11）★平移公式：（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点 ． （答：()3,8-）（2）函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝ ．（答：)1,4(π-） ★向量中一些常用的结论：（1）若△ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则△ABC 的重心的坐标为 ．（答：24(,)33-） （2）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是 ．（答：直线AB ） 五、不等式 1．不等式的性质．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是 ．（答：137x y ≤-≤）2．利用重要不等式求函数最值．（1）若21x y +=，则24xy+的最小值是 ．（答：22） （2）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+ 的最小值为 ．（答：322+） 3．基本不等式．如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．（答：[)9,+∞） 4．分式不等式的解法． （1）解不等式25123xx x -<---．（答：(1,1)(2,3)-）（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为 ．（答：),2()1,(+∞--∞ ） 5．含参不等式的解法． （1）若2log 13a<，则a 的取值范围是 ．（答：1a >或203a <<） （2）解不等式2()1ax x a R ax >∈-．（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1{|0}x x a<<或0}x <） （3）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为 ．（答：（－1,2）） 6．恒成立问题．（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 ． （答：)21,⎡-+∞⎣）（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围 ． （答：1a <）（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围 ． （答：（712-,312+））六、直线和圆 1．直线的倾斜角．（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是 ．（答：5[0][)66，，πππ） （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围，]32,3[ππα∈则m 值的取值范围是 ．（答：42≥-≤m m 或） 2．直线的斜率．（1）实数,x y 满足3250x y --=(31≤≤x )，则xy的最大值、最小值分别为 ． （答：2,13-）3．直线的方程．（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是 ．（答：13(2)y x -=--）；（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点 ． （答：(1,2)--）（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是 ． （答：1a >）4．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系．（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合（答：－1；12；31且m m ≠≠-；3） （2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是 ．（答：3490x y +-=）（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是 ．（答：12a -<<） 5．对称．（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为 ．（答：(,)b a ）（2）点()54，A 关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则l 的方程是 ．（答：33+=x y ） （3）直线2x ―y ―4=0上有一点P ，它与两定点A （4,－1）、B （3,4）的距离之差最大，点P 的坐标是 ．（答：（5,6）） 6．简单的线性规划．（1）已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是 ．（答：(][)31∞∞－，－，＋）（2）点（－2，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是 ．（答：23t >）（3）如果实数y x ,满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨--≤⎪⎩，则|42|-+=y x z 的最大值 （答：21）7．圆的方程．（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 ． （答：22(1)1x y ++=）（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ． （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）（3）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ．（答：[0，2]）（4）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为 ．（答：21<k ） 8．点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是 ．（答：131||<a ）9．直线与圆的位置关系．（1）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等 ．（答：45） （2）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=．①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若17AB =，求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程． （答：②60或120；③最长：1y =，最短：1x =） 10．圆的切线与弦长．设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，P A 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为 ． （答：22(1)2x y -+=）； 八、圆锥曲线1．圆锥曲线的标准方程．（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ．（答：11(3,)(,2)22---）（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是 ，22y x +的最小值是 ． （答：5,2）2．圆锥曲线焦点位置的判断．已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．（答：)23,1()1,( --∞） 3．圆锥曲线的几何性质． ★椭圆若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是 ．（答：3或325）； ★双曲线（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于 ．（答：132或133） （2）双曲线221ax by -=的离心率为5，则:a b = ．（答：4或14） ★抛物线；设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为 ．（答：)161,0(a） 4．直线与圆锥曲线的位置关系．（1）若直线y =kx +2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． （答：(-315,-1)）（2）直线y―kx―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 ．（答：[1，5）∪（5，+∞））（3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有 条（答：3）（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．①过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有 ．（答：2）②过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 ．（答：445,33⎧⎫⎪⎪±±⎨⎬⎪⎪⎩⎭） ③过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有 条（答：3）④求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离．（答：81313） ⑤直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点．①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？ （答：①()3,3-；②1a =±） 5．焦半径．（1）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于 ．（2）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为 ．（答：7,(2,4)±） （3）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为 ．（答：2512） （4）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．（答：2）（5）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为 ．（答：)1,362(-） 6．焦点三角形．（1）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 ．（答：224x y -=） （2）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→<0时，点P 的横坐标的取值范围是 ．（答：3535(,)55-）7．弦长公式．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB |等于 ．（答：8） 8．圆锥曲线的中点弦问题．如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．（答：280x y +-=）特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！ 九、直线、平面、简单多面体 1．三个公理和三条推论．（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件（答：充分非必要）（2）给出命题：①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则 l ⊂α；②若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；③若l ⊄α ，A ∈l ，则A ∉α ④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合。