新人教版14.3公式法分解因式 (二)
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
初中数学_因式分解——公式法(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
14.3 因式分解（第三课时）14.3.2 公式法（2）一、教学目标（一）学习目标1.掌握完全平方公式的特点.2.会运用完全平方公式因式分解.3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.（二）学习重点掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.（三）学习难点灵活运用公式分解分解因式.二、教学设计（一）课前设计1.自学反馈请同学们根据爱作业在线预习的情况组内交流，有困惑的地方组长帮忙解决。
公式法：把乘法公式的等号两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.（二）课堂展示探究一 剖析完全平方公式活动1 剖析完全平方公式问题 ：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？学生思考后分小组讨论，再归纳总结：完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可. 口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.追问：平方差公式中的a 、b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢？【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.●活动2 辨析完全平方公式问题 ：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a 、b .（1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +- 学生独立思考后，集体订正.【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.探究二 直接运用完全平方公式因式分解●活动1 公式中的a 、b 代表单项式的因式分解例1 分解因式：（1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）222216249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+；（2）222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ⎡⎤-+-=--+=--+=--⎣⎦ 【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(4)2433x x ++，认清谁是公式中的a 、b ，再进行因式分解 ；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为2222(44)22(2)x xy y x x y y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，再因式分解. 【答案】 （1）2(43)x +；（2）2(2)x y --.练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y -- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）2222242025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-；（2）22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ⎡⎤--=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(2)225(5)x x y y -+，辨析公式中的a 、b ，再进行因式分解 ；（2）将负号提出是本题的关键，变形为22(3)232(2)x x y y ⎡⎤--+⎣⎦，再因式分解.【答案】 （1）2(25)x y -；（2）2(32)x y --.●活动2 公式中的a 、b 代表多项式的因式分解例2 分解因式：（1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ . 【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-；（2）222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b 看成一个整体，设a+b =m ，则原多项式就化为21236m m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.【答案】 （1）2(6)a b +-；（2）2()n m -.练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--； （2）22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++=++=+=+⎣⎦⎣⎦. 【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c 看成一个整体，设b+c =m ，则原多项式就化为222a am m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.【答案】 （1）2()a b c --；（2）4(1)x +.探究三 综合应用●活动1例3 分解因式： 22363ax axy ay ++ ；【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+；3. 课堂总结知识梳理（学生自己总结梳理）（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-.（3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.重难点归纳（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.(三)课后作业基础型 自主突破1.下列多项式是完全平方式的是（ ）A ．244a a --B ．23216a a -+C ．224a a ++D ．2816a a -+2.已知224x mx -+ 是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．±23. 计算x =156，y =144，则221122x xy y ++ 的值是（ ） A ．150 B ．450 C ．45000 D ．900004.分解因式2(1)2(1)1a a ---+ 的结果是（ ）A ．(1)(2)a a --B ．2(1)a -C ．2(1)a +D ．2(2)a -5. 计算：222172173417-⨯+ =_____________.能力型 师生共研7. 若224222()8()160x y x y +-++= ，则22x y + 的值为（ ）.A ．4B ．2C ．± 2D ．± 48. 已知△ABC 三边a 、b 、c 满足等式2220a ab b bc c ac -+-+-=，则△ABC 是 三角形.学情分析两班共有学生110人，两班中绝大部分同学都能跟上现有的进度，上课发言积极，部分同学表现的比较出色，但也有个别同学的理解能力和接受能力不尽人意。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册
a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3
八年级数学上册14.3.2公式法(二)优质课教案
2、我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式
教师引导学生从运算顺序上分析运算得到特点。
先独立思考，后合作交流
学习完全平方式
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）（2）
（3）（4）．
(5) x2＋2xy－y2
三、教学目标
（一）知识目标：
（1）掌握完全平方式的特点。
（2）用完全平方式分解因式。
（二）能力目标：
（1）会判定一个多项式是否是完全平方式。
（2）能熟练应用完全平方公式分解因式。
（3）能够综合运用提公因式公式法分解因式。
（三）情感目标：
通过综合应用提公因式法、公式法分解因式进一步培养学生的观察能力，整体思想，分析解决问题的能力。
四、教学流程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入:问题情境：
计算
20172-2×2017×2007+20072.
你能快速口算得到答案吗？
课件展示提出问题。
学生独立思考。
激发学生的学习兴趣引入课题
讲授探究新知
知识点一：完全平方式
1、从运算的角度看多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2.有什么特点？
教师讲解定义
学生回答记忆
学习定义
探究新知
例1分解因式：(1)16x2+24x+9
分析16x2=(4x)2,9=32,24x=2×4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+ 2×4x·3+32
八年级数学人教版(上册)14.3.2《公式法》第2课时PPT课件
1 -2
1 -1 1×(-1)+1×(-2)=5
课堂小结
因
式 x2+(p+q)x+pq型 分 式子的因式分解
十字相乘法
解
1p
1q 1×q+1×p=q+p 一次项系数
拓展提升
1.（2020·内江）分解因式：b4-b2-12 .
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=_x_(_x_+_2_)(_x_+_3_)_.
分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3).
12
13 1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=_2_(_x_-1_)_(_x_-2_)_.
分析：2x2-6x+4 =2(x2-3x+2) =2(x-1)(x-2)．
新知探究 知识点 运用x2+(p+q)x+pq分解因式
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关 系可以得出：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进 行因式分解.
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左
新知探究 跟踪训练
例 分解因式： (1) x2-3x+2；
分析：(1) 1 -1
(2) x2+3x-10. (2) 1 -2
14.3因式分解(2)——公式法(平方差公式)讲练课件++2023-2024学年人教版八年级数学上册
x2－72
(x＋2)(x－2)
＝
；
(x＋7)(x－7)
．
1.分解因式：
(1)4x2－25＝(
(2)9x2－16y2＝
2x
)2－(
5
(3x)2－(4y)2
) 2＝
＝
(2x＋5)(2x－5)
(3x＋4y)(3x－4y)
；
.
用平方差公式分解因式的条件
①式子是二项式；②式子的两项的符号相反；③式子的每一项的绝对值
(1)解：原式＝(2 023＋23)×(2 023－23)
＝4 092 000.
(2)解：原式＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7
＝2 800.
6．分解因式：
(1)2m(2m－3)＋6m－1；
解：原式＝4m2－6m＋6m－1
＝4m2－1＝(2m＋1)(2m－1)．
解：原式＝(a2)2－42＝(a2＋4)(a2－4)
＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)．
注：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
3.分解因式：16a4－b4.
解：原式＝(4a2)2－(b2)2
＝(4a2＋b2)(4a2－b2)
＝(4a2＋b2)(2a＋b)(2a－b)．
运用整体思想因式分解
都能写成平方的形式．
先提公因式，再运用平方差公式因式分解
例2 分解因式：
(1)3x2－12；
(2)x2(a－b)－y2(a－b)．
(1)解：原式＝3(x2－4)＝3(x＋2)(x－2)．
(2)解：原式＝(a－b)(x2－y2)
＝(a－b)(x＋y)(x－y)．
14.3《因式分解 公式法》(二)
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
完全平方式
熟知公式特征！ 用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式 a2 ±2a b + b2 = （ a ± b ） 2
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
- 版权所有-
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解：由x +4x+y -2y+5=(x +4x+4)+(y -2y+1) =(x+2) +(y-1) =0得 x+2=0,y-1=0 ∴x=-2,y=1
-y -1 2 2 2 2 2 2
1 ∴x =(-2) = 2
- 版权所有-
分解因式：
1. x 8x 16
2
=-(x+4)
2
2. 4 x 2 x y 2 4 x x y =(3x+y)2
3.
ax 2a x a
2 2
3
=a(x+a)
2
- 版权所有-
把下列各式因式分解
解:原式=ax (x2-1)
=ax (x+1)(x-1)
（有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。） - 版权所有-
课前复习：
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2
- 版权所有-
-(x-y)
2
2
14.3.2公式法(2)
表示为 (a b)2 或 (a b)2 形式
x2 6x 9
是
a表示：x b表示：3
x2 2 • x • 3 32
(x 3)2
4y2 4y 1 1 4a2
是 不是
a表示：2y b表示：1
(2y)2 2• (2y) •112
(2 y 1)2
x2 x 1 24
4 y2 12 xy 9x2
5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年 多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄 和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄 和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他 弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
首2 2首尾尾2
口答：下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
4
6 a2 2ab 4b2 否
填写下表
多项式
是否是完 a 、b各 全平方式 表示什么
表示为：
a2 2ab b2
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)
人教版八年级上数学14.3.2因式分解——公式法(第二课时)
(2)若二次三项式a2+a+m为完全平方式，则m=_______.
例 分解因式：
解:(3)3ax2 6axy 3ay2 3a（x2 + 2xy y2）
3a（x y）2.
归纳
1）利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式；
先找某两数平方和 再验证两数积 利用完全平方公式
的2倍
因式分解
1.分解因式：
(1)a 1 a2 ; 4
(2) 2xy x2 y 2 ; (3)3x3 18x2 27x.
解：(2) 2xy x2 y2
(2xy x2 y2 ) (x2 2xy y2 ) (x y)2 ;
巩固练习
1.分解因式：
(1)a 1 a2 ; 4
(2) 2xy x2 y 2 ; (3)3x3 18x2 27x.
课堂小结
1.完全平方式：形如 a2 2ab b2 的式子是完全平方式；
2.利用完全平方公式因式分解：
a2 2ab b2 (a b)2 , a2 2ab b2 (a b)2
课后作业
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1)a 2 4a 4;
(2)1 4a 2 ;
(3)4b2 4b 1;
复习引入
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)x2 y 2 __(x_+_y_)_(x_-_y_)_____; (2)4m2 16 _4_(_m_+_2_)_(m__-_2_)__.
问题：因式分解的平方差公式与整式乘法的 平方差公式有什么关系？
方向相反的等式变形.
复习引入
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)x2 y 2 __(x_+_y_)_(x_-_y_)_____; (2)4m2 16 _4_(_m_+_2_)_(m__-_2_)__.
14.3.2 因式分解 —平方差公式 教案 (含答案)2023--2024学年人教版八年级数学上册
第十四章整式的乘法与因式分解·14.3因式分解·第二课时平方差公式教案班级：课时：课型：一、学情分析平方差公式是最基本、用途最广泛的公式之一，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起十分重要的作用.但是这一阶段的学生抽象思维能力还不够完整，需要在教师的引导下进行探索.二、教学目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．三、重点难点【教学重点】运用平方差公式分解因式．【教学难点】综合运用提公因式法与平方差公式来分解因式．四、教学过程设计第一环节【复习旧知引入新课】1.师：因式分解的定义？生：把一个多项式分解成几个整式的积的形式.2.师：提公因式法的定义？生：在一个多项式中，若各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.3.5ab3+20ab2的公因式是什么？（答案）5ab2(b+4).4.x2-1和4m2-n2可以用提公因式法分解吗？设计意图：通过师生互动共同回顾上节课所学知识，避免学生遗忘知识，同时为这节课所学知识做铺垫.第二环节【合作交流探索新知】1.观察多项式x2-1和4m2-n2，试着用已经学过的知识找出他们之间有什么特点？学生通过因式分解发现x2-1可以变成（x-1）（x+1），4m2-n2可以变成（2m-n）（2m-n），老师引出平方差概念.（答案）都可以写成a2-b2(两个数的平方差)的形式.x2-1=x2-12和4m2-n2=(2m)2-n2.2.师：你能将a2-b2分解因式吗？学生思考后将其变成（a-b）（a+b），老师给出互逆过程，给出相关概念.两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这种分解因式的方法称为公式法.3.下列多项式能用平方差公式法进行因式分解吗？x2-1=4m2-n2=-4m2-9=x2-(x+y)2=（答案）x2-1=(x+1)(x-1)4m2-n2=(2m)2-n2=(2m+n)(2m-n)-4m2-9不能转变为平方差形式x2-(x+y)2=[x+(x+y)][x-(x+y)]=-y(2x+y)4.老师带领学生进行知识归纳，让学生印象更加深刻.因式分解的平方差公式：公式中的ɑ，b可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式.5.师：多项式2x2-8y2怎么分解？老师强调：如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，且必须分解到不能分解为止.设计意图：通过观察两个多项式运用因式分解引出平方差的概念，再由特殊到一般总结规律.通过几道习题让学生能够熟悉的运用公式法进行因式分解，让学生更清楚哪些式子是不能用平方差公式法.第三环节【应用迁移巩固提高】例1：(1) 4x2-9；(2)(x+p)2-(x+q)2 .例2.把下列各式分解因式:(1)9(m+n)2-(m-n)2；(2)2x3-8x.例3.分解因式：(1)x4-y4；(2)ɑ3b-ɑb.设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对平方差公式法运用的熟练程度，巩固基础.【答案】例1.解：（1）原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).（2）原式= [(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).例2.（1）解：原式= [3(m+n)]2-(m-n)2=(4m+2n)(2m+4n)= 4(2m+n)(m+2n)；（2）原式= 2x(x2-4)= 2x(x+2)(x-2).例3.（1）解：原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；（2）原式=ɑb(ɑ2-1)=ɑb(ɑ+1)(ɑ-1).第四环节 【随堂练习 巩固新知】1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( )A.-ɑ2+b 2B.16m 2-25m 4C.2x 2-21y 2D.-4x 2-92.下列各式能用平方差公式分解因式的是( )A ．2x 2+y 2B ．-x 2+y 2C ．-x 2-y 2D ．x 3+(-y )23.将(ɑ-1)2-1 分解因式，结果正确的是( )A.ɑ(ɑ-1)B.ɑ(ɑ-2)C.(ɑ-2)(ɑ-1)D.(ɑ-2)(ɑ+1)4.分解因式：x 2y 2-49 = ；5.分解因式：-25ɑ2+9b 2 = .设计意图：本环节在于夯实基础，通过解答简单练习让学生在习题中找到学习的乐趣，增强学生学习的主动性.【答案】1.D2. B3.B4.(xy+7)(xy-7)5.(3b+5ɑ)(3b-5ɑ)第五环节【当堂检测及时反馈】1.（2019秋•乳山市期末）下列多项式，不能用平方差公式分解因式的是()A．a2b2-1 B．4-0.25a2C．-x2+1 D．-a2-b22.（2019•贺州）把多项式4a2-1 分解因式，结果正确的是()A．(4a+1)(4a-1)B．(2a+1)(2a-1)C．(2a-1)2D．(2a+1)23.把ɑ3-4ɑ分解因式，结果正确的是()A.ɑ(ɑ2-4)B.(ɑ+2)(ɑ-2)C.ɑ(ɑ+2)(ɑ-2)D.ɑ(ɑ+4)(ɑ-4)4.（2019春•金坛区期中）已知x-y= 3，y-z= 2，x+z= 4，则代数式x2-z2的值是（）A．9 B．18 C．20 D．245.下列分解因式正确的是()A.ɑ2-2b2=(ɑ+2b)(ɑ-2b)B.-x2+y2=(-x+y)(x-y)C.-ɑ2+9b2=-(ɑ+9b)(ɑ-9b)D.4x2-0.01y2=(2x+0.1y)(2x-0.1y)6.(珠海·中考)因式分解:ɑx2-ɑy2=.7.（2020•哈尔滨模拟）分解因式：-(a+2)2+16(a-1)2=．8.（2020秋•广西期中）运用公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”计算：9992-1 =，99982=．9.把下列各式分解因式：(1)(a-1)+a2(1-a)；(2)x5-16x.10.已知4m+n= 40，2m-3n= 5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．设计意图：通过本环节的练习，深化学生对平方差公式的运用，同时让学生体会到公式法的优越性.【答案】1.D2.B3.C4.C5.D6.ɑ(x+y)(x-y)7.3(5a-2)(a-2)8.998000；999600049.解：（1）原式=(a-1)-a2(a-1)=(a-1)(1-a2)=(a-1)(1+a)(1-a)=-(a-1)2(1+a)；（2）原式=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).10.解：(m+2n)2-(3m-n)2=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)，当4m+n= 40，2m-3n= 5 时，原式=-40×5 =-200．第六环节【拓展延伸能力提升】1．利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12.2.已知乘法公式a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)；a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4).利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1.设计意图：本环节习题在于考察学生能够灵活的运用公式法求解，对式子的转化能力要求较高.【答案】1.解：原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)= 100+99+98+97+…+2+1= 5050.2.解：x 10-1=(x 5)2-1=(x 2)5-1=(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)，则有x 8+x 6+x 4+x 2+1=11210--x x =()()()()111155-+-+x x x x= (x 4+x 3+x 2+x +1)(x 4-x 3+x 2-x +1).第七环节 【总结反思 知识内化】课堂小结：1.利用平方差公式分解因式: ɑ2-b 2 = (ɑ+b )(ɑ-b ).2.因式分解的步骤是:首先提取公因式，然后考虑用公式法.3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.4.将因式分解应用到计算中，简化计算.设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.第八环节 【布置作业 夯实基础】。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14-3因式分解14-3-2公式法第2课时新人教版
9．利用因式分解计算： (1)2372＋2×237×363＋3632； 解：原式＝(237＋363)2＝6002＝360000； (2)652＋552－110×65. 解：原式＝(65－55)2＝100.
10．加上下列单项式后，仍不能使4x2＋1成为 一个整式的完全平方式的是( D ) A．4x4 B．4x C．－4x D．2x
16．阅读下列分解因式的过程： x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(先加上a2，再减去a2) ＝(x＋a)2－4a2(运用完全平方公式) ＝(x＋a＋2a)(x＋a－2a)(运用平方差公式) ＝(x＋3a)(x－a)
像上面那样通过加减项配出完全平方式后再把 二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．请 你用配方法分解下面多项式： (1)m2－4mn＋3n2； (2)x2－4x－12.
8．分解因式： (1)4x2＋y2－4xy； 解：原式＝(2x－y)2；
(2)－9a2＋12ab－4b2； 解：原式＝－(3a－2b)2；
(3)4m2－2mn＋14 n2； 解：原式＝(2m－12 n)2； (4)3ax2＋6axy＋3ay2；
解：原式＝3a(x＋y)2； (5)－4a2－20ab－25b2.
11．无论x，y取任何值，多项式x2＋y2－2x－4y ＋6的值总是( A )
A．正数
B．负数
C．非正数 D．非负数
12．如图，有三种卡片，其中边长为a的正方 形卡片1张，长为a，宽为b的长方形卡片6张， 边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼 成一个大正方形，则这个大正方形的边长 为 a＋3b ．
13．分解因式： (1)(x2＋1)2－4x2； 解：原式＝(x＋1)2(x－1)2； (2)(x－y)2－4(x－y－1)； 解：原式＝(x－y－2)2； (3)－a4b4＋8a2b2－16. 解：原式＝－(a2b2－4)2.
14.3.2因式分解公式法—平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积。
注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。
平方差公式的特点：
（1）两项的多项式; （2）两项都是平方项或是都能化为平方项; （3）两项的符号相反.
下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？
如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12
★分解因式应分解到各 因式都不能再分解为止.
(5)9(a+b)2-4(a-b)2.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
(3)x4-16
解：原式 =(x2)2-42
(4)2x3-8x
解：原式=2x (x2-4) 2_ 2 2 2 =2x (x 2 ) =(x +4)(x -4) =(x2+4)(x+2)(x-2) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公 因式,应先提取公因 式,然后再进一步 分解因式,直到 不能分解为止.
4、公因式如何确定?
数、字母
新知探究
平方差公式：
整式乘法
2 2 + (a b)(a b) = a - b
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a - b = ( a+ b)( a - b)
2 2
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
14.3.2 公式法 课件-人教版数学八年级上册
a，b可以是单项式，也可以是多项式
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且 符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是 这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
知1－讲
一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则
据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法
的形式，再分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
特别解读
知2－讲
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆
用的形式.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项
的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号
利用加法的交换律把负平方项交换放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或
字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将每个
因式去括号，合并同类项化成最简形式.
特别解读
知1－讲
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆
用的形式.
解：∵ 9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一个完
全平方式， ∴ ka＝±2×3a·4＝±24a. ∴ k＝±24.
有和的完全平方式和差 的完全平方式两种形式
知2－练
2－1. 若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝ _－__1_或__7__．
例 3 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数之和与两数之
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综合应用
5.已知a b 2, ab 2, 1 3 1 3 2 2 则 a b a b ab 的值为_______ . 5分） （ 2 2
( x y) x y
2
2
过关测试
（5分） 3.如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、 -20 (10 x y ) 100 x 20 xy y k 20. C、10 D、 -10 （5分） 4.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ ） B A 、6 B、± 6 2 2 2 ( x 3 y ) x 6 xy 9 y C 、3 D、±3
2 2 2
2
2 2 ab ( a 2 b ) 解： (1)原始 2ab(a 4ab 4b )
2 (2)原始 ( x y) 4( x y) 4 （x y 2） 2 2 2 2 (3)原始 （x y ） (2xy)
2
( x 2 y 2 2xy)(x 2 y 2 2xy)
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
2 2
2 2
a 2ab b 或 a 2ab b 的多项式,
叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 用完全平方公式分解因式的关键是： 判断一个多项式是不是一个完全平方式。
表示为（a b) 2 或 （a b) 2的形式
x
3
2 x 3
不是三项多项式！ 完全平方公式中的两平方项应该做和而不是差！
是 x 2
不是
2 4 2 x 2 a 3 b 3 ab 3 2 1
1
( x 3)
2
x ( 1) 2 2
2
第二关：探究新知
a 2ab b 2 2 a 2ab b
2 2 1 1 1 1 ( 2) y 2 y y 2 2 y 1 y 16 2 4 4 4
4 4 2 2 2 ( a 2 b) 2 2 2 (3) ab a b a 2 a b 3 3 9 3 3 1 1 1 1 2 ( 4) x x x 2 x x 4 2 2 2
2
2
2
2
提升训练
2.用完全平方公式分解因式。
(1)16x 72x 81 (4x ) 2 4x 9 9
4 2
2 2
2
2
4x 9
2
2
2
(2)(x 1) 2( x 1) 1 [(x 1) 1]
2
x
2
注意整体思想和换元思想的运用！
提升训练
2.用完全平方公式分解因式。
(3)(m n) 10( m n) 25
4 2
[(m n) ] 2 (m n) 5 5 ] 2 2 2 2 2 [(m n) 5] (m 2mn n 5) 2n2 2 n 1 2n ( 4) x 18x 81x
998 （ 2） 1 1997
过关测试
1.把下列式子分解因式： （20分） 3 2 2 3 2 （1） 2a b 8a b 8ab ; (2)(x y) 4( x y 1); (3)(x y ) 4 x y ;
2 2 2 2 2
2
(4)(x 2 x) 2( x 2 x) 1;
第二关：探究新知 a 2 2ab b2 (a b) 2
问题2：填写下表：(10分)
多项式
是否是完全平方式
4a 1 x 6 x 9 4a 4ab b
2
2
2
2
x2 x 1 4
2 4 ab a 2 b 2 3 9
不是
是
不是
a表示什么
b表示什么
2ab表示什么
公式法（二）
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
答案:
(a b)(a b) a b
2
2
问题2：因式分解中的平法差公式是怎样的? 答案：
a b (a b)(a b)
2 2
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
第一关：知识回顾
问题3：分解因式（）
2 3
7 y( x 3 y)2 2 (1)3 ( x 3 y)3
7 y( x 3 y)2 2( x 3 y)3 ( x 3 y)2[7 y 2( x 3 y)] 2 2 ( x 3 y) ( y 2x) 1 6 6
第四关：总结概括
1.因式分解要彻底，直到不能分解为止。 2.在分解过程中还要有整体和换元思想。
第二关：探究新知
问题1：整式乘法中的完全平方公式是怎样的？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2 右边是整式的积
因式分解中的完全平方公式：
a 2ab b (a b) (a b)(a b) 2 2 2 a 2ab b (a b) (a b)(a b)
2
2
问题3：请每个小组交流讨论完全平方式的特点。（5分） 1.必须是三项式。
2. 有两项是两个数或者两个式子的平方， 判断完全平方式要注意： 另一项是这两数或者这两个式子乘积的2倍或-2倍。
要先找出为两数平方和的项，然后再确 定剩余项是不是这两数的2倍或者-2倍。
2 2 首 2首尾 尾
“首” 平方, “尾” 平方,
4 2 2 4
2
2
2 2
[(a 2b)(a 2b)] 2 2 (a 2b) (a 2b) (3)(a 2 9) 2 36a 2 (a 2 9 6a)(a 2 9 6a)
2
(a 3) (a 3)
2
2
综合应用
2
4.若x (m 3) x 4是完全平方式， 则实数m的值是 ______ .
(1)4a 9a
2
4
(2) (x 1) (x 1)
2
2 2
2
2
4a 9a
2 2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a) 因式分解时，先考虑提取公 因式，再考虑其它方法。 2x (2) 4x
2
(x 1) (x 1) (x 1 x 1)(x 1 x 1)
2 2 2
m 6
过关测试
2x y 6 5.已知x, y满足 ，不解方程组， x 3 y 1 2 3 求7 y( x 3 y) 2(3 y x) 的值。
解： 7 y( x 3 y) 23 y x 7 y( x 3 y)2 2[(3 y x)]3
1 3 1 3 2 2 分析： a b a b ab 2 2 1 ab (a 2 2ab b 2 ) 2 1 1 2 ab ( a b) 2 2 2 4 2 2
综合应用
6.用简便方计算： (10分) 2 （ 1 ） 2008 64 16 2008 2 2 解：原始 2008 2 2008 8 8 2 2 （2008 8） 2000 4000000 2 （2） 999 1002 998 2 解：原始 （998 1 ）1002 998 2 998 2 998 1 1002 998 998 （998 2 1002） 1
2 2 2
(x
n 1 2
) 2 x
n 1
9 9x
n 2 (x来自n 1 9x )
n 2
提升训练
3.因式分解: 2 2 (1) 3ax 6axy 3ay 3a x 2 2 xy y 2
3a( x y)
(2)a 8a b 16b (a 4b )
（1）形如________________ a 2 2ab b2 形式的多项式可以用完全
平方公式分解因式。 （2）因式分解通常考虑______________ 提取公因式法 再考虑其它方法, 并且因式分解要彻底。 整体 数学思想和_____ 换元 数学思想。 （3）注意_____
思考题：
有一系列等式： 2 1 2 3 4 1 5 2 （12 3 1 1 ） 2 2 3 4 5 1 112 （2 2 3 2 1） 2 3 4 5 6 1 192 （32 3 3 1 ） 2 4 5 6 7 1 292 （4 2 3 4 1） ...... （1 ）根据你的观察，归纳 ，发现的规律， 写出8 9 10 11 1的结果 __________ ; ( 2)试猜想nn 1( n 2)(n 3) 1是哪个数的平方，并证 明。
“首” “尾”两倍中间放.
第三关：知识应用 a 2 2ab b2 (a b)2
基 础 训 练
提 升 训 练
综 合 应 用
过 关 测 试
基础训练
1.用完全平方公式分解因式。
(1) 4a 2 12ab 9b 2 (2a)2 2 2a 3b 3b2 2a 3b2