5-4平面向量应用举例
5 4平面向量应用举例
D.???－79，－73???
大 版
[答案] D
第5章 第四节
高考数学总复习
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则 a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝
(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有
－3(1＋m)＝2(2＋n)，即 3m＋2n＝－7①
北
师
又 c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0②
大 版
由①②解得m＝－79，n＝－73.
第5章 第四节
高考数学总复习
3．若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两个力F1 与 F2，则|F1＋F2|为( )
A．2.5 B．4 2
北
师
C．2 2 D．5
大
版
[答案] D
[解析] 因为 F1＋F2＝O→F1＋O→F2＝(2,2)＋(－2,3)
＝(0,5)，
所以|F1＋F2|＝5，故选D.
5．过点 A(－2,1)且与向量 a＝(3,1)平行的直线方程为
__________．
北
[答案] x－3y＋5＝0
师
大
版
[解析] 设 P(x，y)是所求直线上任一点，
A→P＝(x＋2，y－1)
∵A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
第5章 第四节
高考数学总复习
高考数学总复习
北 师 大 版
第5章 平 面 向 量
高考数学总复习
第四节
平面向量应用举例
北
师
大
版
第5章 第四节
高考数学总复习
北 师 大 版
第5章 第四节
高考数学总复习
考纲解读
1．会用向量的方法解决简单的平面几何问题．
高中数学25 平面向量的应用举例
2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。
下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。
与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。
同理-2a·b。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。
解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。
这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。
2.5平面向量应用举例 教学课件. PPT
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何 模型。如图，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 D
C
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题；
所以|v|＝ 302＋10 32＝20 3(km/h).
所因以为αt＝an3α0＝°. 10303＝
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角，α
为锐角)，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.
跟踪训练1 某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h，水的流速为 4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？ 实际前进的速度大小为多少？
填要点·记疑点
1.力与向量 力与前面学过的自由向量有区别. (1)相同点：力和向量都既要考虑 大小又要考虑 方向 . (2)不同点：向量与 始点 无关，力和作用点有关，大小和 方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相 等的.
2.向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是向量. (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 运
探究点一 向量的线性运算在物理中的应用
思考1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点， 也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作 用于同一作用点的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点 平移到同一作用点上.
《红对勾》高三数学第一轮复习北师大课件 5-4
5．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点 P(x，y)满足O→P·O→A＝4，则点P的轨迹方程是________．
解析：由O→P·O→A＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.
答案：x＋2y－4＝0
突破考点·速通关02
互动探究·各个击破
向量在平面几何中的应用
[例1]
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为 背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而 利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标 的运算是考查的主体.
1．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(
→ DB
＋
→ DC
－2D→A)·(A→B－A→C)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
a·b |a||b|
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22
2．向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其 应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向 量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算 公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
3．向量在解析几何中的应用
内，且|
→ OA
|＝|
→ OB
|＝|
→ OC
|，
→ NA
＋
→ NB
＋
→ NC
＝0，
→ PA
→ ·PB
＝
P→B·P→C＝P→C·P→A，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心源自解析：因为|→ OA
|＝|
→ OB
|＝|
→ OC
平面向量应用举例课件PPT
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
2015高考数学(理)一轮题组训练：5-4平面向量应用举例
第4讲平面向量应用举例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于________．解析由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin 2x＝2sin2x，即2sin x cos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即x＝π4，故tan x＝1.答案 12．(2014·南昌模拟)若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b 的值是________．解析a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝ 3.答案 33.(2013·扬州模拟)函数y＝tan π4x－π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB→)·AB→＝________.解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 64．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0， ∴cos θ＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 答案 2π35．(2014·安庆二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，则cos B ＝________. 解析 由4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，得4aBC →＋3cAB →＝－2bCA →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋ 2bBC →，所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 －11246．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析 由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案 27．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识知，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3. 答案 38．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223， 又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC →＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1. 答案 －1 二、解答题9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )．由MA →＝2AN →，得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎨⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.10．(2014·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是________．解析 由题意，得OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使直线OA 与圆相切时，向量OA→与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π2．(2013·北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________．解析 如图所示，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AB →2，即3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →， ∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →||AB →|cos 60°＝3，∴|AD →|＝2. 又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1， ∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin 60°＋12×1×3＝32 3. 答案 32 33.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于________．解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →， 因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|. 所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2， 同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92， 故AO →·BC →＝92－2＝52. 答案52二、解答题4．(2014·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
5-4平面向量应用举例
高考总复习· 数学理科（RJ）
第五章 平面向量
→ －OA → ＝λ(AB → ＋AC → )，即AP → ＝λ 【解析】 由原等式，得OP → ＋AC → )，根据平行四边形法则，知AB → ＋AC → 是 △ABC 的中线 (AB → 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 过△ABC 的重心．
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三
角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的 形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以 得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关 函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
高考总复习· 数学理科（RJ）
第五章 平面向量
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主
【答案】 (1)√
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
高考总复习· 数学理科（RJ）
第五章 平面向量
1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5， 2)，C(－1，－4)，则这个三角形是( A．锐角三角形 )
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
高考总复习· 数学理科（RJ）
第五章 平面向量
高考总复习· 数学理科（RJ）
第五章 平面向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 运算 解决向量问题――→ 还原 解 平面几何问题设向量 ――→ 向量问题――→ 决几何问题
高考总复习· 数学理科（RJ）
第五章 平面向量
2．平面向量在物理中的应用
矢量 ，它们的 (1) 由于物理学中的力、速度、位移都是 ______
要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二
高中数学 平面向量应用举例
分割 A(0, 0), B(1, 0), 则下面说法正确的是 ( )
(A) C 可能是线段 AB 的中点
(B) D 可能是线段 AB 的中点
(C) C, D 可能同时在线段 AB 上
(D) C, D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
分析: 点 C, D 调和分割 A, B, 则
AC = l AB,
证明: ∵∠A 是直角,
A
AB AC = 0.
BD, BC 同向,
2 BD
C
BDBC = |BD||BC | = AB .
于是 ADBC = (AB BD)BC
= ABBC BDBC
2
= ABBC AB
= AB(BC AB)
= AB AC =0. ∴AD⊥BC.
例1. 平行四边形是表示向量加法与 减法的几何模型. 如图, AC = AB AD, A
在向量中判定平行, 可用共线的条件 b=la, 可
用坐标 x1y2-x2y1=0. 判定垂直, 用向量的数量积为零. 平面几何用的几何方法, 几乎完全在图形中找关
系. 向量方法是将几何问题转化为代数问题, 用代数 计算的方法解决几何问题.
例(补充). 如图, 在直角三角形ABC中, 角A是直 角, D是BC边上一点, AB2=BD·BC. 求证: AD⊥BC.
(B) D 可能是线段 AB 的中点
(C) C, D 可能同时在线段 AB 上
(D) C, D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
分析: 点 C, D 调和分割 A, B, 则
AC = l AB,
AD = AB,
1
l
1
=
2.
即 (c, 0)=l(1, 0), (d, 0)=(1, 0).
高考数学一轮复习全套课时作业5-4平面向量的综合应用
专题层级快练 5.4平面向量的综合应用一、单项选择题1．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(2021·湖北黄石一中月考)已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C)，其中|AB|＝2，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1， 则AC →·AD →＝( ) A ．2 3 B.32 C.33D. 3 4．(2020·杭州学军中学模拟)在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c ·a ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．(2021·江西省八所重点中学联考)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，a ·b ＝12，则α＝( )A.π6B.π3C.π4D.π26．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形7．(2020·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形8．(2021·甘肃白银一中模拟)已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 为BC 的中点，则HM →·BC →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1，1]10．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1二、多项选择题11．(2021·潍坊二模)设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．a ·b ＝0 12.如图，已知四边形OAED ，OCFB 均为正方形，2AE →＋CF →＝0，AB →·AD →＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．∠AOB ＝90° B ．AD ＝1 C.BO →·CD →＝2 D ．AO ＝1三、填空题与解答题13．(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________．14．(2021·湖南五市十校联考)已知向量m ＝(cosx ，sinx)，n ＝(cosx ，3cosx)，x ∈R ，设函数f(x)＝m ·n ＋12. (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f(A)＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a的值．15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________．16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋b )·(2b－c )的最小值是________，最大值是________．专题层级快练 5.4平面向量的综合应用1．答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为 2.故选B. 2．答案 D解析 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC →在AB →上的投影为|AC →|cos 〈AC →，AB →〉＝|AB →|＝2，∴AC →·AB →＝|AC →||AB →|·cos 〈AC →，AB →〉＝4.故选D. 3.答案 D解析 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →||AD →|·cos ∠BDA ＝3|AD →|2＝ 3. 4．答案 D解析 因为a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形． 5．答案 B解析 由题意，得a ·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos2α＝－12，又α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3.故选B.6．答案 D思路 本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC.又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝1×1×cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D. 7．答案 C解析 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C. 8．答案 D 解析如图，HM →·BC →＝(HA →＋AM →)·BC →＝HA →·BC →＋AM →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝8. 9．答案 A 10．答案 B 解析如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB→＋PC →)取得最小值，为－32，选B.11．答案 AD解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选AD. 12.答案 ACD解析 因为2AE →＋CF →＝0，所以CF ＝2AE ，CF ∥AE ，因为四边形OAED ，OCFB 均为正方形，所以AO ⊥BO ，所以∠AOB ＝90°，故A 正确；因为AB →·AD →＝(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝AO →2＋OB →·OD →＝－AO →2＝－1，所以AO ＝1，故D 正确；从而可得AD ＝2，B 错误；因为BO →·CD →＝BO →·(CO →＋OD →)＝2OD →2＝2，故C 正确．故选ACD. 13．答案5 －1解析方法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P 为BC 的中点，在三角形PCD 中，|PD →|＝5，cos ∠DPB ＝－cos ∠DPC ＝－15，∴PB →·PD →＝|PB →|·|PD →|cos ∠DPB ＝1×5×⎝⎛⎭⎫－15＝－1.方法二：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴AP →＝12(AB →＋AC →)＝(2，1)，P(2，1)，∴PD →＝(－2，1)，PB →＝(0，－1)，∴|PD →|＝5，PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.14．答案 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z (2)3－1解析 (1)由题意知，f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1.∵0<A<π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(b ＋c)2－2bc(1＋cosA)， 解得a ＝3－1. 15.答案 26解析 连接OC ，OD ，MC ，ND ，由题可知∠AOC ＝∠DOC ＝∠DOB ＝60°，|MO →|＝|NO →|＝2，|OD →|＝|OC→|＝6.则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．答案 3－3 3＋ 3 解析由|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得〈a ，b 〉＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝⎝⎛⎭⎫12，32.设c ＝OC →＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a ·b －a ·c ＋2b 2－b ·c ＝3－⎝⎛⎭⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ＝3－3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，所以(a ＋b )·(2b －c )的最小值和最大值分别为3－3，3＋ 3.。
第四章 平面向量 4.4 平面向量应用举例
[方法与技巧]1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． [失误与防范]1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω， φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点为M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．题型一 向量在平面几何中的应用例1 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC的________________________________________________________________________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12 答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.题型三 向量的综合应用例3 (1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1 B.13C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3 解析 (1)因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18，故选D.(2)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|·cos B ＋AC →|AC →|·cos C ，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)D (2)3解析 (1)∵BC →·⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝－|BC →|＋|BC →|＝0，∴BC →与λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C 垂直． ∵OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， ∴点P 在BC 的高线上，即点P 的轨迹过△ABC 的垂心． (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.。
人教A版数学必修四2.5 平面向量应用举例.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为 A.5√3NB.5NC.10ND.5√2N2．一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为 A.v 1-v2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.v 1v 23．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC 内部一点M 任作一条直线EF,AD ⊥EF 于D,BE⊥EF 于E,CF ⊥EF 于F,都有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 是△ABC 的( )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N ，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D 是△ABC 内的一点,且AB 2-AC 2=DB 2-DC 2,求证:AD ⊥BC.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷6．在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的值. 7．某人骑车以速度a 向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,l 为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点D,E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)判断AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是否为一个常数,并说明理由. 能力提升1．根据指令(r ,θ)(r ≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(取cos81.87∘=√210). 2．如图，已知扇形OAB 的周长2+ 23π，面积为π3，并且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &(1)求∠AOB 的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上变动.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其中 x 、y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .问BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ取何值时，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大？并求出这个最大值.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】 1．A 2．C 3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF 经过C 点时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,EF 即为AB 边上的中线,同理,当EF 经过A点时,EF 是BC 边上的中线,因此,点M 是△ABC 的三条中线的交点,故选B. 4．10N5．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,则a=e+c,b=e+d,所以a 2-b 2=(e+c)2-(e+d)2=c 2+2e ·c-2e ·d-d 2. 由已知可得a 2-b 2=c 2-d 2,所以c 2+2e ·c-2e ·d-d 2=c 2-d 2,所以e ·(c-d)=0.因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d-c,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e ·(d-c)=0,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AD ⊥BC. 6．如图,在四边形ABCD 中,∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴四边形ABCD 为菱形. ∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解. 7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a 向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a 时感到的风速为v-2a.如图所示,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =v,& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ =v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO,∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|PB⃗⃗⃗⃗⃗ | =√2|a|,即|v|=√2|a|. ∴实际风速的大小是√2|a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A(75,245),此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,-245),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,0), 所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(-245)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y ≠0),此时AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,y-245), 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(y-245)×0=14为常数,故AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a ·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =u u u r ，因为OA u u u r 与x 轴正方向的夹角为45o ，所以42,45r θ==o ，故指令为()42,45o(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球，由题意2PB AP =u u u r u u u r，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=，即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA u u u r 与AP u u u r的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-u u u r u u u r u u u r.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅o u u u r u u u ru u u r u u u r，所以18081.8798.13θ=-=o o o 又5AP =u u u r ，OA u u u r 旋转到AP u u u r 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-o.2．(1)设扇形半径为r ，圆心角∠AOB =α由{2r +αr =2+23π12αr 2=π3得{r =1α=2π3或{r =π3α=6π 又当r =π3,α=6π时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1不成立； 当r =1,α=2π3时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1成立， 所以∠AOB =2π3(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B (−12,√32)，C (cosθ,sinθ).由OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得cosθ=x −y2，sinθ=√32y . 即x =cosθ+√33sinθ,y =2√33sinθ. 则xy =(cosθ+√33sinθ)(2√33sinθ)=23sin(2θ−π6)+13又θ∈[0,23π]，则2θ−π6∈[−π6,7π6]，故(xy)max + (xy)min =1+0=0.(3)由题可知D(−cosθ,−sinθ)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+12,sinθ−√32),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ−1，−sinθ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3sin (θ−π3)−32当θ−π3=π2+2kπ(k ∈Z )且θ∈[0,π],即θ=5π6时(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =√3−32【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
新人教版必修四2.5平面向量应用举例
【思考】日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂 一个物体(如图).如果绳子的最大拉力为F,物体受到的重
No 力为G。你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大
小与两绳之间的夹角θ的关系？
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2.为何值时F， 1 最小，最小值是多少
No 3 . 为何值时 F1 ， G？
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小结： 一、用向量方法解决平面几何问题的
No “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
Image （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、
夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
二、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题, 步骤如下
邻边长度之间有何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。
D
求证： A 2 B 2 C 2 D 2 A A 2 C B 2D
No 分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 ABa,A其D 它线b段对应向
No 2.5平面向量应用举例 Image 2.5.1平面几何的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例
平面几何中的向量方法
No 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几
何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几 何中的一些问题。
A
量用它们表示。
C B
解：设 ABa,A，D则b
B C b ,D a A ,A C a b ;D a B b
人教A版数学必修四2.5 平面向量应用举例.docx
2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为A. B.5N C.10N D.2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.3．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE ⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有++=0,则点M是△ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.6．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.7．某人骑车以速度a向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC中,·=0, ||=8,||=6,l为线段BC 的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值;(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.能力提升1．根据指令(r,θ)(r≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令取.2．如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且.(1)求的大小；(2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中、，求的最大值与最小值的和；(3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且.问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】1．A2．C3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0即为+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.4．10N5．设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.6．如图,在四边形ABCD中,∵+=+=0,∴=,=.∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形.∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=.|+|=||=||=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解.7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.桑水如图所示,设 =-a, =-2a, =v,∵ + = ,∴ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵ + = ,∴=v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO, ∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,| | =|| = |a|,即|v|= |a|. ∴实际风速的大小是 |a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A( ,),此时 =(- ,-), =(-10,0), 所以 ·=-×(-10)+(-)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时=(-,y-), 所以 · =-×(-10)+(y-)×0=14为常数,故 ·的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =，因为OA 与x 轴正方向的夹角为45，所以42,45r θ==，故指令为()42,45(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球， 由题意2PB AP =，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=， 即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA 与AP 的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-.桑水2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅，所以18081.8798.13θ=-=又5AP =，OA 旋转到AP 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-. 2．(1)设扇形半径为 ，圆心角由得或又当,时，不成立； 当 ,时，成立， 所以(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B，C .由得，. 即. 则又，则，故.(3)由题可知，当且即时【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
第五章5.4 平面向量的应用
→→ 【例 1】 平面上的两个向量OA，OB满
足|O→A|＝a，|O→B|＝b，且O→A⊥O→B， a2＋b2＝4.向量O→P＝xO→B＋yO→B (x，
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： M→P＝x－12O→A＋y－12O→B； (2)求|O→P|的最大值，并求此时四边
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝60°. (2)y＝2sin2B＋cosC－2 3B
＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
思维启迪
解析
探究提高
故 P，O，A，B 四点都在以 M
为圆心、1 为半径的圆上，所以
当且仅当 OP 为圆 M 的直径时， |O→P|max＝2.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： 这时四边形 OAPB 为矩形，则
M→P＝x－12O→A＋y－12O→B；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
解析
力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态，已知 F1， F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小 分别为 2 和 4，则 F3 的大小为 ________．
答案
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
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一、选择题1．已知△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，则一定有( ) A.AB →⊥AC → B.AB →＝AC →C ．(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →) D.AB →＋AC →＝AB →－AC → [答案] C[解析] ∵|AB →|＝|AC →|∴(AB →＋AC →)(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →)．2．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．53NB ．5NC ．10ND ．52N[答案] B[解析] 如图所示，由向量加法的平行四边形法则知F 合＝F 1＋F 2， 四边形OABC 是矩形，∵∠AOB ＝60°， ∴|F 1|＝|F 合|cos60°＝10×12＝5(N)．3．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A 、B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6 C.π3，π6 D.π3，π3[答案] C[解析] 解法1：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 又∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.在△ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B ＋cos B sin A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6.解法2：接解法1中，A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C ，∴2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 4．已知点B (2，0)，点O 为坐标原点且点A 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上，则OA →与OB →夹角θ的最大值与最小值分别是( )A.π4，0 B.5π12，π4 C.5π12，π12 D.π2，5π12[答案] C[解析] 如图，当直线OA 与圆C 相切时，OA →与OB →夹角最小或最大；由于C (2，2)∴∠BOC ＝π4又由于|OC |＝2，r ＝1.∴∠AOC ＝π6；因此OA →与OB →夹角的最大、小值分别为5π12，π12，故选C.5．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2[答案] D[解析] k 1＝－m2，向量(1－m,1)所在直线的斜率k ＝11－m ，由题意得－m2＝11－m. 解得m ＝2或－1.6．(2011·湖北理，8)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3] [答案] D [解析]本题考查向量垂直的充要条件及线性规划问题的求解． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即(x ＋z,3)·(2，y －z )＝0，∴z ＝2x ＋3y不等式|x |＋|y |≤1表示如图所示平面区域．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0过点A (0,1)时z 取最大值3.平移l 0过点C (0，－1)时，z 取最小值－3，∴z ∈[－3,3]．二、填空题7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|·|PF 2→|的值等于________．[答案] 2 [解析] |PF 1→|·|PF 2→|＝12[|PF 1→|2＋|PF 2→|2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12[|F 1F 2|2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12[(2c )2－(2a )2]＝2b 2＝2. 8．(2012·金华十校联考)已知△ABO 三顶点的坐标为A (1，0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以 OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.三、解答题9．已知a ，b 是非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直．试求a 与b 的夹角．[分析] 要求a ，b 的夹角θ，就需要利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a |，|b |等来表示a ·b ，这样就可以将它代入公式，即可求出θ的值．[解析] 解法一：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0(a －4b )·(7a －2b )＝0 所以⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ② 由①－②得46a ·b －23b 2＝0，所以b 2＝2a ·b . 将它代入②得a 2＝2a ·b .所以|a |＝|b |. 所以由b 2＝2a ·b 可知|b |2＝2|a ||b |cos θ， 所以cos θ＝12，所以θ＝60°.即所求的向量a 与b 的夹角为60°. 解法二：由条件知：⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0(a －4b )·(7a －2b )＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ② ①×15＋②×8得|a |＝|b |，由①得7|a |2＋16|a ||b |cos θ－15|b |2＝0， ∴7＋16cos θ－15＝0，∴cos θ＝12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 即向量a 与b 的夹角为60°.[点评] 向量的数量积满足交换律a ·b ＝b ·a ，但不满足a ·b ＝|a ||b |，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果a ·b ＝b ·c ，但不能得出a ＝c .一、选择题1．(2012·佛山期末)平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得 [(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， ∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形，应选B.2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27 [答案] D[解析] 考查平面向量的运算法则、概念． 由条件知，F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)， ∵F 1·F 2＝|F 1|·|F 2|·cos 〈F 1，F 2〉＝2×4×cos60°＝4，∴|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝22＋42＋2×4＝28， ∴|F 3|＝27. 二、填空题3．已知A (3，0)，B (0,1)，坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C ，则OA →·OC →＝________.[答案] 34[解析] 由射影定理求出|OC →|＝32，OC →与OA →成角60°，∴OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos60°＝3×32×12＝34.4．(文)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|B A →|B A →＋1|B C →|B C →＝3|B D →|B D →，则四边形ABCD 的面积为________．[答案]3[解析] 本小题考查向量加法的几何意义，数量积的应用． 由A B →＝D C →＝(1,1)知四边形ABCD 为平行四边形， |AB |→＝|DC |→＝2，又1|B A →|B A →＋1|B C →|B C →＝3|B D →|·B D →.∴∠ABD ＝∠CBD ，即四边形ABCD 为菱形， 设∠ABD ＝∠CBD ＝α，∵1|B A →|·B A →2＋1|B C →|·B A →·B C →＝3|B D →|·B A →·B D →，∴cos2α＋1＝3cos α.∴cos α＝32，∴α＝30°.∴S ▱ABCD ＝|A B →|·|B C →|sin60°＝2sin60°＝ 3.(理)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是__________．[答案] [－6,1][解析] ∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)， ∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α， ∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α， 即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α， 又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2， ∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2， 解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4，又∵λ＝2m －2，∴λm ＝2－2m ， ∵－6≤2－2m ≤1，∴－6≤λm ≤1. 三、解答题5．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值． [解析] (1)OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， 故知3(1－m )≠2－m . ∴实数m ≠12时，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.6．求证：若平面四边形两组对边的平方和相等，则它的两条对角线互相垂直．[解析]如图，四边形ABCD 中，已知AB 2＋CD 2＝AD 2＋CB 2，求证：AC ⊥BD . 证明：∵AB 2＋CD 2＝AD 2＋CB 2， ∴AB →2＋CD →2＝AD →2＋CB →2. ∴AB →2－AD →2＝CB →2－CD →2.∴(AB →＋AD →)(AB →－AD →)＝(CB →＋CD →)(CB →－CD →)． ∴(AB →＋AD →)·DB →＝(CB →＋CD →)·DB →.∴(AB →＋AD →－CB →－CD →)·DB →＝0.∴(AB →＋BC →＋AD →＋DC →)·DB →＝0.∴2AC →·DB →＝0.∴AC →⊥DB →.∴AC ⊥DB .7．△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .[证明] 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA →＝(－1,2)由题设BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23. ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， ∴DF →＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55， cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55， 又∠ADB 、∠FDC ∈(0，π)， ∴∠ADB ＝∠FDC .。