高中数学辅导广州市2013届高三年级1月调研测试理科数学试卷

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(理数试题)广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y axy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121，其中y x ,表示样本均值。

广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()PA B P A PB ⋅=⋅.线性回归方程y b x a =+ 中系数计算公式121ni i i n i i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A,,=，{}24B,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð2. 已知11a b i i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i图1俯视图侧视图正视图3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 4. 直线0x -=截圆()2224x y-+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C.23D.136. 函数()()y x x x x s i n c o s s i n c o s =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+- 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知A B =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A ．8 km/hB ．C ．D ．10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）图3C9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x c o s ⎰d x = .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元（结果保留两位小数）． 12．已知01a a ,>≠，函数()()()11x a x fx x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 .13. 已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线c o s sin 0ρθθ+=上运动，当线段A B 最短时，点B 的极坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，A B 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D 若3B C =，165A D =，则A B 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()s in ()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；图4ABC A 1C 1B 1DE （2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△P O Q 的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n(m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求m ，n 的值；（3) 求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111A BC A B C -中，△A B C 是边长为2的等边三角形， 1A A ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1C C ，A B 的中点.（1）求证：C E ∥平面1A B D ；（2）若H 为1A B 上的动点，当C H 与平面1A A B 所成最大角的正切值为2时，求平面1A B D 与平面A B C 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a n a n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212P F P F A F A F +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知二次函数()21fx x a x m =+++，关于x的不等式()()2211fx m x m<-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1fx g x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()gx =-()1k xl n-存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nnng x gxn (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. …………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. …………2分∴()2s in ()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2s in 2c o s244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………4分(4)2s in 2s in 44f π⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,(4,P Q -.∴O P P Q O Q === ……………8分∴((222222c o s 23O P O Q P QP O Q O P O Q+-+-∠===. (10)分∴P O Q s i n ∠==3. ……………11分∴△P O Q的面积为11223S O P O Q P O Q s i n =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2s in 2c o s 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………4分(4)2s in 2s in 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,(4,P Q -. （苏元高考吧：）∴(2(4,O P O Q ==. ……………8分∴c o s c o s ,3O PO Q P O Q O P O Q O PO Q⋅∠=<>===……………10分∴P O Q s i n ∠==3……………11分∴△P O Q的面积为11223S O P O Q P O Q s i n =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2s in 2c o s244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………4分(4)2s in 2s in 44f π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭ ……………5分∴(2,(4,P Q .∴直线O P 的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线O P 的距离为d == ……………9分∵O P = ……………11分∴△P O Q 的面积为1122S O P d =⋅=⨯⨯= …………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分（2）由题意知()()()()1101124P PA B Cmn ξ===--=，……………4分()()113224PPA B Cm n ξ====， ……………5分整理得 112m n =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P PA B C PA B C PA BC ξ===++()()()()11111111122224mn m n mn=--+-+-=，H FABC A 1C 1B 1DE………9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长1A D 交A C 的延长线于点F ，连接B F .∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴C 为A F 的中点. ……………2分 ∵E 为A B 的中点，∴C E ∥B F . ……………3分∵B F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . ……………4分（2）解：∵1A A ⊥平面A B C ，C E ⊂平面A B C ，∴1A A ⊥C E . ……………5分 ∵△A B C 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E A B ⊥，2C E A B==.∵A B ⊂平面1A A B ，1A A ⊂平面1A A B ，1A B A A A = ，∴C E ⊥平面1A A B . ……………6分 ∴E H C ∠为C H 与平面1A A B 所成的角. ……………7分∵C E =在Rt △C E H 中，tan C E E H C E HE H∠==，A ∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……………8分 ∴当1E HA B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E E H CE HE H∠===2.∴5E H=. ……………9分∵C E ∥B F ，C E ⊥平面1A A B ，∴B F ⊥平面1A A B . ……………10分 ∵A B ⊂平面1A A B ，1A B ⊂平面1A A B ，∴B F ⊥A B ，B F ⊥1A B . ……………11分 ∴1A B A ∠为平面1A B D 与平面A B C 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △E H B中，B H ==5，c o s 1A B A∠5B H E B==.…13分∴平面1A B D 与平面A B C所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接D F 、E F .∵E 为A B 的中点， ∴E F ∥1A A ，且112E F A A =. ……………1分∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴E F ∥C D ，E F =C D . ……………2分 ∴四边形E F D C 是平行四边形.∴C E ∥D F . ……………3分 ∵D F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . （苏元高考吧：） ……………4分（2）解：∵1A A ⊥平面A B C ，C E ⊂平面A B C ，∴1A A ⊥C E . ……………5分∵△A B C 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E A B ⊥，2C E A B==.∵A B ⊂平面1A A B ，1A A ⊂平面1A A B ，1A B A A A = ，∴C E ⊥平面1A A B . ……………6分∴E H C ∠为C H 与平面1A A B 所成的角. ……………7分∵C E =在Rt △C E H 中，tan C E E H C E HE H∠==，∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……………8分 ∴当1E HA B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E E H CE HE H∠===2.∴5E H =. ……………9分在Rt △E H B中，5B H ==.∵Rt △E H B ～Rt △1A A B ，∴1E H B H A A A B=，即1552A A =.∴14A A =. ……………10分以A 为原点，与A C 垂直的直线为x 轴，A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A x y z -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D()02,,2.∴1A A =()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A B D 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B ?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî（苏元高考吧：）令1y =，则1z x ==,∴平面A B D 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A=()004,,是平面A B C 的一个法向量.∴c o s111,⋅==n A A n A A n AA 5. ……………13分∴平面1A B D 与平面A B C所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a n a n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a n a n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a n a n a n S n ++++++++=++ ,② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a n S n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S n S n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a n S n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222prq+>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221xy ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a A F A F =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧：）∴B C B A //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212P F P F A F A F +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=.① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002. …………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212P F P F A F A F +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上， ……12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y kx =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x k x k -+-=. (4)分设()()1122Bxy C xy ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+= (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212P F P F A F A F +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……………11分∴()()2222311612kk -+=.化简得271230kk --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x mx m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x mm ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1xm x m ---.∴()2212x am x mm ++-++=()()2211xm x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分 (2)解法1:由(1)得()()1fx gx x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x l n -()11m x x =-+-()1k x l n--的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x---()()22211xkx k m x-++-+=-. (3)分方程()2210x kx k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δkk m km =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-，则1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，（苏元高考吧：） ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >时，112x ,=>212x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x xx ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12xx ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x (9)分(其中12x =, 22x =)解法2:由(1)得()()1fx gx x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x l n-()11m x x =-+-()1k x l n--的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x---()()22211xkx k m x-++-+=-. (3)分若函数()()x gx ϕ=-()1k x l n-存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211xkx k m x-++-+=-0=,得()221x kx k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m km =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为12x =, 22x =设()h x =()221x kx k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩ 又由(**)解得k >k <-故k >. ……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x xx ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12xx ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x.………9分 (其中12x =, 22x =(2)证法1：∵1m =， ∴()gx =()111x x -+-.∴()()1111nnnn n gx gxx x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111nn n n nn n n nnn nn xC xC xC x C x xxxxx ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n nC xC x C x ----=+++. ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C xC x----=+++ ，则T 122412n nn nn nnn C xC xC x-----=+++12241nnn n n n nC x C xC x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n nn nn nn n nnC xxC xxC xx-------=++++++……11分≥1212nn n nn C C C--⋅+⋅++ …12分()1212n n n nC C C -=+++()1212n nnn n n nnnnC C C C C C C -=+++++-- ()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnngx gx⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk kx x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk kk k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k≥⋅-+ ……………12分122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nnng xgx⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立.………14分。

广东省广州市2013届普通高中毕业班综合测试理科数学试题

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2013.4本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a 2．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．3 4．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为 A ．14π B ．πC ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年图1A ．B ．C ．D ．图28．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2m ax m in 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数()22f x x x =-，点集()()(){}M x y f x fy =+，≤2，()()(){}Nx y fx f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段B D 上，且满足13BE BD =，延长A E 交BC 于点F ，则BF FC的值为． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．（1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||P H <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边A B 、AC 上的点，且满足AD DB=12CE EA=（如图3）．将△A D E 沿D E 折起到△1A D E 的位置，使二面角1A D E B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围．经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ．（1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线A B 的距离等于D ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<；（2）证明：1n n <+1232n a a a +++<．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分． 9．54 101011．216 12．2π 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△A B C 中，因为80A B =m ，70B C =m ，50C A =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分 2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为B A C ∠为△AB C 的内角，所以3B AC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△A B C 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分因为70B C =，由（1）知3A π=，所以sin 2A =．所以70232R ==，即3R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OB D 中，3O B R ==，703522BC BD ===，所以O D ==………………………………………………………11分 3=．所以点O 到直线BC 3m方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………5分连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3B AC π∠=，C所以3BO C 2π∠=．所以3BO D π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 603BD O D BO D===∠11分所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=． ………………………………………………1分满足||P H <P 构成的平面区域是以H为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成． ……………………………………………………………2分其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||P H <112484π+π=+．………………………………………………………4分（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有6有8条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为12，7分且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：……10分21321127714714E ξ=⨯++⨯++57+=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB=12CE EA=，所以1AD =，2A E =．在△A D E 中，60DAE ∠= ，由余弦定理得DE ==．因为222AD DE AE +=，所以A D D E ⊥．折叠后有1A D D E ⊥因为二面角1A D E B --是直二面角，所以平面1A D E ⊥平面BCED ． …………………………3分又平面1A D E 平面BCED D E =，1A D ⊂平面1A D E，1A D D E ⊥，所以1A D ⊥平面BCED ． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而P H ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥P H ．…………………………………………………6分又1A D BD D = ，所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分所以1P A H ∠是直线1PA 与平面1A B D 所成的角． ……………………………………………………8分设P B x =()03x ≤≤，则2x BH =，2PH x =．…………………………………………………9分在Rt △1P A H 中，160P A H ∠=，所以112A H x =．………………………………………………10分在Rt △1A D H 中，11A D =，122D H x =-．………………………………………………………11分由22211A D D HA H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．……………………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知E D D B ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线D B 、D E 、1D A 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图． …………………………………………………………5分设2P B a =()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2D H a =-． ……………………6分所以()10,0,1A，()2,,0P a -，()0E ．…………7分所以()12,,1PA a =-．……………………………………………………………………………8分因为E D ⊥平面1A B D ，所以平面1A B D的一个法向量为()0,0D E =．……………………………………………………9分因为直线1PA 与平面1A B D 所成的角为60 ，所以11sin 60PA D E PA D E=………………………………………………………………………………10分2==，……………………………………………………………11分解得54a =． ……………………………………………………………………………………………12分即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． ……………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ，此时52PB =．………14分19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………………………………4分解得112a -<≤．112a <≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………………………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．……………………………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．………………………………………………7分要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ……………………………………………10分若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……………11分所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ………………………………………………………………………13分故实数a的取值范围为(10,1,12⎛⎤⎤⎥⎦⎝⎦．…………………………………………………………14分 20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2212120121114442BC x x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=． (4)分因为2210101011444A Cx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分AB CDO xylE所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．………………………………8分不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，直线A B 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知C A D B A D ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32B C k =，直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．…………………………………8分由（2）知C A D B A D ∠=∠45=，所以C A B ∠90= ，即A C A B ⊥．由（2）知104A C x x k -=，204A B x x k -=．所以1020144A C AB x x x x k k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………………………………11分以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．………………………………………………………………………1分因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．………………………………………………………………………2分所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内．而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<．……………………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=，由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．……………………………………………………………………………………………4分即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．…………………………………………………………………………………………5分所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．…………………………………………………6分以下证明222111112111nn n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，…………………………………………7分所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111nn n =-=++．………………………………………………………………9分方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立．2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ．那么 ()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++．以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ②即证()()()21111111k k k k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立．即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立．所以121n n a a a n +++>+ ．…………………………………………………………………………9分再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．…………………………………………………………………………………………10分由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a nn-=<． ……………………………11分因为当2n ≥时，()2111111nn nn n<=---，…………………………………………………………12分所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 113122n =+-<．所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++< ．综上所述，1n n <+1232n a a a +++< ．……………………………………………………………14分。

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

2013广东高考卷(理科数学)模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=x²2ax+a²+2在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥03. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a3+a5=14，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 若向量a=(2，1)，b=(1，2)，则2a+3b的模长为（）A. 5B. √5C. 10D. 2√55. 设函数f(x)=|x1|，则f(x)的图像在x=1处（）A. 连续B. 断开C. 可导D. 不可导二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a，b为实数，且a≠b，则a²≠b²。

（）2. 两个平行线的斜率相等。

（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。

（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(1，2)，b=(2，1)，则a·b=______。

3. 在等比数列{an}中，已知a1=2，公比q=3，则a4=______。

4. 二项式展开式(1+x)⁶的常数项为______。

5. 设平面直角坐标系中，点A(2，3)，则点A关于原点的对称点坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 请写出等差数列的通项公式。

3. 矩阵乘法的运算规律有哪些？4. 求解一元二次方程x²5x+6=0。

5. 简述平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=2x²4x+3，求f(x)的最小值。

2013广州一模数学(理)试题+答案解析

图1俯视图侧视图正视图2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则 A ．U A B = B ．U =()U A ðBC ．U A=()U B ð D ．U=()U A ð()UB ð2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 4.直线0x -=截圆()2224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6π B ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是 A ．2 B ．1 C.23D.136. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f <<图3C. ()()()1f f a f b <<D. ()()()1f b f f a <<8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 小为A ．8 km/hB ．C ．km/hD ．10km/h 9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x cos ⎰d x = . 11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元（结果保留两位小数）．12．已知01a a ,>≠，函数()()()11xa x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 . 13. 已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()f n 个部分，则()3f = ，()f n = .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin(4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求图4A BC A 1C 1B 1D E △POQ 的面积. 17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求m ，n 的值；（3) 求ξ的数学期望. 18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ；（2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 所成最大角的正切时，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由. 20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知二次函数()21fx x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nn n g x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *). 数学（理科）试题参考答案及评分标准9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 16．（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =.∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=.∴()2sin()44f x x ππ=+.（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===.∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===. (10)分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ 的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=17．解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分A （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分（2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =.（3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. 18．（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ∵E 为AB 的中点， ∴CE ∥BF . ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =， ∴CE ⊥平面1A AB .∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.∵CE =Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===.∴EH =. 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =.以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA =()004,,，1A B=)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,.∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==nAA n AA n AA ∴平面1A BD与平面ABC 所成二面角（锐角） 19．(1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ∴122(2)n n S S ++=+， ∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，又12a =也满足上式, ∴2n n a =. 法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+④ 当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ⑤-④得：12n n a a +=. 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. （2）解：∵p q r ,,成等差数列， ∴2p r q +=. 假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p rq a aa --=-，即()()()2212121pr q --=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*）∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=， ∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //. ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. 代入②得 2141x x y =，则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点.∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002，∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 21．（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-11x ,=<21x ,=<故x∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分 (其中1x =2x =证法2：下面用数学归纳法证明不等式11n n n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立； ……………10分 ② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111111k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122n n ng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

2013年广州一模(理科数学WORD版)带答案

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121，其中y x ,表示样本均值。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是 A.6π B.3π C.2π D.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.31 6.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增 D.偶函数且在],2[ππ上单调递增 7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f = （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C 处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点； (3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==.……………8分∴cos cos ,OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠== (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分（2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ， ∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在R t △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分在R t △EHB中，BH ==∵R t △EHB ～R t △1A AB ， ∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n A 1⋅，n 01=⋅A ，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA nAA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， …………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上， ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中1x =, 2x =解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为1x =, 2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1：∵1m =， ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ . ……………10分令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++ ，则T 122412n nn n n n n n C xC x C x -----=+++122412nn n n n n n C xC x C x ----=+++ .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ …11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n nn n n nn n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22n T ≥-，即()()1122nn ng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立. 由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

广州市2013届高三年级1月调研测试理科数学试卷

广州市2013届高三年级1月调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030xx x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是俯视图侧视图正视图图1A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()fx =)62cos(π+x D ．()f x =6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3 B．C ．6 D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在xA ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦ C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 .11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 . 12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）图3P14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； (2) 求2C cos 的值. 17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N . (1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ .21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”.222N(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题 1. A分析：2i(23i)=2i 3i 2i 332i --=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A = ，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A ∴==∈=，{0,2,4}A B ∴= 3. B分析：22211log log 2244f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x ?-+=，解得3x =±；所以3//x a b =⇒ ，但//3a b x = ¿，故“3x =”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位即得()y f x =的图象，即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x x ππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM =，142PDC S ∆=⨯=， 12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=，14362PABS ∆=⨯⨯= 7. B分析：方程22221x y a b +=表示焦点在x的椭圆时，有22a bc e a ⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b>⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影 8. C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…，综上可得7a … 二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d+=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +==10.分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x yx y +++-=化为标22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =20x y -=的距离d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，777cos 112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=，…20091a =，20102009a =-， 20111a =， 20122013a =；以上共503行，503(1592009)503(59132013)=-+++++++++ 50315032013=-++输出的122012S a a a =+++3018=分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC = ，即28PC =，故PC =分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y+-=，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==，故圆C 截直线所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1Asin =解得A sin =4. …………… 3分 (2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴A cos ==. …………… 5分∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分 442233A A coscos sin sin ππ=+ …………… 10分1528=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. …………… 6分∴()3501225P M ==27.E MNDCBAP答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分 (3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………… 8分()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为： (12)分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.MNDCBAPENBAP ∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分∵ME NE E = ，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ，∵NE EF E = ，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分 ∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得2AM ==，5AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF 中，NF ==…………… 12分cos EF NFENF ?=…………… 13分∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅= ，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =.∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos , n EN ==n ENnEN89. …………… 13分 ∴二面角N AM B --. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,，∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB = =⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k ,由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ① …………… 1分 2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅= , …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅ 22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ ()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N . ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ 2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++ ()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++- ,……… 11分 ∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++- . …………… 12分 ∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n +-≤-+-++-+- 11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ …………… 13分14<. …………… 14分。

【解析版】广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模

名师远程辅导互动平台网址：1 试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =名师远程辅导互动平台2 图1俯视图侧视图正视图A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i【答案】B 【解析】由11a bi i =+-，即122a ai bi +=+，得2a =，1b =。

2013广州一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则（）A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃=2. 已知bi ia+=-11，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则a bi +=（） A.12i + B.2i + C.2i - D.12i -3. 已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为（）A.-3 B .0 C.1 D.34. 直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是（） A.6π B.3π C.2π D.32π 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是（） A.2 B.1 C.32D.31 6. 函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是（） A.奇函数且在]2,0[π上单调递增 B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增 D.偶函数且在],2[ππ上单调递增 7. 已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是（）A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f << 8. 如图，一条河的两岸平行，河宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为（）A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9. 不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12. 已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________.13. 已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f个部分，则.________)(______,)3(n f f = （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为(),m n m n >，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求,m n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点. (1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=. (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若,,p q r 是三个互不相等的正整数，且,,p q r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C 处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P. (1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点； (3)若1m =，且0x >，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g n n n ∈-≥+-+广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =.……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8，∴28Tπω==，得4πω=.……2分，∴()2sin()44f xx ππ=+.……3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭…………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭…………5分，∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===分∴222222cos 23OPOQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ 的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭…4分，(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭…5分∴(4,P Q . ∴(2,2),(4,OP OQ ==. …………8分∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>=== ……………10分∴POQ sin ∠==3……………11分∴△POQ 的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……4分，(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭…5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =，即0x -=.……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==分，∵OP =，………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分（2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====，…………5分，整理得112mn =，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点.……2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF .………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE .……5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.………7分，∵CE =Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴EH =.………9分∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB .………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B .………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴EF ∥CD ，EF =CD . ……2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF .………3分∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD .……4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE .……5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =，∴CE ⊥平面1A AB .………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.……7分∵CE =Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大.…………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴5EH =.………9分，在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =.∴14AA =.………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =()004,,，1A B=)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n B A 1⋅，n 01=⋅D A，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî，令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……12分，∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. …………13分 ∴平面1ABD 与平面ABC . ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =.…1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+;………4分∴122(2)n n S S ++=+，………5分，∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-.……6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，…………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =. ………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④………4分，当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤………5分⑤-④得：12n n a a +=.………6分，由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =.………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，∴2n n a =. …………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=.………9分，假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-，………10分，即()()()2212121p r q --=-，化简得：2222p r q+=⨯.（*）………11分，∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩……2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=.…………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =，……1分，∵2c =，∴22212b a c =-=.………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=.…………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=，)413,2(211x x --=， ∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //.………4分，∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ………5分，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=.………9分代入②得 2141x x y =，…………10分，则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .………11分，若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，…12分，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点.…13分，∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x .………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.……5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①………6分同理， 20202y x x y -=. ② …………7分，综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分，∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002，………9分，∵点)3,2(A 在直线L 上，∴300-=x y .………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y .………11分，若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点.…13分，∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个.…14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =，∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-.…8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-.………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上.………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)…………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-.……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δkk m k m =+--+=+.…4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）两实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=>…5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x .………6分 ②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ………4分，令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)，则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**)……5分方程（*）的两个实根为122k x +-=222k x ++=设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x .………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩，又由(**)解得k >k <-故k >分，则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中1x =, 2x =(2) 证法1：∵1m =， ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++.……10分，令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n nn nn n n n C xC x C x -----=+++122412n nn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++…11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n =-…13分∴22n T ≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；………10分 ② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+分122k +=-.……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立. 由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。

（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。

（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。

（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。

4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。

5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 解释什么是平面向量的坐标表示。

3. 请写出三角形面积公式。

4. 请列举三种不同的数列。

5. 简述反函数的定义及其性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。

2013年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案

广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A,B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y axy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121, 其中y x ,表示样本均值。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}4,2{=B ,则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia+=-11,其中a,b 是实数,i 是虚数单位,则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ,则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是 A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.31 6.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数,函数2)(-+=x e x f x 的零点为a,函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b,则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度d=600m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=,水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=,据此模型估计,该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元(结果保留两位小数).12.已知1,0≠>a a ,函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ,若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25,则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分,则.________)(______,)3(n f f = (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点)23,2(πA ,点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为______.15.(几何证明选讲选做题)如图3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O交于点D,若BC=3,516=AD ,则AB 的长为______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函)4sin()(πω+=x A x f (其中0,0,>>∈ωA R x )的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P,Q 的横坐标依次为2,4,O 坐标原点,求POQ ∆的面积.17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,21乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.(本小题满分14分)如图4,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,ABC ∆是边长为2的等边三角形,⊥1AA 平面ABC,D,E 分别是CC 1,AB 的中点.(1)求证:CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点,当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时,求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数,且p,q,r 成等差数列,试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,点A(2,3)在椭圆C 1上,过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B,C 两点,抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为21,l l ,且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)；若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ,关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ,其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时,函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点,并求出极值点； (3)若m=1,且x>0,求证:*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.1sin 11.12.38 12.12或27 13.8,22n n -+ 14.1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T πω==,得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,6OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠== (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =,即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A ,“乙做对”为事件B ,“丙做对”为事件C ,由题意知, ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144Pξ-==-=.…………3分 (2)由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=, ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====, ……………5分整理得 112mn =,712m n +=.由mn >,解得13m =,14n =. ……………7分 (3)由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=, …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14, ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一:(1)证明:延长1A D 交AC 的延长线于点F ,连接BF . ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点,∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ,CE ⊥平面1A AB ,z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ,1A B ⊂平面1A AB , ∴BF ⊥AB ,BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角). ……………12分在R t △EHB 中,BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为5. ……………14分解法二:(1)证明:取1A B 的中点F ,连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点, ∴EF ∥1AA ,且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴EF ∥CD ,EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分在R t △EHB 中,BH ==∵R t △EHB ～R t △1A AB , ∴1EH BHAA AB =,即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点,与AC 垂直的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,,1A ()004,,,B )10,,D ()02,,2.∴1AA =()004,,,1A B=)14,-,1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,,由n A 1⋅,n 01=⋅A ,得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =,则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC , ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角) ……………14分 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,∴ 当1n =时,有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法:法1:由③式得:11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+,即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+, ……………5分∵112240S a +=+=≠,∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=, ……………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分法2:由③式得:()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++,得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得:12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+,得24a =,∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 (2)解:∵p q r ,,成等差数列,∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列, 则()()()2111p r q a a a --=-, …………10分即()()()2212121prq--=-,化简得:2222p r q +=⨯. (*) ……………11分 ∵p r ≠,∴2222p r q +>=⨯,这与(*)式矛盾,故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ……………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =, ……………10分则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理, 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>, ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. ……………10分令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++,则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412nnn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>,∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++…11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说,当1n k =+时,不等式也成立. 由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

广东省广州市12—13上学期高三数学(理科)月考考试试卷

试卷类型：A广州市2013届高三年级调研测试数学(理科)2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B A A ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030xx x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9B ．19C ．9-D ．19-4．设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)3π2cos(-x B ．()f x =)6π2cos(-x C ．()fx =)6π2cos(+xD ．()fx =)3π2cos(+x6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是 A ．3 B ．C ．6D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数，记为a b ,，则方程22221x y a b +=表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A ．12B ．1532C ．1732D ．31328．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a xa -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦ C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为________．10．若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为_____． 11．若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为_________．12．圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=是______．13．图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是_________． (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．(几何证明选讲选做题)如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是____________15．(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=，则直线l 截圆C 所得的弦长是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,，且123a b B ,,π===．(1)求sin A 的值； (2)求cos2C 的值．17．(本小题满分12分)某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． (1)问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；(3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分)如图4，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM ，AN MN ,．(1)求证：MN //面PAD ； (2)若5MN =，3AD =，求二面角N AM B --的余弦值．19．(本小题满分14分)如图5，已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r+=，OC 与AB交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求四边形AOBC 的面积的最小值．20．(本小题满分14分)在数1和2之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +图5个数的乘积记为n A ，令2n n a A log =，n ∈N *． (1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅．21．(本小题满分14分)若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”．(1)判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由；(2)若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设s i n n n y x =，求证： 1114n y y +-<．广州市2013届高三年级调研测试数学(理科)试题解析2013.1.9一、选择题 1．A分析：2i(23i)=2i 3i 2i 332i --=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限 2．D分析：{0,1,2,3,4}A =，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A ∴==∈=， {0,2,4}AB ∴=3．B分析：22211log log 2244f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．A分析：当//a b 时，有24(1)(1)0x x ?-+=，解得3x =±；所以3//x a b =⇒，但//3a b x =¿，故“3x =”是“//a b ”的充分不必要条件 5．B分析：逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位即得()y f x =的图象，即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x x ππππππ=+=+=-+=-+=-6．C分析：三棱锥如图所示，3PM =，142PDC S ∆=⨯=12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=，14362PAB S ∆=⨯⨯=7．B分析：方程22221x y a b +=表示焦点在x 的椭圆时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b>⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8．C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…，综上可得7a … 二、填空题 9．28分析：方法一、(基本量法)由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d+=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +== 10．1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a = 11．e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12．4分析：圆方程2224150x y x y +++-=化为标准式为22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线20x y -=的距离d==，由右图所示，圆上到直线20x y -=4个． 13．3018分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=， 444cos152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，777cos112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=，…20091a =， 20102009a =-， 20111a =， 20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++＝503－(1＋5＋9＋…2009)＋503＋(5＋9＋13＋…2013)＝3018 ＝503－1＋503＋201314分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =15分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==，故圆C 截直线l所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分)(本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力)(1)解：∵123a b B ,,π===，依据正弦定理得：a bA Bsin sin =， ……………1分即1Asin =A sin=……………3分 (2)解：∵a b <， ∴02A B π<<<． ……………4分∴4A cos ==． ……………5分∴228A A A sin sin cos ==， ……………6分 252128A A cos sin =-=． ……………7分 ∵A B C π++=， ∴23C A π=-． ……………8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭……………9分 442233A A coscos sin sin ππ=+ ……………10分152828=-⨯-⨯=-． ……………12分17．(本小题满分12分)(本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想)(1)解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=． ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5．……………4分 (2)解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，……5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350．………6分 ∴()3501225P M ==27．答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27． ……………7分 (3)解：由(1)知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10．依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ……………8分()0P ξ==210225C C 960=，()1P ξ==111510225C CC =12， ()2P ξ==215225C C 720=．……………11分 ∴ξ的分布列为：……………12分18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法)(1)证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,，∵点N 是PB 的中点， ∴12EN AB EN AB //,=． ……………1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形， ∴12DM AB DM AB //,=．……………2分 ∴EN DM EN DM //,=． ∴四边形EDMN 是平行四边形．∴MN DE //． ……………3分∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD ． ……………4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ，∵点M 是CD 的中点， ∴12DM AB DM AB //,=， ……………1分 ∴点M 是BE 的中点． ……………2分 ∵点N 是PB 的中点，∴MN PE //． ……………3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD ． ……………4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点， ∴ME AD //，NE PA //．∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ， ∴ME //面PAD ． ……………1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ， ∴NE //面PAD ． ……………2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN //面PAD ． ……………3分 ∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD ． ……………4分(2)解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD ． ……………5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥． ……………6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF ． ……………7分 ∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥． ……………8分∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角． ……………9分在Rt △NEM 中，5MN =，3ME AD ==，得4NE ==，……………10分在Rt △MEA 中，32AE =，得AM ==，5AE ME EF AM ==g ． ……………11分在Rt △NEF中，5NF ==， ……………12分cos 89EF NFENF ?=． ……………13分 ∴二面角N AM B --． ……………14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD ．在Rt △NEM 中，5MN =，3ME AD ==，得4NE ==，……………5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， ……………6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴()004EN ,,=，，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =． ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量． ……………11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， ……………12分cos ,n EN ==n EN nEN． ……………13分∴二面角N AM B --的余弦值为89． ……………14分 19．(本小题满分14分)(本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一：(1)解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点． ……………2分∴()222121212222yy y y y y x +-+==，① ……………3分122y y y +=． ② ……………4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=．∴2212120y y y y +=． ……………5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-． ③ ……………6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-． ………7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-． ……………8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅……………9分===……………11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立，……12分∴2S ≥=． ……………13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2． ……………14分解法二：(1)解：依题意，知直线OA OB ,的斜率存在，设直线OA 的斜率为k ，由于OA OB ⊥，则直线OB 的斜率为1k-． ……………1分故直线OA 的方程为y kx =，直线OB 的方程为1y x k=-．由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ，得220k x x -=．解得0x =或21x k=． ……………2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭． ……………3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-． ……………4分 ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点． ……………5分设点M 的坐标为()x y ,，则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………6分消去k ，得()2112yx =-． ……………7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-． ……………8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅ ……………9分=……………10分≥……………11分 2=． ……………12分当且仅当221kk=，即21k =时，等号成立． ……………13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2． ……………14分20．(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力)(1)解法1：设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列，其中1212n b b ,+==，依题意，1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅， ① ……………1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅， ② ……………2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=，………3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=．……4分∵0n A >， ∴222n n A +=． ……………5分∵3212222n n n nA A +++== ……………6分∴数列{}n A是首项为1A =………7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦． ………8分解法2：设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列，其中1212n b b ,+==，公比为q ，则121n n b b q ++=，即12n q +=． ……………1分依题意，得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ ……………2分()()212311n n b q++++++=⋅ ……………3分()()122n n q++= ……………4分222n +=． ……………5分∵3212222n n n nA A +++== ……………6分∴数列{}n A是首项为1A =，……………7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦． ……………8分 (2)解：由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==， ……………9分 ∵()()()11111n nn n n ntan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅，……10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-，n ∈N *．……11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--． ……………14分21．(本小题满分14分)(本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1)解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥，则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-．① ……………1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② ……………2分由①、②得 21212()s i n s i n x x x x x x --<-<-．因此，2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立． ………3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ，均有2121sin sin x x x x -≤-．因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”． ……………5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- ……………6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， ……………7分因此，2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”． ……………8分 (2)证明：由(1)得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-． ……9分而121(21)n n x x n +-≤+，∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++． …………10分 ∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-，11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-． ……………12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ……………13分 14<． ……………14分。

广东省广州市2013届高中三年级1月调研测试理综试题

试卷类型：A市2013届高三年级调研测试理科综合2013.01 本试卷共14页，共36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

须知：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回。

5. 本卷用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5一、单项选择题：此题包括16小题，每小题4分，共64分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

多项选择、错选均不得分。

1．以下有关细胞中化合物的表达，正确的是A．核酸、酶、果糖、脂肪都含有C、H、O、N四种元素B．ATP中的“T”代表胸腺嘧啶C．磷脂参与构成的细胞器有线粒体、核糖体等D．DNA分子的特异性主要取决于碱基的特定排列顺序2．以下关于细胞生命历程的表达，正确的是A．人体细胞的衰老就是人体的衰老B．细胞分化导致遗传物质发生改变C．脑细胞因缺氧而死亡的现象属于细胞坏死D．癌变细胞的呼吸速率降低、核体积增大3．以下图示“比较过氧化氢在不同条件下的分解实验”。

有关分析合理的是A．本实验的因变量是不同的催化剂B．本实验的无关变量有温度和酶的用量等C．1号与3号，1号与4号可分别构成对照实验D．分析1号、２号试管的实验结果可知加热能降低反应的活化能4．以下表达，不．正确的是A．动物细胞融合说明细胞膜具有流动性B．种群基因型频率的改变不一定会引起基因频率的改变C．PCR技术是利用DNA双链复制的原理扩增DNAD．隔离是新物种形成的必要条件和标志5．右以下图是3个圆所构成的关系图，其中甲为大圆，乙和丙分别为大圆之的小圆。

2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学-推荐下载

13. 已知经过同一点的 n( n N * , n 3) 个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个
平面将空间分成 f n个部分，则 f 3
（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点
短时，点 B 的极坐标为
15．（几何证明选讲选做题）
A

2,
3 2

，点
．
B
如图 3， AB 是 A O 的直径， BC 是 A O 的切线， AC 与 A O 交于点 D ，
若 BC 3 ， AD 16 ，则 AB 的长为
5
在直线
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
1．设全集U 1, 2, 3, 4, 5, 6，集合 A 1, 3, 5， B 2, 4，则
A．U A B
C．U A ðU B
a
2. 已知
1i
A．1 2 i
3．已知变量 x,
1 bi ，其中 a, b 是实数，i 是虚数单位，则 a b i

n
( xi
i 1
B．U ðU A B D．U ðU A ðU B
则z
1
C． 2 i

n
( xi
i 1
x 2 y 的最大值为
x) ( yi

x) 2

D．1 2 i
试卷类型：A
y) , a
2013 年 3 月

y
b x ，
A． 3
B． 0

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班广州市2013届高三年级1月调研测试数学（理科）测试题由京翰教育一对一家教辅导()整理本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，俯视图侧视图正视图图1则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x C ．()fx =)62cos(π+x D ．()f x =6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3B ．C ．6D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,则方程22221x y a b+=表示焦点在xA ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 .11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 . 12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ .图313.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； (2) 求2C cos 的值. 17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.图4M NBCDAP18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N . (1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ .21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”.(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题 1. A分析：2i(23i)=2i 3i 2i 332i --=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A = ，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A ∴==∈=，{0,2,4}A B ∴= 3. B分析：22211log log 2244f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x ?-+=，解得3x =±；所以3//x a b =⇒ ，但//3a b x = ¿，故“3x =”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位即得()y f x =的图象，即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x x ππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM =，142PDC S ∆=⨯=， 12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=，14362PAB S ∆=⨯⨯= 7. B分析：方程22221x y a b +=表示焦点在x的椭圆时，有22a bc e a ⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影 8. C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…，综上可得7a … 二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d +=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +== 10.分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x y xy +++-=化为标22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =20x y -=的距离d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意503(1592009)503(59132013)=-+++++++++ 50315032013=-++11cos 112a π=⨯+=，222cos 112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，777cos 112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=，…20091a =，20102009a =-， 20111a =， 20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=14.分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC = ，即28PC =，故PC =分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y+-=，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==，故圆C 截直线所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1Asin =,解得A sin =4. …………… 3分 (2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴A cos ==. …………… 5分∴22A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分 442233A A coscos sin sin ππ=+ …………… 10分152828=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. …………… 6分 ∴()3501225P M ==27. 答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………… 8分()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为： (12)分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）E MNDCBAPEMNDCBAP（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //.FEMNDCBAP ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分∵ME NE E = ，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ，∵NE EF E = ，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分 ∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得2AM ==，AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF中，NF ==…………… 12分cos 89EF NFENF ?=. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅= ，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =.∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos , n EN ==n ENn EN. …………… 13分 ∴二面角N AM B --. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,，∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB = =⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k =. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅……………9分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ① …………… 1分 2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅= , …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅ 22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ ()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N . ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ 2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++ ()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++- ,……… 11分 ∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++- . …………… 12分 ∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n +-≤-+-++-+- 11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分14. …………… 14分。

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