2016全国三卷理科数学高考真题及答案

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2016年全国3卷高考理科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅲ卷)

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016年高考理科数学全国Ⅲ卷试题及答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量12(,)22BA =uu v,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是学.科.网(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，学科&网A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

(完整word版)2016全国三卷理科数学高考真题及答案.docx

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（1）设集合 S= S x P(x2)(x3)0 ,T x x 0，则 S I T=(A) [2 ，3](B) （-， 2]U [3,+）(C) [3,+ ）(D) （0， 2] U[3,+ ）（2）若 z=1+2i ，则4izz1(A)1(B)-1(C) i(D)-iuuv( 1uuuv(3,1),（3）已知向量BA, 2 ) , BC则 ABC=2222(A)30 0(B)450(C) 60 0(D)120 0（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C， B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若tan3，则 cos22sin 26444816(B)(C) 1(A)25(D)2525 431（6）已知a23， b44， c253，则（A ）b a c（ B）a b c （C） b c a （D） c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4， b=6，那么输出的n=（A ） 3（B ） 4（C） 5（D ） 6（8）在 △ABC 中，B = πBC1cos A =，边上的高等于则43 BC ,（ A ）3 10（ B ）101010（ C ） -10 （ D ） - 3 1010 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ） 18 36 5（B ） 54 18 5（C ） 90 （D ） 81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB BC ， AB=6 ，BC=8， AA 1 =3，则 V 的最大值是（A ） 4π （ B ）9（ C ） 6π（D ）3223x 2 y 2 1(a b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为（11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：b 2 a 2C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（A ）1（ B ）1（ C ）2（ D ）33 2 3 4（12）定义 “规范 01 数列 ”{a n } 如下： { a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m ， a 1 , a 2, L , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有（A ） 18 个（ B ） 16 个（C ） 14 个（D ） 12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ， y 满足约束条件错误 ! 未找到引用源。

2016年高考理科数学全国卷3含答案

2016全国三卷理科数学高考真题及答案(可编辑修改word版)

2 3 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 S = S = {x P (x - 2)(x - 3) ≥ 0}, T = {x I x > 0} (A) [2，3] (B)（- ∞ ，则 S I ，2] U T =[3,+ ∞ ） (C) [3,+ ∞ ） (D)（0，2] U 4i [3,+ ∞ ）（2）若 z=1+2i ，则=zz -1(A)1(B) -1(C) i(D)-iu u v 1 u u u v 1 （3）已知向量 BA = ( , ) 2 2, BC = ( , ), 2 2 则∠ ABC=(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若tan= 4，则cos 2+ 2 sin 2=(A)64254(B)48 2531(C) 1(D)16 25（6）已知 a = 23 ， b = 44 ， c = 253 ，则（A ） b < a < c （B ） a < b < c （C ） b < c < a （D ） c < a < b（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a =4，b =6，那么输出的 n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63x ‒ 2y ≪ 0 x + 2y ‒ 2 ≪ 0则 z=x+y 的最大值为.（8）在△ABC 中， B =π，BC 边上的高等于 1BC ,则cos A =（A ）3 10 10 43（B ） 10 10 （C ）- 10 10（D ）-3 10 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 + 36（B ） 54 +18 （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB⊥ BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则 V 的最大值是9（ A ） 4π （ B ）（ C ） 6π2（D ）323x 2 + y 2=> >（11）已知 O 为坐标原点，F是椭圆 C ： a 2b 21(a b0) 的左焦点，A ，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C上一点，且 PF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 1 1 2 3 （A ）（B ）（C ）（D ）3234（12）定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ， a 1 , a 2 , , a k中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有（A ）18 个（B ）16 个（C ）14 个（D ）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分{x ‒ y + 1 ≥ 0（14）函数y = sin x ‒ 3cos x 的图像可由函数度得到。

2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ．【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC+⋅∠===⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba b θ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（）（A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=；退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OB E ∆ CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ．【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年全国卷3理科数学理科综合试题及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3理科数学注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明1．设集合S={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST=（A ）［2，3］ (B ）(—∞ ，2］［3,+∞）（C ）［3，+∞） (D ）（0，2］［3,+∞）【答案】D 【解析】试题分析：由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． 2．若12z i =+，则41izz =- (A ）1 （B ） -1 （C ）i （D ）—i 【答案】C 【解析】试题分析：44(12)(12)11i ii i i zz ==+---，故选C ．考点：1、复数的运算;2、共轭复数． 3．已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则∠ABC=(A ）300 （B ） 450 (C)600 (D ）1200【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠===⨯ ,所以30ABC ∠=︒,故选A ．考点：向量夹角公式．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（A)各月的平均最低气温都在00C 以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D)平均气温高于200C 的月份有5个【答案】D 【解析】试题分析：由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒,基本相同，C 正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D ．考点:1、平均数;2、统计图5．若3tan 4α= ,则2cos 2sin 2αα+= （A ）6425 （B) 4825 （C ） 1 （D ）1625【答案】A 【解析】试题分析:由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A ．考点:1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 6．已知432a =，254b =，1325c =,则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D)c a b << 【答案】A 【解析】试题分析:因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<,故选A ．考点：幂函数的图象与性质．7．执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（A ）3 (B ）4 （C)5 （D ）6 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环,得2,4,6,6,1a b a s n ===== ;第二次循环,得2,6,4,10a b a s =-===,2n =；第三次循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四次循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=，退出循环，输出4n =,故选B ．考点：程序框图．8．在ABC △中,π4B ，BC 边上的高等于13BC ，则cos A(A （（C)1010（D ）31010【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==,AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ．考点:余弦定理．9．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(A ）18+ （B)54+ (C ）90 （D)81【答案】B 【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+故选B ．考点：空间几何体的三视图及表面积．10．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥ ,6AB =，8BC =，13AA =,则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π (C)6π (D ）323π 【答案】B 【解析】试题分析:要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32,此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．11．已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A,B 分别为C 的左，右顶点。

2016年高考理科数学全国卷3(含答案解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4. 答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0Tx x =>，则S T = （）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =- （）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()2222BA BC ==，，，，则ABC ∠=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A. 6425B.4825 C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )A. 10310B.1010C. 1010-D. 31010-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A. 18365+B. 54185+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )A. 4πB.92π C. 6πD. 323π11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. 13 B.12 C. 23D. 3412. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，123,,......k a a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有( )A. 18个B. 16个--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________C. 14个D. 12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13. 若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为______.14. 函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移______个单位长度得到.15. 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1，3)-处的切线方程式是______. 16. 已知直线30l mx y m ++=：与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D两点，若||AB =，则||CD =______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S =，求λ.18.（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码1～7分别对应年份2008—2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.552.646≈.参考公式:相关系数1()()nii i tt y y r =--=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑，a y bt =-．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（Ⅱ）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.21.（本小题满分12分）设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A . （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明：()2f x A '≤.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（Ⅰ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小;（Ⅱ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG CD ⊥.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin ,x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a a =-+. （Ⅰ）当2a=时，求不等式()6f x ≤的解集;（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,S T ∴=+∞．【考点】解一元二次不等式，交集 2.【答案】C【解析】易知12i z =-，故14zz -=，4ii 1zz ∴=-．【考点】共轭复数，复数运算 3.【答案】A【解析一】32cos 11BA BC ABC BA BC ∠===⨯，30ABC ∴∠=．【解析二】可以B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60ABx ∠=，30CBx ∠=，30ABC ∴∠=．【考点】向量夹角的坐标运算4.【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C 的月份有七月、八月，六月为20C 左右，故最多3个．【考点】统计图的识别 5.【答案】A【解析】22222cos 4sin cos 14tan 64cos 2sin 2cos sin 1tan 25ααααααααα+++===++．【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式6.【答案】A【解析】423324a ==，233b =，1233255c ==，故c a b >>．【考点】指数运算，幂函数性质 7.【答案】B【考点】程序框图 8.【答案】C【解析】如图所示，可设1BD AD ==，则AB =2DC =，AC ∴=知，cos A =．【考点】解三角形9.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2332362354⨯⨯+⨯⨯+⨯+．【考点】三视图，多面体的表面积 10.【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA =<⨯，所以内接球的半径为32，即V 的最大值为349ππ32R =．【考点】内接球半径的求法11.【答案】A【解析】易得ON OB aMF BF a c==+，2MF MF AF a c OE ON AO a -===，12a a c a c a c a a c --∴==++，13c e a ∴==．【考点】椭圆的性质，相似12.【答案】C【解析】011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩【考点】数列，树状图第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】32【解析】三条直线的交点分别为(2,1)--，11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)，代入目标函数可得3-，32，1，故最大值为32．【考点】线性规划14.【答案】2π3【解析】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故可前者的图像可由后者向右平移2π3个单位长度得到．【考点】三角恒等变换，图像平移15.【答案】210x y ++=【解析一】11()33f x x x-'=+=+-，(1)2f '∴-=，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【解析二】当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，1()3f x x'∴=-，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【考点】奇偶性，导数，切线方程 16.【答案】3【解析】如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF AB ⊥于F，AB =OA =，3OF ∴=，即3=，m ∴=，∴直线l 的倾斜角为30，3CD AE ∴===．【考点】直线和圆，弦长公式三、解答题17.【答案】（Ⅰ）1n n S a λ=+，0λ≠，0n a ∴≠，当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠，10λ∴-≠，即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n ≥，{}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-，1111n n a λλλ-⎛⎫∴= ⎪--⎝⎭；（Ⅱ）若53132S =，则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-= ⎪-⎝⎭--，1λ∴=-．【考点】等比数列的证明，由n S 求通项，等比数列的性质18.【答案】（Ⅰ）由题意得123456747t ++++++==，71 1.3317i i y y ==≈∑，7()()0.99nii i itt y y t ynt yr ---===≈∑∑，因为y与t 的相关系数近似为0．99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y 与t 的关系；（Ⅱ）121()()2.890.10328()nii i ni i tt y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.330.10340.92a y bt =-=-⨯≈，所以y 关于t 的线性回归方程为0.920.10y a bt t =+=+，将9t =代入回归方程可得， 1.82y =，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【考点】相关性分析，线性回归 19.【答案】（Ⅰ）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==，又AD BC ∥，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）取BC 中点E ，连接AE ，则易知AE AD ⊥，又PA ⊥面ABCD ，故可以A 为坐标原点，以AE 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A 、(0,0,4)P 、C 、N ⎫⎪⎪⎝⎭()0,2,0M，52AN ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,4)PM =-，22PN N ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，故平面PMN 的法向量(0,2,1)n =，4cos ,52AN n ∴<>==，∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为25．【考点】线面平行证明，线面角的计算20.【答案】（Ⅰ）由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设1:l y a =，2:l y b =，则0ab ≠，且2,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,22a b R +⎛⎫- ⎪⎝⎭，记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=，由于F 在线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-，所以AR FQ ∥；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，2PQF a bS ∆-=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =，设满足条件的AB 的中点为(,)E x y ，当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1y x a b x =≠+-，而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠，当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-．【考点】抛物线，轨迹方程21.【答案】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---；（Ⅱ）当1a ≥时，|()||cos2(1)(cos 1)|2(1)32(0)f x a x a x a a a f =+-+≤+-=-=，因此，32A a =-，当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--，令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． ①当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-； ②当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>；又1(1)(17)|(1)|048a a a g g a a --+⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以216148a a a A g a a -++⎛⎫==⎪⎝⎭，综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩（Ⅲ）由（Ⅰ）得|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a '=---≤+-，当105a <≤时，|()|1242(23)2f x a a a A '≤+≤-<-=，当115a <<时，131884a A a =++≥，所以|()|12f x a A '≤+<，当1a ≥时，|()|31642f x a a A '≤-≤-=，所以|()|2f x A '≤．【考点】导函数讨论单调性，不等式证明22.【答案】（Ⅰ）连结PB ，BC ，则BFD PBA BPD ∠=∠+∠，PCD PCB BCD ∠=∠+∠，因为AP BP =，所以PBA PCB ∠=∠，又BPD BCD ∠=∠，所以BFD PCD ∠=∠，又180PFD BFD ∠+∠=，2PFB PCD ∠=∠，所以3180PCD ∠=，因此60PCD ∠=；（Ⅱ）因为PCD BFD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此OG CD ⊥．【考点】几何证明23.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-，当且仅当π2π()6k k Z α=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭．【考点】坐标系与参数方程24.【答案】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+，解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++-≥-+-+=-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥①．当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解；当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥；所以a 的取值范围是[2,)+∞．【考点】不等式。

2016全国三卷理科数学高考真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S= S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ，则S I T=(A) [2 ，3] (B) （- ，2] U [3,+ ）(C) [3,+ ）(D) （0，2] U [3,+ ）（2）若z=1+2i ，则 4izz1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量u uvBA1 2( , )2 2,u u u vBC3 1( , ),2 2则ABC=(A)30 0(B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有 5 个（5）若tan 34，则 2cos 2sin 2(A) 6425(B)4825(C) 1 (D)16254 3 1（6）已知 3a 2 ，4b 4 ，3c 25 ，则（A ）b a c （B）a b c（C）b c a（D）c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A ）3（B）4（C）5（D）61（8）在△ABC 中，πB = ，BC 边上的高等于4 13BC ,则cos A =（A）31010（B）1010（C）10- （D）10-3 1010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 36 5（B）54 18 5（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB BC，AB=6，BC=8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π（B）92 （ C ）6π（D）32 3（11）已知O 为坐标原点， F 是椭圆C：2 2x y2 2 1(a b 0)a b的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点 E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B）12（C）23（D）34（12）定义“规范01 数列”{a n} 如下：{a n} 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k 2m，a a a 1, 2, , k中0 的个数不少于 1 的个数.若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（A ）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若x，y 满足约束条件错误！未找到引用源。

2016年高考理科数学全国卷3(含详细答案)

(完整)【数学】2016年高考真题——全国Ⅲ卷(理)(word版含答案),推荐文档

BA ( , BC , ),2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷3 至 5 页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 S = S = {x | (x - 2)(x - 3) ≥ 0},T = {x | x > 0} ，则S I T =（）(A) [2，3](B)（- ∞ ，2] U [3,+ ∞）(C) [3,+ ∞ ）(D)（0，2] U [3,+ ∞）（2）若 z = 1+ 2i ，则4i= ()zz -1(A)1(B) -1(C) i(D)-iu u v 1 （3）已知向量= 3 ) , u u u v = ( 3 1则 ∠ ABC =( )2 2 2 2(A)300(B) 450(C) 600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C.下面叙述不正确的是( )(A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上5(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若 tan= 3 4，则cos 2+2sin 2=( )(A) 6425(B)48 25(C) 1 (D)16 25421（6）已知 a = 23 ， b = 45 ， c = 253 ，则()（A ） b < a < c（B ） a < b < c （C ） b < c < a （D ） c < a < b（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a = 4∥出的 n = ( )（A ）3（B ）4 b = 6 ，那么输（C ）5（D ）6（8）在△ABC 中， B = π，BC 边上的高等于 1BC ,则cos A = (43（A ）3 1010（C ）-10（B ） 1010 （D ）- 3 1010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()（A ）18 + 36 （B ） 54 + 18 （C ）90（D ）81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若 AB ⊥ BC ， AB = 6 ，105 )⎨ ⎩a 2 BC = 8 ， AA 1 = 3 ，则 V 的最大值是()（A ）4π（B ）92（C ） 6π（D ）32 3x 2 y 2 （11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C ： + b 2= 1(a > b > 0) 的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点 P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()1 （A ）31 （B ）22 （C ）33 （D ）（D ）4（12）定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意k ≤ 2m ， a 1, a 2 , , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有()（A ）18 个（B ）16 个（C ）14 个（D ）12 个第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 ⎧x - y +1 ≥ 0 （13）若 x , y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤ 0 ⎪x + 2 y - 2 ≤ 0则 z = x + y 的最大值为.（14）函数 y = sin x - 3 cos x 的图像可由函数 y = sin x +个单位长度得到.cos x 的图像至少向右平移33 3 （15）已知 f(x )为偶函数，当 x < 0 时， f (x ) = ln(-x ) + 3x ，则曲线 y = (1,-3) 处的切线方程是.f (x )在点（16）已知直线l ： mx + y + 3m - = 0 与圆 x 2 + y 2 = 12 交于A ,B 两点，过 A , B 分别做l 的垂线与 x 轴交于C ,D 两点，若 AB = 2 ，则| CD |= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和 S n = 1+a n ，其中≠ 0 ．（I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（II ）若 S =31 ，求．532∑ i =1nn(t - t ) (y -y)2 ∑ 2i ii =1∑ i =17( y - y )2iy a bt（18）（本小题满分 12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（II ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.7参考数据：∑ y i = 9.32 ， i =17∑t iyi= 40.17 ， = 0.55 ， 7≈2.646.i =1n∑(t i - t )( y i - y )参考公式：相关系数r = i =1回归方程= +中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n∑(t i - t )( y i - y ) b = i =1 n∑(t i - t )2i =1a =y - bt .AD∥BC（19）（本小题满分12 分）如图，四棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABCD ，，AB =AD =AC = 3 ，PA =BC = 4 ，M 为线段AD 上一点，AM = 2MD ，N 为PC 的中点．（I）证明平面PAB ；（II）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.MN∥AR ∥ FQ（20）（本小题满分 12 分）已知抛物线C ： y 2 = 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线1l 2, l 分别交C 于A ∥B 两点，交C 的准线于 P ∥ Q 两点．（I ）若F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明；（II ）若∆PQF 的面积是∆ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分 12 分）设函数 f (x ) = a cos 2x + (a -1)(cos x +1) ，其中 a > 0 ，记| f (x ) | 的最大值为 A ．（Ⅰ）求 f '(x ) ；（Ⅱ）求 A ；（Ⅲ）证明| f '(x ) |≤ 2 A ．请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 中AB 的中点为P ，弦P C∥PD 分别交AB 于E∥ F 两点．（I）若∠PFB = 2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（II）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD ．223.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎪⎨x = 3 cos 为( 参数) ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴 ⎩ y = sin为极轴，建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 sin(+ π) = 2.4（I ）写出C 1 的普通方程和C 2 的直角坐标方程；（II ）设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求|PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) =| 2x - a | +a（I）当a=2 时，求不等式f (x) ≤ 6 的解集；（II）设函数g(x) =| 2x -1|, 当x ∈R 时，f (x) +g(x) ≥ 3 ，求a 的取值范围.3 3参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．（）【答案】C【解析】试题分析：4i = 4i= i ，故选 C ．zz -1 (1+ 2i )(1- 2i ) -1考点：1、复数的运算；2、共轭复数．（）【答案】A【解析】1 ⨯ + ⨯1 试题分析：由题意，得cos ∠ABC =∠ABC = 30︒ ，故选A ．考点：向量夹角公式．（）（4）BA ⋅ BC = | BA || BC | 2 2 2 2 = 1⨯1，所以 2考点：1、平均数；2、统计图32 AD 2 + DC 2（）【答案】A【解析】试题分析：由tan= 3，得sin = 3, cos = 4或sin = - 3 , cos= - 4，所以4 5 5 5 5cos 2+ 2 sin 2= 16 + 4 ⨯ 12 = 64，故选 A ． 25 25 25考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．（）【答案】A【解析】422122试题分析：因为 a = 23 = 43 > 45 = b ， c = 253 = 53 > 43 = a ，所以b < a < c ，故选A ．考点：幂函数的图象与性质．（）【答案】B考点：程序框图．（）【答案】C【解析】试题分析：设 BC 边上的高线为 AD ，则 BC = 3AD ，所以AC = = 5AD ， AB = AD ．由余弦定理，知AB 2 + AC 2 - BC 2 2 AD 2 + 5AD 2 - 9 A D 210cos A = = = - ，故选 C ．2 A B ⋅ AC 2 ⨯ 2 AD ⨯ 5AD10 考点：余弦定理．(9) 【答案】B( )考点：空间几何体的三视图及表面积．(10)【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值3，此时球的体积为4R3=4 3 3=9，故选2 3 3 2 2B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．（）【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．（）【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有a1= 0 ，a8= 1 ，则具体的排法列表如下：0 0 00 1 1 11 10 1 110 11 010 1 110 11 01 00 11 01 00 1 110 11 01 00 11 0二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分3（）【答案】2考点：简单的线性规划问题．2π（）【答案】3【解析】试题分析：因为y = sin x +cos x = 2 sin(x +π) ，3332 3 3 3 R 2 - (| AB |)2y = sin x - cos x = 2 sin(x - π) ＝32 s in[(x + π) - 2π] ，所以函数 y = sin x - 3 3cos x的图像可由函数y = sin x +cos x 的图像至少向右平移 2π个单位长度得到． 3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．（）【答案】 y = -2x -1考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．（）【答案】4【解析】试题分析：因为| AB |= 2 ，且圆的半径为2 ，所以圆心(0, 0) 到直线mx + y +3m - = 0 的距离为 = 3 ，则由| 3m - 3 | = 3 ，解得m 2 +1m = - 3，代入直线l 的方程，得 y = x + 2 3 ，所以直线l 的倾斜角为30︒ ，由平面几何知识知在梯形 ABDC 中， | CD |= | AB |cos 30︒= 4 ．考点：直线与圆的位置关系．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（）【答案】（Ⅰ） a=1()n -1 ；（Ⅱ）= -1 ．n1 - -1【解析】33 3 3 3∑ ii 7考点：1、数列通项a n 与前n 项和为 S n 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为 S n ．（18）（本小题满分 12 分）【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82 亿吨．7(t - t )( y - y ) （Ⅱ）由y = 9.32 ≈ 1.331 及（Ⅰ）得b ˆ= i =1 = 2.89 ≈ 0.103 ， ∑(t ii =1- t )2 28 a ˆ = y - b ˆt ≈ 1.331 - 0.103 ⨯ 4 ≈ 0.92 .7⎨5⎪ 所以， y 关于t 的回归方程为： y ˆ = 0.92 + 0.10t .将 2016 年对应的t = 9 代入回归方程得： y ˆ = 0.92 + 0.10 ⨯ 9 = 1.82 .所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．（19）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）8 5 ．25设 n = (x , y , z ) 为平面 PMN 的法向量，则n = (0,2,1) ，于是| cos < n , AN >|=| n ⋅ AN | 8 5.| n || AN | 25⎪n ⋅ PM = 0 ⎧2x - 4z = 0 ⎨ ，即 ⎩n ⋅ PN = 0 ⎪ 2 x + y - 2z = 0，可取考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．（20）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）y2 =x -1．考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．（21）（本小题满分 12 分）⎧2 - 3a , 0 < a ≤ 1⎪ 5 '⎪ a 2+ 6a +1 1 【答案】（Ⅰ） f (x ) = -2a sin 2x - (a -1) sin x ；（Ⅱ）A = ⎨ , < a < 1 ； ⎪ 8a5 ⎪ 3a - 2, a ≥ 1 ⎪ ⎩（Ⅲ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）直接可求 f '(x ) ；（Ⅱ）分 a ≥ 1,0 < a < 1 两种情况，结合三角函数的有界性求出 A ，但须注意当0 < a < 1时还须进一步分为0 < a ≤ 1 , 1 < a < 1 两种情况求解；5 5（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到| f '(x ) |≤ 2a + | a -1|，然后分 a ≥ 1 ， 0 < a ≤ 1 , 1< a < 1 三种情况证明5 5试题解析：（Ⅰ） f ' (x ) = -2a sin 2x - (a -1) sin x ．（Ⅱ）当 a ≥ 1 时，| f ' (x ) |=| a sin 2x + (a -1)(cos x +1) | ≤ a + 2(a -1) = 3a - 2 = f (0)因此，A = 3a - 2 ．………4 分当0 <a < 1时，将f (x) 变形为f (x) = 2a cos2 x + (a -1) cos x -1 ．令g(t) = 2at 2 + (a -1)t -1 ，则A 是| g(t) | 在[-1,1] 上的最大值，g(-1) =a ，g(1) = 3a - 2 ，且当t =1-a时，g(t) 取得极小值，极小值为4a1-a (a -1)2 a2 + 6a +1 g( ) =--1 =-．4a 8a 8a令-1<1-a<1，解得a <-1（舍去），a>1．4a 3 5考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．22. 【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．x 2 223.【答案】（Ⅰ） C 1 的普通方程为 3+ y 3 1 （Ⅱ） ( , ) ． 2 2= 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ；考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．24.【答案】（Ⅰ）{x | -1 ≤x ≤ 3} ；（Ⅱ）[2, +∞) ．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式| h(x) |≤a ⇔-a ≤h(x) ≤a ，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解f (x)+g (x)的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于a 的不等式求解即可．试题解析：（Ⅰ）当a = 2 时，f (x) =| 2x - 2 | +2 .解不等式| 2x - 2 | +2 ≤ 6 ，得-1 ≤x ≤ 3 .因此，f (x) ≤ 6 的解集为{x | -1 ≤x ≤ 3} .................................... 5 分（Ⅱ）当x ∈R 时，f (x) +g(x) =| 2x -a | +a+ |1- 2x |≥| 2x -a +1- 2x | +a=|1-a | +a ，当x =1时等号成立，2考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2016年高考理科数学全国卷3(含详细答案)

在2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）____--------------------答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域4.内作答.答在本试卷上无效.___答__题{}4，则cos2α+2sin2α=A.64C.1D.16_ _2．若z=1+2i，则4izz-1=4，BC边上的高等于BC，则cos A=(3．已知向量BA=(，)，=(31，)，则∠ABC=（）--------绝密★启用前 A.30° B.45° C.60° D.120°------------------------------------ 4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低理科数学气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()此使用地区:广西、云南、贵州--------------------注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓卷--------------------名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名__和科目.____ 3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂__黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.号上证考准5.第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.__6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.--------------------__第Ⅰ卷______名一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符姓合题目要求的.--------------------1.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0}，T=x x>0，则S T=（）A.[2,3]B.(-∞,2][3,+∞)----平均最低气温——平均最高气温A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个5.若tanα=34825B.25254216.已知a=23，b=45，c=253，则A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7.执行如图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=()()()C.[3,+∞)D.(0,2][3,+∞)无----------------A.1B.-1C.iD.-i （）A.3B.4C.5D.68.在△ABC中，B=π13)效---132222BC数学试卷第1页（共27页）A.310B.101010数学试卷第2页（共27页）参考数据: ∑ y = 9.32 ， ∑ t y = 40.17 ，- y )2 = 0.55 ， 7 ≈ 2.646 .∑ ⎪ x + 2 y - 2≤0, ∑ (ty - y )- t)(，∑ (t - t )2- y)2∑∑ (t - t )( y - y )∑ (t - t )2在 13. 若 x ， y 满足约束条件 ⎨ x - 2 y ≤0, 则 z = x + y 的最大值为______. 32，求 λ .( ) x 3C. 14 个D. 12 个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22～24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分.⎧ x - y + 1≥0,⎪ ⎩14. 函数 y = sin x - 3 cos x 的图象可由函数 y = sin x + 3cos x 的图象至少向右平移______个单位长度得到.15. 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x < 0 时， f ( x )= l n - x + ，则曲线 y = f ( x ) 在点 (1，-3) 处的切线方程式是______.16. 已知直线 l ：mx + y + 3m - 3 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 12 交于 A , B 两点，过 A , B 分别作 l的垂线与 x 轴交于 C , D 两点，若 |AB | = 2 3 ，则 |CD | = ______.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分）已知数列{a } 前 n 项和 S = 1 + λ a ，其中 λ ≠ 0 .nnn（Ⅰ）证明{a } 是等比数列，并求其通项公式；n31 （Ⅱ）若 S =518.（本小题满分 12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码 1～7 分别对应年份 2008—2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.数学试卷第 4 页（共 27 页）附注:777i i iii =1 i =1 i =1ni i 参考公式:相关系数 r = i =1n n iii =1 i =1回归方程 y = a + bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =n ii i =1 ，a = y - bt ． ni i =119.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AD ∥ B C ， AB = AD = AC = 3 ， P A = BC = 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM = 2MD ， N 为 PC 的中点．（Ⅰ）证明： MN ∥ 平面 PAB ；（Ⅱ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）已知抛物线 C : y 2 = 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l , l 分别交 C 于 A , B 两点，1 2交 C 的准线于 P ，Q 两点.（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR ∥FQ ；（Ⅱ）若 △PQF 的面积是 △ A BF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.21.（本小题满分 12 分）设函数 f ( x ) = α cos2 x + (α - 1)(cos x + 1) ，其中 α > 0 ，记 |f ( x )| 的最大值为 A . （Ⅰ）求 f '( x ) ；（Ⅱ）求 A ；数学试卷第 5 页（共 27 页）（Ⅲ）证明： f '( x ) ≤2 A .请考生在第 2223、24 题中任选一题作答，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图， O 中 AB 的中点为 P ，弦 PC ，PD 分别交 AB 于 E ， F 两点．（Ⅰ）若 ∠PFB = 2∠PCD ，求 ∠PCD 的大小;（Ⅱ）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G ，证明： OG ⊥ CD .23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程（ α 为参数），以1坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐2标方程为 ρ s i n θ + π2 .2（Ⅰ）写出 C 的普通方程和 C 的直角坐标方程;1 2（Ⅱ）设点 P 在 C 上，点 Q 在 C 上，求 | PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标.1 224.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲已知函数 f ( x ) =| 2 x - a | +a .（Ⅰ）当 a = 2 时，求不等式 f ( x )≤6 的解集;（Ⅱ）设函数 g ( x ) =| 2 x - 1| .当 x ∈ R 时， f ( x ) + g ( x )≥3 ，求 a 的取值范围．数学试卷第 6 页（共 27 页）22016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 3）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】易得 S = (-∞,2][3, + ∞ )，∴ ST = (0,2][3,+ ∞ )．【考点】解一元二次不等式，交集2.【答案】C【解析】易知 z = 1 - 2i ，故 zz - 1 = 4 ，∴【考点】共轭复数，复数运算3.【答案】A4i z z - 1= i ．3【解析一】 cos ∠ABC = BA BC = 2 = 3 ，∴∠ ABC = 30 ．BA BC 1⨯1 2【解析二】可以 B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知∠ABx = 60 ， ∠CBx = 30 ，∴∠ A BC = 30 ．【考点】向量夹角的坐标运算4.【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于 20 C 的月份有七月、八月，六月为 20 C 左右，故最多 3 个．【考点】统计图的识别5.【答案】A【解析】 cos 2 α + 2sin 2α = cos2 α + 4sin α cos α 1 + 4 tan α 64 = = ．cos 2 α + sin 2 α 1 + tan 2 α 25【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式6.【答案】A【解析】 a = 2 4 = 4 2 ， b = 32 ， c = 251= 53 ，故 c > a > b ．【考点】指数运算，幂函数性质7.【答案】B2 2 ⨯ 5 =- 如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为 2，又 AA =3 < 2 ⨯ 2 ，所以内接球的半径为，即V 的2MF MF AF a - c 1 a a - c a - c= = = = OE 2ON AO a 2 a + c a a + c b 6 4646sn0 61 102 163 204【考点】程序框图8.【答案】C【解析】如图所示，可设 BD = AD = 1 ，则 AB =2 ， DC = 2 ， ∴ AC = 5 ，由余弦定理知，cos A = 2 + 5 - 9 10 10．【考点】解三角形9.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为 2 ⨯ 3 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3 ⨯ 6 + 2 ⨯ 3 ⨯ 9 + 36 = 54 + 18 5 ．【考点】三视图，多面体的表面积10.【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，314 最大值为 πR 3 = 39π 2．【考点】内接球半径的求法11.【答案】A【解析】易得 ON OB a c 1 = = ，，∴ = ，∴e = = ． MF BF a + c a 3【考点】椭圆的性质，相似12.【答案】C【解析】⎪ ⎪ ⎪ ⎧0 → 111 ⎪ ⎪0 ⎨1⎪ ⎧0 → 11 ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩1 → 01 ⎪ ⎪ ⎪0 ⎨1⎧0 → 11 ⎪ ⎪ ⎪1 → 0 ⎧0 → 11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪0 ⎨1⎧0 → 11 1 → 0 ⎨ ⎪⎩ ⎩1 → 01 ⎪ ⎪1 → 0 ⎧0 → 11⎨【解析】三条直线的交点分别为 (-2,- 1)， 1, ⎪ ， (0,1) ，代入目标函数可得 -3 ，，1，故最大值为．⎪1⎪⎨ ⎪ ⎩ ⎩⎩ y = sin x - 3 cos x = 2sin x - ⎪ ， y = sin x + 3 cos x = 2sin x + ⎪ ，故可前者的图像可由后π ⎫ 3 ⎭ + 3 = + 3 ，∴ f '(-1) = 2 ，∴ f '(1) = -2 ，故切线方程为 2 x + y + 1 = 0 ． ∴∴⎧ ⎧ ⎧0 → 1111 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨1⎨⎪ ⎪⎪0 ⎨ ⎧ ⎧0 → 111 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎨1 → 01 0 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩1 → 01 ⎪ ⎧ ⎧0 → 111 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎩1 → 01【考点】数列，树状图第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】32⎛ 1 ⎫ 3 3 ⎝ 2 ⎭ 2 2【考点】线性规划14.【答案】2π3【解析】⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝ 3 ⎭者向右平移 2π 3个单位长度得到．【考点】三角恒等变换，图像平移15.【答案】 2 x + y + 1 = 0【解析一】 f '( x ) =-1 1-x x【解析二】当 x > 0 时，f ( x ) = f (- x ) = ln x - 3x ， f '( x ) = 1 x- 3 ， f '(1) = -2 ，故切线方程为 2 x + y + 1 = 0 ．【考点】奇偶性，导数，切线方程16.【答案】3【解析】如图所示，作 AE ⊥ BD 于 E ，作 OF ⊥ AB 于 F ， AB = 2 3 ， OA = 2 3 ， ∴ OF = 3 ，即，∴ 直线 l 的倾斜角为 30 ，∴ CD = AE = 2 3 ⨯ = 3 ．即 (λ - 1)a = λa ， λ ≠ 0 ，a ≠ 0 ，∴ λ - 1 ≠ 0 ，即 λ ≠ 1 ，即，(n ≥ 2) ，∴{a } 是等比数列，λ a （ 11 ⎛λ ⎫n -1 λ - 1 ⎭ ，当 n = 1 时， S = 1 + λ a = a ，即 a = ，∴ a = 1 - λ 1 - λ ⎝ 1 1 1 ⎪ 32 ⎢1 - ⎪ ⎥ ⎛ λ ⎫5 31 ，∴ λ = -1 ． = 1 - ⎪ ⎣ ⎦ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7∑ y∑ (t- t )( y- y) ∑ (t- t)2 ∑( y -y )2∑ t y- nt y∑ (t- t)2 ∑( y-y )228 ⨯ 0.55≈ 0.99 ，因为 y 与 t 的相关系数∑ (t- t )(y - y ) ∑ (t- t )2（3m - 3m 2 + 1 = 3 ，∴ m = -3 33 2【考点】直线和圆，弦长公式三、解答题17.【答案】Ⅰ） S = 1 + λ a ， ≠ 0 ，∴ a ≠ 0 ，当 n ≥ 2 时， = S - S = 1 + λa - 1 - λa= λa - λa，n n n n n n -1n n -1 nn -1aλn n n -1 n aλ - 1nn -1公比 q = λλ - 11 n ；（Ⅱ）若 S = 31 5 ，则 S = 5 1 ⎡ ⎛ λ ⎫5 ⎤1 - λ ⎢ ⎝ λ - 1 ⎭ ⎥ 1 - λλ - 1= ⎝ λ - 1 ⎭ 32【考点】等比数列的证明，由 S 求通项，等比数列的性质n18.【答案】（Ⅰ）由题意得 t =r =7 i =1 7 7i =1i ii ii =1=7 7 i =1 ni =1 i ii ii =1= 40.17 - 7 ⨯ 4 ⨯1.33近似为 0．99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合 y 与 t 的关系；（Ⅱ） b= ni =1i ini=2.8928≈ 0.103 ， a = y - bt = 1.33 - 0.103 ⨯ 4 ≈ 0.92 ，所以 y 关于 t 的线性回归 i =1方程为 y = a + bt = 0.92 + 0.10t ，将 t = 9 代入回归方程可得， y = 1.82 ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨．【考点】相关性分析，线性回归19.【答案】 Ⅰ）由已知得 AM = 2AD = 2 ，取 BP 的中点 T ，连接 A T ，TN ，由 N 为 PC 中点知 T N ∥BC ，31TN = BC = 2 ，又 AD ∥ B C ，故 TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥ A T ，因2为 A T ⊂ 平面 PAB ， MN ⊄ 平面 PAB ，所以 MN ∥ 平面 PAB ；（Ⅱ）取 BC 中点 E ，连接 AE ，则易知 AE ⊥ AD ，又 PA ⊥ 面 ABCD ，故可以 A 为坐标原点，以 AE 为N ,1,2 ⎪ (0,2,0 )，∴ AN = ⎛20.【答案】 Ⅰ）由题设 F ,0 ⎪ ，设 l : y = a ，l : y = b ，则 ab ≠ 0 ，且 A , a ⎪ ，B , b ⎪ ，P ⎛ - , a ⎫⎪ ， ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ Q - , b ⎪ ， R - , ⎪ ，记过 A ， B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2 x - (a + b ) y + ab = 0 ，由于 F 在线1 + a2 a 2 - ab a a=，由题设可得2 2 2 2 b - a x - =，所以 x = 0 (舍去)， x = 1 ，设满足条件的 AB 的中点为 E ( x , y ) ，当 AB 与 x 轴 1可得 2= ( x ≠ 1) ，而 = y ，所以 y 2 = x - 1(x ≠ 1) ，当 AB 与 x 轴垂 21.【答案】（Ⅰ） f ( x ) = -2a sin 2 x - (a - 1)sin x ；Mx 轴，以 AD 为 y 轴，以 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0,0,0) 、 P (0,0,4) 、 C ( 5,2,0) 、⎛ 5 ⎫ ⎝ 2 ⎭5 ⎫ ⎛ 5 ⎫2 ,1,2⎪ ， PM = (0,2, -4) ， PN = N 2 ,1,-2 ⎪ ，故平面 PMN 的法向量 n = (0,2,1) ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴cos < AN ,n >=4= 8 525 ，5 ⨯52∴ 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 5 25．【考点】线面平行证明，线面角的计算⎛ 1 ⎫ ⎛ a 2 ⎫ ⎛ b 2 ⎫ 1（1 2⎛ 1 ⎫⎛ 1 a + b ⎫ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 2 ⎭段 AB 上，故1 + ab = 0 ，记 AR 的斜率为 k ，FQ 的斜率为 k ，则 k = 1 21所以 AR ∥FQ ；a -b a - b 1 -ab= = = = -b = k ，2（Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 D ( x ,0) ，则 S 1 ∆ABF = 1 1 1 a - bb - a FD = b - a x - ， S 11 1 a - b2 2 2 1 1不垂直时，由 kAB= kDEy a + ba +b x - 1 2直时， E 与 D 重合，所以，所求轨迹方程为 y 2 = x - 1 ．【考点】抛物线，轨迹方程2 (a 1) 1 g ⎪ =- - 1 = - ，令 -1 < < 1，解得 a < - （舍去） a > ．①当 0 < a ≤ 时，g (t ) 在 (-1,1)内无极值点，| g (-1)|= a ，| g (1)|= 2 - 3a ，| g (-1)|<| g (1)| ，所以 A = 2 - 3a ；②当 < a < 1 时，由 g (-1) - g (1) = 2(1- a ) > 0 ，知 g (-1) > g (1)> g ( ) ；8a 8a 又 g ⎪ - | g (-1)|= ⎪ => 0 ，所以 A = g 2 - 3a ,0 < a ≤ 5 综上， A =⎨ ⎪ a 2 + 6a + 1 1 8a 5 (1- a )(1+ 7a ) 8a （C 0 < a < 1 时，将 f ( x ) 变形为 f ( x ) = 2a cos 2 x + (a - 1)cos x - 1，令 gt () =at 2+ -t -，则 A 是 | g (t ) |在 [-1,1]上的最大值， g (- 1) = a ， g (1) = 3a - 2 ，且当 t =1 - a 4a时， g (t ) 取得极小值，极小值为⎛ 1 - a ⎫ (a - 1)2 a 2 + 6a + 1 1 - a 1 1 ⎝ 4a ⎭ 4a 3 5151 1 - a5 4a⎛ 1 - a ⎫ ⎛ 1 - a ⎫ a 2 + 6a + 1 ⎝ 4a ⎭ ⎝ 4a ⎭8a ⎧1 ⎪ ⎪, < a < 1⎪⎪ 3a - 2, a ≥ 1 ⎪ ⎩（Ⅲ）由（Ⅰ）得 | f '( x ) |=| -2a sin 2 x - (a - 1)sin x |≤ 2a + | a - 1| ，，当 0 < a ≤ 1 5 1 a 1 3时， | f '( x ) |≤ 1 + a ≤ 2 - 4a < 2(2 - 3a ) = 2 A ，当 < a < 1 时， A = + + ≥ 1 ，5 8 8a 4所以 | f '( x ) |≤ 1 + a < 2 A ，当 a ≥ 1 时， | f '( x ) |≤ 3a - 1 ≤ 6a - 4 = 2 A ，所以 | f '( x ) |≤ 2 A ．【考点】导函数讨论单调性，不等式证明22.【答案】 Ⅰ）连结 P B ， BC ，则 ∠BFD =∠ PBA +∠ BPD ，∠PCD = ∠PCB + ∠BCD ，因为 AP = BP ，所以 ∠P B A = ∠ P ，又 ∠B P D = ∠ B C ，所以 ∠B F D = ∠ P C ，又 ∠PFD + ∠BFD = 180 ，∠PFB = 2∠PCD ，所以 3∠PCD = 180 ，因此 ∠PCD = 60 ；（Ⅱ）因为 ∠PCD = ∠BFD ，所以 ∠PCD + ∠EFD = 180 ，由此知 C ， D ， F ， E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故 G 就是过 C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以 G 在 CD 的垂直平分线上，因此 O G ⊥ CD ．【考点】几何证明23.【答案】（Ⅰ） C 的普通方程为 + y 2 = 1 ， C 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ； 3 2 = 2 | sin(α + (k ∈ Z ) 时， d (α ) 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标为 , ⎪ ．x 2 12（Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos α,sin α ) ，因为 C 是直线，所以 | PQ | 的最小值，即为 P 到 C2 2的距离 d (α ) 的最小值， d (α ) = | 3 cos α + sin α - 4 | π 3 ) - 2| ，当且仅当α = 2k π + π 6 ⎛ 3 1 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭【考点】坐标系与参数方程24.【答案】（Ⅰ）当 a = 2 时， f ( x ) =| 2 x - 2 | +2 ，解不等式| 2 x - 2 | +2 ≤ 6 ，得 -1 ≤ x ≤ 3 ，因此， f ( x ) ≤ 6的解集为{x | -1 ≤ x ≤ 3} ；（Ⅱ）当 x ∈ R 时， f ( x ) + g ( x ) =| 2 x - a | +a + |1 - 2 x |≥| 2 x - a +1 - 2 x | +a =|1 - a | +a ，当 x =所以当 x ∈ R 时， f ( x ) + g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 - a | +a ≥ 3 ①．当 a ≤ 1 时，①等价于1 - a + a ≥ 3 ，无解；当 a > 1 时，①等价于 a - 1 + a ≥ 3 ，解得 a ≥ 2 ；所以 a 的取值范围是[2, +∞) ．【考点】不等式 1 2 时等号成立，。

2016全国卷3高考试题和答案_理科数学

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4。

考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1)设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I > ，则ST =(A ）［2,3］ (B)（-∞ ,2］ [3，+∞) (C) ［3，+∞）（D ）（0,2] [3,+∞) （2）若z=1+2i,则41izz =- （A)1 (B) —1 （C) i (D ）-i（3）已知向量1(2BA = ，31(),22BC = 则∠ABC= (A ）300(B ） 450(C ） 600(D)1200(4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（A ）各月的平均最低气温都在00C 以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5)若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 （B) 4825 （C) 1 （D)1625(6）已知432a =，344b =,1325c =，则(A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4,b =6,那么输出的n =（A)3 (B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ，则cos A（A)31010 （B ）1010 （C ）1010(D ）31010(9)如图,格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A ）18365+（B)54185+（C ）90 (D ）81（10) 在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球,若AB ⊥BC ，AB =6,BC =8，AA 1=3,则V 的最大值是（A)4π （B ）92π（C)6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12(C ）23（D ）34(12）定义“规范01数列”｛a n }如下：{a n ｝共有2m 项,其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数。

2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合，则（）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ）（B ）（C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ）（C ）（D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ）（B ）（C ）（D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（）6AB =8BC =13AA =V （A ）（B ）（C ）（D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（）E BM OE C （A ）（B ）（C ）（D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年高考理科数学全国Ⅲ卷试题及答案

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

2016全国三卷理科数学高考真题及答案(最新整理)

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S = ，则S T ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P I (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）∞U ∞(C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）∞U ∞（2）若z=1+2i ，则41izz =-(A)1(B) -1(C) i(D)-i（3）已知向量 , 则ABC=1(2BA =u u v 1),2BC =u u u v ∠(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若，则 3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=(A) (B) (C) 1(D)642548251625（6）已知，，，则432a =344b =1325c =（A ）（B ）（C ）（D ）b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（8）在中，，BC 边上的高等于,则 ABC △π4B =13BC cos A =（A （B（C ）（D ）-- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18+（B ） 54+（C ）90（D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是⊥（A ）4π （B ）（C ）6π92π（D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C22221(0)x y a b a b+=>>上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C的离心率为（A ）（B ）（C ）（D ）13122334（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，2k m ≤12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.{x ‒y +1≥0x ‒2y ≪0x +2y ‒2≪0（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长y =sin x ‒3cos x y =sin x +3cos x 度得到。