2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考

秘密★启用前201３年重庆一中高2013级高三下期第三次月考数 学 试 题 卷（理科） 2013.5数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,I R =集合{}(){}222,log 3A y y x B x y x ==-==-，则()I C A B = （ ）A. {}23x x -≤<B. {}2x x ≤-C. {}3x x <D. {}2x x <-2.向量()1,tan ,cos ,13a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且a ∥b ，则锐角α的余弦值为（ ）A.13 B. 23C. 3D. 33.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A. 15B. 10C.15-D.10- 4.在等差数列{}n a 中每一项均不为0，若1220131007a a a ta +++= ，则t =（ ）A. 2011B. 2012C. 2013D. 20145.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15 6.在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ∆一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形7.若定义在R 上的函数()f x 的导函数是()()'1f x x x =-+，则函数()()()log 01a g x f x a =<< 的单调递减区间是（ ）A. []1,0-B. (]1,,0,1a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11,,,a a ⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值。

若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( )A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个9 已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则212S xyz=的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 92D. 9410过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点()(,0)0F c c ->，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲 线右支于点P ，若()12O E O F O P =+ ，且0,OE EF =则双曲线的离心率为（ ）1 1 第Ⅱ卷（非选择题，共100分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11.在复平面内，复数()1aia R i+∈对应的点位于虚轴上，则a =12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．是_______. 13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3， ，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有 种。

考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DC=2，BC=1，则=∠DCA sin .15.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭、4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则AOB ∆（其中O 为极点）的面积为16 .若不等式16x x m ++-<的解集为空集，则实数m 的取值范围为三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置） 17．（本小题满分13分）已知向量()()()()sin ,2,1,cos a x b x ωϕωϕ=+=+ ，0,04πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭，函数()()()(),f x a b a b y f x =+-=图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭。

（1）求函数()f x 的解析式（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的单调区间。

18 （本小题满分13分）设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。

在一局比赛中，甲胜乙的概率为35，甲胜丙的概率为34，乙胜丙的概率为23。

比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。

（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望E ξ。

19 （本小题满分13分）已知函数()(1)e (0)x af x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.20 （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，BCD ∆为正三角形，2==AB AD ，32=BD ，AC 与BD 交于O 点．将A C D ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ∆内． （Ⅰ）求证：⊥AC 平面PBD ； （Ⅱ）若3πθ=时，求二面角D PB A --的余弦值。

21（本小题满分12分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且经过点Q ⎛ ⎝⎭。

若分别过椭圆的左右焦点1F 、2F 的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆分别交于A 、 B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足 4321k k k k +=+． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在定点M 、N ，使得||||PN PM +为定值．若存在，求出M 、N 点坐标；若不存在，说明理由．22 （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a 满足：*12323(1)()3n n na a a na a a n N n +++++=∈ 。

（1）求n a 的通项公式D B CO P （第20题）（第21题）（2）当2n ≥时，求证：()12112111ln 111ln ln ln ln ln n n n a a a a a a a a ---⨯⨯⨯+++≤⨯命题人：谢 凯 审题人：王 明2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考数 学 答 案（理科） 2013.5二.填空题.(每小题5分,共25分)11.0 12. 2 13. 108 14.3515. 3 16.(][),75,-∞-+∞三.解答题.(共75分) 17.(13分)解：（1）()()()()()222222sin 3cos f x a b a b a b a b x x ωϕωϕ=+-=-=-=++-+()cos 223x ωϕ=-++，由题意得周期24,2T πω==故4πω=，又图象过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭所以73c o s 222πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=， 则：()3cos 26f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤∴当0326x πππ-≤+≤时，即11,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x 是减函数。

当20263x πππ≤+≤时，即1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数。

则函数()f x 的单调递减区间是11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调递增区间是1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.(13分) 解：（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束的概率为311211154353412P =⨯⨯+⨯⨯=（2）2,3,4ξ=332243(2)545360P ξ==⨯+⨯=，3112111(3)54353412P ξ==⨯⨯+⨯⨯=()3122131214543534605P ξ==⨯⨯+⨯⨯==2346012560E ξ=⨯+⨯+⨯=19.(13分)解：（Ⅰ）22()e x x ax a f x x -+'=， 当2a =时，2222()e xx x f x x -+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， 所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. （Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根，240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩. ，则4a >设12,x x 为函数()f x 的极大值和极小值，则12x x a +=，12x x a =， 因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a -+=，5e e a =， 解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =.20.(12分)解：（1）取BD 中点Q ，则,,BD CQC Q A BD AQ ⊥⎧⇒⎨⊥⎩三点共线，即Q 与O 重合。

则AC BDAC AC PO⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩面PBD（2）因为AC ⊥面PBD ，而AC ⊆面ABCD ，所以面ABCD ⊥面PBD ，则P 点在面ABCD 上的射影点在交线BD 上（即在射线OD 上），所以PO 与平面ABCD 所成的角3POD πθ=∠=。