6.3二次函数与一元二次方程(2)

合集下载

6.3二次函数与一元二次方程(2)

§6.3 二次函数与一元二次方程（2）【练习课】[ 教案]备课时间: 主备人:1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点． 8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围． 9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则ba c a cbc b a +++++的值是（） A ．－3B ．3C ．21D ．－2112．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）A ．0＜－a b 2＜1B ．0＜－a b 2＜2C ．1＜－a b 2＜2D ．－ab2=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点． 14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ 15．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．16．已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2＋10x ．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？18．已知抛物线y=x 2－（k ＋1）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．。

6.3 二次函数和一元二次方程(2)--学案巩固案

课型：新授课主备：谢辉审核：孙祥时间：2012-1-26 学生姓名__________一、学习目标：1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．体验数形结合思想；2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

二、学习重点和难点：学习重点：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会数形结合思想。

2．能够利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。

学习难点：利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。

三、自学质疑与合作探究：1.自学指导：预习课本P 23-24相关内容，建议你在学习本节时和八（上）探索2的近似值“类比．．”进行学习。

2．合作探究：问题1：请你画出二次函数522-+=x x y的图象问题2：你能说出二次函数y=x 2+2x-5 的图象与一元二次方程x 2+2x-5=0的关系吗？问题3：二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的函数值有何特征？交点附近点的函数值有何特征？问题4：从图象上来看，二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备问题．．3．中发现的特征吗？问题5：为了进一步缩小探索的范围，如何在确定的两个整数之间继续取值，从而逐渐逼近使函数值y=0时的自变量x 的值，有何运算技巧吗？试试看！3．实践与探索：（1）你能仿照课本P23的方法确定方程x 2+2x-5=0的另一根x 2的近似值吗?试试看！(精确到0.1)（2）用求根公式求出方程x 2+2x-5=0的两根(精确到0.1)，与上述结果相同吗？请你算算看！四、自学检测：P24练习1、2A 组：1.抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为______________________ ___.2.根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（）A ． 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25 ＜x ＜3.263.已知二次函数y=kx 2＋3x －4①若它的的图象与x 轴只有一个交点，则k=； ②若它的的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围． 4.若关于x 的方程x 2-x-n=0没有实数根，则抛物线y= x 2-x-n 与x 轴的交点情况为，顶点在第________象限。

第14讲二次函数与一元二次方程不等式常考考点(原卷版)

第14讲二次函数与一元二次方程不等式常考考点【考点分析】考点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．考点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.考点三：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅①20(0)ax bx c a ++>≠在R x ∈上恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立②20(0)ax bx c a ++<≠在R x ∈上恒成立00.a <⎧⇔⎨∆<⎩题型一：解不含参数的一元二次不等式解题思路：①当二次项系数为正时，考虑大于取两边，小于取中间①数轴标根，穿针引线【精选例题】【例1】设x ∈R ，则2x <是220x x -<的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】一元二次不等式()20x x ->的解集为（）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()(),20,-∞-⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞【例3】一元二次不等式()()120x x -+>的解集为（）A ．()(),21,-∞-+∞B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．1,2【例4】使“2560x x +-<”成立的一个充分不必要条件是（）A ．51x -<的解集为（）A ．{|23}x x <D ．{2|x x <或3}x > (2,)⎫+∞⎪⎭ 12),3⎛-+∞ ⎝题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【精选例题】【例2】已知关于x的不等式22430(0) x ax a a-+<>的解集为()12,x x，则1212ax xx x++的最小值是（）A B．C D．A．-2B．-1C．1D．2【例4】已知不等式20ax bx c++<的解集为{|1x x<或}3x>，则下列结论正确的是（）【跟踪训练】)()2,+∞2.已知关于x的不等式230ax bx++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）．不等式2ax bx++3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（）题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【精选例题】【例1】若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【例2】解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（） A ．()0,8 B ．()0,∞+ C ．()0,2 D ．[]28,【例4】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例5】设函数()()()221,R f x ax a x b a b =-++∈.(1)若不等式()0f x <的解集为()1,2，求a ，b 的值；(2)若4b =，求不等式()0f x >的解集.【跟踪训练】1.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．2.解关于x 的不等式：220ax x a -+<.3.设()212y ax a x a =+-+-．(1)命题:p x ∃∈R ，使得2y <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ．题型四：不等式的恒成立问题【精选例题】【例1】“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例3】已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）. A ．(],2-∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【例4】不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,2-B ．(]1,2-C ．()2,1-D ．[]1,2-【例5】已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【跟踪训练】1.已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（）2.若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．()[),25,-∞-⋃+∞C ．()[),14,∞∞--⋃+D ．[]2,5-4.（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（） A ．04m ≤”是假命题，则实数a 的取值范围为（） A ．(][),04,-∞+∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,47.若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立，则ab 的最大值为_________．。

北师大版九年级下册数学《二次函数与一元二次方程》二次函数教学说课(第2课时)

课堂小测
解：（1）由题意得
-1-b+c=0, c=3,
解得
b=2, c=3,
故所求解析式为y=-x2+2x+3 .
（2）令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1, x2=3,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3 , 0) ,
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3．
(2).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
小组交流
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
。
（-2，0）和（3，0）
2 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）c
A 两个交点 B 一个交点
C 没有交点 D 画出图象后才能说明
3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为：（-2，0）和（3，0）
2
(1)求m的值. (2)先作y=x2-(m+1)x+1 (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后
2
将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式. (3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2-4n的最大值和最小值.

《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点

二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

二次函数与一元二次方程、不等式课件(2)

根x1=x2
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2

2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（）A ．无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为．例3图变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为。

九年级数学第二章二次函数与一元二次方程

用函数观点看一元二次方程【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式24b ac =-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=0a <△＝00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-0a <△＜00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）0a <要点进阶：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点；当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．要点进阶：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点进阶：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）．要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成．要点进阶：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1. 已知抛物线22(1)423y k x kx k =+++-．求：(1)k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与x 轴没有交点．举一反三：【变式】二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集；（3）求y 的取值范围．类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2. 利用函数的图象，求方程组的解.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3. 已知关于x 的二次函数22(21)34y x m x m m =--+++．(1)探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2，1，0．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，且22125x x +=与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．举一反三：【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．例4.如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【巩固练习】一、选择题1. 若二次函数241y ax x a =++-的最大值为2，则a 的值是（）A.4B.-1C.3D.4或-12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．k ＜0B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠33．方程2123x x x++=的实数根的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图所示的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)240b ac ->；(2)1c >；(3)20a b -<；(4)0a b c ++<．你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个5．方程2252x x x-++=的正根的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个6．“如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（） A ．m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b二、填空题7．已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为．8．如图所示，函数y ＝(k-8)x 2-6x+k 的图象与x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为．第8题第9题9．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为1 1.3x =和2x =________．10．已知二次函数222(1)2y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B 、C 构成的△ABC 的面积是________．11．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是．12．如图是二次函数和一次函数y 2=kx+t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是．三、解答题 13．已知抛物线212y x x k =-+与x 轴有两个不同的交点． (1)求k 的取值范围；(2)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．14．如图所示，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．15．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。

6.3 二次函数与一元二次方程(一)导学案

6.3 二次函数与一元二次方程(一)学习目标：通过本课的学习,掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系，感受数形结合的数学思想。

学习过程：一、知识回顾1、怎样利用根的判别式来判定一元二次方程根的情况？2、不解方程，判别根的情况。

⑴x2－3x＋1＝0 ⑵－x2＋x－1＝0 ⑶4y2＋4y＋1＝0二、探索活动1、（1）二次函数y=x2－2x－3与一元二次方程x2―2x―3＝0有怎样的关系？(P21) （2）结论：)2、观察二次函数y=x2－6x+9的图象和二次函数y=x2－2x+3的图象。

(P21（1）观察两个函数图象，它们与x轴的公共点个数有几个？（2）利用图象写出一元二次方程x2－6x+9=0和x2－2x+3=0的根的情况。

3、试总结二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：三、典型例题1、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由。

（1）y=x2－x （2）y=－x2+6x－9 （3）y=3x2+6x+112、已知二次函数y=kx2－x－1的图象和x轴有交点，求k的取值范围。

四、巩固练习1、不画图象，你能说出函数y=－x2+x+6的图象与x轴的交点坐标吗？2、关于x的一元二次方程x2―x―n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n顶点在哪一个象限内？五、小结：这节课我学会了________________________________________巩固练习1、二次函数y=x2－3x的图象与x轴两个交点的坐标是（）A. (0, 0), (0, 3)B. (0, 0),(0,－3)C.（0，0），（－3，0）D.（0，0），（3，0）2、已知二次函数y=x2－2ax+(b+c)2，其中a、b、c是△ABC的边长，则函数图象与x轴（）A.无交点B.有一个交点C.有两个交点D.交点个数无法确定3、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=－1,与x轴的一个交点为(x1，0)，且0＜x1＜1，下列结论：①9a－3b+c＞0；②b＜0；③a－2b+4c＜0。

二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )

数学：6.3《二次函数与一元二次方程》课件3(苏科版九年级下)

h=－5t２+40t
-----------------------
方法一：从图象上看，就是图象上纵坐标为60的点的横坐标。因此当t=2秒或t=6秒时，小球离地面的高度是60m。
-----------------------------
-----------------------------
（3）何时小球离地面的高度是60m?
(2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0. （3）探究：你能说出一元二次方程 x 2 -2x -3=0的根吗？一元二次方程 x2-2x - 3=0的根为x1=-1,x2=3.
探索研究
y=x2-6x+9 y=x2-2x+3
类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有一个交点：（3，0），一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根:x1=x2=3。
二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点，一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根.
探索研究
一般地二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程
ax2＋bx＋c =0的根有什么关系呢？
二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c =0有两个不相等的实数根. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c =0有两个相等的实数根. 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c =0没有实数根.

一元二次方程与二次函数知识点总结归纳

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
|
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)

∴ 原不等式的解集为
当a>0时，方程ax(x-2)=0的根为
x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为 {x|x<0, 或x>2}
参数：在函数、方程和
不等式中，除了其本身
的未知数、变量以外的
其它字母。
∅
当a<0时，由ax(x-2) > 0得 x(x-2) < 0
方程(-a)x(x-2)=0的根为 x1=0，x2=2
次不等式来解，你能解下列分式不等式吗？
x2
3x - 2
(1)
0;
(2)
0
3 - 2x
x3
思考1：实数相乘时，结果的符号如何确定？两实数相除呢？
x2
0与( x 2)(3 2 x ) 0等价吗？
3 - 2x
两实数相乘、相除时，结果的符号都是“同号得正，异号得负”
x2
0 ( x 2)(3 2 x ) 0
行讨论，一分”x1<x2”,”x1<x2”和”x1=x2”三种情况。
分类时应做到：不重复，不遗漏
5.应用一元二次不等式解决实际问题（课本53页例4、5）
一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，
这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y
（单位：元）之间有如下的关系：y＝－２x２＋２２０x．
3 - 2x
3
( x 2)(2 x 3) 0 2 x
2
思考2：分式不等式含有等号与不含等号有何不同？不等
式(2)怎样解？
(3x 2)( x 3) 0 {x | x 2 或x 3}
x 3 0
3

4.含参数的不等式

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质(解析版)

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质【知识点梳理】知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=．① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．知识点3：二次函数图像的伸缩变换问题函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0) 知识点4：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．【题型归纳目录】题型1：根的判别式题型2：根与系数的关系（韦达定理）题型3：二次函数图像的伸缩变换题型4：二次函数图像的平移变换【典型例题】题型1：根的判别式例1．已知关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-2kx +k +1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】2k -＞且2k ≠ 【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22210()k x kx k --++=有两个不相等的实数根， ∴224(2)4(2)(1)480b ac k k k k ∆=-=---+=+>，且20k -≠；解得，2k -＞且2k ≠．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．例2．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．【答案】(1)m的值为1或-2 (2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∴m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∴m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m ＝4924．【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.例3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)94k ≤ (2)32m =【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据（1）确定2k =，从而求出方程2320x x -+=的解为121=2x x =，，然后分相同的根为1x =时和2x =时，两种情况讨论求解即可． (1)解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根， ∴()22=4=340b ac k ∆---≥， ∴94k ≤； (2) 解：∵94k ≤， k 是符合条件的最大整数， ∴2k =，∴方程230x x k -+=即为2320x x -+=，解方程2320x x -+=得：121=2x x =，，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根当这个相同的根为1x =时， ∴1130m m -++-=， ∴32m =；当这个相同的根为2x =时，∴()4123m m -++-， ∴1m =，∵当1m =时，方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0即为20x -=不是一元二次方程， ∴32m =．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．例4．已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．【答案】(1)14m ＞且0m ≠ (2)另一个根为32【解析】【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可． (1)解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程， 0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac ＞，即：2(21)4(2)0m m m ＞，整理得：410m ＞， 14m ＞，综上所述：14m ＞且0m ≠． (2)∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x ==， ∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0＞方程有两个不相等的实数根， =0方程有两个相等的实数根，0＜方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．例5．已知关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)2x =是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数m 的值．【答案】(1)见解析(2)x =2是方程的一个根，1m = 【解析】【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． (1)证明：∵Δ=（-m ）2-4×（2m -4） =m 2-8m +16 =（m -4）2， ∵（m -4）2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)解：把x =2代入方程左边，得左边=22-2m +2m -4=0=右边， ∴x =2是方程x 2-mx +2m -4=0的一个根；用因式分解法解此方程x 2-mx +2m -4=0，可得（x -2）（x -m +2）=0，解得x 1=2，x 2=m -2，若方程有一个根为负数，则m -2＜0，故m ＜2， ∴正整数m =1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．题型2：根与系数的关系（韦达定理）例6．已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若120x x ⋅=，求方程的两个根．【答案】(1)14m <且0m ≠ (2)10x =，232x =-【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于m 的不等式，求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得122m x x m+⋅=，根据120x x ⋅=可得关于m 的方程，整理后即可解出m 的值，最后求出方程的根． (1)解：∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根，∴0>且0m ≠，即()()221420m m m +-⨯⨯+>且0m ≠，解得：14m <且0m ≠． (2)∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴122m x x m+⋅=， ∵120x x ⋅=， ∴20m m+=，解得：2m =-，经检验：2m =-是分式方程的解， ∴当2m =-时，方程为：2230x x --=，解得：10x =，232x =-．【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴0>⇔方程有两个不相等的实数根；⑵0=⇔方程有两个相等的实数根；⑶0<⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=．例7．已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=． (1)求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且212x x -=，求a 的值．【答案】(1)见解析；(2)11a =，213a =-【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可． (1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=，2(31)4(21)a a a ∆=+-+，221a a =++2(1)0a =+≥∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)解：依题意得，1231a a x x ++=，1221a ax x +=， ∵212x x -=，∴21212()44x x x x +-=，∴2314(21)()4a a a a++-=，即23210a a --=，（3a +1）（a -1）=0，解得11a =，213a =-；【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a=．例8．若α=20x x t -+=的根；(1)则方程的另外一个根β=______，t =______；(2)求()()323211ααββ-+-+的值．【答案】1- (2)1【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）根据,αβ是为一元二次方程210x x --=的根，可得3232αααβββ-=-=，，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．(1)解：∵α=20x x t -+=的根，设方程的另外一个根为β， ∴1βα+=1β∴==1t αβ∴=⋅==-1-； (2) ,αβ是为一元二次方程210x x --=的根210αα∴--=，210ββ--=21αα∴-=，21ββ-=，0α≠，0β≠，32ααα∴-=，32βββ-=，∴()()323211ααββ-+-+()()11αβ=++1αβαβ=+++1αβ+=，1αβ=-，∴原式1111=-+=【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m --+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两实数根12,x x 满足()()12117x x --=，求m 的值．【答案】(1)34m <(2)1m =-【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则0∆>，由此求得m 的取值范围；（2）由12(1)(1)7x x --=得1212()17x x x x -++=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．(1) 解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m --+=有两个不相等的实数根， ∴22(23)40m m ∆=-->，解得34m <． (2)解：根据题意得，212x x m =，1223x x m +=-．12(1)(1)7x x --=，∴1212()17x x x x -++=，即2(23)17m m --+=，解得1m =-或3m =，又34m <， ∴1m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．例10．已知关于x 的一元二次方程22430x kx k -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0k >，且该方程的两个实数根的差为3，求k 的值．【答案】(1)见解析 (2)32【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出24=b ac ∆-结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=3k 2，结合（x 1-x 2）2=9，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．(1)∵222(4)4134k k k ∆=-⨯⨯=，且无论k 为何实数，240k ≥∴Δ≥0∴该方程总有两个实数根；(2)方法一：设该方程两个实数根分别为()1212,x x x x ≥，则有124x x k +=，1223x x k ⋅=123x x -=则()2129x x -= ()2121249x x x x ⋅+-= 2216129k k -=294k = 解得：32k =± ∵0k >． ∴32k 方法二：()()30x k x k --=解得：1x k =，23x k = 由题意得：123x x -=33k k -=，解得：32k =± ∵0k >．∴32k 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x 1-x 2）2=1，找出关于k 的方程．题型3：二次函数图像的伸缩变换例11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；(2)若y ＝ax 2+bx ﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．【答案】(1)1a b +=- (2)13,1,22a = 【解析】【分析】（1）代入A 、B 坐标，求出a 、b 的值即可得解；（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，根据顶点在第四象限得出02b a-＞，求出a 的取值范围，进而得出a +b 的取值范围，即可求解． (1)代入A 、B 坐标，可得： 1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则a +b =-1；(2)∵抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，∴抛物线的开口向上，即a ＞0，且抛物线对称轴02b xa＞， ∵抛物线过B 点(-1,0)，∴代入B 点坐标可得：a -b -2=0，则有b =a -2，∴2022b a a a --=-＞，解得a ＜2，∴02a ＜＜，∵a +b =a +a -2=2a -2，∴2222a --＜＜，∵a +b 是整数，∴a +b =a +a -2=2a -2为整数，∴2a -2可以为-1,0,1，∴a 可以为12，1，32．【点睛】本题考查了求解抛物线与x 轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，是解答本题的关键．例12．抛物线212y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点C ，对称轴为直线32x =-．(1)如图1，若点C 坐标为(0,2)，则b =_______，c =_________；(2)若点P 为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP 面积最大时，点P 坐标和四边形ABCP 的最大面积；(3)如图2，点D 为抛物线的顶点，过点O 作MN CD ∥别交抛物线于点M ，N ，当3MN CD =时，求c 的值．【答案】(1)32-，2； (2)点P （-2，3），四边形ABCP 的最大面积为9； (3)94．【解析】【分析】（1）根据解析式和对称轴可求出b ，根据C 点坐标即可求出ｃ；（2）求出1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <，求出24(0)APC S x x x =--<△，进一步求出S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，即可求出结果；（3）求出直线CD 的解析式为：34y x c =-+，进一步可得直线MN 的解析式为：34y x =-，分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，证明MHN DGC ∽△△，即可求出结果． (1)解：由题意可知：∵322b x a =-=-，∴32b =-， ∵点C 坐标为(0,2)，∴2c =；(2) 解：令2130222y x x ==--+，整理得(1)(4)0x x -+=，解得1x =或4x =-，∴(4,0)A -，(1,0)B ，∵(0,2)C ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⨯=△， ∵(4,0)A -，(0,2)C ， ∴1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <则点1(,2)2Q x x +， 2213112(2)22222PQ x x x x x =--+-+=--，∴21()4(0)2APC APQ PCQ C A S S S PQ x x x x x =+=⨯-=--<△△△， ∴S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，∵10-<，函数图象开口向下，又0x <，∴当2x =-时，S 四边形ABCP 最大 = 9，此时点(2,3)P -，∴当点(2,3)P -时，四边形ABCP 的最大面积，最大面积为9；(3) 解：∵221313()222298y x x c x c =--+=-+++， ∴39,28D c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－，又∵(0,)C c ，∴设直线CD 的解析式为1y kx b =+（k≠0），代入点D ，C 的坐标得119382c b c k b =⎧⎪⎨+=-+⎪⎩，解得134k b c⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CD 的解析式为：34y x c =-+， ∵MN CD ∥，∴直线MN 的解析式为：34y x =-，由题意，联立2132234y x x c y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得：213024x x c +-=，解得：x =932c ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，由题意，N xM x ，M N x x -= 分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，∴G H ∠=∠，DCG MOA MNH ∠=∠=∠，∴MHN DGC ∽△△， ∴CG CD NH MN=， ∵ MN ＝3CD ， ∴13CG CD NH MN ==， ∵39(,)28D c -+，(0,)C c ， ∴32CG = ， ∴39322NH =⨯= ，又∵M N NH x x =- ∴94c =．【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．例13．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0ab ≠）．当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．(1)若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过()0,0点，求该函数的表达式．(2)若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若()(),,,a p c q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．【答案】(1)22y x x =-(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a ，即可求解；（2）①将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，再利用2414ac b a-=-，进行转化后，求出12b a -=-即可求解； ②设函数表达式为()211y a x =+-，代入两点坐标后得到p 和q 的表达式，利用作差法比较大小即可．(1)解：由题意，得函数图象的顶点坐标为()1,1-，所以可设函数表达式为()211y a x =--，把()0,0代入，解得1a =，所求函数的表达式为22y x x =-．(2) ①由题意，将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，化简，得12b c =+．又因为2414ac b a-=-，所以2b a =，1c a =-．所以12b a-=-，所以顶点坐标为()1,1--． ②由①可知，函数顶点坐标为()1,1--，1c a =-，所以可设函数表达式为()211y a x =+-．所以()()22311,1111p a a q a a a =+-=-+-=-． ()()2321112p q a a a a a -=+---=+．因为函数有最小值，所以0a >，所以0p q ->，所以p q >．本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．例14．已知点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--图像的顶点．(1)小明发现，对m 取不同的值时，点P 的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：①将下表填写完整：②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，(2)若过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ，与②中得到的函数的图像有两个交点C 和D ，当AB CD =时，直接写出m 的值等于________；(3)若2m ≥，点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，点E 在②中得到的函数的图像上，当90EPQ ∠=︒时，求出E 点的横坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是21y x x =+-，验证见解析；； (3)2322m m -+【解析】（1）点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，得到点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），分别带入m 的值求解P 点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x ＝m －1代入函数表达式验证即可；（2）根据题意求出AB 和CD 的长度，利用AB ＝CD ，列出方程并解方程即可求得m 的值；（3）求出点Q 的坐标，设点E 的坐标为（t ，21t t +-），利用两点间距离公式表示出2PE 、2PQ 、2QE ，由勾股定理得到2PE ＋2PQ ＝2QE ，整理后即可表示出点E 的横坐标(1)解：∵点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，∴点P 的坐标表示为（m －1，21m m --）当m ＝1时，m －1＝0，21m m --＝21111--=-，此时P 点坐标是（0，﹣1）；当m ＝2时，m －1＝1，21m m --＝22211--=，此时P 点坐标是（1,1）；当m ＝3时，m －1＝2，21m m --＝23315--=，此时P 点坐标是（2,5）；填写表格如下：故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；②描出表格中的五个点，如图所示，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得11425c a b c a a c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴函数表达式为21y x x =+-当x ＝m －1时，2221(1)111y x x m m m m =+-=-+--=--，∴点P 在二次函数21y x x =+-的图像上，猜想成立．(2)解：∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ， ∴当y ＝2时，()22211x m m m =--++--，方程整理得()2213x m m m -+=--解得11x m =-21x m =-∴AB ＝｜12x x -｜＝∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与抛物线21y x x =+-有两个交点C 和D ，∴当y ＝2时，221x x =+-，解得1x =，2x CD ＝｜12x x -∵AB ＝CD∴整理得244250m m --=解得1m =2m =； (3)解：∵点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，∴当x ＝m 时，y ＝()222112m m m m m m --++--=--，∴点Q 的坐标是（m ，22m m --），∵点E 在②中得到的函数的图像上，∴可设点E 的坐标为（t ，21t t +-）由（1）知点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），则22222(1)[(1)(1)]PE m t m m t t =--+---+-，22222(1)[(1)(2)]2PQ m m m m m m =--+-----=，22222()[(2)(1)]QE m t m m t t =-+---+-，∵90EPQ ∠=︒∴△EPQ 是QE 为斜边的直角三角形，由勾股定理得2PE ＋2PQ ＝2QE ，∴2222(1)[(1)(1)]m t m m t t --+---+-＋2＝2222()[(2)(1)]m t m m t t -+---+-解得t ＝2322m m -+． ∴点E 的横坐标是2322m m -+．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键．题型4：二次函数图像的平移变换例15．已知关于x 的方程ax 2+（3a +1）x +3＝0．(1)求证：无论a 取任何实数时，该方程总有实数根；(2)若抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求a 值以及此时抛物线的顶点H 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，与直线OH 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h 的值或取值范围．【答案】(1)证明过程见详解．(2)a ＝1，(﹣2，﹣1)(3)h ＝72或﹣52≤h<2 【解析】【分析】（1）分别讨论当a ＝0和a ≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0，求出两根，再根据抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求出a 的值，即可求顶点坐标；（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h 的范围，由平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可求h 的值，即可求解．(1)解：当a ＝0时，原方程化为x +3＝0，此时方程有实数根 x ＝﹣3．当a ≠0时，原方程为一元二次方程．∵∆＝（3a +1）2﹣12a ＝9a 2﹣6a +1＝（3a ﹣1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论a 为任何实数时，方程 ax 2+（3a +1）x +3＝0总有实数根．(2)∵令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0．解得 x 1＝﹣3，x 2＝﹣1a ．∵抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，∴a ＝1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x +3＝（x +2）2﹣1．∴顶点H 坐标为（﹣2，﹣1）；(3)∵点O （0，0），点H （﹣2，﹣1）∴直线OH 的解析式为：y ＝12x ，∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h ，12h ），∴解析式为：y ＝（x ﹣h ）2+12h ，∵直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，∴点C 坐标为（0，5）当抛物线经过点C 时，∴5＝（0﹣h ）2+12h ，∴h 1＝﹣52，h 2＝2， ∴当﹣52≤h<2时，平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点；当平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可得251()2y x y x h h =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴x 2+（1﹣2h ）x +h 2+12h ﹣5＝0，∴∆＝（1﹣2h ）2﹣4（h 2+12h ﹣5）＝0， ∴h ＝72， ∴抛物线y ＝（x ﹣72）2+74与射线CD 的唯一交点为（3，2），符合题意；综上所述：平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，顶点横坐标h ＝72或﹣52≤h<2．【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD 是射线，分情况讨论．例16．已知抛物线()2430y ax ax a =-+≠的图象经过点()2,0A -，过点A 作直线l 交抛物线于点()4,B m ．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移()0n n >个单位，使顶点落在直线l 上，求m ，n 的值．【答案】(1)2134y x x =-++；()2,4(2)3；2【解析】【分析】（1）把点()2,0A -代入()2430y ax ax a =-+≠，求出a 的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C ()4,m 代入2134y x x =-++可求出m 的值；再运用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．(1)将()2,0A -代入243y ax ax =-+得：0483a a =++，解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2134y x x =-++， ∵121224b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，2214314441444ac b a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为()2,4；(2)把C ()4,m 代入2134y x x =-++得， 4433m =-++=，设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()2,0A -，()4,3B 代入y kx b =+得0234k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为112y x =+， ∵顶点的横坐标为2，∴把2x =代入112y x =+得：2y =， ∴422n =-=．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．例17．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF 的面积的最大值；(3)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2(1)4y x =-++ (2)8164(3)存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M - 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线2:(1)4H y a x =++，根据点A 的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据题意求得直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +，进而根据二次函数的性质求得PE 的最大值，进而根据21124PEF S PF EF PE =⋅=即可求解；（3）设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ，则224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC =，分①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC +=，即2241(3)18m m +++-=，②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+-，③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++-，解方程求解即可．(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；(2)如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，设直线AC 的解析式为y mx n =+，∵(3,0),(0,3)A c -，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +， ∴2223923(3)324PE m m m m m m ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭， ∵10-<， ∴当32m =-时，PE 有最大值94， ∵3,90OA OC AOC ==∠=︒，∴AOC △是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵PD AB ⊥，∴90ADP ∠=︒，∴ADP AOC ∠=∠，∴PD //OC ，∴45PEF ACO ∠=∠=︒，∵PF AC ⊥，∴PEF 是等腰直角三角形，∴PF EF ==， ∴21124PEF S PF EF PE =⋅=， ∴当32m =-时，219814464PEF S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭最大值； (3)∵2y x 2x 3=-++．∴设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ∴224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC = ①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC += 即2241(3)18m m +++-=，解得m =∴1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+- 解得2m =-，即3(1,2)M --③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++- 解得4m =，即4(1,4)M -综上所述：在抛物线的对称轴上存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M -，使以A 、M 、C 为顶点的三角形为直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．例18．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点(0,3)C ，且3OC OA =．点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E 作EF x ∥轴，交抛物线于点F ．(1)若3EF =，求抛物线的解析式以及点E 的坐标；(2)若点E 沿抛物线向下移动，使得对应的EF 的取值范围为1213EF ≤≤，求移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)153324F y -≤≤- 【解析】【分析】（1）利用已知条件求出A 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点()()12,,,E x n F x n ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，EF =3，得到213x x -=，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，联立即可求得1x 的值，再代入抛物线即可求出答案；（2）设点()()12,,,F F E x y F x y ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF =21x x -，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，则122x x =-，可得222EF x =-，利用已知条件求出2x 的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论． (1)解：点(0,3)C ，3OC ∴=，3OC OA =，1OA ∴=， ∴点(1,0)A -，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,3)C ，230(1)(1)c b c =⎧⎨=--+⨯-+⎩解得：23b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， EF x ∥轴，∴设点()()12,,,E x n F x n ，点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，3EF =， 213x x ∴-=，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =，1212x x +∴=， ∴2112312x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：121252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当112x =-时，211723224n ⎛⎫⎛⎫=--+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴点17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)EF x ∥轴，∴设点()()12,,,F F E x y F x y ，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =， 1212x x +∴=， 122x x ∴=-，()21222222EF x x x x x ∴=-=--=-， 1213EF ≤≤，2122213x ∴≤-≤，21572x ∴≤，当7x =时，2F 727332y =-+⨯+=-，当152x =时，2F 151515323224y ⎛⎫=-+⨯+=- ⎪⎝⎭，∴移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围：153324F y -≤≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x 轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．例19．已知抛物线2:=++l y x bx c 与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，其对称轴为直线26x AB ==，． (1)抛物线l 的函数表达式为__________．(2)设抛物线l 与y 轴交于点C ，直线2x =与BC 的交点为M ．将抛物线l 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线l '，l '与直线2x =交于点N ．当点N 在点M 下方时，m 的取值范围是___________．【答案】(1)245y x x =--(2)0m << 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2x =，6AB =，可得,A B 坐标，将,A B 坐标代入2y x bx c =++，求出,b c 的值，进而可得抛物线l 的函数表达式；（2）如图，将0x =代入245y x x =--，求出C 点坐标，设直线BC 的解析式为y kx b =+，待定系数法求解析式为5y x =-，将2x =代入求出M 的点坐标，平移后的l '的解析式为()229y x m =-+-，设()2,N a ，3a <-，。

专题10二次函数与一元二次方程(3个知识点5种题型)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册

专题10二次函数与一元二次方程（3个知识点5种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系（重点）知识点2.二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数的判断（重点）知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）【方法二】实例探索法题型1.用列表法求一元二次方程的近似根题型2.二次函数与一次函数的综合应用题型3.函数与方程关系的综合应用题型4.阅读理解题题型5.探究题【方法三】成果评定法【学习目标】1.掌握二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系。

2.能根据二次函数与一元二次方程的关系确定二次函数与坐标轴的交点坐标。

3.能运用二次函数与一元二次方程之间的关系判断二次函数与x 轴的交点个数。

4.会利用二次函数的图象确定一元二次方程的根的近似值。

重点：二次函数与一元二次方程关系的理解。

难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系（重点）求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例1】．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是.（填一个值即可）【分析】根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，即一元二次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2，由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，∴x1，x2为异号，∴n＜0，故答案为：﹣3（答案不唯一）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．【变式】．（2023•杜尔伯特县一模）|x2﹣3|＝a有四个解，则a的取值范围是．【分析】作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，于是得到结论．【解答】解：方程|x2﹣3|﹣a＝0⇔方程|x2﹣3|＝a，作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，当1＜a＜3时，有4个交点．故答案为：0＜a＜3．【点评】此题主要考查了函数图象与方程的解，根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决根的存在性及根的个数判断问题．知识点2.二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数的判断（重点）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程ax 2+bx +c ＝0根之间的关系．△＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．【例2】．（2023•郴州）已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴有且只有一个交点，则m ＝．【分析】利用判别式Δ＝b 2﹣4ac ＝0即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴有且只有一个交点，∴方程x 2﹣6x +m ＝0有唯一解．即Δ＝b 2﹣4ac ＝36﹣4m ＝0，解得：m ＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点知识，明确Δ＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数是解题的关键．【变式】．（2023春•江都区月考）已知二次函数y ＝﹣x 2+x +6及一次函数y ＝﹣2x +m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y ＝﹣2x +m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是．【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时，4+m＝0，解得m＝﹣4；当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣2x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣＜m＜﹣4．故答案为：﹣＜m＜﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【例3】（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232？…关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，函数图象从左到右上升B．抛物线开口向上C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间D．当x＝2时，y＝1【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，∴抛物线的顶点为（0，3），∴y＝3是函数的最大值，∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，所以A错误，B错误；∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，所以C正确，D错误．综上所述：其中正确的结论有C．故选：C．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．【方法二】实例探索法题型1.用列表法求一元二次方程的近似根3．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5m m﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方C．对称轴是直线x＝mD．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．题型2.二次函数与一次函数的综合应用6．（2022秋•确山县期中）某班“数学兴趣小组”对函数；y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣101234…y…﹣503434m0﹣5…其中，m＝3．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；（3）根据函数图象即可求解；（4）通过观察函数图象，即可求得．【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，∴m＝3，故答案为：3；（2）描点，连线得出函数图象如图：（3）函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴，故答案为：函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴；（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．题型3.函数与方程关系的综合应用6．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC说明理由．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标＝S 为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC列方程解答即可．△ABC【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：，解得：；∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝4，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C点坐标为（0，3），OC＝3，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，＝S△ABC＝3；∴S△PBC作PE∥x轴交BC于E，如图：设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，∴E（，﹣t2﹣2t+3）；∴PE＝﹣t＝，＝××3＝3，∴S△PBC解得：t＝﹣2或3；∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．题型4.阅读理解题7．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；（2）当a＝﹣时，不符合题意；当a≠时，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整数，故当2a+1是6的因数时，是整数，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分别解方程并检验可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【解答】（1）证明：当a＝﹣时，函数表达式为y＝12x+6，令y＝0得x＝﹣，∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；当a≠时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：当a＝﹣时，不符合题意；当a≠时，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x＝﹣或x＝，∵x＝＝2﹣，a是整数，∴当2a+1是6的因数时，是整数，∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，∵a是整数，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，其中还涉及了一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义．题型5.探究题过点C 作CF ED ⊥交ED ∵点A 的坐标为()2,0-∴2OA =，6OC =．∴1122AOC OA O S C ⋅== ∴33644BCD ADG S S ==⨯∴由平行四边形的性质可得，2341533600442n t n n +=+⎧⎪⎨-+--=+⎪⎩，解得∴点M 的坐标为(14,0)或当BD 是平行四边形BDNM∴由平行四边形的性质可得，243331560424n t n n +=+⎧⎪⎨--+=-⎪⎩∴点M 的坐标为()0,0；如图所示，当BD 是平行四边形∴由平行四边形的性质可得，2341533006442t n n n +=+⎧⎪⎨-=+--⎪⎩，解得∴点M 的坐标为()8,0；综上所述，点M 的坐标为()8,0或【方法三】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2022秋•泽州县期末）如图，抛物线21y ax bx c =++与直线2y kx b =+相交于(1,1)A --，(3,1)B 两点，则当12y y >时，自变量x 的取值范围是()A ．13x -<D ．1x -或3x 【分析】根据当12y y >时，自变量x 的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的x 的取值范围，结合图象进行作答即可．【解答】解：由图象可知，当12y y >时，自变量x 的取值范围是13x -<<，故选：A ．【点评】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．（2023秋•南开区期末）已知，二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点2(,4)P abc b ac -所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】先由抛物线开口方向得到0a >，由抛物线的对称轴位置得到0b <，由抛物线与y 轴的交点位置得到0c <，则0abc >，然后由抛物线与x 轴有两个交点得到240b ac ->，于是可判断点2(,4)P abc b ac -所在象限．【解答】解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴在y 轴右侧，a ∴、b 异号，0b ∴<，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，点2(,4)P abc b ac -在第一象限．故选：A ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程；△24b ac =-决定抛物线与x 轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．3．（2022秋•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x mx =+交x 轴的负半轴于点A ，点B 是y 轴正半轴上一点，连结AB 并延长交抛物线于点A '，过点A '作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．连结AC ．若点A '的横坐标为1，且13A B BA '=，则AC 的长为()A ．32B 17C ．4D 15【分析】根据平行线分线段成比例结合点A '的横坐标为1，求得3AO =，解方程20x mx +=得(,0)A m -，进而求出点A 坐标，可求得抛物线解析式为23y x x =+，再计算自变量为1的函数值得到(1,4)A '，接着利用10C y m -+-=点的纵坐标为4，求出10C y m -+-=点的横坐标，然后计算AC 的长．【解答】解：过点A '作//A D BO '，则13A B OD BA AO'==，点A '的横坐标为1，即：1OD =，3AO ∴=，当0y =时，20x mx +=，解得10x =，2x m =-，则0m >，则(,0)A m -，3AO = ，3m ∴=，∴抛物线解析式为23y x x =+，当1x =时，234y x x =+=，则(1,4)A '，当4y =时，234x x +=，解得14x =-，21x =，则(4,4)C -，AC ∴22(43)(40)17-++-=．故选：B ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，抛物线与x 轴的交点，把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．4．（2022秋•嘉禾县期末）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与y 轴交于点(0,2)B -，点(1,)A m -在抛物线上，有下列结论：①0ab <；②一元二次方程20ax bx c ++=的正实数根在2和3之间；③23m a +=；④点11(,)P t y ，22(1,)P t y +在抛物线上，当实数13t >时，12y y <．其中，正确结论的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】由抛物线开口方向得到0a >，利用抛物线的对称轴方程得到20b a =-<，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；把(0,2)B -，(1,)A m -和2b a =-代入抛物解析式可对③进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．【解答】解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，20b a ∴=-<，0ab ∴<，所以结论①正确；抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标在(0,0)与(1,0)-之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，∴一元二次方程20ax bx c ++=的正实数根在2和3之间，所以结论②正确；把(0,2)B -，(1,)A m -代入抛物线得2c =-，a b c m -+=，而2b a =-，22a a m ∴+-=，∴23m a +=，所以结论③正确；点11(,)P t y ，22(1,)P t y +在抛物线上，∴当点1P 、2P 都在直线1x =的右侧时，12y y <，此时1t ；当点1P 在直线1x =的左侧，点2P 在直线1x =的右侧时，12y y <，此时01t <<且111t t +->-，即112t <<，∴当112t <<或1t 时，12y y <，所以结论④错误．故选：B ．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x 轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．5．（2023秋•杜尔伯特县期末）关于二次函数22(1)3y x =-+，下列说法正确的是()A ．图象的对称轴是直线1x =-B ．图象与x 轴有两个交点C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大D ．当1x =时，y 取得最大值，且最大值为3【分析】根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答．【解答】解：二次函数22(1)3y x =-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线1x =，∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x =时，y 有最小值，最小值为3，抛物线与x 轴没有交点，故A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键．6．（2023秋•西丰县期末）将抛物线2142y x x =-++与x 轴的交点坐标为()A ．(4,0)，(2,0)-B ．(4,0)-，(2,0)C ．(0,4)，(0,2)-D ．(0,4)-，(0,2)【分析】令21402y x x =-++=，解一元二次方程即可求解．【解答】解：令21402y x x =-++=，解得：4x =或2-，故选：A ．【点评】本题考查的是抛物线和x 轴的交点，正确理解一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．7．（2023秋•西山区校级月考）关于抛物线244y x x =-+，下列说法正确的是()A ．顶点坐标是(2,0)-B ．对称轴是直线2x =C ．抛物线有最高点D ．抛物线与x 轴有两个交点【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：2244(2)y x x x =-+=-，则抛物线的顶点坐标为：(2,0)，故A 错误，不符合题意；函数的对称轴为执行案2x =，故B 正确，符合题意；10a => ，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C 错误，不符合题意；由2244(2)y x x x =-+=-知，抛物线与x 轴有一个交点，故D 错误，不符合题意，故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为直线x h =，顶点坐标为(,)h k ．8．（2023秋•明光市期中）下表给出了二次函数2y x bx c =-++与自变量x 的部分对应值：x⋯2-1-012⋯y⋯56523-⋯则关于x 的一元二次方程22x bx c -++=的解为()A ．11x =-，23x =B ．11x =，23x =-C ．10x =，22x =-D ．12x =，26x =【分析】根据图表信息找出该二次函数图象的对称轴1x =-即可解答．【解答】解：从表格知道，当5y =时，所对应的x 值分别为2-和0，由二次函数的对称性知，该二次函数图象的对称轴2012x -+==-；设一元二次方程22x bx c -++=的解分别为1x 和2x 因为当2y =时，表格所对应的1x 的值为1，所以2112x +=-，解得23x =-，所以关于x 的一元二次方程22x bx c -++=的解为11x =，23x =-故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的对称轴1x =-是解题的关键．9．（2023秋•明光市期中）抛物线22y x x c =-+与x 轴有两个交点，则c 的值可能为()A ．1-B ．1C ．3D ．4【分析】根据抛物线22y x x c =-+与x 轴有两个交点，即△0>即可求出c ．【解答】解：抛物线22y x x c =-+与x 轴有两个交点，∴△2(2)40c =-->，解得1c <，∴选项A 符合题意．故选：A ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．10．（2023秋•通榆县期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P 、点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为(1,0)-，则点Q 的坐标为()A ．(0,1)-B ．(2,0)C ．(4,0)D ．(3,0)【分析】抛物线的对称轴为直线1x =，点(1,0)P -，由点P 、Q 关于抛物线的对称轴对称，即可求解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x =，点(1,0)P -，点P 、Q 关于抛物线的对称轴对称，故点(3,1)Q ，故选：D ．【点评】本题考查的是抛物线和x 轴的交点，熟悉函数的对称性是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为1x =或3x =．【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标，由此求得关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的解为1x =或3x =，故答案为：1x =或3x =．【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x 轴的两个交点坐标．12．（2023秋•西城区校级月考）抛物线223y ax ax =--与x 轴交于两点，分别是是(,0)m ，(1,0)-，则m 的值为3．【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可．【解答】解：抛物线223y ax ax =--与x 轴交于两点，分别是是(,0)m ，(1,0)-，∴令2230ax ax --=，则m ，1-为方程2230ax ax --=的两个根，∴2(1)2am a-+-=-=，3m ∴=，故答案为：3．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．13．（2023秋•西城区校级月考）若抛物线21y mx mx =-+与x 轴只有一个交点，则m 的值为4．【分析】直接根据题意得到20()40m m m ≠⎧⎨=--=⎩ 求解即可．【解答】解：抛物线21y mx mx =-+与x 轴只有一个交点，∴20()40m m m ≠⎧⎨=--=⎩，解得4m =，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式，正确得出一元二次方程210mx mx -+=只有一个实数解是解题关键．14．（2023秋•长春期末）二次函数22y x x =--的图象如图所示，则函数值0y 时，x 的取值范围是1x -或2x ．【分析】根据函数图象求出与x 轴的交点坐标，再由图象得出答案．【解答】解：由220x x --=可得，11x =-，22x =，观察函数图象可知，当1x -或2x 时，函数值0y ．故答案为：1x -或2x ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．15．（2022秋•抚松县期末）如图，二次函数21y x bx c =++与一次函数为2y mx n =+的图象相交于A ，B 两点，则不等式2x bx c mx n ++<+的解为13x -<<．【分析】由图象可知，1y 与2y 图象的交点的横坐标为1-和3，当13x -<<时，1y 的图象在2y 的图象的下方，即可得答案．【解答】解：由图象可知，1y 与2y 图象的交点的横坐标为1-和3，当13x -<<时，1y 的图象在2y 的图象的下方，∴不等式2x bx c mx n ++<+的解为13x -<<．故答案为：13x -<<．【点评】本题考查二次函数与不等式（组)，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．16．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中(0,1)A ，(2,1)B -，(4,5)C ．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线(0)y kx d k =+≠经过A ，C ．当2ax bx c kx d ++<+时，x 的取值范围为04x <<．【分析】画出函数图象，根据图象即可求解．【解答】解：观察函数图象，直线(0)y kx c k =+≠经过点A ，C ，当2ax bx c kx d ++<+时，x 的取值范围是04x <<，故答案为：04x <<．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组)，数形结合是解题的关键．17．（2023•郴州）已知抛物线26y x x m =-+与x 轴有且只有一个交点，则m =9．【分析】利用判别式△240b ac =-=即可得出结论．【解答】解：抛物线26y x x m =-+与x 轴有且只有一个交点，∴方程260x x m -+=有唯一解．即△243640b ac m =-=-=，解得：9m =．故答案为：9．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点知识，明确△24b ac =-决定抛物线与x 轴的交点个数是解题的关键．18．（2022秋•泽州县期末）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则抛物线22y x x c =++与x 轴交点的个数为1个．【分析】抛物线与x 轴的交点的横坐标，即令0y =所对应的一元二次方程的根．【解答】解：由题意知，抛物线22y x x c =++与x 轴交点的个数为1个，故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数与x 轴交点与一元二次方程根的关系．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程20ax bx c ++=的根是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标．三．解答题（共6小题）19．（2023秋•徐汇区期末）已知抛物线23y x bx =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，顶点为D ．（1）求此抛物线的表达式及顶点D 坐标；（2）联结CD 、BD ，求CDB ∠的余弦值．【分析】（1）依据题意，将(1,0)-代入23y x bx =-++求出b 进而的表达式，再化成顶点式可得D 的坐标；（2）依据题意，令0y =，可求得B 的坐标，令0x =，求得C 的坐标，再分别求出BC ，BD ，CD 的长，由勾股定理逆定理可得90DCB ∠=︒，进而求出cos CDB ∠的值．【解答】解：（1）由题意，将(1,0)-代入23y x bx =-++得，130b --+=，2b ∴=．∴抛物线为223y x x =-++．又2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点D 为(1,4)．（2）如图，由题意，令0y =，即2230x x -++=．3x ∴=或1x =-．(3,0)B ∴．又令0x =，3y ∴=．(0,3)C ∴．CD ∴==，DB ==BC ==．222BC CD BD ∴+=．90BCD ∴∠=︒．cos10CD CDB BD ∴∠===．【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．20．（2023秋•日喀则市期末）如图，顶点为M 的抛物线234y x x =-++，与x 轴交于A ，B 两点．（1）求抛物线顶点M 的坐标．（2）求直线AM 的解析式．【分析】（1）由2232534()24y x x x =-++=--+，即可求解；（2）用待定系数法即可求解．【解答】解：（1）2232534()24y x x x =-++=--+，则点3(2M ，25)4；（2）令2340y x x =-++=，解得：1x =-或4，即点(1,0)A -，设直线AM 的表达式为：(1)y k x =+，将点M 的坐标代入上式得：253(1)42k =+，解得：52k =，则直线AM 的表达式为：5522y x =+．【点评】本题考查的是抛物线和x 轴的交点，正确理解一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．21．（2023秋•吉林期末）如图，抛物线2(4)8y a x =-+与x 轴交于点A 、B ，C 是抛物线的顶点，ABCD 的顶点D 在y 轴上．（1）求a 的值；（2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．【分析】（1）易求抛物线的顶点坐标(4,8)，在平行四边形ABCD 中，根据平行四边形的性质，//CD AB ，4CD AB ==，即可求出a 的值；（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再根据抛物线的平移特点，可设平移后抛物线的解析式为22(4)8y x k =--++，平移后抛物线经过D 点，将(0,8)D 代入解析式，求出即可．【解答】解：（1）抛物线2(4)8y a x =-+，∴顶点C 的坐标为(4,8)四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，4CD AB ==，设A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，则12||4x x -==，解得2a =-，（2）22(4)8y x =--+ ，22216242(4)8y x x x =-+-=--+ ，∴设平移后抛物线的解析式为22(4)8y x k =--++，把(0,8)代入得8328k =-++，解得32k =，∴平移后抛物线的解析式为22(4)40y x =--+，即22168y x x =-++．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（2023秋•杜尔伯特县期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题．。

二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】(解析版)-2025年新高考数学一轮复习

二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a 0，所以m >0.故x 1>a ，x 20，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§6.3 二次函数与一元二次方程（2）【练习课】----( 教案)
备课时间: 主备人:
1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为
．
3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 经过象限．
4．抛物线y=x 2
－2x ＋3的顶点坐标是
．
5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=
．
6．抛物线y=2x 2
＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=
．
7．已知抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点． 8．二次函数y=kx 2
＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
． 9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2
的顶点在直线y=2上，则a 的值是
．
10．抛物线y=3x 2
＋5x 与两坐标轴交点的个数为（）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无
11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b
a c a
c b c
b a ++
++
+的值是
（） A ．－3
B ．3
C ．
2
1 D ．－
2
1
12．已知二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）
A ．0＜－
a
b 2＜1 B ．0＜－
a
b 2＜2 C ．1＜－
a
b 2＜2 D ．－
a
b 2=1
13．已知二次函数y=x 2
＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点． 14．已知二次函数y=x 2
－2kx ＋k 2
＋k －2．
（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ 15．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点．
（1）求m 的取值范围；
（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数y=x 2
－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当m 为何值时，方程x 2
－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－
5
1x 2
＋10x ．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线y=x 2
－（k ＋1）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．。

6.3二次函数与一元二次方程(2)