2016年江苏省高考数学试卷【2020新】.pdf

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2016年江苏高考数学试题(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是．【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是．【答案】【解析】c ==，因此焦距为2c =4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0.1；【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y =的定义域是．【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】56；【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是．【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是．【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．FC BOyx【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ===． 11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是．【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 12. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下xyB A –1–2–3–41234–1–2–3–4123422x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d，则()22min45x y+=，图中B点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D是BC的中点，,E F是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；【解析】令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，由4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-可得2294a b-=，221a b-=-，因此22513,88a b==，因此22451374888BE CE a b⨯⋅=-=-=．14.在锐角三角形ABC中，sin2sin sinA B C=，则tan tan tanA B C的最小值是．【答案】8；【解析】由()()sin sinπsin sin cos cos sinA ABC B C B C=-=+=+，sin2sin sinA B C=，可得sin cos cos sin2sin sinB C B C B C+=（*），由三角形ABC为锐角三角形，则cos0,cos0B C>>，在（*）式两侧同时除以cos cosB C可得tan tan2tan tanB C B C+=，又()()tan tantan tanπtan1tan tanB CA AB CB C+=--=-+=--(#)，则tan tantan tan tan tan tan1tan tanB CA B C B CB C+=-⨯-，由tan tan2tan tanB C B C+=可得()22tan tantan tan tan1tan tanB CA B CB C=--，令tan tanB C t=，由,,A B C为锐角可得tan0,tan0,tan0A B C>>>，由(#)得1tan tan0B C-<，解得1t>FED CBA2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---， 221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8，当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴．【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴= sinC sin AB ACB=635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴=又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C - 为棱柱，11//AC A C ∴11//DE A C ∴，又11A C ⊂ 平面11A C F ，且11DE A C F ⊄ //DE ∴平面11A C F ；⑵ 111ABC A B C - 为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C111AA A C ∴⊥，又1111A C A B ⊥且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B 11A C ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE A C ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂ 平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥又11A F B D ⊥ ，1DE B D D = ，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F A C F ⊂ ∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． ⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ；【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，FEDC BAC 1B 1A 11A1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11m A O =，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<， ()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；⑵ 由题意得OA =，2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d则BC ==BC =，即=，解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；⑶ TA TP TQ += ，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ = ，，又10PQ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ = ，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x >可得2t =≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立 ∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x xxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点，则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =，由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b aa b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分）记{}1,2,,100U = ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S + ≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=； ⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<= ≤；⑶ 设()C A C D = ð，()D B C D = ð，则A B =∅ ，C A C D S S S =+ ，D B C D S S S =+ ，22C C D D A B S S S S S +-=- ，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅ ，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m l A B m a a S S a a a -+-+++=++++=< ≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S + ≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点．求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠，EDCBA由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167；【解析】直线l0y --=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ==．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析；【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．Cl yxO 【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --= ，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x py x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上 12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+ ．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+ ，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++ ()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++ ()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++ ，所以，左边=右边．。

2016年高考江苏卷数学+文数试卷及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．。

1.已知集合A=|-1,2,3,6|，B={x|-2<x<3}，则A ⋂B= ▲ 。

2.复数z=（1+2i ）（3-i ），其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ 。

3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线27x -27y =1，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ 。

4.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则改组数据的方差是 ▲ 。

5.函数y = 的定义域是 ▲ 。

6.右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ 。

7.讲一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲8.已知{a m }是等差数列，S m 是其前n 项的和，a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 ▲9.定于在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图像与y=cosx 的图像的交点个数是 ▲10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222=1(0)x y a b a b+>>的右焦点，直线2b y =与椭圆相较于B,C 两点，∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ▲11.设22x y + ()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10()5,012x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 ▲12.已知实数x,y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围是的取值范围 ▲13. 如图,在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F ，是AD 上的两个三等分点，·4BACA = ,·1BF CF =- ,则·BE CE 的值是 ▲14.在锐角三角形ABC 中，若SINA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考版解析)

...因此 BE CE4a b4 5 137 ．2288 8在锐角三角形 ABC 中， sin A 2sin B sin C ，那么 tan A tan B tan C 的最小值是．8；xiv.由 sin Asin π A sin B C sin B cosC cos B sin C ， sin A 2sin Bsin C ，可得 sin B cosC cos B sin C 2sin Bsin C 〔 * 〕，由三角形 ABC 为锐角三角形，那么 cosB 0,cos C 0 ，在〔 * 〕式两侧同时除以 cos B cosC 可得 tan B tan C2tan Btan C ，又 tan Atan π Atan BCtan B tan C (#) ，1 tan B tanC那么 tan A tan B tan Ctan B tan C1tan B tanC ，tan B tanC2由 tan B tanC2 tan B tanC2 tan B tanC 可得 tan A tan B tanC1，tan B tan C令 tan B tanC t ，由 A, B, C 为锐角可得 tan A0, tan B0,tanC 0 ，由(#)得 1 tan B tan C 0 ，解得 t 1tan A tan B tan C2t 2 2 ，t11 1t 2t1 1 1 1 21 1 11，由 t 1 那么0 ，因此 tan Atan B tanC最小值为 8，t2tt24 t2t4当且仅当 t 2 时取到等号，此时 tan B tan C 4 ， tan B tan C 2 ，解得 tan B22,tan C22,tan A 4 〔或 tan B,tan C 互换〕，此时 A, B,C 均为锐角．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔本小题总分值14 分〕在△ABC 中， AC 6 ， cos B4， Cπ．54⑴求 AB 的长；⑵求 cos Aπ 的值．6⑴ 5 2；⑵7 26 ．201.cos B4， B 为三角形的内角5sin B 3 5AB ACsinC sin BAB623，即： AB 5 2 ；25a) cos A cos C B sin B sin C cos B cosC2cos A10又A为三角形的内角72sin A10cos Aπ3cos A1s in A726．62220〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， D, E 分别为 AB , BC 的中点，点F在侧棱 B1B 上，且 B D A F AC1A B C111，1 1 1 ．求证：⑴直线 DE // 平面 AC FA1B1；11⑵平面 BDE平面AC F．111F 见解析；2.D, E 为中点，DE 为ABC 的中位线DE // AC又ABC A B C 为棱柱，AC //AC1 1 111CEA D BDE // AC1 1，又AC1 1平面 AC11F，且DEAC1 1FDE //平面AC F；1 1a)ABC A1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1AA AC，又AC1A B1 1 11 1 1且AA1 A1 B1 A1， AA1 , A1 B1平面 AA1B1 BAC1平面AAB B，11113又 A 1FB 1D ， DE B 1DD ，且 DE, B 1D平面 B 1 DEA F平面B DE，又A FAC F1111 1平面 B DE平面AC 1 F．11〔本小题总分值14 分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A 1 B 1C 1D 1，下局部的形状是正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1 D 1〔如下图〕，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高 PO 1的 4 倍．⑴假设AB6 m ， PO 12 m ，那么仓库的容积是多少；PD 1 C 1⑵ 假设正四棱锥的侧棱长为6 m ，当 PO 1为多少时，仓库的容积最大？O 1A 1B 13；⑵ 2 3 m ； DC⑴ 312 mO3. PO 1 2 m ，那么OO 18 m ，ABV P A 1B 1C 1D 1=1S ABCD PO 11 62 224 m 3， V ABCDA 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1628 288 m 3 ，33V =V PABCDV ABCDABCD312 m3 ，11 1 111 11故仓库的容积为 312 m 3；a) 设 PO 1x m ，仓库的容积为 V ( x)那么 OO 1 4 x m ， AO 1 136 x 2 m ， A 1B 12 36 x 2 m ，11212V P A 1B 1C 1D 1= S ABCD PO 172 2 x 2x72x 2 x 3 24xx 3 m 3 ，3 3332233V ABCD A 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1724 x 288x2x 8 x m ，V x =V PABCDV ABCD ABC D24x 2 x 3 288x8x 326 x 3 312 x 0 x6 ，1 11 11 1 1 133V ' x26x 2 312 26 x 212 0 x 6 ，当 x 0,2 3 时，V' x0 ， V x 单调递增，当 x2 3,6 时，V'x0 ， V x 单调递减，因此，当 x2 3时，Vx 取到最大值，即 PO 1 23 m 时，仓库的容积最大．〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，。

2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）【2016江苏（理）】已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．【答案】{﹣1，2}【解析】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5【解析】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．【答案】2【解析】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．【2016江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0.1【解析】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．【2016江苏（理）】函数y=的定义域是．【答案】[﹣3，1]【解析】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．【2016江苏（理）】已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．【答案】20【解析】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．【2016江苏（理）】定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．【答案】﹣【解析】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，【2016江苏（理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．【答案】[，13]【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【答案】【解析】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．【答案】8【解析】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6小题，满分90分）【2016江苏（理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【解析】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【解析】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+]，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【2016江苏（理）】记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【解析】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=＜=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【解析】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】【2016江苏（理）】已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【解析】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【解析】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【2016江苏（理）】设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【解析】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．附加题【必做题】【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【解析】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【2016江苏（理）】（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解析】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．【2016江苏（理）】已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．3．【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．4．【2016江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．5．【2016江苏（理）】函数y=的定义域是．6．【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．7．【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．8．【2016江苏（理）】已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．【2016江苏（理）】定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．10．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．11．【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．【2016江苏（理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．13．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．14．【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．【2016江苏（理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．【2016江苏（理）】记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．【2016江苏（理）】已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B 两点，求线段AB的长．24．【2016江苏（理）】设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．【2016江苏（理）】（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．。

【真题】2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2016届江苏省高考数学试卷解析版

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共小题，每小题分，满分分）．（分）（江苏）已知集合 ﹣ ，，，， ﹣ ＜＜，则．．（分）（江苏）复数（）（ ﹣ ），其中为虚数单位，则的实部是．．（分）（江苏）在平面直角坐标系中，双曲线﹣ 的焦距是．．（分）（江苏）已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是．．（分）（江苏）函数的定义域是．．（分）（江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的的值是．．（分）（江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有，，，，，个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是．．（分）（江苏）已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是．﹣ ，．（分）（江苏）定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点个数是．．（分）（江苏）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆（＞＞）的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．．（分）（江苏）设（）是定义在上且周期为的函数，在区间 ﹣ ，）上，（），其中 ∈ ，若（﹣）（），则（）的值是．．（分）（江苏）已知实数，满足，则的取值范围是．．（分）（江苏）如图，在△ 中，是的中点，，是上的两个三等分点，， ﹣ ，则的值是．．（分）（江苏）在锐角三角形中，若，则的最小值是．二、解答题（共小题，满分分）．（分）（江苏）在△ 中，，，．（）求的长；（）求（ ﹣）的值．．（分）（江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（）直线 ∥平面⊥平面．（）平面．（分）（江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高的倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（）若，（）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？．（分）（江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆： ﹣ ﹣ 及其上一点（，）．（）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（）设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程；（）设点（，）满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．．（分）（江苏）已知函数（）（＞，＞， ≠ ， ≠ ）．（）设，．求方程（）的根；若对于任意 ∈ ，不等式（）≥ （）﹣ 恒成立，求实数的最大值；（）若＜＜，＞，函数（）（）﹣ 有且只有个零点，求的值．．（分）（江苏）记，，，，对数列（；若，，，，定义∈ ）和的子集，若 ∅，定义．例如：，，时，．现设（ ∈ ）是公比为的等比数列，且当，时，．（）求数列的通项公式；（）对任意正整数（ ≤ ≤ ），若 ⊆ ，，，，求证：＜；（）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修几何证明选讲】．（分）（江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ，为垂足，为的中点，求证：∠ ∠ ．【选修：矩阵与变换】．（分）（江苏）已知矩阵，矩阵的逆矩阵 ﹣，求矩阵．【选修：坐标系与参数方程】．（江苏）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），椭圆的参数方程为（为参数），设直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．．（江苏）设＞， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证： ﹣ ＜．附加题【必做题】．（分）（江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知直线： ﹣ ﹣ ，抛物线：（＞）．（）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．求证：线段的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求的取值范围．．（分）（江苏）（）求 ﹣ 的值；（）设， ∈ ， ≥ ，求证：（）（）（）（）（）．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共小题，每小题分，满分分）．（分）（江苏）已知集合 ﹣ ，，，， ﹣ ＜＜，则 ﹣ ，．【分析】根据已知中集合 ﹣ ，，，， ﹣ ＜＜，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合 ﹣ ，，，， ﹣ ＜＜，∴ ﹣ ，，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．．（分）（江苏）复数（）（ ﹣ ），其中为虚数单位，则的实部是．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（）（ ﹣ ），则的实部是，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（分）（江苏）在平面直角坐标系中，双曲线﹣ 的焦距是．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣ 的焦距．【解答】解：双曲线﹣ 中，，，∴ ，∴双曲线﹣ 的焦距是．故答案为：．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（江苏）已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是．【分析】先求出数据，，，，的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据，，，，的平均数为：（），∴该组数据的方差：（ ﹣ ）（ ﹣ ）（ ﹣ ）（ ﹣ ）（ ﹣ ）．故答案为：．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．．（分）（江苏）函数的定义域是 ﹣ ，．【分析】根据被开方数不小于，构造不等式，解得答案．【解答】解：由 ﹣ ﹣ ≥ 得： ﹣ ≤ ，解得： ∈ ﹣ ，，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．．（分）（江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的的值是．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当，时，不满足＞，故，，当，时，不满足＞，故，当，时，满足＞，故输出的值为，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．．（分）（江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有，，，，，个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于的对立事件是出现向上的点数之和不小于，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有，，，，，个点的正方体玩具）先后抛掷次，基本事件总数为 × ，出现向上的点数之和小于的对立事件是出现向上的点数之和不小于，出现向上的点数之和不小于包含的基本事件有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），共个，∴出现向上的点数之和小于的概率：﹣ ．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．．（分）（江苏）已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是．﹣ ，【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值．是等差数列，是其前项和， ﹣ ，，【解答】解：∵∴，﹣ ，，解得﹣ × ．∴故答案为：．【点评】本题考查等差数列的第项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．．（分）（江苏）定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点个数是．【分析】画出函数与在区间，上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数与在区间，上的图象如下：由图可知，共个交点．故答案为：．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数与在区间，上的图象是关键，属于中档题．．（分）（江苏）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆（＞＞）的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点（，），将代入椭圆方程求得，的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点（，），将代入椭圆方程可得 ± ± ，可得（﹣ ，），（，），﹣ ，由∠ ，可得即有 ﹣ ，化简为 ﹣ ，由 ﹣ ，即有，由，可得，可得，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．．（分）（江苏）设（）是定义在上且周期为的函数，在区间 ﹣ ，）上，（），其中 ∈ ，若（﹣）（），则（）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合（﹣）（），可得值，进而得到（）的值．【解答】解：（）是定义在上且周期为的函数，在区间 ﹣ ，）上，（），∴ （﹣）（﹣） ﹣ ，（）（） ﹣ ，∴ ，∴ （）（）（﹣ ） ﹣ ﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出值，是解答的关键．．（分）（江苏）已知实数，满足，则的取值范围是，．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设，则的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知到原点的距离最大，点到直线： ﹣ 的距离最小，由得，即（，），此时，点到直线： ﹣ 的距离，则（），故的取值范围是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．．（分）（江苏）如图，在△ 中，是的中点，，是上的两个三等分点，， ﹣ ，则的值是．【分析】由已知可得， ﹣ ，， ﹣ ，， ﹣ ，结合已知求出，，可得答案．【解答】解：∵ 是的中点，，是上的两个三等分点，∴ ， ﹣ ，， ﹣ ，∴ ﹣ ﹣ ，﹣ ，∴ ，，又∵ ， ﹣ ，∴ ﹣ ，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．．（分）（江苏）在锐角三角形中，若，则的最小值是．【分析】结合三角形关系和式子可推出，进而得到，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由（ ﹣ ）（），，可得，由三角形为锐角三角形，则＞，＞，在式两侧同时除以可得，又 ﹣ （ ﹣ ） ﹣ （） ﹣ ，则 ﹣ ，由可得 ﹣，令，由，，为锐角可得＞，＞，＞，由式得 ﹣ ＜，解得＞，﹣ ﹣，（） ﹣，由＞得，﹣≤＜，因此的最小值为，当且仅当时取到等号，此时，，解得， ﹣，，（或，互换），此时，，均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共小题，满分分）．（分）（江苏）在△ 中，，，．（）求的长；（）求（ ﹣）的值．【分析】（）利用正弦定理，即可求的长；（）求出、，利用两角差的余弦公式求（ ﹣）的值．【解答】解：（）∵△ 中，，∴ ，∵，∴ ；（） ﹣ （） ﹣ ﹣．∵ 为三角形的内角，∴ ，∴ （ ﹣）．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．．（分）（江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（）直线 ∥平面⊥平面．（）平面【分析】（）通过证明 ∥ ，进而 ∥ ，据此可得直线 ∥平面；（）通过证明 ⊥ 结合题目已知条件 ⊥ ，进而可得平面 ⊥平面．【解答】解：（）∵ ，分别为，的中点，∴ 为△ 的中位线， ∴ ∥ ，∵ ﹣ 为棱柱， ∴ ∥ ， ∴ ∥ ，∵ ⊂平面，且 ⊄平面， ∴ ∥ ；（）∵ ﹣ 为直棱柱， ∴ ⊥平面， ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，且，、 ⊂平面， ∴ ⊥平面， ∵ ∥ ，，∴ ⊥平面⊂平面，又∵，∴ ⊥⊥ ，，且、 ⊂平面，又∵⊥平面，∴⊂平面，又∵⊥平面．∴平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．．（分）（江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高的倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（）若，为多少时，仓库的容积最大？（）若正四棱锥的侧棱长为，则当是正四棱锥的高的倍，可得时，【分析】（）由正四棱柱的高，进而可得仓库的容积；，则，，，（）设代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．，正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．【解答】解：（）∵，∴∴仓库的容积 × × × ，（）若正四棱锥的侧棱长为，，设，，，则则仓库的容积 ×（）（），（＜＜），∴ ﹣ ，（＜＜），当＜＜时，＞，（）单调递增；当＜＜时，＜，（）单调递减；故当时，（）取最大值；时，仓库的容积最大．即当【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．．（分）（江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆： ﹣ ﹣ 及其上一点（，）．（）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（）设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程；（）设点（，）满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．【分析】（）设（，），则圆为：（ ﹣ ）（ ﹣ ），＞，从而得到 ﹣ ，由此能求出圆的标准方程．，设：，则圆心到直线的距离：（）由题意得，，由此能求出直线的方程．（），即，又 ≤ ，得 ∈ ﹣ ，，对于任意 ∈ ﹣ ，，欲使，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数的取值范围．【解答】解：（）∵ 在直线上，∴设（，），∵圆与轴相切，∴圆为：（ ﹣ ）（ ﹣ ），＞，又圆与圆外切，圆： ﹣ ﹣ ，即圆：（（ ﹣ ）（ ﹣ ），∴ ﹣ ，解得，∴圆的标准方程为（ ﹣ ）（ ﹣ ）．，设：，（）由题意得，则圆心到直线的距离：，则，，即，解得或 ﹣ ，∴直线的方程为：或 ﹣ ．（），即，即，，又 ≤ ，即≤ ，解得 ∈ ﹣ ，，对于任意 ∈ ﹣ ，，欲使，此时， ≤ ，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于、两点，此时，即，因此实数的取值范围为 ∈ ﹣ ，，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．．（分）（江苏）已知函数（）（＞，＞， ≠ ， ≠ ）．（）设，．求方程（）的根；若对于任意 ∈ ，不等式（）≥ （）﹣ 恒成立，求实数的最大值；（）若＜＜，＞，函数（）（）﹣ 有且只有个零点，求的值．【分析】（）利用方程，直接求解即可．列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（）求出（）（）﹣ ﹣ ，求出函数的导数，构造函数（），求出（）的最小值为：（）．同理若（）＜，（）至少有两个）＞，利用函数（）（）﹣ 有且只有个零点，推零点，与条件矛盾．若（出（），然后求解．【解答】解：函数（）（＞，＞， ≠ ， ≠ ）．（）设，．方程（）；即：，可得．不等式（）≥ （）﹣ 恒成立，即≥ （）﹣ 恒成立．令， ≥ ．不等式化为： ﹣ ≥ 在 ≥ 时，恒成立．可得：△≤ 或即： ﹣ ≤ 或 ≤ ， ∴ ∈（﹣ ，．实数的最大值为：．（）（）（）﹣ ﹣ ，（），＜＜，＞可得，令（），则（）是递增函数，而，＜，＞，因此，时，（），因此 ∈（﹣ ，）时，（）＜，＞，则（）＜． ∈（，）时，（）＞，＞，则（）＞，则（）在（﹣ ，）递减，（，）递增，因此（）的最小值为：（）．若（）＜，＜时，＞，＞，则（）＞，因此＜，且＜时，（）＞，因此（）在（，）有零点，则（）至少有两个零点，与条件矛盾．若（）＞，函数（）（）﹣ 有且只有个零点，（）的最小值为（），可得（），由（） ﹣ ，因此，因此，﹣，即，（），则．可得．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．．（分）（江苏）记，，，，对数列（ ∈ ）和的子集，若 ∅，定义；若，，，，定义．例如：，，时，．现设（ ∈ ）是公比为的等比数列，且当，时，．（）求数列的通项公式；（）对任意正整数（ ≤ ≤ ），若 ⊆ ，，，，求证：＜；（）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．【分析】（）根据题意，由的定义，分析可得，计算可得，进而可得的值，由等比数列通项公式即可得答案；（）根据题意，由的定义，分析可得 ≤﹣，由等比数列的前项和公式计算可得证明；（）设 ∁ （）， ∁ （），则 ∅，进而分析可以将原命题转化为证明 ≥ ，分种情况进行讨论：、若 ∅，、若 ≠∅，可以证明得到 ≥ ，即可得证明．【解答】解：（）当，时，，因此，从而，故﹣，（） ≤ ﹣＜，（）设 ∁ （）， ∁ （），则 ∅，分析可得，，则 ﹣ ﹣ ，因此原命题的等价于证明 ≥ ，由条件 ≥ ，可得 ≥ ，、若 ∅，则，故 ≥ ，、若 ≠∅，由 ≥ 可得 ≠∅，设中最大元素为，中最大元素为，若 ≥ ，则其与＜ ≤ ≤ 相矛盾，因为 ∅，所以 ≠ ，则 ≥ ，≤ ﹣≤，即 ≥，综上所述， ≥ ，故 ≥ ．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修几何证明选讲】．（分）（江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ，为垂足，为的中点，求证：∠ ∠ ．【分析】依题意，知∠ ，∠ ∠ ，利用∠ ∠ ∠ ∠，可得∠ ∠ ，从而可证得结论．【解答】解：由 ⊥ 可得∠ ，因为为的中点，所以，则：∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，因此∠ ∠ ，而∠ ∠ ，所以，∠ ∠ ．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠ ∠ ∠ ∠ ，证得∠ ∠ 是关键，属于中档题．【选修：矩阵与变换】．（分）（江苏）已知矩阵，矩阵的逆矩阵 ﹣，求矩阵．【分析】依题意，利用矩阵变换求得（ ﹣ ）﹣ ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵ ﹣ ，∴ （ ﹣ ）﹣ ，又，∴ ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．【选修：坐标系与参数方程】．（江苏）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），椭圆的参数方程为（为参数），设直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由得，代入并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴ ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．．（江苏）设＞， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证：﹣ ＜．【分析】运用绝对值不等式的性质： ≤ ，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由＞， ﹣ ＜， ﹣ ＜，可得 ﹣ （ ﹣ ）（ ﹣ ）≤ ﹣ ﹣ ＜，则 ﹣ ＜成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】．（分）（江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：﹣ ﹣ ，抛物线：（＞）．（）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．求证：线段的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求的取值范围．【分析】（）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（）：设点（，），（，），通过抛物线方程，求解，通过，关于直线对称，点的 ﹣ ，推出，的中点在直线上，推出 ﹣，即可证明线段的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；利用线段中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．推出，得到关于﹣ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出的范围．【解答】解：（）∵ ： ﹣ ﹣ ，∴ 与轴的交点坐标（，），即抛物线的焦点坐标（，）． ∴，∴抛物线：．（）证明：设点（，），（，），则：，即：，，又∵ ，关于直线对称，∴ ﹣ ，即 ﹣ ，∴，又的中点在直线上，∴ ﹣ ，∴线段的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；因为中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．∴，即∴，即关于 ﹣ ，有两个不相等的实数根，∴△＞，（） ﹣ （ ﹣ ）＞，∴ ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．．（分）（江苏）（）求 ﹣ 的值；（）设， ∈ ， ≥ ，求证：（）（）（）（）（）．【分析】（）由已知直接利用组合公式能求出的值．（）对任意 ∈ ，当时，验证等式成立；再假设（ ≥ ）时命题成立，推导出当时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（）（）（）（）（）．【解答】解：（）﹣ ×× ﹣ × ．证明：（）对任意 ∈ ，当时，左边（），右边（），等式成立．假设（ ≥ ）时命题成立，即（）（）（）（）（），当时，左边（）（）（）（）（），右边∵（） ﹣（）× ﹣（ ﹣ ）（）（），∴ （），∴左边右边，∴ 时，命题也成立，∴ ， ∈ ， ≥ ，（）（）（）（）（）．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．剑影实验学校名师高中部高一化学第二次月考试卷。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)-推荐下载

x 2y 4 0 12. 已知实数 x，y 满足 2x y 2 0 ，则 x2+y2 的取值范围是 ▲ .
3x y 3 0
13.如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， BC CA 4 ，
证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分 14 分）
在 △ABC 中，AC=6， cos B = 4，C = π .
（1）求 AB 的长；
（2）求 cos( A - π ) 的值. 6
5
4
·2·
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要写5卷求、重保技电要护术气设装交设备置底备高4动。调、中作管试电资，线高气料并敷中课试3且设资件、卷拒技料中管试绝术试调路验动中卷试敷方作包技设案，含术技以来线术及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

【统一】2020年高考江苏数学试题及答案word解析版

【关键字】统一2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据的方差，其中．棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高．棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（1）【2016年江苏，1，5分】已知集合，，则_______．【答案】【解析】由交集的定义可得．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于根底题．（2）【2016年江苏，2，5分】复数，其中为虚数单位，则的实部是_______．【答案】5【解析】由复数乘法可得，则则的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是_______．【答案】【解析】，因此焦距为．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较根底（4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______．【答案】【解析】，．【点评】本题考查方差的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．（5）【2016年江苏，5，5分】函数的定义域是_______．【答案】【解析】，解得，因此定义域为．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于根底题．（6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出的值是________．【答案】9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】【解析】将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．【点评】本题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．（8）【2016年江苏，8，5分】已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是_______．【答案】20【解析】设公差为，则由题意可得，，解得，，则．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数与在区间上的图象是关键，属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是________．【答案】【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．（12）【2016年江苏，12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离，d ==，则()22min 45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．（13）【2016年江苏，13，5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-， 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．（14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______．【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8，当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15，14分】在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=，sinC sin AB ACB =，635=，即：AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A 为三角形的内角，sin A ∴，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：（1）直线//DE 平面11A C F ；（2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ，又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥，1DEB D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂，∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大．（17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，1A FECBAC 1B 1A 1111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ．（2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =，11A O =，11A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．（18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d ==则BC ==BC ==解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-．（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =，又10PQ ≤，10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，2TA 必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ=，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．解：（1）①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x+=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =．②由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122xx t =+，则由20x >可得2t ≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t+=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2）()()22x x g x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1ba>，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b aa xb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >；x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点，则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =，由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b aa b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．（20）【2016年江苏，20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．解：（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=．（2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤（3）设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B C DS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2016年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．（21-B ）【2016年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．（21-C ）【2016年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x -=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩167AB =．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．．（22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．ECBA①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p ∴=，28y x ∴=．（2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x py x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-，又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，122y y p +∴=-，又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．（23）【2016年江苏，23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解：（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．（2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m mk k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!m k k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

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2016年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．
4．（5分）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．5．（5分）函数y=的定义域是．
6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．
7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．
8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．
9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．
10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的
右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．
11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?=4，?=﹣1，则?的值是．
14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；。