2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （ ） （A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r”表示的几何意义，是解答 的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（ ）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故 选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） （A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）3t =，s 的最小值为6π（C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）3t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题． 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

（9）【2016年北京，理9，5分】设a ∈R ，若复数()()1i i a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = ． 【答案】1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a ，∵其对应点在实轴上，∴10+=a ，1=-a ．【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．（10）【2016年北京，理10，5分】在()612x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答） 【答案】60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（11）【2016年北京，理11，5分】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则AB =______． 【答案】2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ，直线的直角坐标方程为310--=x y ，∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x ，圆的直角坐标方程为()2211-+=x y ，圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB ．【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．（12）【2016年北京，理12，5分】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，350a a +=，则6S = ． 【答案】6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a ，∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ，∴()61661662⨯-=+=S a d ． 【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．（13）【2016年北京，理13】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =_______．【答案】2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图，∵OABC 为正方形，2=OA ∴22==c OB ，π4∠=AOB ，∵直线OA 是渐近线，方程为by x a=，∴tan 1bAOB a=∠=，又∵2228+==a b c ∴2=a ． 【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．（14）【2016年北京，理14，5分】设函数()33,2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2；1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=； 当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）【2016年北京，理15，13分】在ABC ∆中，2222a c b ac +=+．（1）求B ∠的大小；（2）求2cos cos A C +的最大值．解：（1）∵2222a c b ac +=+，∴2222a c b ac +-=，∴22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，∴π4B ∠=． （2）∵πA B C ++=，∴3π4A C +=，∴2cos cos A C +222cos (cos )sin 22A A A =+-+22cos sin 22A A =+πsin()4A =+，∵3π4A C +=，∴3(0,π)4A ∈，∴ππ(,π)44A +∈，∴πsin()4A +最大值为1，所以2cos cos A C +最大值为1．【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．（16）【2016年北京，理16，13分】A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A ，B ，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）解：（1）81004020⨯=，X 班学生40人． （2）在A 班中取到每个人的概率相同均为15，设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i =，C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =，A 班中取到i j A C >的概率为i P ， 所求事件为D ，则1234511111()55555P D P P P P P =++++12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯38=． （3）10μμ<，三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=，但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小，故拉低了平均值．【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档． （17）【2016年北京，理17，14分】如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==．（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值，若不存在， 说明理由．解：（1）∵面PAD I 面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，∵PD ⊂面PAD 。