高数下册(同济六版)复习资料

高等数学下册习题常见类型
题型1 求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积 题型2 由已知条件求平面与直线方程 题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数 题型4 求多元复合函数的偏导数 题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数
题型6 求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8 利用直角坐标计算二重积分 题型9 利用极坐标计算二重积分 题型10 计算带绝对值的二重积分 题型11 利用二重积分证明恒等式 题型12 利用对称性质计算二重积分 题型13 只有一种积分次序可计算的积分 例1、
求
2
421
2x
dx dx +⎰
⎰
解：（将二次积分交换顺序）
12
212
2421
22211sin sin sin sin (1)sin cos1sin1
x
D D y y D D y y dx dx dxdy dxdy
y y y
y dxdy dy dx y ydy y y πππππ+=+===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
题型14 利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16 利用球坐标计算三重积分 题型17 利用切片法计算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体的体积 题型19 计算对弧长的曲线积分 题型20 计算对面积的曲面积分 题型21 计算对坐标的曲线积分
题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积 题型24 计算对坐标的曲面积分
题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程 题型27一阶线性微分方程 题型29 可降阶方程
题型30二阶常系数非齐次线性方程
第八章 向量与解析几何
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===
模
向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =－
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠，则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
，cos ，cos
cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）
θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹
角
z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘（向量积）
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直
z
y x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅=
0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔
== 交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=θcos
2
2
2
2
2
2
cos x x y y z z
x y z x y z
a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
cos()b a b
prj a a a b b
∧⋅==
2
2
2
x x y y z z
b x y z
a b a b a b prj a b b b ++=
++
平面
直线
法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M
方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M
方程名称 方程形式及特征
方程名称 方程形式及特征
一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ⎩⎨
⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 点法式
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
点向式
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-
法向量
000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或
00(((,x y n f x f x =
第十章 重积分
重积分 积分类型
计算方法
典型例题
二重积分
()σ
d ,⎰⎰=D
y x f I
平面薄片的质量
质量=面密度
⨯面积
（1） 利用直角坐标系
X —型 ⎰⎰⎰⎰=D
b
a
x x dy y x f dx dxdy y x f )
()
(21),(),(φφ
Y —型
⎰
⎰
⎰⎰=d
c
y y D
dx y x f dy dxdy y x f )
()
(21),(),(ϕϕ
P141—例1、例3
（2）利用极坐标系 使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α
+, α为实数 )
21()()
(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθα
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
P147—例5
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）
110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy
f x y x f x y f x y D D ⎧
⎪⎪-=-⎪⎪
=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分
P141—例2
应用该性质更方便
计算步骤及注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性
第十一章曲线积分与曲面积分
所有类型的积分：
○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章级数。