GCT数学--定积分
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
GCT考试数学必知公式、定理
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ， b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ， c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 。
1 1 1 S Δ = bc sin A = ac sin B = ab sin C 。 2 2 2
AI A = A， AU A = A， AI∅ = ∅， AU∅ = A， AU A = I ， AI A = ∅ ， A I B = B I A， A U B = B U A，
A I ( B I C ) = ( A I B) I C ， A U ( B U C ) = ( A U B) U C ，
A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) ， A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ) ， AU B = AI B， AI B = AU B。
card ( A U B) = card ( A) + card ( B) − card ( A I B) ，card（*）为集合中元素个数。
n > 0 y 过（1,1） ， （0，+ ∞ ）上是减函数。
4.6 指数函数 y = a x ， a > 0, a ≠ 1 ，y 在 x 轴上方，过（0,1）点， a > 1 是增 函数； 0 < a < 1 是减函数。 ， 4.7 对数函数 y = log a x ， a > 0, a ≠ 1 ，是 y = a x 的反函数；定义域（0，+ ∞ ） y 在 y 轴的右方，过点（1,0） ， ， a > 1 是增函数； 0 < a < 1 是减函数。 对数运算：
定积分的定义与计算方法
定积分的定义与计算方法定积分是微积分的重要概念之一，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总变化量。
本文将介绍定积分的定义及其计算方法，帮助读者更好地理解和应用定积分。
一、定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的面积或曲线下的有向面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，将其映射到函数的对应值f(ξi)，得到小矩形的面积为f(ξi)Δx。
当n趋向于无穷大时，每个小矩形的宽度趋近于0，这时求和Σf(ξi)Δx的极限就是定积分，记作∫[a, b] f(x)dx。
二、定积分的计算方法1. 几何法：对于简单的函数，可以根据几何图形的面积来计算定积分。
将函数的图像与坐标轴围成的区域划分为几个简单的几何形状（如矩形、三角形等），计算每个几何形状的面积，再将这些面积相加即得到定积分的值。
2. 分割求和法：将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
在每个小区间中选择一个代表点ξi，计算f(ξi)与Δx的乘积，然后将所有小区间的乘积相加，即可得到定积分近似值。
当n 越大时，近似值越接近定积分的真实值。
3. 定积分的性质：定积分具有线性性质和可加性质。
即对于任意实数a和b，有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
4. 牛顿—莱布尼茨公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数（即F'(x) = f(x)），那么∫[a, b]f(x)d x = F(b) - F(a)。
通过求函数的原函数，可以通过原函数的值来计算定积分。
三、应用举例1. 求解面积：设函数f(x)在[a, b]上连续且非负，其图像在坐标轴上方形成一个封闭区间。
此时，通过计算∫[a, b]f(x)dx可以得到该区域的面积。
2. 平均值计算：设函数f(x)在[a, b]上连续，则其平均值为f_avg =1/(b-a) * ∫[a, b]f(x)dx。
8月联考gct数学考查知识点总结范文
2021年8月联考gct数学考查知识点总结范文算数数的概念和性质，四则运算与运用。
代数代数等式和不等式的变换和运算。
包括：实数和复数;乘方和开方;代数表达式和因式分解;方程的解法;不等式;数学归纳法，数列;二项式定理，排列，组合和概率等。
几何三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等运算和运用;长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的运算和运用;三角学;以及解析几何方面的知识。
一元微积分函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用。
极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小和无穷大。
导数与微分：导数的概念，求导法则及差不多求导公式，高阶导数，微分。
微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。
积分：不定积分和定积分的概念，牛顿―莱布尼兹公式，不定积分和定积分的运算，定积分的几何应用。
线性代数行列式：行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的运算。
矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。
向量：n维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩。
线性方程组：线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解。
特点值问题：特点值和特点向量的概念，相似矩阵，特点值和特点向量的运算，n阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。
为了提高学生的国防意识，增强学生爱党、爱国、爱军的情感，激发学生长大建设祖国，献身国防的光荣感、责任感和使命感，我班以全民国防教育日为契机，开展了形式多样、内容丰富的国防教育活动，取得了良好的教育成效。
12。
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种运算方式，通过计算函数在一个区间上的面积来求解。
它是反应函数变化的量的一种数值特征，同时也是分析函数性质和解决实际问题中的重要工具之一。
在本文中，我们将详细介绍定积分的含义、计算方法及其应用。
首先，我们来探讨定积分的含义。
定积分可以理解为函数曲线与坐标轴之间的有向面积。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以将其限定在一个区间$[a,b]$上，然后使用一根尺直角下压在曲线上，该尺的长度与曲线上相应点的纵坐标相关。
当我们将尺从$a$点移动到$b$点时，这根尺覆盖的面积就是定积分。
同时，定积分还可以表示曲线上方的面积减去曲线下方的面积，即上减下。
为了更形象地理解定积分的含义，我们可以以一个例子进行说明。
假设有一个自由落体运动，其运动方程为$s(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，其中$v_0$是初始速度，$g$是重力加速度，$t$是时间。
现在我们想知道在给定的时间区间$[t_1,t_2]$内自由落体运动所覆盖的空间距离。
这时，我们可以使用定积分来解决这个问题。
根据定义，自由落体运动的空间距离可以表示为$s(t)$在区间$[t_1,t_2]$上的定积分：$$\int_{t_1}^{t_2}(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$$其中$\int$表示求和的符号，$(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$表示被积函数，$dt$表示积分变量。
这个定积分的结果就是自由落体运动在区间$[t_1,t_2]$内所覆盖的空间距离。
接下来，我们将介绍定积分的计算方法。
在实际计算中，定积分可以通过多种方式求解，例如几何法、牛顿-莱布尼茨公式和数值积分等。
几何法是一种直观易懂的计算方式，它利用几何图形的性质来求取定积分的值。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以通过绘制函数曲线与坐标轴之间的图形，然后根据几何图形的性质来计算面积。
定积分基本概念
定积分基本概念定积分是微积分中的重要概念之一，用来描述曲线下的面积或者曲线围成的封闭区域的面积。
它在数学、物理学和工程学等多个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念及其相关性质。
一、定积分的概念定积分可以理解为对一个函数在一个区间上的面积进行求和。
给定一个函数f(x)，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
我们取这些小区间中的任意一点xi，并计算出该点处的函数值f(xi)，然后将其与Δx相乘。
将这些小矩形的面积加起来，得到的和就是函数在区间[a, b]上的定积分。
定积分的数学表示为：∫(a, b) f(x) dx其中∫是求和的符号，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx 表示自变量的微小增量。
二、定积分的几何意义从几何角度来看，定积分表示的是曲线下的面积，也可以看作是曲线与x轴之间的有向面积。
当被积函数为非负时，定积分表示的是曲线与x轴之间的面积；当被积函数为负时，定积分表示的是曲线与x 轴之间面积的相反数。
三、定积分的性质定积分具有几个重要的性质，包括线性性质、积分中值定理、换元积分法等。
1. 线性性质：对于任意的实数a和b，有∫(a, b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a,b) f(x) dx + ∫(a, b) g(x) dx，以及∫(a, b) (af(x)) dx = a∫(a, b) f(x) dx。
2. 积分中值定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则存在一个点c∈(a, b)，使得∫(a, b) f(x) dx = f(c) × (b - a)。
3. 换元积分法：通过变量替换，可以将一个积分问题转化为另一个更简单的积分问题。
换元积分法常用于解决复杂函数的积分计算。
四、定积分的计算方法具体计算定积分的方法包括分段函数的积分、换元法、分部积分法等。
这些方法根据具体的问题和函数性质选择不同的求解策略。
1. 分段函数的积分：对于分段函数，我们可以将其分成若干个不同的区间，在每个区间上分别计算积分，再将结果相加得到最终的定积分。
十月联考GCT数学考查知识点总结5篇
十月联考GCT数学考查知识点总结5篇第1篇示例：十月联考GCT数学考查知识点总结十月联考GCT数学考试是许多学生备战的重要考试之一，对于备考的同学来说，掌握考试重点知识点是至关重要的。
下面我们就来总结一下十月联考GCT数学考查的知识点，希望对大家备考有所帮助。
1. 解方程与不等式解方程与不等式是数学中的基础知识点，在十月联考GCT数学考试中也是必考的内容。
同学们需要掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括用消元法、代入法、加减法等方法进行求解。
2. 几何在十月联考GCT数学考试中，几何也是一个重要的考察点。
同学们需要掌握平面几何和空间几何的知识，包括角的性质、直线和圆的性质、三角形的性质、四边形的性质等内容。
掌握这些几何知识点可以帮助同学们更好地解决几何问题。
3. 概率与统计概率与统计也是十月联考GCT数学考试的考查内容之一。
同学们需要了解概率的基本概念和计算方法，包括排列组合、事件的概率计算等内容。
统计学也是一个重要的知识点，同学们需要了解统计描述、频数分布、均值、中位数、众数等统计概念。
4. 函数在十月联考GCT数学考试中，函数也是一个重要的知识点。
同学们需要掌握函数的基本概念、性质、定义域、值域、判别法等内容。
同学们还需要了解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质和图像。
十月联考GCT数学考试涵盖了多个知识点，同学们在备考时需要系统地复习各个知识点，掌握解题技巧。
在备考过程中，同学们可以多做一些练习题，巩固知识点，提高解题能力。
希望以上总结的知识点对同学们备考有所帮助，祝同学们取得优异的成绩！第2篇示例：十月联考GCT数学考查知识点总结GCT（Graduate Certificate Test）是为了评估考生在数学领域的能力和水平而设计的考试。
在十月联考中，数学是考试的一个重要科目之一。
在这篇文章中，我们将汇总十月联考GCT数学考查的知识点，帮助考生更好地备战考试。
一、基础知识1. 整数、有理数和无理数的性质和运算规律2. 代数式的展开、因式分解和合并3. 质因数分解4. 一次函数和二次函数的性质和图像，以及解一元一次方程和一元二次方程二、几何知识1. 点、线、面、几何体的性质和关系2. 直线、射线和线段的性质3. 角的概念和相关性质4. 三角形和四边形的性质和分类5. 圆的性质和相关定理6. 相似三角形和全等三角形的判定三、概率与统计1. 随机事件的概念和性质2. 概率的计算方法和规律3. 统计图的绘制和分析4. 样本调查和数据分析四、函数与图像1. 函数的基本概念和分类2. 函数的性质和图像3. 反比例函数、指数函数和对数函数的性质4. 函数的复合和反函数的求解五、导数与微积分1. 导数的概念和计算方法2. 函数的极值、拐点和曲线的凹凸性判定3. 定积分的概念和计算方法4. 微分方程和简单的微分方程求解六、解题技巧1. 熟练掌握解题步骤和思路2. 理清题意，理解题目要求3. 善于总结规律，灵活应用知识点4. 多练习，多做题，加深对知识点的理解和记忆七、考前复习1. 制定合理的复习计划，合理安排时间2. 复习重点知识点，加强薄弱环节3. 完整做一些模拟试题，检验复习效果4. 注意健康，保持良好的精神状态和体能状态通过以上总结，我们可以看到十月联考GCT数学考查的知识点涵盖了基础知识、几何知识、概率与统计、函数与图像、导数与微积分等多个方面。
GCT等数学不积分与定积分
第四章 不定积分与定积分主讲----姜进进4.1 不定积分一、教学要求：不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。
不定积分的求法； （1）理解原函数、不定积分的定义及关系；（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算； （3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。
重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容：第二章讨论了如何求一个函数的导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求原来的函数问题，即求不定积分.4.1.1 不定积分的概念与性质定义1 设)(x f 是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数)(x F ,对于该区间上每一点都满足：)()('x f x F =或dx x f x dF )()(=,则称)(x F 是)(x f 在该区间的一个原函数.例如 已知xx f 2)(=,由于2)(x x F =满足x x x F 2)'()('2== ,所以2)(x x F =是x x f 2)(=的一个原函数. 同理，10,1,1222+-+x x x 等也都是x x f 2)(=的原函数.由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)( ()为任意常数C 也是)(x f 的原函数.且若)(x F ,)(x G 都是)(x f 的原函数则()0)()()()(')()(=-='-='-x f x f x G x F x G x F ，知C x G x F =-)()(,即它们仅相差一个常数.因此，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数可以表示为C x F +)(()是任意常数C .定义2 函数)(x f 的所有原函数，称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，“⎰”称为积分号.显然，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则由定义2可知⎰+=C x F dx x f )()(其中C 是任意常数.因此，求函数)(x f 的不定积分，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再加上任意常数C 即可. 例如C x dx x +=⎰323 ()为任意常数C⎰+-=C x xdx cos sin ()为任意常数CC e dx e x x +=⎰()为任意常数C 例1 求函数xx f 1)(=的不定积分 解 （1）当0>x 时，xx 1)'(ln =所以()0ln 1>+=⎰x Cx dx x（2）当0<x 时，0>-x[]xx x x x1).(1)ln(='--='-所以())0(ln 1<+-=⎰x Cx dx x合并（1）（2）两式得到：)0(ln 1≠+=⎰x Cx dx x由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质： 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算 （1）[])()(x f dx x f ='⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ （2）C x F dx x F +='⎰)()( 或 C x F x dF +=⎰)()(2.()()(0)af x dx a f x dxa =≠⎰⎰因为()())()()(x af dx x f a dx x f a ='='⎰⎰，说明⎰dx x f a )(是()af x 的原函数.3.[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰因为()()()()()()()()()f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x '''±=±=+⎰⎰⎰⎰故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.4.1.2 基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式.（1）⎰+=C kx kdx （C 为常数）（2）()1111-≠++=+⎰μμμμC x dx x（3）C x dx x +=⎰ln 1（4）C e dx e x x +=⎰（5）()10ln ≠>+=⎰a a Caa dx a xx且（6）⎰+=C x xdx sin cos （7）⎰+-=C x xdx cos sin（8）C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122 （9）C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122（10）sec tan sec x xdx x C ⋅=+⎰（11）csc cot csc x xdx x C ⋅=-+⎰（12）C x dx x+=+⎰arctan 112（13）c x dx x+=-⎰arcsin 112例2 求dx x x )52(2++⎰解 原式C x x x dx xdx dx x +++=++=⎰⎰⎰53152232. 注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够.下面类似情况就不特别加以说明.例3 求dx x x )3(-⎰解 原式dx x dx x dx x x ⎰⎰⎰-=-=2123233)3(C xx+⋅+⋅-⋅+=++121123121131231C x x +-=2325252例4 求xdx ⎰2tan 解 原式⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x 1sec )1(sec 22C x x +-=tan例5 设某厂生产某种商品的边际收入为 Q Q R 3300)(-='，其中Q 为该商品的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数.解 因为Q Q R 3300)(-='，两边积分得⎰⎰-='=dQ Q dQ Q R Q R )3300()()(C Q Q +-=223300又因为当0=Q 时，总收入0)0(=R ，从而0=C . 所以总收入函数为223300)(Q Q Q R -=.4.1.3 不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则曲线)(x F y =称为)(x f 的一条积分曲线，将其沿y 轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点x 处作切线，这些切线都是相互平行的，如图4.1.x 0yx图 4.1不定积分⎰dx x f )(在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为C x F y +=)(.例6 求过点()3,1且在点()y x ,处切线斜率为23x 的曲线方程.解 设所求曲线方程为)(x F y=，因为23)(x x F y ='='，由不定积分定义，有C x dx x x F +==⎰323)(因所求的曲线过点()3,1，代入得到2=C . 于是所求的曲线方程为23+=x y .4.1.4 不定积分换元法和分部积分法利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书[1]、[2]. 应该指出现在许多数学软件，如Mathematica ，Matlab 等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分. 1. 第一类换元积分法例7 求⎰+dx x )13cos(解 选择新变量13+=x u，则du dx u x 31),1(31=-=原式C u du u +=⋅=⎰sin 3131cosC x ++=)13sin(31第一类换元积分法主要在于选择新的变量)(x u ϕ=其中()x ϕ为连续可导的, 原不定积分转换为可以使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式dx x f )(凑成微分的形式，便于使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量.例8 求dx x ⎰+3)42( 解 du u x d x dx x x u ⎰⎰⎰+=++=+3423321)42(4221)42(变量代换凑微分＝）（ ()C x C u ++=++⋅=+413428131121还原例9 求dx xe x ⎰2解du e dx e dx xe ux u x x ⎰⎰⎰==21212222变量代替凑微分＝ C e C e xu +=+=22121还原2. 第二类换元积分法第一类换元积分法是选择新变量()x uϕ=，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令()x t ϕ=，其中()t ϕ是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式. 该类变量替换公式由于要求出t 关于x 的表达式，所以()x t ϕ=还须存在反函数.例10 求dx x x ⎰+1解 令1+=x t，则12-=t x ，tdt dx 2=， 原式()dt t t tdt t t)(221242-=⋅⋅-=⎰⎰C x x C t t ++-+=+-=232535)1(32)1(523252 例11 求dx x⎰+11解 令x t=，则2t x =, tdt dx 2=原式dt t ttdt t ⎰⎰+=⋅+=12211dt t dt t t )111(21112⎰⎰+-=+-+=()C t t ++-=1ln 2 ()C x x ++-=1ln 23. 分部积分法设函数(),()u u x v v x ==有连续导数，由()uv u v uv '''=+得()uv uv u v '''=-两边求不定积分，得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u 为便于应用，上式可写成⎰⎰-=vdu uv udv这就是分部积分公式. 如果求uv dx '⎰有困难，而求u vdx '⎰较容易时，我们就可以利用分部积分公式.例12 求⎰xdx ln解⎰xdxln xv x u ===,ln 令⎰-x xd x x ln ln （利用第二个公式）dx x x x x ⎰⋅-⋅=1lnC x x x +-=ln例13 求dx xe x ⎰解dx e xe xdedx xe x x e v x u xx x⎰⎰⎰-====,令 （利用第二公式）C e xe x x +-=例14 求sin x e xdx ⎰解()()sin sin sin sin x x x x e xdx xd e e x e d x ==-⎰⎰⎰ （分部积分法）sin cos sin cos x x x x e x e xdx e x xde =-=-⎰⎰ sin cos cos x x x e x e x e d x =-+⎰ （分部积分法）sin cos sin xx x ex e x e xdx =--⎰由于上式右端的第三项就是所求的积分sin x e xdx ⎰，将它移到等式左端去，两端再同除以2，即得()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C =-+⎰4.2 定积分的概念与性质一、学时： 二、教学要求：定积分的概念与性质：定积分概念、几何意义、基本性质（1）解定积分的几何意义，理解其定义。
定积分知识点总结高中
定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。
在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。
二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。
三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。
2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。
3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。
四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。
2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。
3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。
五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
这是定积分最基本的应用之一。
2. 定积分可以用来求解物体的质量。
例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。
3. 定积分可以用来求解物体的质心。
通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。
4. 定积分可以用来求解函数的平均值。
通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。
六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。
七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。
2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。
3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。
定积分的基本计算方法
定积分的基本计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习定积分的基本计算方法之前，我们首先需要了解定积分的概念和意义。
定积分的概念是对一个函数在一个区间上的“累积”，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、体积、质量、质心等物理量。
在实际应用中，定积分可以帮助我们解决各种问题，比如求曲线下的面积、求物体的质心、求函数的平均值等。
接下来，我们将介绍定积分的基本计算方法。
首先是定积分的定义和性质。
定积分的定义是通过极限的方式来求和，它可以看作是一个区间上无限小的“和”。
定积分的性质包括线性性质、区间可加性、保号性等，这些性质对于定积分的计算非常重要。
其次是定积分的计算方法。
我们可以利用定积分的定义来计算一些简单的函数，比如多项式函数、三角函数等。
对于一些复杂的函数，我们可以通过换元积分、分部积分等方法来化简计算。
另外，定积分还可以通过数值积分的方法来进行近似计算，这在实际应用中非常有用。
最后是定积分的应用。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
比如在物理学中，定积分可以用来计算物体的质心、转动惯量等；在工程学中，定积分可以用来计算电路的功率、流体的压力等；在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本等。
总之，定积分的基本计算方法是微积分学习中的重要内容，它不仅对于数学理论有着重要意义，而且在实际应用中也具有重要的作用。
通过学习定积分的基本计算方法，我们可以更好地理解和应用定积分，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对大家有所帮助，谢谢！。
数学精讲大学-定积分七
GCT 考点精讲班-数学 大学数学-定积分定积分—内容综述 1．定积分的概念 （1）曲边梯形的面积（2）定积分的定义：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对于[,]a b 的任意划分01n a x x x b =<<<= ，及任取的点1[,]k k k x x ξ-∈，极限1lim ()n k k k f x λξ→=∆∑都存在，则称函数()f x 在区间[,]a b 上（Riemann ）可积，其极限值称为()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作1()d lim ()nbk k ak f x x f x λξ→==∆∑⎰．（3）定积分的几何意义：平面图形的面积．()d bf x x f（42.定积分的性质（1）定积分的线性性质：若函数(),()f x g x 都在[,]a b 上可积，则对任意的实数12,k k ，函数12()()k f x k g x +在[,]a b 上也可积，且1212[()()]d ()d ()d bbba a a k f x k g x x k f x x k g x x+=+⎰⎰⎰．（2）定积分的区间可加性：若()[,]f x R a b ∈，a c b <<，则()f x 在[,]a c 与[,]c b 上均可积，且()d ()d ()d b c ba a cf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．反之亦然．（3）定积分的方向性：()d ()d b aa bf x x f x x =-⎰⎰．（4）特殊函数定积分的性质（奇偶性、周期性）：若函数()f x 在[,]a a -上可积，则0,()is odd function ()d 2()d ,()is even function.aa a f x f x x f x x f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰，若函数()f x 可积且以0T >为周期，则对任意的实数a ，都有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰．（5）定积分的比较定理（保号性）:若函数(),()f x g x 都在[,]a b 上可积，且()()f x g x ≤，则 ()d ()d bb aaf x xg x x ⎰⎰≤．（6）绝对值函数的可积性：若函数()f x 在[,]a b 上可积，则其绝对值函数()f x在[,]a b 上可积，且()d ()d bbaaf x x f x x ⎰⎰≤．（7）定积分的估值定理：若函数()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，则()()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤．（8）积分中值定理：若函数()f x 在[,]a b 上连续，则存在(,)a b ξ∈，使得()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰．注1：本定理说明，当函数()f x 连续非负时，曲边梯形的面积()d baf x x ⎰恰好等于一个矩形的面积，此矩形的底为b a -，高为()f ξ．注2：()d baf x x b a-⎰是函数()f x 在[,]a b 上的平均值，对连续函数来说，其平均值一定是某一点的函数值． 3．变限定积分函数（1）变限定积分函数的定义：()()d xaF x f t t =⎰（2）变限定积分函数的性质 ①连续性：00lim ()lim ()d ()d ()xx aax x x x F x f t t f t t F x →→===⎰⎰② 可导性：若函数()f x 在[,]a b 上连续，则()()d xaF x f t t =⎰在[,]a b 上可导，且()()F x f x '=．即()()()d ()xaF x f t t f x ''==⎰Note ：()()()()()d ,()()d (())()g x g x aaF x f t t F x f t t f g x g x '''===⎰⎰Note ：()()()()d g x h x F x f t t =⎰()()()()()()()()d ()d ()d (())()(())()g x ag x h x h x aF x f t t f t t f t t f g x g x f h x h x '''''==+=-⎰⎰⎰4．定积分的计算---牛顿-莱布尼兹公式：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则()d ()()ba f x x Fb F a =-⎰．5．定积分的换元积分法和分部积分法()()()d (())()d (())d(())()d b b b h b a a a h a f x x g h x h x x g h x h x g u u'===⎰⎰⎰⎰；()()d ()()()()d bbb aa af xg x x f x g x f x g x x ''=-⎰⎰．6．定积分的几何应用（1）平面图形的面积：()()d ba A f x g x x =-⎰（2）旋转体的体积：2π()d baV f x x =⎰（3）平面曲线的长度：bbaal x t ==⎰⎰定积分—典型例题（概念与性质） 例7-1．利用定积分的几何意义aax -⎰解:21π2aax a -=⎰．例7-2．计算22(x x -+⎰解：2222(2π4πx x --+-⎰⎰例7-3．（2005．21）设连续函数()y f x =在[]0,a 内严格单调递增，且()00f =，()f a a =，若()g x 是()f x 的反函数，则()()()0d af xg x x+⎰=( )．A ．()()22fa g a + B ．()2f aC ．()02af x dx ⎰D ．()02a g x dx ⎰分析：如图，根据定积分的几何意义可知：0(),()()aaaf x dx Ag y dy g x dx B ===⎰⎰⎰，所以220[()()]()af xg x dx A B af a +=+==⎰．即正确选项为B ．例7-4.（2011.19()xf x 的一个原函数，则101d ()x f x =⎰（ ）.A.1-B. π4C. π4- D. 1答：C ．分析：本题主要考查了原函数的概念和定积分的几何意义．因为()x xf x '==-101πd ()4x x f x =-=-⎰⎰．注：定积分x ⎰表示的是圆弧y =0x =，1x =及0y =所围区域的面积．例7-5.（2011.21）设()f x 在[0,2]上单调连续， (0)1(2)2f f ==，，且对任意12,[0,2]x x ∈总有1212()()()22x x f x f x f ++＞，()g x 是()f x 的反函数，21()d P g x x =⎰，则（ ）.A. 34P ＜＜B. 23P ＜＜C.12P ＜＜ D. 01P ＜＜答：D ．分析：本题主要考查了凸函数的定义、反函数的概念、定积分的几何意义．由题意，函数()y f x =在区间[0,2]是上凸函数．根据反函数的概念及定积分的几何意义，21()d P g x x =⎰表示的是图中曲边ABC ∆的面积，其值小于1．例7-6． 比较10e d xx ⎰与210e d x x ⎰，10d 1xx x +⎰与10ln(1)d x x +⎰的大小．解 因为当01x ≤≤时，2xx e e ≥，ln(1)1xx x≤++，所以10xe dx ≥⎰210x e dx ⎰，101xdx x ≤+⎰10ln(1)x dx +⎰．例7-7．（2009．19）设函数()g x 在[0,]2π上连续．若在(0,)2π内()0g x '≥，2则对任意的(0,)2x π∈有（ ）．A ．22()(sin )xxg t dt g t dt ππ≥⎰⎰B ．11()(sin )x x g t dt g t dt≤⎰⎰C ．11()(sin )x x g t dt g t dt≥⎰⎰D ．22()(sin )xxg t dt g t dt ππ≤⎰⎰【分析】 因为()0,(0,)2g x x π'≥∈，所以函数()g x 在区间(0,)2π上单增，又当(0,)2t π∈时，sin t t>，所以()(sin )g t g t ≥，从而22()(sin )xxg t dt g t dt ππ≥⎰⎰，(0,)2x π∈．正确选项为A ．定积分—典型例题（运算）．例13-1.（2011.20）若函数22()ex y x t =⎰，则221d ()d x y xx =-=（ ）.A.B.1C.14e -D. 4e答：A ．分析：本题考查了变限定积分的导数公式．因为0d 2e 2ed x xy x x x<==，22d 2e 2e 2(1)e d x x xy x x x=+=+， 所以221d ()0d x y x x =-=．例13-2：求下列函数的导数（1）22()()x F x f x t dt =-⎰， （2）()()xF x f xt dt =⎰解：（1）因为222020()()()()()x x xF x f x t dt f u du f u du=-=-=⎰⎰⎰，所以2()2()F x xf x '=．（2）因为21()()()xx F x f xt dt f u du x==⎰⎰，所以2221()()2()x F x f u du f x x'=-+⎰．例13-3．已知函数()y y x =由方程21sin 20e d cos d 0x t yt t t +=⎰⎰确定，求d d y x．解 因为21sin 20cos 0x t ye dt t dt +=⎰⎰，所以22c o s cy dy e xx dx-+=．因此22cos cos(sin )y dy e x x dx-=．例13-4：若函数()y y x =由参数方程2211sin d ,sin d t t x u uy u u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰确定，则π3d d t yx ==（ ）．A．3 B．2CD分析：当t 在π3附近时，因为2cos d 2t y t t =⋅，2sin d 2tx t t =⋅，所以d cos cot d sin y t t x t==．故π3d πcot d 33t y x ===． 答：A例13-5．（2008．19）当0x ≥时，函数()f x 可导，有非负的反函数()g x ，且恒等式()21()1f x g t dt x =-⎰成立，则函数()f x =（ ）．A ．21x + B ．21x -C ．21x + D ．2x分析：由()21()1f x g t dt x =-⎰，得()(())2f x g f x x '=，又(())g f x x =，所以()2f x '=，即()2f x x C =+．又由()21()1f x g t dt x =-⎰知(1)21()110f g t dt =-=⎰，即(1)1f =，所以1C =-，故()21f x x =-．所以正确选项为Ｂ．例13-6．（2010.18） 若连续周期函数()y f x =（不恒为常数）对任何x 恒有6413()()14x x f t dt f t dt +--+=⎰⎰成立，则()f x 的周期是（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．10答：C ．分析：由6413()()14x x f t dt f t dt +--+=⎰⎰，求导得(6)(3f x f x +--=，即((3)9)(3)f x f x -+=-，所以周期为9．例13-7．已知120()()xf x x ef x dx =+⎰，求10()f x dx⎰，()f x ．解 因为120()()xf x x ef x dx=+⎰，所以111112000001()()(1)()3xf x dx x dx e dx f x dx e f x dx=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰， 因此11()3(2)f x dx e =-⎰，21()3(2)x f x x e e =+-．例13-8．已知1()d 1f x x=⎰，求π22(cos )sin 2d f x x x ⎰的值．解 因为10()d 1f x x =⎰，所以π02222201(cos )sin 2d (cos )d(cos )()d 1f x x x f x x f u u π=-=-=⎰⎰⎰．例13-9．（2003）设πsin(cos )d I x x =⎰，则 ．（积分性质）A ．1I =．B ．0I <．C ．01I <<．D ．0I =．*解令cos t x=，则1011sin(cos )sin 0I x dx t dt π-⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰．或令2t x π=-，则22022sin(cos )sin(cos())sin(sin )02I x dx t dt t dt ππππππ--==+=-=⎰⎰⎰．例13-10（2006．21）如右图所示，函数()f x 是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，()g x 是线性函数，则2(())d f g x x =⎰（）．A ．12B ． 1C ． 23D ． 32答：B分析：根据图形可知 ()13g x x =+，2()1f x dx =⎰，且函数()f x 在每个长度为2的区间上的积分值相等，所以272010111(())()3()311333f g x dx f u du f x dx ==⨯=⨯⨯=⎰⎰⎰．例13-11． 已知10ed 1t A t t =+⎰，求120e d (1)tt t +⎰．解：因为10e d 1tA tt=+⎰，所以120e d (1)t t t +⎰1100e e e d 1112tt t A tt =-+=-+++⎰．例13-12． 已知221()x t f x edt -=⎰，求1()xf x dx ⎰．解：1121200011()()()22xf x dx x f x x f x dx'=-⎰⎰41301224x x e dx e-=-=-⎰．例13-13：若函数()f x 的二阶导数连续，且满足()()f x f x x ''-=，则ππ()cos d f x x x -=⎰（ ）．A ．(π)(π)f f ''--B ．(π)(π)2f f ''---C ．(π)(π)f f --D ．(π)(π)2f f ---答：B分析：由分部积分法，得ππππππ()cos d ()sin ()sin d f x x x f x x f x x x---'=-⎰⎰ππππ()cos ()cos d f x x f x x x --'''=-⎰ππ(π)(π)()cos d f f f x x x -''''=-+--⎰．因为()()f x f x x ''=+，且ππcos d 0x x x -=⎰，所以ππππ()cos d (π)(π)()cos d f x x x f f f x x x--''=-+--⎰⎰．即ππ(π)(π)()cos d 2f f f x x x -''-+-=⎰．定积分—典型例题（几何应用） 例4-1． 求由e ,0,0x y y x ===及e x y =在1x =处的法线所围图形的面积． 解exy =在1x =处的法线方程为1e (1)ey x =--，此法线与x 轴的交点是 2(e 1,0)+，所以21e 13111e d [e (1)]d e e 1e 2xS x x x +=+--=+-⎰⎰．例4-2.（2004．17）过点(,sin )p p 作曲线sin y x =的切线，设该曲线与切线及y 轴所围成的面积为1S ，曲线与直线x p =及x 轴所围成的面积为2S ，则（ D ）．A ．20121lim 3p S S S +→=+B ．20121lim 2p S S S +→=+C ．20122lim 3p S S S +→=+D ．2012lim 1p S S S +→=+* 分析：由于2101[(sin cos ())sin ]sin cos cos 12pS p p x p x dx p p p p p =+--=-+-⎰，20sin 1cos pS xdx p ==-⎰，所以20022121cos sin lim lim lim 111sin cos sin sin 22p p p S p p S S p p p p p p p+++→→→-===+-+例4-3.（2010.21） 设曲线:(1)L y x x =-，该曲线在点(0,0)O 和(1,0)A 的切线相较于B 点．若该两切线与L 所围区域的面积为1S ，L 与x 轴所围区域的面积为2S ，则（ ）． A ．12S S =B ．122S S =C ．1212S S =D ．1232S S =答：C ．分析：120111(1)d 236S x x x =-=-=⎰，121111122612OABS S S ∆=-=⨯⨯-=，所以1212S S =．例4-4． 求曲线2y x=及其在点(1,1)处的切线与x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V ．解曲线2y x =在点(1,处的切线方程为12(1)21y x x =+-=-，此切线与x 轴的交点是1(,0)2，所以所求的体积为11421021πd π(21)d π30V x x x x =--=⎰⎰．。
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GCT 高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
定积分知识点
定积分知识点定积分是微积分中非常重要的概念之一。
它在实际问题的建模和求解中起着至关重要的作用。
本文将介绍定积分的基本定义、性质以及一些常见的应用。
1. 定积分的基本定义定积分是函数积分学的重要概念，它可以将函数的定义域上的函数值从一个点到另一个点的累加。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δx_i，选择每个小区间中任意一点ξ_i，称为取样点。
则定义Δx_i乘以f(ξ_i)的和对应的极限值，当区间的个数趋向于无穷大时，即Δx_i趋于0，就得到了函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分。
定积分的数值即为积分的结果。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面我们简要介绍其中的几个。
2.1 可加性设函数f(x)在区间[a, b]上可积，如果将该区间分成两个子区间[a, c]和[c, b]，则有定积分的可加性质，即∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx。
这个性质可以推广到多个子区间的情况。
2.2 线性性质定积分还具有线性性质。
即对于任意的实数k、l，函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b](k*f(x) + l*g(x))dx = k * ∫[a,b]f(x)dx + l * ∫[a, b]g(x)dx。
2.3 积分中值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(ξ) * (b - a)。
这个定理说明了定积分与函数在区间上的平均值的关系。
3. 定积分的应用定积分在各个领域都有广泛的应用。
下面我们介绍一些常见的应用。
3.1 几何应用通过定积分可以计算曲线与坐标轴所围的区域面积。
例如，如果给定函数f(x)，在区间[a, b]上，可以通过定积分∫[a, b]f(x)dx来计算曲线y=f(x)与x轴之间的面积。
高中数学定积分知识点
高中数学定积分知识点高中数学中的定积分，是一个重要的数学概念。
它在微积分中起到了至关重要的作用，不仅仅是理论上的基础，也是解决实际问题的关键工具。
在本文中，我们将探讨一些关于高中数学定积分的知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们需要明确定积分的定义和基本性质。
定积分可以理解为一个函数在某个区间上的累积效应。
它可以表示为函数f(x)在[a, b]区间上的面积或曲线下方的积分值。
定积分的计算有多种方法，其中一种常见的方法是使用黎曼和来逼近。
定积分有一些基本的性质，其中包括线性性质、可加性质、保号性质等。
这些性质使我们能够更加灵活地使用定积分来求解各种问题。
此外，定积分还有一个重要的应用是计算曲线的弧长。
通过定积分，我们可以精确地计算出曲线的弧长，而不需要使用近似方法。
在应用定积分解决实际问题时，我们通常需要先建立一个数学模型。
这个模型可以是一个函数，描述了变量之间的关系。
然后，我们可以使用定积分来求解这一函数在某个区间上的累积效应，得到我们想要的结果。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、面积、体积等。
除了常见的计算求解问题，定积分还有一些更深入的概念和应用。
例如，定积分可以用来计算函数的平均值。
通过将函数在某个区间上的定积分除以区间的长度，我们可以得到函数在该区间上的平均值。
这对于理解函数在一个区间内的变化趋势是非常有帮助的。
此外，定积分还可以用于求解微分方程。
微分方程是描述自然现象中变化的方程，定积分可以帮助我们从微分方程的解中得到更多的信息。
例如，通过将微分方程转化成定积分的形式，我们可以求解出函数的图像、特定点的坐标等。
值得一提的是，高中数学中的定积分只是微积分的一个基础，对于后续的学习和研究，定积分还有更多的应用和拓展。
通过进一步学习和研究，我们可以了解到曲线的曲率、曲线下的曲面积分等更加复杂的概念和方法。
综上所述，高中数学中的定积分是一个非常重要的概念，它不仅仅是理论上的基础，也是解决实际问题的关键工具。
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在学习定积分的计算方法时，我们需要掌握一些基本的技巧和思路，下面我们就来详细了解一下定积分的计算方法。
首先，我们需要了解定积分的定义。
在数学上，定积分是一个数学上的概念，它表示在一个区间上的函数在该区间上的平均值与区间长度的乘积。
定积分的符号表示为∫，被积函数为f(x)，积分区间为[a, b]，则定积分的表示为∫[a, b]f(x)dx。
接下来，我们来介绍一些常见的定积分计算方法。
首先是定积分的几何意义法，通过几何图形的面积来理解定积分。
其次是定积分的基本性质法，利用定积分的基本性质来简化计算。
再次是定积分的换元积分法，通过变量替换来简化被积函数的形式。
最后是定积分的分部积分法，通过分部积分来简化被积函数的形式。
定积分的几何意义法是我们最常见的计算方法之一。
通过将被积函数的图形与坐标轴围成的图形进行面积计算，可以得到定积分的值。
这种方法直观易懂，适用于简单的函数。
定积分的基本性质法是我们在计算定积分时经常使用的方法。
利用定积分的性质，可以将复杂的被积函数进行分解和简化，从而得到定积分的值。
这种方法在处理复杂函数时非常有效。
定积分的换元积分法是一种常见的计算方法。
通过变量替换，可以将原函数转化为一个更容易积分的形式，从而简化计算过程。
这种方法在处理含有复杂变量的函数时非常有用。
定积分的分部积分法是一种常见的计算方法。
通过分部积分，可以将原函数进行分解，从而得到一个更容易积分的形式。
这种方法在处理乘积形式的函数时非常有效。
总结一下，定积分的计算方法包括几何意义法、基本性质法、换元积分法和分部积分法。
在实际应用中，我们可以根据具体的函数形式和积分区间来选择合适的计算方法，从而更高效地求解定积分的值。
希望本文对大家在学习和应用定积分时有所帮助。
gct数学公式
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
定积分知识点总结
定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数)1,...,1,0(1-=-=∆+n i x x x i i i 中最大者.在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=.)1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ而做成总和∑-=∆=10)(n i i i x f ξσ然后建立这个总和的极限概念：σπ0||||lim →=I另用""δε-语言进行定义：0>∀ε，0>∃δ，在||||πδ<时，恒有εσ<-||I则称该总和σ在0→λ时有极限I .总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为⎰=badx x f I )(2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则⎰⎰≥babadx x g dx x f ,)()(特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则⎰≥badx x f 0)((2) 积分的线性性质⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα特别地，有⎰⎰=babax f c dx x cf )()(.设f(x)在[a,b]上可积，且连续，(1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得)()()(θf a b dx x f ba-=⎰二、达布定理1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和∑∑=+=+-=-=ni i i i ni i i i x x m f S x x M f S 1111)(),(,)(),(ππ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道i i i M f m ≤≤)(ξ将这些不等式逐项各乘以i x ∆(i x ∆是正数)并依i 求其总和，可以得到),(),(f S f S πσπ≤≤推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分割，多加了k 个新分店，则||,||),(),'(),(||,||),(),'(),(πωππππωπππk f S f S f S k f S f S f S +≤≤-≥≥这里m M m M ,,-=ω分别为f 在[a,b]上的上、下确界. 推论2 设f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割',ππ，有)(),(),()(a b M F S f S a b m -≤≤-ππ2.达布定理定义 设f(x)在[a,b]上有界，定义。
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f (a)
D2 D1
a
D2 的面积，二者之和正好是边长为 f (a) a 的正方形面积 f 2 (a) ．故正确选
项为 B．
第13章 定积分—典型例题
解法 2：令 x f (t ) ，则
0 g ( x)dx f (0) g ( x)dx 0 g ( f (t )) f (t )dt 0 t f (t )dt
例 4． （2009． 19） 设函数 g ( x) 在 [0, A． C．
] 上连续． 若在 (0, ) 内 g ( x) 0 ， 则对任意的 x (0, ) 有 （ 2 2 2
B． D．
） ．
2 x
g (t )dt 2 g (sin t )dt
x
x
1
g (t )dt g (sin t )dt
A．
B．-1
C．
1 4
D．1
分析：本题是积分学题，考查了原函数概念和牛顿—莱布尼兹公式． 由于 f ( x) (e ) e
x
1 1 1 f (ln x ) ，所以 ，从而 x ln x e e x 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 x 2 f (ln x)dx 1 x3 dx 2 x 2 1 4 2 4 ．
x x ln(1 x) ， 0 ( x 0) ， 则 f ( x) 且 f (0) 0 ， 2 1 x (1 x)
x ln(1 x) f (0) 0 ( x 0) ，从而 I1 I 2 ． 1 x 故正确选项为 A．
第13章 定积分—典型例题
） ． D． I 0
A． I 1 答：D．
B． I 0
C． 0 I 1
分析：主要考查了定积分的换元积分法和定积分的性质． 令
t cos x
，
则
dx
1 1 t 2
sin t
dt
，
从
而
1 I 0 sin(cosx)dx 1
sin t dt ． 由 于 1 t2
0 0 0
1
1
1
再由 f 0 1, 求出 f (1) f (0) 1 e1 2 e1 .
第13章 定积分—典型例题
例 7．200821 原函数概念与牛顿莱布尼兹公式：若 e
x
是 f ( x) 的一个原函数，
则
1
2
1 f (ln x)dx （ 2 x
1 4
） ．
以 g (t ) g (sin t ) ，从而 正确选项为 A．
2 x
第13章 定积分—典型例题
√例 5 ： ( x 2) 4 x 2 dx
2 2
解
2
2
( x 2) 4 x dx
2
2 2
x 4 x dx 2 4 x 2 dx 0 4 4
2
0
7 2 1 1 1 f ( g ( x)) dx f (u ) du 3 f ( x)dx 3 1 1 ． 1 0 3 3 3
第13章 定积分—典型例题
例6 ．（200718）设函数 f x 可导，且 f 0 1， f ln x x ，则 f 1 （ A ） B． 1 e1 C． 1 e1 D． e 1
第13章 定积分—典型例题
√例2.200719函数平均值问题：下图中的三条曲线分别是:
(1) f x ，(2) x f t dt , (3)
x 1
1 x 3 f t dt 的图形, 3 x
按此顺序,它们与图中所标示 y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x) 的对应 关系是（ D ）
0 2
y
y g ( x) y f ( x)
1 2 2 C. 3
A．
B. 1 D.
3 2
2
1
分析：根据图形可知 g ( x) 1 3x ， f ( x)dx 1 ，
0
1 3
0
1
2
x
且 函 数 f ( x) 在 每 个 长 度 为 2 的 区 间 上 的 积 分 值 相 等 ， 所 以
tf (t )
a
a 0
a
f (a)
a
a
0 f (t )dt af (a) 0 f (t )dt f 2 (a) 0 f ( x)dx ,
a
a
a
即 0 [ f ( x) g ( x)]dx f 2 (a) ． 解法 3：由于本题中的 f ( x) 也只是满足一定条件的一类函数，我们利用 特殊值带入法肯定能得到正确选项．取 f ( x )
第13章 定积分—典型例题
√例 3 ．设 a 0 ，则定积分 I1 是（ ） ． B ． I1 I 2 C ． I1 I 2 D．与 a 的取值有关
a x dx 与 I 2 01 x
ln(1 x)dx 的大小关系
a 0
A ． I1 I 2 答：A．
分析：本题主要考查了定积分的比较定理和证明函数不等式的一般方法． 令 f ( x) 所以 f ( x)
A． y1 x , y2 x , y3 x B． y1 x , y3 x , y2 x C． y3 x , y1 x , y2 x D． y3 x , y2 x , y1 x
第13章 定积分—典型例题
1 b f ( x)dx 表示函数在区间上的 分析：考查定积分的概念及性质．因为定积分 a ba
x
故正确选项为Ａ．
第13章 定积分—典型例题
√例 8.200819 变限定积分函数求导: 当 x 0 时， 函数 f ( x) 可导， 有非负的反函数 g ( x) ，
且恒等式 A． 2 x 1
f ( x)
1
g (t )dt x 2 1 成立，则函数 f ( x) =（
C． x 1
a 0
)． B. f
2
A. f D.
2
a g a
2
a
C.
2 f x dx
0
a
2 g x dx
0
a
答：B．
第13章 定积分—典型例题
分析：主要考查了反函数的概念、定积分的几何意义和定积分的换元积分法 与分部积分法． 解法 1：如图，根据定积分的几何意义，
a 0 f ( x)dx 表示的是图中区域 D1 的面积， f (a) a g ( y ) dy 0 0 g ( x)dx 表示的图中区域
B． 1
） ． C． 1 D．
A． 0
分析：主要考查了定积分的换元积分法和定积分的性质．因为
0 f ( x sin x) sin xdx 0 f ( x sin x) x cos xdx
0 f ( x sin x)d ( x sin x) 0 f (u )du 0 ，
2
） ． D． x
2
B． 2 x 1
分析：本题是积分学题，考查了变限定积分求导、反函数概念和定积分性质． 由
f ( x)
1
g (t )dt x 2 1 ，得 f ( x) g ( f ( x)) 2 x ，又 g ( f ( x)) x ，所以 f ( x) 2 ，
平均值，而一个函数通过移动平均之后，其相应曲线的起伏变化会变小，也就是曲 线被抹平滑，而且平均的区间越长，抹平滑的效果越好． 而该题中三个函数中的两个用积分表示的函数，正是在二个长度不同区间上的 滑 动 平 均 值 ：
x 1 x
1 x 1 f t dt x f t dt ( x 1) x
u x 1 1 1 1 因为 0 f ( x )dx 20 f ( x )d x 20 f (u )du 2a ，所以正确选项为 C ．
x
注：特殊值代入法。取 f ( x) a 。
第13章 定积分—典型例题
1 et et dt ． √例 2：已知 A dt ，求 2 0 (1 t ) 0 1 t
2
sin(sin t )dt
由于 sin(sin t ) 是奇函数，所以
2
2
sin(sin t )dt 0 ．
第13章 定积分—典型例题
√例 4 ．(200419)设 f ( x) 为连续函数，且 f ( x sin x) sin xdx 1 ，则
0Hale Waihona Puke 0f ( x sin x) x cos xdx （
2 2
2
第13章 定积分—典型例题
二、定积分运算（7）
1 1 f ( x)dx a ， √例 1． 如果函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上连续， 且 0 则 0
1 x
f ( x )dx
（
） ． B． a C． 2 a B． a 2
1 A． a 2
分析：本题考查了定积分的换元积分法．
且 f ( x sin x) sin xdx 1 ，所以 f ( x sin x) x cos xdx 1．故正确选项为 C ．
0 0
0
注：特殊值代入法。取 f ( x)
1 。 2
第13章 定积分—典型例题
例 5． （200621）如右图所示，函数 f ( x) 是以 2 为周 期的连续周期函数，它在[0 ，2] 上的图形为分段直 线， g ( x) 是线性函数，则 f ( g ( x))dx （B ） ．