应用运筹学-5

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运筹学第5章：整数规划

1 xj 0 对项目j投资对项目j不投资（j 1，，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应的基最优解为X*。步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。

运筹学第5章单纯形法

0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、最优性检验所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解：最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解：基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解：基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解：基本可行解一定是基本解，但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章单纯形法

运筹学——动态规划

优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以下三个特征：
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(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态转移，还是有一定规律可循的。
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(六) 指标函数用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
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（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初始状态。

《运筹学》第五章习题及答案

《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。

（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。

（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。

（5）试述建立动态规划模型的基本方法。

（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。

2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。

（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。

（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。

（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。

（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。

（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。

3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。

已知各线段的长度如下图所示。

6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295max x x x x z -+-=；⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ；（2）．33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。

物品重量及其价值等数据见下表。

试问每种物品装多少件，使整个背包的价值最大？913 千克。

物品重量及其价值的关系如表所示。

试问如何装这些物品，使整个背包价值最大？10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011 底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又每生产100件产品的费用为1000元。

运筹学5-单纯形法

保持可行性保持可行性保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增保持单调增保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0，所以有6个基阵和 6个基本解。

运筹学第5章统筹方法(网络技术)(硕士)

6
4.工序所用时间工序所用时间
（1）确定型时间）一个工序给定一个确定的完成该工序所用时间。例如编号为i的工序，确定性时间记为t i。（2）不确定型时间）一个工序给定一个不确定的完成该工序所用时间，记为随机变量t。设该工序最快完成时间为a，该工序最慢完成时间为b，该工序最可能完成时间为m。则完工所用时间：期望值： E ( t ) = a + 4 m + b 期望值
17
显然，该项目的总工期为18天。
（2）若该项目的结构进行细化，将所需铺设的水管分成3段，每个工序由一个专业公司页负责，其工序分解、工序间逻辑关系和工序完成时间见下表：
工序名称 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 工序具体内容第一段挖沟第二段挖沟第三段挖沟第一段铺管第二段铺管第三段铺管第一段回土第二段回土第三段回土
25
74
2
2
24 24 0 0 24 0 1 A 24 24 18 20 0 18 2 2 B 18 2 20
46 0 46 46 46 44 2 46
更改工序B的时间更改工序的时间
3 C 22
64 0 64 64 8 O 0 64 64 0 64
6 F 18
4 D 26
42 60 7 G 18 46 18 42 5 E 24 22 46
6 F 18 44 0 44
4 D 26
18 42 5 E 24 20 44
29
2
• 重复上面三步骤。
（1）关键路线为A—C—F—N和B—D—F—N。此时关键路线上的工序要成对的挑选和比较。由于工序F是不能调整的，因此要考虑的工序对为A和B，A和D，B和C，C和D。比较结果，B和 C的单位成本和最小，选B和C。B工序现已用20天（总工期只缩减了10天，则B工序也只缩短了10天），还有2天可缩短；C工序可缩短4天。取两工序可缩短天数小的，即B工序完成时间为18 天，C工序完成时间为20天。（2）重新计算网络图的关键路线和总工期。得到新总工期为 62天，节约2天。（3）成本—费用分析：缩短工期成本 =2天×（100＋200）元/天=600元缩短工期收益 =2天×330元/天=660元

运筹学第五章目标规划

第五章目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征（1）目标规划的基本概念。

当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。

无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。

目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。

在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。

（2）模型特征。

目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。

1）正、负偏差变量,i i d d +-。

正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。

2）硬约束和软约束。

硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。

我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。

3）优先因子与权系数。

一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。

运筹学第五章

A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些约束中可以加入正负偏差变量。
16

例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐玲
OR2
1
第五章

目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题多目标线性规划产品例1

资源原材料（kg) 设备（台时）单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数：目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：

运筹学教程第五版课程设计 (2)

运筹学教程第五版课程设计一、课程概述本课程是针对运筹学教程第五版的课程设计，旨在通过实践性的课程设计，让学生深入了解运筹学在实际问题中的应用与解决方法，同时提高学生的逻辑思维和数学建模能力。

二、课程目标•熟练掌握运筹学的基本概念和方法；•熟悉运筹学在实际问题中的应用；•能够独立完成一定难度的数学建模和问题求解；•培养学生的团队合作精神和解决实际问题的能力。

三、教学内容1.运筹学基本概念–目标函数、约束条件–线性规划问题2.线性规划的求解方法–单纯形法–对偶理论–整数规划3.线性规划在实际问题中的应用–生产计划与调度–物流配送问题–设备优化调度问题4.特殊规划问题的求解方法–整数规划的求解方法–非线性规划问题–动态规划问题四、教学方法本课程采取理论结合实践的授课方式，通过课堂教学和实验实践相结合，让学生在实践中深入了解运筹学的基本理论和方法，同时培养学生的数学建模能力和实际问题解决能力。

1.课堂讲授–讲解运筹学的基本理论和方法–培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力2.实验实践–实际问题求解，让学生将所学理论与实际问题相结合–团队合作，培养学生的团队意识和协作能力3.课堂讨论–学生团队对问题的讨论和解决方案的设计五、考核方式1.期末考试–考核学生对运筹学基本概念、理论和方法的掌握程度2.课程设计–学生团队完成具体的实际问题的分析、建模、求解和报告–考核学生数学建模和实际问题解决能力，以及团队合作能力六、参考教材《运筹学教程第五版》朱启鸣，等。

中国人民大学出版社，2017年七、总结本课程是运筹学基础教育的重要组成部分，在实践中培养学生各方面能力，具有重要的现实意义。

希望通过本课程的学习，学生能够掌握运筹学基础知识，同时培养学生的团队协作精神和解决实际问题的能力。

运筹学习题集第五章

判断题判断正误,如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。

2.产地数为3,销地数围的平衡运输中,变量组｛X11,X13,X22,X33,X34｝可作为一组基变量。

3.不平衡运输问题不一定有最优解。

4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件就是它们不包含闭合回路。

5.运输问题中的位势就就是其对偶变量。

6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。

7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。

8.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。

9.运输问题的检验数就就是对偶问题的松弛变量的值。

10.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的系数矩阵为A,则有r(A)〈=m+n-1。

11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上,则最优解不变。

12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C(C>0),则最优解不变。

13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。

14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数,则最优解不变。

15.按最小元素法求得运输问题的初始方案,从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。

16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。

选择题在下列各题中,从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。

第五章运输与指派问题1.下列变量组就是一个闭回路的有A{x21,x11,x12,x32,x33,x23} B{x11,x12,x23,x34,x41,x13} C {x21,x13,x34,x41,x12} D{x12,x32,x33,x23,x21,x11} D{x12,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B有M+N个变量MN个约束C 有MN个变量M+N-1个约束D 有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E 系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个cij 同时加上一个非0常数k,其最优调运方案不变。

运筹学第五章动态规划

和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第个月k 已有库存的商品量(为方便，后面将分别依次用，
的来x sk 情代k y况替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书）辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【例 5.3】图 5.3 所示为一水利网络， A 为水库，分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的最短路线。

运筹学5整数规划

运筹学5 整数规划* 用匈牙利法求解：最优解：即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。

总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357 * 本章介绍了整数规划的数学模型的特征及其应用； 1．整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到. 2．部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划. 3．求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界. 4．求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界. 5．变量取0或1的规划是整数规划. 求解方法有：解一般整数规划用分枝定界法、割平面法；解0－1规划用隐枚举法；解指派问题用匈牙利法。

试一试，下例结论是否正确： * 6．整数规划的可行解集合是离散型集合. 7．将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变. 8．匈牙利法求解指派问题的条件是效率矩阵的元素非负. 9．匈牙利法可直接求解极大化的指派问题. 10．高莫雷（R..E.Gomory）约束是将可行域中一部分非整数解切割掉. 11．指派问题也是一个特殊的运输问题. 12．指派问题也可用运输问题求其最优解. 13．在用隐枚举求解具有n 个变量的0-1规划时需枚举2的n次幂个可能. The End of Chapter 5 下一章：图与网络 Exit 进入练习第*页 * 整数规划 Integer Programming 可分性假设?divisibility assumption 可加性假设 ?additivity assumption 比例性假设?proportionality assumption 0－1变量 binary variable BIP 0－1整数规划纯整数规划 pure Integer Programming 混合整数规划 mixed Integer Programming LP放宽 LP relaxation 分枝定界法 brabch and boundmethod 高莫雷 R．E．Gomory 过滤条件 filtering constraint 隐枚举法implicit enumeration 指派问题 assignment problem 边际收益递减decreasing marginal returns 第*页 * 作业：教材P135 T5.7 The End of Chapter 5 下一章：图与网络是非决策 yes－or－no decision 二选一约束either－or－constraints 互斥的选择 mutually exclusive alternative 相依决策 contingent decision * 分枝定界法的步骤： 1. 求整数规划的松弛问题最优解； 2. 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步； 3.任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束xi≤[[]xi]及xi≥[[]xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。

运筹学-5-5最小费用最大流问题

若不存在最短路，则X(k-1)即最小费用最大流，停止迭代；
否则，转下一步。
第四步---将最短路还原成原网络图中的最小费用增广链μ，在μ上对可行流X(k-1)进行调整，得到新的可行流图，若其流量等于fmax,迭代结束。否则转入第一步，进入下一次迭代过程。
4、举例
增广费用网络图
(容量费用图(bij,cij))
μ去调整X得到的新的可行流 ~x就是流量为 f ( )的~x 最小费用流。
（2）实现思路
基于第一种求解途径，根据上述定理，只要找到最小费用增广链，在该链上调整流量，得到增加流量后的最小费用流。循环往复直至求出最小费用最大流。
对偶法原理和步骤
f max
求最大流
确保流量最大
将0流作为初始可行流
零流弧上，保持原弧不变，将单位费用作为权数，即wij= cij:
(bij , cij , 0)
Vi
Vj
原网络
(bij , cij )
Vi
Vj
增广费用网络
非饱和弧上 (0 xij bij ) ，原有弧以单位费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位
费用的负数作权数（p167更正）：
(bij ,cij , xij )
绘制扩展费用网络
Ford算法找从vs到 vt的最短增广链
No
流量等于最大流?
Yes 得最小费用最大流
调整流量得费用最小的可行流
确保费用最小
实施中的关键
为什么?
构造增广费用网络图（即扩展费用网络图），借助最短路算法寻找最小费用增广链。
增广链流量调整：正向弧增加流量 j，反向弧减少流量 j。
2、最小费用流
对一费用容量网络，具有相同流量 f 的可行流中，总费用最小的可行流称为该费用容量网络关于流量 f 的最小费用流，简称流量为 f 的最小费用流。

运筹学第五章作业答案(1)教案资料

1
2
3
4
5
0
0
4
4
1
6
6
2
11
11
3
12
12
4
12
12
5
《运筹学》Ⅰ史慧萍
5
(阶段2)
x2
s2 0
0
0+0
1
0+4
2
0+6
3
0+11
4
0+12
5
0+12
2015/5/4
f2(s2) =P2(x2)+ f3(s2 -x2 )
1
2
3
4
5
5+0 5+4 10+0 5+6 10+4 11+0 5+11 10+6 11+4 11+0 5+12 10+11 11+6 11+4 11+0
《运筹学》Ⅰ史慧萍
f2(s2)
0 5 10 14 16 21
x2*(决)
0 1 2 2 1，2 2
6
（1）（设备数为4台）： (阶段1)
s1
x1
f1(s1) =P1(x1)+ f2(4 -x1 )
f1(s1) =f1(4) x1*(决)
0
1
2
3
4
4
0+16 3+14 7+10 9+5 12+0
17
1,2
由计算表格的顺序反推：
1.由于x1*=1，根据s2=s1-x1*=4-1=3。查表知： x2*=2；由s3=s2-x2*=3-2=1，故x3*=s3=1，即得到：甲工厂分配1台，乙工厂分配2台，丙工厂分配1台。 2.由于x1*=2，根据s2=s1-x1*=4-2=2。查表知： x2*=2；由s3=s2-x2*=2-2=0，故x3*=s3=0，即得到：甲工厂分配2台，乙工厂分配2台，丙工厂分配0台。以上两种分配方案的总盈利为17万元。

运筹第5章

解决实际问题的例子
有甲乙丙丁戊己6名运动员参加ABCDEF6个项目的比赛，报名情况如下表所示。试安排六个项目的比赛顺序，做到每名运动员不连续参加两项比赛。
A 甲 B C D √ E F √ √ √ √ √
乙
丙丁戊
√
√
√
√
√
己
√
√
§2 连通图与子图
连通图

链图G中，一个点和边的交替序列：
图G的一棵部分树
§3 树

注意：一个图的部分树是连接这个图全部顶点的最少边数的子图。
§3 树
寻求部分树的方法： →破圈法 →避圈法图G的一棵部分树
v2
e1 e4
e8
e2
e7
v1
v4
e3
e6
v5
e5
v3
§3 树
→避圈法
e1
v2
e4
e8
e2
e7
v1
v4
e3
e6
v5
e5
v3
v2
图G的一棵部分树
图论
图论是运筹学一个重要分支规划论是以线性模型为研究工具，解决实际
问题的优化问题。
图论是以图及其理论为研究工具，解决实际
问题的优化问题。是一种全新的研究方法。
从本章开始，我们将学习图论的概念、理论、
方法与应用。
图论完整的知识体系
第五章
图的基本概念
本章教学内容
图的基本概念连通图与子图树
v1
e2
e8 e5
v4
e6
v5
v3
§3 树
[例2] 在下面图示的稻田中，至少挖开几条堤埂，便可浇到所有稻田？

运筹学习题答案第五章

第五章习题解答
5.11 某城市可划分为11个防火区，已设有4个消防站，见下图所示。
page 16 2 January 2024
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运筹学教程
第五章习题解答
上图中，虚线表示该消防站可以在消防允许时间
内到达该地区进行有效的消防灭火。问能否关闭若干消防站，但仍不影响任何一个防火区的消防救灾工作。 (提示：对每—个消防站建立一个表示是否将关闭的01变量。)
x1, x2 0,且为整数
解：x1 1, x2 3, Z 4
min Z 5x1 x2
3x1 x2 9
(2)
st
x1 x1
x2 5 8x2 8
.
x1, x2 0,且为整数
解：x1 4, x2 1, Z 5
page 8 2 January 2024
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运筹学教程
第五章习题解答
5.12 现有P个约束条件
n
aij xij bi
j 1
i 1,2,, p
需要从中选择q个约束条件，试借助0-1变量列出表达式。
解：设yi是0 1变量,i 1,2,, p
n
yi ( aij xij bi ) 0 j 1
i 1,2,, p
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第五章习题解答
5.1 某地准备投资D元建民用住宅。可以建住宅
的造分地价别点为建有d几j；n幢处，，：最才A多能1，可使A造建2，a造j幢…的。，住问A宅n应。总当在数在A最i哪处多几每，处幢试建住建住宅立宅的问，题的数学模型。
解：设xi表示在Ai处所建住宅的数量, i 1,2,, n。

随机运筹学-5

例5 （赌徒破产或带吸收壁的随机游动）系统的状态是0到n，反映赌博者A在赌博期间拥有的钱数，当他输光或拥有钱数为n时，赌博停止；否则，他将持续赌博，每次以概率p赢得1，以概率q=1-p输掉1。这个系统也是马尔科夫过程。例6 例5中当A输光时，将获得赞助1让他继续赌下去，其余条件不变，则这个也是马尔科夫过程。例7 （自由随机游动）设一个球在全直线上做无限制的随机游动，它的状态为0，±1，±2，„。这个系统也是马尔科夫过程。
随机运筹学
之5 马尔科夫过程
马尔科夫过程简介

马尔科夫过程是由前苏联数学家A.A.Markov在 1906年首先提出和研究的一类重要的随机过程，并且因此而得名。
目前，已经成为内容十分丰富、理论上相当完整、应用十分广泛的一门数学分支。在自然科学、工程技术、信息理论、自动控制、数值计算、近代物理、交通运输、生物科学及经济管理各领域中都有广泛的应用，使得现代科学家与工程技术人员越来越重视马尔科夫过程的理论及其应用的研究。

二、实例例1 （伯努利试验）设伯努利试验每次试验“成功”的概率为p（0<p<1），“失败” 的概率为q（q=1-p）；且各次试验是相互独立的。 “成功”用状态“1”表示，“失败” 用状态“2”表示。第n次试验的结果记为X （n），进行无限多次试验得{X（n），n=0， 1，2，„}。

定义2 无后效性是指：当过程在时刻tm所处的状态为已知时，过程在大于tm的时刻t所处状态的概率特性只与过程在tm时刻所处的状态有关，而与过程在tm时刻以前的状态无关。例某企业实行技术人员在生产部门、技术部门和销售部门轮换工作的制度，以便使技术人员具有多方面的实际工作经验。轮换的办法是采取随机形式，每半年轮换一次。每个技术人员下一轮所去的部门并不是机会均等的，也可能在原部门再工作一轮。三、马尔科夫过程的类型

运筹学(第5版)-2024鲜版

决策变量
表示决策者可以控制的变量，通常是连续的或离散的。
8
线性规划问题的图解法
可行域
满足所有约束条件的决策变量的集合，通常表示为一个多边形区域。
2024/3/28
目标函数等值线
表示目标函数值相等的点的集合，通常是一组平行线。
最优解
使目标函数达到最优值的决策变量的取值，通常位于可行域的某个顶点上。
定期订货模型
按固定的时间间隔进行订货，订货量根据库存水平确定。
29
随机型存储模型
单周期随机存储模型
适用于生命周期短、需求不确定的商品，如时尚商品、易腐商品等。目标是确定最优订货量以最大化期望利润。
多周期随机存储模型
适用于需求率随机波动、可以多次订货的情况。通过动态规划等方法求解最优策略。
将物品或资源保存在某个地方，以备将来使用或销售。
由于存储不足而导致的生产中断、销售损失等费用。
28
确定型存储模型
经济订货批量模型（EOQ）
适用于需求率恒定、不允许缺货、一次订货量无限制的情况，通过平衡存储成本和订货成本来确定最优订货批量。
2024/3/28
经济生产批量模型（EPQ）
适用于生产环境，考虑生产批量和存储成本之间的关系，以确定最优生产批量。
分枝定界法的优缺点优点是可以求得全局最优解，缺点是计算量较大，适用于中小规模问题。
14
割平面法
2024/3/28
割平面法的基本思想
通过添加割平面来切割原问题的可行域，使得非整数解被排除在可行域之外，从而逐步逼近整数最优解。
割平面法的步骤
首先求解原问题的线性规划松弛问题，得到一个非整数最优解。然后构造一个割平面，将非整数最优解切割掉，再次求解新的线性规划问题。重复以上步骤直到得到整数最优解。

《运筹学》第5版课后习题解析

运筹学第5版课后习题解析1. 引言运筹学是一门关于决策问题优化的学科，在管理科学和工程管理中有着广泛的应用。

本文将对《运筹学》第5版课后习题进行解析，以帮助读者更好地理解并掌握相关知识。

2. 第一章优化模型2.1 习题1习题描述一个客运航班需要从A地到B地，航班规定必须在指定时间到达。

如果到达时间早于指定时间，将产生额外的费用。

如果晚于指定时间，将会影响乘客的行程。

请设计一个优化模型，以确定何时起飞，才能使总费用最小。

解析这是一个典型的优化问题，需要确定一个决策变量来表示起飞时间，然后设计一个目标函数来表示总费用。

同时，还需要考虑到约束条件，如航班的飞行时间和到达时间的限制。

解答决策变量：起飞时间t目标函数：minimize total_cost约束条件：t + flight_time <= arrival_time2.2 习题2习题描述某公司需要购买一批原材料，有多个供应商可供选择。

每个供应商的价格、质量和交货时间都不同，请设计一个模型来确定最佳的供应商选择策略。

解析这是一个供应链管理问题，需要考虑多个因素来确定最佳供应商选择策略。

可以将价格、质量和交货时间作为决策变量，并设计一个目标函数来衡量不同供应商的综合性能。

解答决策变量：价格、质量和交货时间目标函数：maximize performance约束条件：无3. 第二章线性规划3.1 习题1习题描述某家餐厅每天需要供应一种特定菜肴，且每天需要固定的成本。

现在需要决定每天制作多少份该菜肴，以最小化总成本。

已知每份菜肴的制作成本、售出价格和每天的需求量，请设计一个线性规划模型来解决该问题。

解析这是一个经典的生产管理问题，需要确定每天制作的菜肴数量，使得总成本最小。

可以将菜肴数量作为决策变量，并设计一个目标函数来衡量总成本。

解答决策变量：菜肴数量目标函数：minimize total_cost约束条件：菜肴数量 >= 需求量3.2 习题2习题描述某公司有多个生产车间，每个车间的产能和生产成本不同。