圆周运动学案

圆周运动学案
一、描述圆周运动的物理量及其相互关系
1、定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。

2、描述圆周运动的物理量：
（1）线速度：
①线速度的大小等于质点作匀速圆周运动时通过的弧长跟通过这段弧长所用时间的比值。

t
s v = ②线速度的方向就是在圆周该点的切线方向上。

③线速度的定义与第二章速度的定义，从字面上看似乎是不同的，实质上并没有差别，因为圆周运动中线速度的概念是瞬时速度的概念。

在匀速圆周运动中，速度的大小不变，平均速率与瞬时速率相等，那么，弧长与对应时间的比值，在数值上就反映了瞬时速度的大小。

（2）角速度：
①角速度是描述圆周运动的特有概念。

角速度的定义为：连接运动物体和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比，叫做匀速圆周运动的角速度。

t ϕ
ω=
②在国际单位中，角速度的单位是弧度每秒，符号是s rad /。

要特别指出提，只有角速度以s rad /为单位时，才有ωr v =的关系。

（3）周期
①周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

②转速：所谓转速，是指做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数。

当转速的单位为s r /时，它和角速度的关系为n πω2=；当转速的单位为min /r 时，它和角速度的关系为60
2n πω=。

（4）向心力
①向心力的方向总是与物体运动的方向垂直，总是沿着半径指赂圆心。

向心力的作用只是改变速度的方向。

②向心力的大小为 2
ωmr F =或r v m F 2
= （5）向心加速度
①定义：做圆周运动的物体，在向心力的作用下产生的指向圆心的加速度，叫做向心加速度。

②向心加速度的大小为
2
ωr a =或r v a 2
=
圆周运动中各量联系
1如图，A、B、C三轮半径之比为3∶2∶1，A与B共轴，B与C用不打滑
的皮带轮传动，则A、B、C三轮的轮缘上各点的线速度大小之比为______，
角速度大小之比为________，转动的向心加速度大小之比为__________．
2.图7所示是一个玩具陀螺。

a、b和c是陀螺上的三个点。

当陀螺绕垂直
于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（）
A．a、b和c三点的线速度大小相等 B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的加速度比c的大 D．c的线速度比a、b的大
注：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

二、匀速圆周运动与非匀速圆周运动
1、匀速圆周运动
（1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
（2）．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
（3）．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
（4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2、非匀速圆周运动
（1）非匀速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动
非匀速圆周运动的合力一般不指向圆心，非匀速圆周运动所受的合外力产生两个效果．（2）半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向．
（3）切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．
a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。

圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。

b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。

c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。

做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。

非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切
向加速度，其效果是改变速度的大小。

三、离心运动与向心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在所受外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

这种运动叫做离心运动。

2、做圆周运动的物体，离心现象条件的分析
（1）当向合外力F F = 时，物体被限制着沿圆周运动。

（2）当0=合外力F 时，物体便沿所在位置的切线方向飞出去。

（3）当向合外力F F <时，物体沿切线和圆周之间的一条曲线运动。

3、当向合外力F F >时，物体离圆心将越来越近，即做向心运动。

一、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）
1．向心力
（1）大小：R f m R T
m R m R v m ma F 2222
2244ππω=====向 （2）方向：总指向圆心，时刻变化
点评：“向心力”是一种效果力。

任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。

“向心力”不一定是物体所受合外力。

做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。

做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。

2．处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。

分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：F n =ma n 在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用R T m R m R mv 2
222⎪⎭⎫ ⎝⎛πω或或等各种形式）。

如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增
大。

如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况。

3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤：
（1）确定研究对象，进行受力分析；
（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；
（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。

【例1】有一辆质量为1.2t 的小汽车驶上半径为50m 的圆弧形拱桥。

问：
（1）汽车到达桥顶的速度为10m/s 时对桥的压力是多大？
（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
（3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度取10 m/s2，地球半径R 取6.4×103
km) 解析：（1）根据牛顿第二定律:r
v m F mg N 21=- 解得：N 106.9321⨯=-=r
v m mg F N ，根据牛顿第三定律:N 106.93⨯=='N N F F (2) 根据牛顿第二定律:r v m mg 22= 解得：).(gr v m/s 422或m/s 5102==
(3) 根据牛顿第二定律:R
v m mg 23= 解得：m/s 10833⨯==gR v
[例1] 关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A. 线速度不变
B. 角速度不变
C. 加速度为零
D. 周期不变
解析：B 、D 。

[例2] 在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A 、B 两点，如图所示，过A 、B 的
半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A 、B 两点的线速度之比
为 ；向心加速度之比为 。

解析：A 、B 两点做圆周运动的半径分别为 R R r A 2130sin =︒= R R r B 2
360sin =︒= 它们的角速度相同，所以线速度之比
333
1====B A B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3322==B B A A B A r r a a ωω ωO 60°30°A B。