高考数学知识点课件第38课网格型问题

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高考数学课程一轮复习第38课时应用举例

第38课时应用举例【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标中解斜三角形是三角函数的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．解三角形的知识在向量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用．如果我们用正、余弦定理去除每个应用题中与生产、生活实际相联系的外壳，就暴露解三角形问题的本质．通过解三角形问题的训练，可以提高分析问题和解决问题的能力及数学建模的能力．考点一: 有关名词、术语 1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图 2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角是45︒，指北偏东45︒，即东北方向．3．方向角指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏西30︒（或北30︒西）是指测量的正北方向向西旋转30︒所成的角．4．坡度是指坡面与水平面所成的角的度数．考点二: 解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理和余弦定理求解，把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正、余弦定理有顺序地解这些三角形；实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求并作答．这一思路描述如下：【小题热身】明确考点，自省反思1. (2008江苏卷)满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大视线仰角俯角视线铅垂线水平线AB D C西东南 AB D C西东南值 .2.（江西卷）E ，F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠= .3. (北京卷）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.海岛B 上有一座海拨1千米的山，山顶A 设有观察站，上午11时测得一轮船在岛北偏东60°处，俯视角30°， 11时10分又测得轮船在岛北偏西60°处，俯视角60°，则该轮船的速度为 .思路透析:如图所示, 由已知AB=1,及∠ADB=060, ∠ACB= 030,由此可解得BC= 3 ，BD=33,∠CBD=120°, 从而=393 ,6=239 (千米/小时). 点评:新课标要求“掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形”.方位角与方向角及俯视角一直以来是三角应用中的一个基本知识,本题为将此问题与解三角形问题巧妙结合而得.例 2.纯朴的渔家海岛能为您提供赶海垂钓的绝佳场所. 连云港连岛要建一个钓鱼观光的三角湖,景区管委会准备在一条长BC =, 现要求ABC △中内角A π=3，若设内角B x =，周长为y ．（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值．思路透析:（Ⅰ）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（Ⅱ）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值点评:三角形中的三角函数问题，要注意正弦定理是实现“边角互换”的关键，而三角变换是解决问题的重要手段.本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力.例3.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为 .思路透析:作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大.点评:本题以空间线面所成的角的实际应用为考查点, 考查了正弦定理解空间立体几何中的三角形问题,解题过程中要注意边角关系的一一对应.例4.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 1处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 1处，此时两船相距102 海里，问乙船每小时航行多少海里？思路透析:解法一：如图，连结11A B ，由已知22A B =122060A A ==1221A A AB ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=因此，乙船的速度的大小为6020=/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122060AA ==，112105B A A = ∠，cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=-=，sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+=在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．1110(1A B ∴=．由正弦定理1112111222sin sin A B A A B B A A A B ===∠∠， 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，1A2A1A2Acos15sin1054==．在112B A B △中，由已知12AB =22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++22210(1210(1=+-⨯⨯200=．12B B ∴=60=海里/小时．答：乙船每小时航行海里．点评:本题中0105角影响了运算过程的简洁性,考生多从解法二入手解答,运算过程中的数据较为复杂,也干扰了考生的思维判断,挑战了考生的心理,本题失分多为计算结果错误.解法一所提供的方法较佳,高考命题中所给的数据均是经过适当的“处理”过的,因而没有必要对之产生心理恐慌,合理的分析题意往往可以得到简洁而明快的解法.【即时测评】学以致用，小试牛刀1.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=AD=4，则四边形ABCD 的面积为( )A. 63B. 183C. 243D. 932.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是( ) 海里.A. 36B. 66C. 56D. 763.在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ,再继续前进103 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ,则θ等于( ) A. 15° B. 25° C. 45° D. 75°4.为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 和B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB =45°，∠CBA =75°，AB =120米，则河的宽度为( ) 米.A. 30(3+3)B. 10(3+3)C. 20(3+3)D. 203【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 在200 m 的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为 m.2. 坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________ m.3.某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，则x 的值为________千米.4. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x =________ cm.5. 用长度分别为2,3,4,5,6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 2cm .6. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 015BCD ∠=，03030BDC CD ∠==，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060,则塔高AB= 米．二、解答题:7.我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12 n mile 的B 处正以10 n mile/h 的速度向方位角为105°的方向逃窜，我艇向其以14 n mile /h 的速度追去，求我艇航向及追上走私船所用时间.8.如图表示曲柄机械装置的图象，连杆AC 长为l ，曲柄AB 的长为r ，若曲柄与轴BL 成α角（0°≤α≤180°）.（Ⅰ求连杆与同一轴所成的角β; （Ⅱ）当α为何值时，β的值最大;（Ⅲ）当α=0°时，滑子C 的位置是D ，设滑子由点D 移到C 的位置变化为x ，试用r ，l ，α，β表示x .第38课时应用举例参考答案【小题热身】1. 2. 343. 2sin 2cos 2αα-+【即时测评】1. B2. C3. A4. C【课后作业】一、填空题:1.3400 2. 50(26-) 3. 23或3 4. 3610 5. 6. 二、解答题:7.解析:如图所示，设在C 处追上走私船需时间t h ，则在△ABC 中，∠B =120°，BC =10t ，AC =14t .由正弦定理，得,14135sin ,sin 10120sin 14==︒A A t t∴A =38°12′48″.由余弦定理，得（14t ）2=（10t ）2+122－2×12×10t cos120°，化简得4t 2－5t －6=0. ∴t =2（h ）.答：我艇以方位角83°12′48″的方向追去，经过2 h 可追上走私船. 8.解析:（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理，得βsin AB=αsin AC ，sin β=l r AC AB ααsin sin =.由实际问题的实际意义知β是锐角，∴β=arcsin(lr αsin ). （Ⅱ）由（Ⅰ）知β的最大值为arcsinlr，此时α=90°. （Ⅲ）x =BD －BC =r +l －（r cos α+l cos β）= r （1－cos α）+l （1－cos β）.。

高中数学超全知识网络框架图及答题技巧掌握！

高中数学超全知识网络框架图及答题技巧掌握！距离高考还剩13天，数学想要拿高分，必须掌握小编为你整理的以下这几点绝招!数学想考高分?必须掌握这100个绝招!1.三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。

2.做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。

3.一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。

4.学习概念的最终目的是能运用概念来解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有关的数学问题。

5.要掌握各种题型的解题方法，在练习中有意识的地去总结，慢慢地培养适合自己的分析习惯。

6.要主动提高综合分析问题的能力，借助文字阅读去分析理解。

7.在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。

8.要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。

9.将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。

10.在数学学习中可以利用口诀将相近的概念或规律进行比较，搞清楚它们的相同点，区别和联系，从而加深理解和记忆。

弄清数学知识间的相互联系，透彻理解概念，知道其推导过程，使知识条理化，系统化。

11.学习数学，不仅要关注题型，更要关注典型题型。

12.对于数学学科中的某些原理，定理，公式，不仅要记住它的结论，而且要了解这个结论是如何得出的。

13.学习数学，要熟记并正确地叙述概念和规律性内容。

14.在学习中要注意理解，开拓思路，变抽象为具体，逐渐培养自己学习数学的兴趣。

15.适当地对概念进行分类，可以使所学的内容化繁为简，重点突出，脉络分明，便于进行分析，比较，综合，概念。

16.数学学习最忌讳的就是对所学的知识模糊不清，各知识点混淆在一起，为了避免这一状况，同学们要学会写“知识结构小结”。

17.学会对题型题目的拆分和组合，学会从多角度，多方面来分析和解决典型题目，从中概括出基本题型和基本规律方法。

高中数学知识笔记(网格底纹)

统一性是指部分与部分，部分与整体之间的和谐一致。引入相反数后，有理数的加减法就可以统一为代数和的形式；有了倒数概念，乘法与除法得到了统一；平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理可以统一到圆幂定理中。
1777 年，法国数学家布丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的试验。他事先在白纸上画好一条条等间距的平行线，铺在桌上，又拿出一些质量均匀长度为平行线间距一半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上，布丰则在一旁计数，结果共投了 2212 次，其中与任一平行线相交的有 704 次，布丰又做了一个简单的除法 2212 704， (请大家先不要计算，猜一猜结果是多少？)
2、怎样学好高中数学？抓好四个环节：（1）课前认真预习高中数学课堂容量大，内容抽象，逻辑严密，仅仅靠课堂理解是不够的。所以课前一定要认真预习，先把下一课要学习的内容认真看一遍，对照老师布置的预习题，看看自己哪些内容没有看懂，作个记号，在课堂上注意听老师是如何讲解的。（2）课堂专心听讲课堂 45 分钟是我们学习的主阵地，一定要认真听老师的讲解，积极思考老师提出的问题，并适当记录，但不要做录音机，什么都记。那记什么呢？①记书上没有提到，老师补充讲解的内容；②记书上虽然有，但比较零散，而老师进行了概括总结的内容；③记自己没有听懂的内容，以便课后再向老师请教。（3）课后及时复习，完成作业高中数学的特点决定了，我们很难在课堂上就透彻理解所有内容。所以每堂课结束以后，一定要及时看书、看课堂笔记。记忆概念、性质、公式。不懂之处，要及时询问老师、同学，一定不能等到问题成堆再去解决。（4）一个单元、章节结束后，及时归纳，形成较完整的知识体系、逻辑体系。当我们学完一个单元或一个章节后，要及时归纳总结，找出知识的前后联系，在自己的头脑中形成一个比较完整的知识体系。然后整理出一些常见题型及其解法，从中提炼出所蕴含的数学思想，数学方法，将其内化为自己的知识，那你对这一单元，这一章节的知识就掌握的比较透彻了。相信经过自己的刻苦努力，再运用一些适合自己的学习方法，同学们一定会在数学这一学科上取得满意的成绩，为将来进一步学习打下良好的基础。

第38课时图形的旋转

FC 第38课时图形的旋转主备：颜中德刘荣班级姓名学号一、中考考点：1.通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质。

2.能按要求作出简单平面图形的图形。

3.利用旋转进行图案设计，认识和欣赏旋转在现实生活中的应用。

二、基础练习：1．图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为，这一固定点叫做．经过旋转，对应点到旋转中心的距离___________，对应线段、对应角都，图形的形状、大小．图形旋转的决定因素是和．2.如图，一块含有30º角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到直角三角形A′B′C的位置。

若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为.3．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置B′，A点落在位置A′，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是 .4．如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA＝6．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′之间的距离为______.5．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°。

以上四位同学的回答中，错误的是．6．如图所示，直线1l⊥2l，垂足为点Ｏ，A、B是直线1l上的两点，且OB=2，AB=2．直线1l绕点Ｏ按逆时针方向旋转，旋转角度为α（0180α<<）．（1）当α=60°时，在直线2l上找点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此时OP=______．（2）当α在什么范围内变化时，直线2l上存在点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围：______．6．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。

高中数学总复习知识点分类网络结构图(大全·精华)教学文稿

空间向量数量积运算律
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r
r
r
r
r r
②a b b a ⋅=⋅r r r r
（交换律）
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r
（分配律）④e ⋅a = a ⋅e =|a |cos ,a e
⑤a
b
a ⋅
b = 0⑥当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b =
|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或||a a a =⋅⑦cos ,||||
a b
a b a b ⋅=
⑧|a ⋅b | ≤ |a ||b |
排列组合概率统计排列组合
二项式定理
概率
随机变量
统计初步
排列组合概率
统计的应用
加法原理与乘法原理
排列
组合
排列组合综合题
二项式定理
二项式系数性质
随机事件与概率
互斥事件其一发生概率
相互独立事件同时发生概率
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的期望与方差
抽样方法
总体分布的估计
正态分布
线性回归
排列组合概率统计的应用。

工程测量技术课程教学课件：38地形图识读与应用

地形图的识读地形图基本要素地形图主要应用
工程建设应用
4. 工程建设应用
4.4 填挖边界线和土方量计算
角点中间点
边点拐点
注：交点右为H、左为h。50m以上挖、以下填。
谢谢观看
地形图的识读地形图基本要素地形图主要应用
工程建设应用
1. 地形图的识读
地貌识读
1.山头和洼地
地形图的识读地形图基本要素地形图主要应用
工程建设应用
1. 地形图的识读
地貌识读
2.山脊和山谷
地形图的识读地形图基本要素
1. 地形图的识读
地貌识读
3.分水线和集水线
地形图主要应用
工程建设应用
地形图的识读地形图基本要素地形图主要应用
H F＝H m＋hf
H
m＋h
d1 d
式中 mF d1, mn d
h —等高距
n F
55
m
50
地形图的识读地形图基本要素地形图主要应用
工程建设应用
3. 地形图主要应用
3.4 确定两点间的坡度
i hAB H B H A
DAB
DAB
式中：
hAB —A，B两点间的高差 DAB —A，B两点间的实际水平距离
则算得 AB 45
800
700
B
600
n
α
pA q
500
(X0,Y0)o m
400 1000 1100 1200 1300 1400 1500
1:1000
地形图的识读地形图基本要素地形图主要应用
工程建设应用
3. 地形图主要应用
3.3 确定点的高程
等高线上点的高程，等于该等高线的高程；

2019届高三数学备考冲刺140分问题38复杂的排列组合问题含答案解析

问题38复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚. 四、题型分析(一)“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数：（1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【解析】（1）①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．（2）可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位,则乙有3种排法；甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．（3）可先排丙、丁有A 24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种),或看作定序问题A 44A 22＝12(种)．【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______用数字作答．【答案】36【解析】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．故答案为：36(二)涂色问题【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色,共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选B．(三)分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？（1）分成每组都是2本的三组；（2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【解析】（1）先分三步,则应是C 26C 24C 22种选法,但是这里面出现了重复,不妨记6本书为分别A 、B 、C 、D 、E 、F ,若第一步取了(AB 、CD 、EF ),则C 26C 24C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD ),(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF 、AB )、(EF 、CD 、AB )、(EF 、AB 、CD )共有A 33种情况,而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)．（2）在问题（1）的基础上再分配,故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)．【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．【小试牛刀】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】B【解析】分两步进行分析先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B.(四)排数问题【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（）A. 9B.10C.11D. 12【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有246C =个,故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏. 【小试牛刀】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个【答案】B【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ⨯个；若万位上排5,则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．选B ．(五)摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种.【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【解析】依题意,任意排放的排法7048=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．【答案】42【解析】根据题意,分2步进行分析,①、先在编号为1,2,3的三个盒子中,取出2个盒子,有233C =种取法,②、将4个小球放进取出的2个盒子中,每个小球有2种放法,则4个小球一共有2×2×2×2=24种, 其中有1个空盒,即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为（24﹣2）=14种, 故四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为3×14=42种；故答案为：42．(六)“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中（1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；（2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．【点评】对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用．【小试牛刀】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案.(七)信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*) 则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n种填空．【点评】（1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决．（2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．【小试牛刀】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（） A.4100a = B.()21210n n a a n N ++=∈ C.()22110n n a a n N -+=∈ D.以上说法都不正确【答案】B.【解析】A ：491090a =⋅=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.四、迁移运用1．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。

2019版高考数学理一轮课时达标38数学归纳法含解析精

课时达标第38讲[解密考纲]在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式．一、选择题1．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( B )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析当n ＝k 时，有(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，则当n ＝k ＋1时，有(k＋2)(k ＋3)·…·(2k ＋1)(2k ＋2)显然增乘的(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( C )A ．2B ．3C ．5D ．6解析 n ＝4时，24＜42＋1；n ＝5时，25＞52＋1，故n 0＝5.3．已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( A )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2B ．f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2C ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2D ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2解析 f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，故选A ．4．(2018.安徽黄山模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋ (1)＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( B )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析根据数学归纳法步骤可知，要证n 为正偶数对原式成立，已知假设n ＝k (k ≥2且k 为偶然)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即n ＝k ＋2时命题为真，故选B ．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析 A ，B 项与题设中不等方向不同，故A ，B 项错；C 项中，应该是k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立；D 项符合题意．6．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．( D )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1推理不正确解析在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确，故选D ．二、填空题7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式是__1＋12＋13<2__. 解析由n ∈N *，n >1知，n 取第一个值n 0＝2，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝__n n ＋1__. 解析由(S 1－1)2＝S 21，得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得：S 3＝34.猜想S n ＝n n ＋1. 9．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )个平面区域，则f (2)＝__4__，f (n )＝__n 2－n ＋2__(n ≥1，n ∈N *)．解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.三、解答题10．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①，②可知，对一切n ∈N *等式成立．11．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ∈N *，n ≥2)．证明 ①当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立． ②假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k－1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立．由①，②知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．12．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．解析 ∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1. 下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上是增函数知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1.即1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n ， ∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n <1.。

2021版高考数学(理)课件：第38讲数学归纳法

易错点归纳不准
错因分析：①归纳时找不准规律；②使用数学归纳法时，不能完成由n＝k到n ＝k＋1的转化．
【例 1】由下列不等式：1>21，1＋21＋31>1,1＋21＋31＋…＋17>23，1＋21＋31＋…＋115 >2，…，你能猜想得到一个怎样的一般不等式？用数学归纳法证明你的结论．
解析根据给出的几个不等式：1>21，1＋21＋31>1,1＋21＋31＋…＋17>23，1＋21＋31＋… ＋115>2，…，
2．用数学归纳法证明 1＋2n≤1＋21＋31＋…＋21n≤21＋n(n∈N*)．证明 ①当 n＝1 时，左边＝1＋21，右边＝21＋1， ∴32≤1＋12≤32，即命题成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1＋2k≤1＋21＋31＋…＋21k≤12＋k，
则当 n＝k＋1 时， 1＋21＋31＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＞1＋2k＋2k·2k＋1 2k＝1＋k＋2 1，又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＜12＋k＋2k·21k＝21＋(k＋1)，即 n＝k＋1 时，命题成立．由①②可知，命题对所有 n∈N*都成立．
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据①和②，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
4．已知函数f(x)＝x－xln x，数列{an}满足0<a1<1，an＋1＝f(an)，n∈N*.证明：对任意n∈N*，不等式0<an<1都成立．
第六章不等式、推理与证明

第38课网格型问题

名师点拨
与三角形有关的网格型问题，常常结合直角三角形、相似三角形、勾股定理及三角函数的知识，难度一般不大，但在这类问题中，要特别注意与相似结合时常常会用到分类讨论．
【预测演练 1－1】下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与图 38－2 中 △ABC 相似的三角形所在的网格图形是 ( )
A ．①②
答案：D
B．①③
图 38－ 8 C ．②③
D．①②③
解析：根据题意分析，可得 ①②③都可以使 △ABC 变换成 △PQR ，故选 D.
【预测演练 3－2】如图 38－9，正方形网格中，△ABC 为格点三角形(顶点都是格点)，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到△A1B 1C1. (1)在正方形网格中，作出△A1B 1C1； (2)设网格小正方形的边长为 1，求旋转过程中动点 B 所经过的路径长．
(解图 4) 答案：C
真题评讲
类型二坐标平面内的网格型问题
【精选考题 2】 (2013·浙江湖州 )如图 38－5，在 10×10 的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 ( )
图 38－ 6
解析：可画出草图如解图 6.
(解图 6) 图象与 x 轴围成的封闭区域内(包括边界 )，横、纵坐标都是整数的点有 7 个，为(2，0)，(2，1)， (2， 2)， (1，0)，(1，1)，(3，0)， (3， 1)．答案：7

近年年高考数学一轮复习课时分层训练38综合法、分析法、反证法理北师大版(2021学年)

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课时分层训练(三十八) 综合法、分析法、反证法A组基础达标一、选择题１.若ａ，ｂ，c为实数,且a〈b＜0，则下列命题正确的是( ) A．ａc２<bc2ﻩB．a2>aｂ>ｂ２C.＼f(1，a)〈1b D.ba>错误!B[ａ２-ａb＝a(a－b),∵ａ〈b<0,∴a－b<0,∴a2－ａｂ〉0，∴a2〉ab．①又ab-b2=b(a－ｂ)>0，∴ab〉b2, ②由①②得a2〉ａb〉b2．]2.已知m>１，a＝错误!－错误!,ｂ＝错误!-错误!，则以下结论正确的是（)A．a＞bＢ．a＜bC.ａ＝bﻩD．a,b大小不定B［∵a＝错误!-错误!=错误!,b＝m-错误!＝错误!。

而错误!+错误!>错误!＋错误!＞0（ｍ>1），∴错误!＜错误!,即a＜b。

］3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明：“设a＞b〉ｃ，且a＋b＋c=0，求证＼r(ｂ２-aｃ)〈＼r(3)ａ”索的因应是( )A．a-b〉0 Ｂ．a-c〉0Ｃ.（a-b)（ａ-c）〉0 D．(ａ-b）（ａ-c）〈0Ｃ［由题意知＼r(ｂ２－ac）〈＼r(3）a⇐ｂ2-ac〈3a２⇐（a+c）2－ac〈３a2⇐ａ2＋２ａc＋c2－ac－3a2<0⇐-2ａ2＋ac+c2＜0⇐2a2－ac-c2〉0⇐（a－c)（2a+c)＞0⇐(ａ-ｃ)(a－b）>0.]4.设f(x）是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,ｆ(x)单调递减,若x1+ｘ2>0,则f（x１)+f(ｘ2)的值（）A．恒为负值Ｂ.恒等于零Ｃ.恒为正值ﻩＤ．无法确定正负Ａ [由ｆ（x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时，f(x)单调递减,可知f(x）是R上的单调递减函数,由ｘ１+ｘ２＞０，可知x1＞-ｘ2,f（x1)＜f（-x2)=－f(x２），则f(x１)+f(x2）＜0,故选A．]5.设a,b是两个实数,给出下列条件:【导学号:７9140２１１】①a+b>１;②ａ+b＝2；③a+b>2;④ａ2＋b2＞２;⑤ａb>１。

高三数学备考冲刺140分问题38复杂的排列组合问题含解析

问题38复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚. 四、题型分析(一)“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数：（1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【解析】（1）①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．（2）可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位,则乙有3种排法；甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．（3）可先排丙、丁有A 24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种),或看作定序问题A 44A 22＝12(种)．【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______用数字作答．【答案】36【解析】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．故答案为：36(二)涂色问题【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色,共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选B ．(三)分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？（1）分成每组都是2本的三组；（2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【解析】（1）先分三步,则应是C 26C 24C 22种选法,但是这里面出现了重复,不妨记6本书为分别A 、B 、C 、D 、E 、F ,若第一步取了(AB 、CD 、EF ),则C 26C 24C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD ),(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF 、AB )、(EF 、CD 、AB )、(EF 、AB 、CD )共有A 33种情况,而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)．（2）在问题（1）的基础上再分配,故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)．【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．【小试牛刀】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】B【解析】分两步进行分析:先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. (四)排数问题【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（） A. 9 B.10 C.11 D. 12【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有246C =个,故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.【小试牛刀】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个【答案】B【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ⨯个；若万位上排5,则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．选B ．(五)摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种. 【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【解析】依题意,任意排放的排法7048=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．【答案】42【解析】根据题意,分2步进行分析,①、先在编号为1,2,3的三个盒子中,取出2个盒子,有233C =种取法,②、将4个小球放进取出的2个盒子中,每个小球有2种放法,则4个小球一共有2×2×2×2=24种, 其中有1个空盒,即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为（24﹣2）=14种, 故四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为3×14=42种；故答案为：42．(六)“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中（1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；（2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．【点评】对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用．【小试牛刀】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案. (七)信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*) 则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n 种填空．【点评】（1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决．（2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．【小试牛刀】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（）A.4100a =B.()21210n n a a n N ++=∈C.()22110n n a a n N -+=∈D.以上说法都不正确【答案】B.【解析】A ：491090a =⋅=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.四、迁移运用1．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。

2020年江苏省高中数学一轮复习南方凤凰台基础版课件第七章第38课等比数列

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高考总复习一轮复习导学案 ·数学
第七章数列、推理与证明
2. (2017·南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，其前 n 项和为 Sn.若 a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式为 an＝__3_n_－_1___.
【解析】由等比数列的性质可得 ac＝(－1)×(－9)＝9，b×b＝9，且 b 与奇数项的符号相同，故 b＝－3.
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第七章数列、推理与证明
3. (必修 5P52 练习 4 改编)若对于实数 x，有 an＝xn，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 0，x＝0， n，x＝1， ___x_11_－－__xx_n_，__x_≠__0_且__x_≠__1___.
第七章数列、推理与证明
设数列{an}是等比数列，公比为 q. (1) 若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则__a_m_a_n_＝__a_p_a_q ________；
(2) 数列{kan}(k 为非零常数)，a1n，{ank}(k∈Z 且为常数)也是等比数列； (3) 每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列；
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第七章数列、推理与证明
【高频考点·题组强化】 1. (2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6 ＋6a4，则 a3 的值为____3____．【解析】由 a8＝a6＋6a4，得 a2q6＝a2q4＋6a2q2，则 q4－q2－6＝0，所以 q2＝3(负值舍去)，又 q>0，所以 q＝ 3，故 a3＝a2q＝ 3.