中考数学复习 图形的认识

图形的认识目录第32课时圆的有关性质第33课时直线与圆的位置关系第34课时圆与圆的位置关系第35课时圆弧、扇形和圆锥的计算问题第六单元图形的认识（二）第32课时圆的有关性质|考点聚焦|考点1 圆的有关概念1．圆是平面内到一个的距离等于的所有点组成的图形，叫做圆心，叫做半径．圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形．2．连结圆上任意两点的线段叫做；经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫；大于半圆的弧叫做；小于半圆的弧叫做．考点2 点和圆的位置关系如果圆的半径是，，点到圆心的距离为d，那么：1. ；2；3．考点3 确定圆的条件1．过已知一点可作个圆，过已知两点可作个圆，过不在同一条直线上的三点可作个圆，这个圆叫做三角形的圆，这个三角形叫这个圆的三角形．2．外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形的交点．锐角三角形的外心在三角形的部，直角三角形的外心是的中点，钝角三角形的外心在三角形的部．考点4 圆的对称性圆是一个特殊的对称图形，它既是轴对称图形，任意一条所在的直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，是它的对称中心；圆还是旋转对称图形，即圆绕旋转任意角度，都能与自身重合．考点5 垂径定理垂径定理：垂直于弦的平分这条弦，并且平分弦所对的两条．【点拨】(1)平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等．考点6 圆心角、弧、弧之间的关系在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【注意】本定理提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的转化方式，是圆的相关性质的核心内容．应用圆心角、弧、弦的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”．考点7 圆心角与圆周角圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；圆周角定理：(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半；(2) 弧或弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，的圆周角所对的弧相等；(3)半圆（或直径）所对的圆周角是角；90°的圆周角所对的弦是．|归类示例|归类示例命题角度：1. 确定圆的圆心、半径2．三角形的外接圆的圆心的性质例1【2010 河北】如图32-1所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A.点PB.点QC.点RD.点M[解析] 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点Q 。

类型之二 垂径定理及其推论命题角度：1. 垂径定理的应用2．垂径定理的推论的应用例2 高速公路的隧道和桥梁最多．如图32-2是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA 等于 ( )A.5米B.7米 c ．537米 D. 737米 [解析]这是一道关于垂径定理的题目，主要体现了半径、半弦、弦心距和拱高之间的关系，利用这四个量构造直角三角形，使用勾股定量解决线段之间的关系。

在直角三角形ADO 中，设AO=x ，AD=5，OD=7-x ，由勾股定理得x 2=52+(7-x)2，解方程得x=737 ○方○法○点○析 垂直于弦的直径及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常添加垂直于弦的直径．类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系例3[2011 济宁]如图32-3，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD．(1)求证：BD=CD;(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．○方○法○点○析等弧所对的弦相等，但等弦所对的弧不一定相等．类型之四圆周角定理及推论命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角度数2．直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算例4[2011 哈尔滨]如图32-4，BC是⊙O的弦，圆周角∠BAC =50°，则∠OCB的度数是度．[解析]由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=100°，再由OA=OB，得∠OBC=∠OCB=40°。

○方○法○点○析圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角（圆心角和圆周角）的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．类型之五直线型图形与圆的性质的综合运用命题角度：1. 在圆中寻找两角之间的关系2．在圆中寻找相似三角形与全等三角形例5[2011 桂林]如图32-5，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于E，过D作OD∥BC 交⊙O于D，连结AE、AD、DC.○方○法○点○析(1)注意从圆的有关性质的角度发现结论，不能只从直线型图形的角度寻找结论；(2)三角形的中线把这个三角形分成了面积相等的两个三角形．第33课时直线与圆的位置关系1．在同一平面内，直线与圆的位置关系有：，，.2．判定直线与圆的位置关系有以下方法：(1)定义法：从直线与圆的公共点的个数入手进行判定，其关系如下：直线l与⊙O 公共点l与⊙O相离；直线l与⊙O有公共点l与⊙O相切；直线l与⊙O有公共点l与⊙O相交．(2)d、r比较法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与⊙O的位置关系与d、r的关系如下：l与⊙O ；l与⊙O ；l与⊙O ．考点2 圆的切线性质和判定1. 性质：圆的切线垂直于过的半径．2．圆的切线的判定方法(1)和圆有公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于，那么这条直线是圆的切线；(3)若一条直线经过半径的外端并且于这条半径，那么这条直线是圆的切线．考点3 三角形的内切圆1. 定义与三角形各边都相切的圆叫三角形的，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点．2．性质如图33-1所示，⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，则有下列结论：(1)AI、B1、CI分别平分△ABC的三个内角；(2)点I到△ABC三边的距离相等，即ID=IE=IF.|归类示例|类型之一直线和圆的位置关系的判定命题角度：1. 定义法判定直线和圆的位置关系2．d、r比较法判定直线和圆的位置关系例1[2011 成都]已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是( )A.相交B．相切 C.相离 D.无法确定[解析] ⊙O的面积为9πcm2，所以圆的半径r=3cm，而点O到直线l的距离d=π，∴d>r，所以直线l与⊙O相离。

○方○法○点○析在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．类型之二圆的切线性质命题角度：1. 已知圆的切线得出结论2．利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明例2[2011 大连]如图33-2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连结AC、BC.(1)△4BC的形状是，理由是；(2)求证：BC平分LABE;O)若∠A=60°，OA=2，求CE的长．○方○法○点○析遇切线，常添加过切点的半径，运用切线的性质定理．类型之三圆的切线的判定方法命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线例3 [2011 衡阳]如图33-3，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB，且与OA的延长线交于点D．(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．○方○法○点○析要分清直线和圆的公共点是已知还是未知，再选择判定方法．类型之四三角形的内切圆命题角度：1．三角形的内切圆的定义2．求三角形的内切圆的半径例4[2011 遵义]如图33-4，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为．[解析]将三角形的一个顶点与圆心连结，再过圆心作顶点所在边的垂线，如图，BD等于边长的一半，∠DBO=30°。

在三角形DOB 中，∠BDO=90°，∠DBO=30°，∠BOD=60°，且BD=1，解直角3。

三角形得OD=3|回归教材|教材母题[湖南教育版九下P81B组T1]设菱形ABCD的两条对角线相交于点O，证明：如果圆O与AB相切，那么圆O与菱形的其他各边也相切．证明：如图33-5，若圆O与AB相切于点E，连结OE，过点O 作OF⊥AD。

∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，∵圆O与AB相切于点E，∴OE⊥AB。

又∵OF⊥AD，∴OE=OF。

∴圆O与AD相切。

同理可证圆O与BC、CD相切。

【点析】当己知直线和圆有公共点时，连结圆心和公共点，利用判定定理证明直线和圆相切；当未知直线和圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，利用"d=r”证明．中考变式[2009 南川]如图33-6，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．[解析]过点O作AC的垂线OE，并连结OD，则OD⊥AB，通过证明△OBD≌△OCE，得到OE=OD，所以OE是圆的半径，所以可以得到AC是⊙O的切线，切点是E。

证明：连结OD，过点O作OE⊥AC于E点。

∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB。

∴∠ODB=∠OEC=90°又∵O是BC的中点，∴OB=OC∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切。

繁34课时圆与圆的位量关系|考点聚焦|考点1 圆和圆的位置关系在平面上，两圆的位置关系有且只有7种：、、、、内含但不同心、内含且同心、重合．考点2 圆和圆的位置关系的判别1. 方法一：根据两目的公共点的个数确定(1)当两个圆没有公共点时，如果一个圆上点都在另一个圆的外部，这两个圆；如果其中一个圆的点都在另一个圆的内部，这两个圆位置关系是．(2)当两个圆有唯一的公共点，除这点外，一个圆上的其他各点都在另一个圆外，则这两个圆；当两个圆有唯一的公共点，除这点外，其中一个圆的其他各点都在另一个圆的内部，则这两个圆．(3)如果两个圆有两个公共点，则这两个圆．(4)如果两个圆有两个以上的公共点，则这两个圆。