3.2 导数与函数的单调性、极值、最值

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考点1
考点2
考点3
解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-������������. (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-2������(x>0),
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考点1
考点2
考点3
(2)解 由题意可知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f'(x)=1������-a.
①当 a≤0 时,可知 f'(x)>0 在区间(0,+∞)内恒成立,
故函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
②当 a>0 时,由 f'(x)>0,解得 x∈
0,
1 ������
②当a<0时,由f'(x)=0,解得x=0或x=ln(-2a).
(ⅰ)当ln(-2a)=0,即a=-
1 2
时,可知对∀x∈R,f'(x)=x(ex-1)≥0,且只有
x=0时,f'(x)=0,故f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.
(ⅱ)当ln(-2a)<0,即- 12<a<0时,由f'(x)>0,解得x∈(-∞,ln(-2a))∪
(3)导数为零的点不一定是极值点. ( √ ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( √ ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小 值. ( √ )
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知识梳理 双基自测
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2.若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的
图象可能是( )
∴a=1,b=1 不成立.
∴a=-23,b=-19,故答案为-79.
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6.函数f(x)=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是 8 .
解析 ∵f(x)=2x3-2x2,∴f'(x)=6x2-4x.
令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=23.
∵f(-1)=-4,f(0)=0,f
;
由 f'(x)<0,解得 x∈
1 ������
,
+
∞
.
故 f(x)在区间
0,
1 ������
内单调递增,在区间
1 ������
,
+
∞
内单调递减.
(3)解 由 f(x)=x2+2������+aln x,得 f'(x)=2x-���2���2 + ������������.
由已知得 2x-���2���2 + ������������≥0 在区间[2,3]上恒成立,
思考已知函数的单调性求参数的一般思路是什么?
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考点1
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考点3
解 (1)由题意可知 f'(x)=x+b+1������. 因为 f(x)在定义域内单调递增,所以 f'(x)≥0 在区间(0,+∞)内恒
成立,所以 x+b+1������≥0,即 b≥-
������
+
1 ������
在区间(0,+∞)内恒成立.
.

(2)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则有 f'(x)≥0 在区间[a,b]
上恒成立. (3)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则有 f'(x)≤0 在区间[a,b]
上恒成立.
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f'(x)的函数值在该区间 内 不变号 .
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(2)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?
解析 (1)由题意可知 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
令
f'(x)=xcos
x>0,解得其在区间(-π,π)内的解集为
-π,-
π 2
∪
0,
π 2
,即 f(x)的单调递增区间为
-π,-
π 2
,
0,
π 2
.
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考点3
(2)解 由题意可知f'(x)=ex+(x-1)ex+2ax=x(ex+2a).
①当a≥0时,由f'(x)>0,解得x>0;由f'(x)<0,解得x<0.
故函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(0,+∞);由f'(x)<0,解得x∈(ln(-2a),0).故函数f(x)在区间(-∞,ln(-2a)),
(0,+∞)内单调递增,在区间(ln(-2a),0)内单调递减.
(ⅲ)当ln(-2a)>0,即a<-
1 2
时,由f'(x)>0,解得x∈(-∞,0)∪(ln(-2a),+∞);
由f'(x)<0,解得x∈(0,ln(-2a)).故函数f(x)在区间(-∞,0),(ln(-2a),+∞)内
上的单调性.
2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当 f(x)不含参数时,解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到单调递增(或递
减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行
分类讨论. 3.若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问
,
+
∞
内单调递减.
综上,当 a≤0 时,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当 a>0 时,g(x)在
区间
0,
1 √������
内单调递增,在区间
1 √������
,
+
∞
内单调递减.
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解题心得1.利用导数求函数单调区间的一般流程: 求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根 划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间
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2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0, ①如果在x0附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 ,那么f(x0)是极 大值; ②如果在x0附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 ,那么f(x0)是极 小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①确定函数的定义域,并求f'(x); ②求方程 f'(x)=0 的根; ③检查方程 f'(x)=0 的根是否在定义域内,若在,则看根附近 的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取 得 极大值 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 极-3-小值 .
答案
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3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值 范围为 [-3,3] .
解析 ∵函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数, ∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立, ∴Δ=4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.
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题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注
意“=”是否可以取到. 4.已知函数的单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成
立问题,即“若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0;若函数f(x)单调递减,则
f'(x)≤0”来求解.
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考点2
考点3
对点训练 1(1)函数 y=12x2-ln x 的单调递减区间为( A )
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5.已-79 知函数
f(x)=������3������3-bx2+a2x-13在 .
x=1
处取得极值
0,则
a+b=
解析 由题意知 f'(x)=ax2-2bx+a2,
∵f(x)在 x=1 处取得极值 0,
∴f'(1)=a-2b+a2=0,f(1)=���3���-b+a2-13=0, ∴a=1,b=1 或 a=-23,b=-19. ∵当 a=1,b=1 时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,函数没有极值,
单调递增,在区间(0,ln(-2a))内单调递减.
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考点1
考点2
考点3
考向二 已知函数单调性求参数的取值范围
例 2 已知函数 f(x)=12x2+bx+ln x. (1)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求实数 b 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)-bx-1+2������x2,a∈R,讨论函数 g(x)的单调区间.
A.(0,1)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(0,2)
(2)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x),a∈R,讨论 f(x)的单调性;
(3)已知函数 f(x)=x2+2������+aln x,若 f(x)在区间[2,3]上单调递增,求 实数 a 的取值范围.