高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解
高考数学复习、高中数学 两直线的位置关系附答案解析
的对称直线．
6．直线系方程
（ 1） 平 行 直 线 系 方 程 ： 与 直 线 l : Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 表 示
为
．
（ 2） 垂 直 直 线 系 方 程 ： 与 直 线 l : Ax By C 0 垂 直 的 直 线 可 表 示
为
．
（3）相交直线系方程：已知两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 ， l2 : A2 x B2 y C2 0 相交
基础自测
疑误辨析 多项选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2．
B．如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1． C．若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．
第 2 节 两直线的位置关系
【课标要求】 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间
的距离． 【知识衍化体验】
知识梳理 1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对 于 不 重 合 的 直 线 l1， l2， 若 它 们 的 斜 率 都 存 在 ， 且 分 别 为 k1， k2， 则 有
0， 的解的个数的对应关系：
B2 y C2 0
①相交 方程组有
例，l1⊥l2⇔
．
②平行 方程组有
，方程组的解就是交点的
，垂直为其特
．
③重合 方程组有
．
3．距离
（1）两点 P1(x1, y1)、P2 (x2 , y2 ) 的距离 P1P2
高考数学复习、高中数学 两直线的位置关系附答案解析
第2节 两直线的位置关系基础巩固题组 （建议用时：40分钟）一、单项选择题1．设a ∈R ，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限，则m 的取值范围是( )A ．{}2<m mB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23m m C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<23m m D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-223m m 4．已知直线l 过点P (3，－4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为（ ）A ．2x －y －2＝0B ．2x ＋3y －18＝0C ．2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0D ．2x ＋3y －2＝05．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C ．52613 D ．72010 6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0，4) B ．(0，2) C ．(－2，4) D ．(4，－2) 二、多项选择题7．当实数a 变化时，直线l 1：(a －1)x ＋y ＋1＝0与直线l 2：2x ＋ay ＋2＝0可能( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合8．已知直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x －2y －1＝0关于l 对称，则l 的方程可能是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋2y －1＝0三、填空题9．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为__________．10．直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．11．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________．12．直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点的坐标是__________．能力提升题组 （建议用时：20分钟）13．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a 的值为 ． 14．已知M ＝3()32y x y x ⎧-⎫=⎨⎬-⎩⎭，，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a 的值为 ．15．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C ．83D ．4316．在ABC △中，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=，60x y -+=，已知(1,6)M 为BC 边上一点．（1）若AM 为BC 边上的高，求直线BC 的方程； （2）若AM 为BC 边的中线，求ABC △的面积．第2节 两直线的位置关系1． A 2． B 3． D 4． C 5． D 6． B 7． ABCD[解析] 当a =2时，重合；当a =-1时，平行；当23a =时，垂直；当a 不等于以上值时，相交，故选ABCD ． 8． BC[解析] 两条直线的对称轴有两条且互相垂直，故选BC ．或由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x －2y －1＝0，得交点(1，0)，不在2x ＋y ＋1＝0，所以排除A ．再在l 1上选择一个点关于x ＋2y －1＝0对称对称后不在l 2上即可． 9． 3x ＋y ＝0[解析] 联立2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0．把点P 代入即可得m ＝0． 10． (1，3)[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0，直线l 2：3x ＋y －23＝0，联立方程组可求得x ＝1，y ＝3． 11． 4[解析] 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0．欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2．所以m 2＋n 2的最小值为4． 12． (5，6)[解析] 易知A (4，－1)，B (3，4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0，1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大． 13． 2[解析] 因为ax y ae '=，所以在点(01)，处的切线斜率为k a =，又与直线210x y ++=垂直，所以112a -=-，2a =．14． －6或－2[解析] 注意到可将式子y －3x －2＝3变形为3x －y －3＝0，则M ∩N ＝Ø意味着直线3x －y－3＝0(去掉点(2，3))与直线ax ＋2y ＋a ＝0无公共点．若两直线平行，则3a ＝－12≠－3a ，即a＝－6；若直线ax ＋2y ＋a ＝0恰过点(2，3)，则a ＝－2，故a 的值为－6或－2 15． D[解析] 分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，得△ABC 的重心D 44()33，，设AP ＝x ，从而P (x ，0)，x ∈(0，4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x ，0)与△ABC 的重心D 44()33，共线，所以4343＋x ＝43－（4－x ）43－4，求得x ＝43．故选D ．16． （1）280x y +-=；（2）6．[解析] （1）由27060x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得15x y =-⎧⎨=⎩，即(1,5)A -，又(1,6)M ，所以6511(1)2AM k -==--，因为AM 为BC 边上的高，所以2BC k =-， (1,6)M 为BC 边上一点，所以:BC l 62(1)y x -=--， 所以直线BC 的方程为280x y +-=．（2）法一：设点B 的坐标为(,)a b ，由(1,6)M 为BC 的中点，得点C 的坐标为(2,12)a b --，又点B 与点C 分别在直线AB 和AC 上，所以270(2)(12)60a b a b -+=⎧⎨---+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以点B 的坐标为(3,1)-， 由（1）得(1,5)A -，又(1,6)M ，所以直线AM 的方程为2110x y -+=，所以点B 到直线AM 的距离d ==，又AM ==所以11322BAM S d AM ===△，又M 为BC 的中点所以2236ABC BAM S S ==⨯=△△． 法二：（上同法一）点B 的坐标为(3,1)-， 又(1,6)M 为BC 上一点，所以直线BC 的方程为54190x y -+=． 由（1）知(1,5)A -，所以点A 到直线BC 的距离d ==， 又C 的坐标为(5,11)，所以BC =所以11622ABC S d BC ===△．法三：若直线BC 的斜率不存在，即BC 的方程为10x -=， 由27010x y x -+=⎧⎨-=⎩解得19x y =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为(1,9)，同理可得C 的坐标为(1,7)， 而7962+≠， M 不是BC 的中点，所以直线BC 的斜率存在． 设直线BC 的方程为6(1)y k x -=-由2706(1)x y y k x -+=⎧⎨-=-⎩解得129122k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即B 的坐标为1912(,)22k k k k +---同理可得C 的坐标为76(,)11k k k k ---，(1,6)M 为BC 的中点 所以12121912762621k k k k k k k k +⎧+=⨯⎪⎪--⎨--⎪+=⨯⎪--⎩解得54k =，所以直线BC 的方程为56(1)4y x -=-，即为54190x y -+=．（下同法二）法四：求BAC ∠正弦值及AB ，AC 长用面积公式（略）．。
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.当k＞0时，两直线与轴围成的三角形面积的最大值为 .【答案】【解析】因为与轴交于，由解得，，所以，两直线与轴围成的三角形面积为，而，故三角形面积的最大值为.【考点】1.两直线的位置关系；2.基本不等式.2.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2【答案】B【解析】由直线l的倾斜角，得l的斜率为－1，l1的斜率为．∵直线l与l1垂直，∴＝1，得a＝0．又直线l2的斜率为－，∵l1∥l2，∴－＝1，得b＝－2．∴a＋b＝－2．3.若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．【答案】0或【解析】因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等，或者斜率不存在，m＝0，或者－＝，∴m＝．4.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．【答案】（1）x＝2或4x－3y－5＝0（2）【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．∴＝3．即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝．5.设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx －ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行 B．相交不垂直C．垂直 D．重合【答案】C【解析】由bsinA－asinB＝0知，两直线垂直，选C．6.两条直线l1：(m＋3)x＋2y＝5－3m，l2：4x＋(5＋m)y＝16，分别求满足下列条件的m的值．(1) l1与l2相交；(2) l1与l2平行；(3) l1与l2重合；(4) l1与l2垂直．【答案】(1) m≠－1且m≠－7 (2) m＝－7 (3) m＝－1 (4) m＝－【解析】可先从平行的条件 (化为a1b2＝a2b1)着手．由，得m2＋8m＋7＝0，解得m1＝－1，m2＝－7.由，得m＝－1.(1) 当m≠－1且m≠－7时，，l1与l2相交．(2) 当m＝－7时，≠.l1∥l2.(3) 当m＝－1时，＝，l1与l2重合．(4) 当a1a2＋b1b2＝0，即(m＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，m＝－时，l1⊥l2.7.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限,则实数k的取值范围是()A．k>-B．k<2C．-<k<2D．k<-或k>2【答案】C【解析】由得由得∴-<k<2.8.分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离,则l1的方程是()A．x-y-4=0B．x+y-4=0 C．x=1D．y=3【答案】B【解析】当l1与l2之间距离最大时,l1⊥AB,故l1的斜率为-1,又过点A(1,3),由点斜式得l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.9.若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝________.【答案】－1【解析】由a(a－1)－2×1＝0得：a＝－1，或a＝2，验证，当a＝2时两直线重合，当a＝－1时两直线平行．10.已知过点和点的直线与直线平行，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】直线的斜率为，过点和点的直线与直线平行，故，解得．【考点】两直线的位置关系．11.若直线和平行，则实数的值为 .【答案】-3或2【解析】由两直线平行的充要条件得：.【考点】两直线平行的条件.12.若直线和平行，则实数的值为【答案】-3或2【解析】斜率，斜率，由得【考点】两直线平行点评：两直线平行斜率相等13.设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程是()A．y＝2x＋5B．y＝2x＋3C．y＝3x＋5D．y＝－x＋【答案】A【解析】解：∵∠B、∠C的平分线区别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y=2x+5．故选A14.直线与直线平行的充要条件是．【答案】-2.【解析】,当a=2时，两直线重合；当a=-2时，两直线平行15.若存在直线l平行于直线，且与直线垂直，则实数k＝．【解析】解：设平行于直线3x-ky+6=0的直线l方程为：3x-ky+c=0∵直线l与直线kx+y+1=0垂直，∴3×k+（-k）×1=0∴3k-k=0∴k=0故答案为：016.在△中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是；【答案】【解析】略17.直线与直线平行，则实数m= 。
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线与直线平行，，直线整理得：，则它们之间的距离是.【考点】两条平行直线间的距离．2.在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，设有下列四个说法：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交上述说法中，所有正确说法的序号是【答案】②③④【解析】若点在直线上，即满足所以不存在这样的实数所以①不正确；若，即，所以即所以即过、两点的直线与直线平行成立所以②正确；若即把线段的中点代入直线即可得，所以③正确；若即，所以与的值同正或同负，即点、在直线的同侧，又因为>所以点N离直线更近，所以直线与线段的延长线相交所以④正确综上填②③④【考点】1 点与直线的位置关系 2 平行直线的关系式 3 分式不等式的解法3.已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以与线段的垂直平分线的斜率为。
点、中点为，即，所以线段的垂直平分线的点斜式方程为，即。
故B正确。
【考点】两直线垂直的关系及直线方程。
4.若直线与平行，则的值为（）A．－3B．1C．0或－D．1或－3【答案】B【解析】因为，直线与平行，所以，a(a+2)-1×3=0,解得，a=1或a=－3，但a=－3时，两直线重合，故选B。
【考点】本题主要考查两直线平行的条件。
点评：简单题，在直线方程的一般式下，两直线平行的条件是：.5.已知直线3x＋4y－3 =" 0" 与 6x＋my＋1 =" 0" 互相平行, 则它们之间的距离是【答案】【解析】因为直线3x＋4y－3 =" 0" 与 6x＋my＋1 =" 0" 互相平行,所以m=8，由6x＋8y＋1 = 0，得，3x+4y+=0,由平行直线之间的距离公式，得，它们之间的距离是=。
高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解
高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解一、选择题1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m (m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A.2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[答案] A[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A.(理)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] y ′＝2ax ，在(1，a )处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2)D ．(2，－2)[答案] D[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A |＝|B |＝1时，点A (x 0，y 0)关于l 的对称点B (x ，y )的坐标，x ＝－By 0－CA ，y ＝－Ax 0－C B.4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O (0,0)，A (2,0)，C (0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－1,0]D ．[－2,0][答案] D[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，∵k OD ≥k OB ＝12，∴k ＝－1k OD ≥－2，且k <0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k ≤0.5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(10，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，10 [答案] D[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43<a <10，故选D.(理)如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．4D ．－4[答案] C[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0， ∴318<a <5，又a 为整数，∴a ＝4. 6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率等于( )A ．1 B.32 C.12D.33[答案] C[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l ′，则OA →、OB →在l ′上的射影也相等，故A 、B 到直线l ′的距离相等，设l ′：y ＝kx ，则|k －3|1＋k 2＝|－3k －1|1＋k 2，∴k ＝－2或12，∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12.[点评] 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k )，由OA →，OB →在a 上射影的长度相等可得|a ·OA →||a |＝|a ·OB →||a |，可解出k .7．设A (0,0)，B (2,2)，C (8,4)，若直线AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(16，－12) B ．(8，－6) C ．(4，－3)D ．(－4,3)[答案] A[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －1＝0[答案] B[解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0， ∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，故选B.(理)(2010·山东潍坊)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009的值为( )A ．－log 20102009B ．－1C ．log 20102009－1D ．1[答案] B[解析] 由y ＝x n ＋1得y ′＝(n ＋1)x n ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，x n ＝n n ＋1，∴log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009 ＝log 2010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2010⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×20092010＝log 201012010＝－1，故选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 [答案] C[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±24.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－24，24.故选C.(理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A (3，－1)，C (2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，则B 点轨迹的方程为( )A ．3x －y －20＝0(x ≠13)B ．3x －y －10＝0(x ≠13)C ．3x －y －9＝0(x ≠－8)D ．3x －y －12＝0(x ≠－8)[答案] A[解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫52，－2，设B (x ，y )，则B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y )在直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x )－(－4－y )＋1＝0，即3x －y －20＝0.∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x ≠13.10．已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p ，直线l 在两坐标轴上的截距之和为q ，且p 比q 大1，则这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋ 6C ．4＋3 3D ．5＋2 6 [答案] D[解析] 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b ≥2ab ，∴12ab ≥2ab ＋1，即(ab )2－4ab－2≥0，解得ab ≥2＋6，∴12ab ≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6. 二、填空题11．(2010·深圳中学)已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] a ＋2b ＝(－2,3)，设l 上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －3，y ＋1)，由条件知，(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，∴2x －3y －9＝0.12．(2010·浙江临安)设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝____”． [答案] －2[解析] 由条件知a 3＝2a －1，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3，当a ＝3时，两直线重合不合题意，∴a ＝－2.14．(文)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)，则yx 的最大值、最小值分别为________．[答案] 23，－1[解析] 设k ＝y x ，则yx 表示线段AB ：3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A (1，－1)，B (3,2)．由图易知：k max ＝k OB ＝23，k min ＝k OA ＝－1.(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案] [0，π2)∪(2π3，π)[解析] 由题意f ′(x )＝a (x －1)2－3，∵a >0，∴f ′(x )≥－3，因此曲线y ＝f (x )上任一点的切线斜率k ＝tan α≥－3， ∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3<α<π.三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．[解析] 当0≤x ≤10时，直线过点O (0,0)，A (10,20)，∴k OA ＝2010＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x ≤40时，直线过点A (10,20)，B (40,30)， 此进k AB ＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)，即y ＝13x ＋503；当x >40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v 1，放水的速度为v 2，在OA 段时是进水过程，∴v 1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v 1＋v 2＝13，∴2＋v 2＝13.∴v 2＝－53.∴当x >40时，k ＝－53.又过点B (40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C (58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎨⎧y ＝2x ，0≤x ≤1013x ＋503，10<x ≤40－53x ＋2903，40<x ≤58.(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝⎛⎭⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝⎛⎭⎫－1，13在AD 所在直线上．(1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C 1的方程；(2)已知点E ⎝⎛⎭⎫－12，0，点F 是圆C 1上的动点，线段EF 的垂直平分线交FM 于点P ，求动点P 的轨迹方程． [解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为－43.又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)，即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)．又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心． 而|MA |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(－1－0)2＝52， ∴外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝54. (2)由题意得，|PE |＋|PM |＝|PF |＋|PM |＝|FM |＝52，又|FM |>|EM |， ∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c ＝12，a ＝54，∴b 2＝a 2－c 2＝516－14＝116.故动点P 的轨迹方程是x 2516＋y 2116＝1.16．已知直线l 1过点A (－1,0)，且斜率为k ，直线l 2过点B (1,0)，且斜率为－2k ，其中k ≠0，又直线l 1与l 2交于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程． [解析] (1)设M (x ，y )，∵点M 为l 1与l 2的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧yx ＋1＝k y x －1＝－2k(k ≠0)，消去k 得，y 2x 2－1＝－2，∴点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． (2)由(1)知M 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则2x 12＋y 12＝2① 2x 22＋y 22＝2②①－②得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－2×x 1＋x 2y 1＋y 2，∵N ⎝⎛⎭⎫12，1为CD 的中点， 有x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝2， ∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1、l 2都相切，求l 2所在直线的方程和圆C 的方程．[解析] 直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)． ∵l 的倾斜角为30°.∴l 2的倾斜角为60°.∴k 2＝ 3.∴反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0. 已知圆C 与l 1切于点A ，设C (a ，b )． ∵⊙C 与l 1、l 2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， ∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴a ＝33②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.。
高考数学(人教a版,理科)题库：直线方程和两直线的位置关系(含答案)
第九章 解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 解析 α必为钝角，且sin α的绝对值大，故选C. 答案 C2．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析 由2y ＋1－－4－2＝2y ＋42＝y ＋2， 得：y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3. 答案 B3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A5．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )． A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案 C6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )．A ．4B ．6C.345D.365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.答案 C 二、填空题7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．解析 由k AB ＝k BC ，即－2－33＋2＝m ＋212－3，得m ＝12.答案 128．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．解析 设直线方程为为x a －ya ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5和k ＝－32.答案 y ＝－32x 或x 5－y5＝19．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 3510．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析 由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0， 由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1. 答案 ±1 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.13．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3.(2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程． 解 法一 因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m －(－1)|2， 解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法二 由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.高考资源网（ ） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501。
两条直线的位置关系综合练习题及答案
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当l i」2有斜截式（或点斜式）方程h : y = ：y = k?x • b2，则1l//* 二 _k i =k2,b i =6丄②当h, l2有一般式方程：l1: A1x B1y G = 0,12: A2x B2y C2= 0，则h // 丨2 = _ AB2「民 3 = 0,C1B2「C2B^- 0 .（2）垂直的判断：①当丨1,丨2有斜截式（或点斜式）方程丨 1 : y二«x • 4,丨 2 : y二k?x • b2，贝V h _ 丨2 = — 11: y = k1x d,丨2: y = k2x b2_•②当丨1,丨2有一般式方程：丨1 ： Ax B』C = 0,丨 2 : A?x B?y C2 = 0 ,则h _ 丨2二_ AA B1B2=0丄2、两条直线的交点：右丨 1 : A1X ' B1 y ' C1 —0, 1 2 : A2X ' B2 y ' C2 —0l A,x B1y C^ 0 sr则11,12的交点为方程2 1的解.Ax B?y C2 =03、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点P（x°,y°）到直线Ax + By+C=0的距离为^l Ax^By^C J _.JA2十B2（2）两平行直线间的距离求法：一|c2-C」两平行直线：11: Ax By C^0,12: Ax By C^0，则距离d = d 2.VA2+ B2（二）例题讲解：考点1 :直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线丨的方程为3x 4y -1^0，求与丨平行且过点-1,3的直线方程；（2）已知直线h :2x-3y • 10 =0,丨 2 ：3x • 4y-2 =0，求过直线11和丨2的交点，且与直线l3：3x-2y ' 4 = 0 垂直的直线I方程•易错笔记：解：（1 ）设与直线I平行的直线h的方程为3x・4y・C=0，则点-1,3在直线3x 4y ^0上，将点-1,3代入直线3x 4y C =0的方程即可得：3 -1 4 3^0，C - -9，所求直线方程为：3x 4y -9 =0.（2）设与直线|3:3x -2y 4=0垂直的直线I方程为：2x 3y ^0，方程2x-3y 10-0的解为：x=—2 彳，3x +4y-2 =0 “2.直线h：2x-3y 10=0」2：3x 4y-2=0 的交点是-2,2 ，.直线I 过直线h :2x-3y 10 =0,l2 ：3x 4y-2 =0的交点-2,2，2 -23 2 C =0，C - -2，直线I 方程为：2x 3y-2=0.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为2 • m x • 1 - 2m y • 4 - 3m = 0，（1）求证：无论m取何值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程解：（1）设直线方程为2A B 二-4 2 m x 亠〔1 -2m y 4 -3m = 0过定点A, B ，A= -1A -2B =3 8 = -2-直线方程为2 m x ^2m y • 4 - 3m = 0过定点-1, -2 .⑵由题意知，直线I在x轴上的截距a = 0，在y轴上的截距b = 0，■设直线I的方程为：- —=1，-直线1在x轴上的交点坐标为M a,0，直线I在y轴上的交点坐标为a bN 0,b，直线I夹在两坐标轴间的线段被点-1, -2平分, •点-1, -2是线段MN的中点,口「120 b22直线I的方程为：易错笔记：——=1，即2x y 4=0. -2 -4(三) 练习巩固:、选择题1、直线3x y ^0和直线6x 2y ^0的位置关系是；直线3x ，4y -3 =0与直线6x 8y 1^0的距离等于直线 3x ，4y -3 =0与直线3x 4y 0之间的距A .重合B.平行C2、点21到直线3x -4y • 2 =0的距离是A. 4B. 554.相交但不垂直± D 2525 4 3、如果直线x - 2ay =0与直线(3a -1)x - ay -1 =0平行,则a 等于 .0或丄61解：1 人—a ；-2a 3a -1 = 0①，且 2a 1i • a 0 ②，由①得：a =0或 a,由②得：a = 0 , a = 0.6A. 0C. 0 或 1 D4、若三条直线2x 3y • 8 = 0, x 「y 「1 = 0和x ky =0相交于一点，则k 二A. -2解：；方程2x 3y ^0的解为:_y _1 =0x =—1y 一2■直线 2x • 3y • 8 = 0,x - y -1 = 0 的交点是 -1, -2 ,三条直线 2x 3y 8=0,x -y 「1=0 和 x ky = 0 相交于一点 -1,-2 , •直线 x k^ 0过点 -1,-2 , ■ -1k -2 =0,，故选 B.5、已知点M 4,2与M 2,4关于直线I 对称，则直线I 的方程为A. x y 6=0 B . x y_6=0 C . x y=0 D . X-y=06、已知直线3x 4y -3 =0与直线6x my 1^=0平行，贝U 它们间的距离是A17 厂17 厂cA.B.C . 810 5解：：直线3x • 4y -3 =0与直线6x my 1^0平行，3m-4 6=0二 2，二 m =8，二直线 6x + my+14=0 的方程为 6x +8y + 14 = 0 ,即 3x+4y+74 14 -i —3 m = 0直线3x Vy-3=0与直线3x 4y ^0之间的距离C 2 _C 1 7一 一3 =2. A 2 B 2. 32 ' 4210、设直线 h :3x+4y —2=0,l 2 ：2x+y+2=0,l 3：3x —4y+2=0，则直线 l 1 与 l 2的交点到 l 3 的距离为―125解：；方程3x '4y-2=0的解为:(2x + y+2 = 0x = _2 y =2直线2x 3y •8=0,x -y-1=0的交点是 -2,2，•点-2,2至煩线I 3的距离为:x |Ay +By 。
专题9-1直线方程与两条直线的位置关系-2018年高三数学(文)一轮总复习名师伴学Word版含解析
1．（16年新课标Ⅱ）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43（B ）−34（C （D ）2 【答案】A【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．2. (2016·上海) 已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===3.（2016•北京）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1 （B ）2 （C （D ） 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C. 4.（2015•陕西） 函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．直线的方程是高中数学领域的基础模块，高考主要考查考生对几种直线方程的理解和运用，两条直线的平行与垂直关系及数形结合的思想、运算能力等。
本节复习注意掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系，以及两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式应用。
高三数学 专题9.2 两条直线的位置关系(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.2 两条直线的位置关系1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识点一两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．(2)两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(3)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为垂直．(4)两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.知识点二两条直线的交点知识点三三种距离||P1P2＝x2－x12＋y2－y12考点一两条直线的位置关系【典例1】（江苏省丹阳高级中学2019届模拟）已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10 B．－2 C．0 D．8【方法技巧】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．【变式1】（浙江绍兴一中2019届模拟）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m ＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点二两条直线的交点问题【典例2】（安徽黄山屯溪一中2019届模拟）(1)三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1(2)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l 的方程为__________．【方法技巧】(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.【变式2】（福建双十中学2019届模拟）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x －y ＋4＝0的直线方程为__________．考点三 距离问题的求解与应用 【典例3】（江西临川一中2019届模拟）(1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2 【方法技巧】距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离：关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等． (2)解决与点到直线的距离有关的问题：应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离：要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．【变式3】（山东青岛二中2019届模拟）“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 考点四 对称问题及其应用【典例4】（河南开封高级中学2019届模拟） (1)已知直线l ：x ＋2y －2＝0.①求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； ②求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．(2)光线由点A (－5，3)入射到x 轴上的点B (－2,0)，又反射到y 轴上的点M ，再经y 轴反射，求第二次反射线所在直线l 的方程．【方法技巧】(1)关于中心对称问题的处理方法①若点M (x 1，y 1)及点N (x ，y )关于点P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法 ①点关于直线的对称若两点P 1 (x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【变式4】（广东中山一中2019届模拟）已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．专题9.2 两条直线的位置关系1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识点一 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. (3)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1与l 2的关系为垂直． (4)两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 知识点二 两条直线的交点知识点三 三种距离||P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12考点一 两条直线的位置关系【典例1】（江苏省丹阳高级中学2019届模拟）已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8【答案】A【解析】因为l 1∥l 2，所以4－mm ＋2＝－2(m ≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)．因为l 2⊥l 3，所以2×1＋1×n ＝0，即n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.【方法技巧】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．【变式1】（浙江绍兴一中2019届模拟）设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.考点二 两条直线的交点问题【典例2】（安徽黄山屯溪一中2019届模拟）(1)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( ) A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为__________．【答案】(1)C (2)5x ＋3y －1＝0【解析】(1)由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若l 1，l 2的交点(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5，且k ≠－10，故选C.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)．由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1.故直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.【方法技巧】(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． (2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R ，且m ≠C )；②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【变式2】（福建双十中学2019届模拟）经过直线3x －2y ＋1＝0和直线x ＋3y ＋4＝0的交点，且平行于直线x －y ＋4＝0的直线方程为__________．【答案】x －y ＝0【解析】过两直线交点的直线方程可设为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋4λ＋1＝0，它与直线x －y ＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－14，故所求直线为x －y ＝0.考点三 距离问题的求解与应用 【典例3】（江西临川一中2019届模拟）(1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2 【答案】(1)C (2)A【解析】(1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.故选C.(2)依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.故选A.【方法技巧】距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离：关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等． (2)解决与点到直线的距离有关的问题：应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离：要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．【变式3】（山东青岛二中2019届模拟）“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件．故选B.考点四 对称问题及其应用【典例4】（河南开封高级中学2019届模拟） (1)已知直线l ：x ＋2y －2＝0.①求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； ②求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．(2)光线由点A (－5，3)入射到x 轴上的点B (－2,0)，又反射到y 轴上的点M ，再经y 轴反射，求第二次反射线所在直线l 的方程．【解析】(1)①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x ＋2y －2＝0解得交点P (2,0)．在l 1上取点M (0，－2)， M 关于l 的对称点设为N (a ，b )， 则⎩⎨⎧a 2＋2·b －22－2＝0，⎝⎛⎭⎫－12·b ＋2a ＝－1，解得N ⎝⎛⎭⎫125，145，所以kl 2＝145－0125－2＝7，又直线l 2过点P (2,0)，所以直线l 2的方程为7x －y －14＝0.②直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行，所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0.在l 上取点B (0,1)，则点B (0,1)关于点A (1,1)的对称点C (2,1)必在所求的直线上，所以m ＝－4，即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0.(2)点A (－5，3)关于x 轴的对称点A ′(－5，－3)在反射光线所在的直线BM 上， 可知l BM ：y ＝33(x ＋2)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，233.又第二次反射线的斜率k ＝k AB ＝－33，所以第二次反射线所在直线l 的方程为y ＝－33x ＋233，即x ＋3y －2＝0.【方法技巧】(1)关于中心对称问题的处理方法①若点M (x 1，y 1)及点N (x ，y )关于点P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法 ①点关于直线的对称若两点P 1 (x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【变式4】（广东中山一中2019届模拟）已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．【解析】(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， 因为k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， 所以3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，所以点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， 所以x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，所以M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，所以k ＝3， 所以对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.专题9.2 两条直线的位置关系1．（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－22．（河北衡水一中2019届调研）过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（一中2019届期末）已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )A ．－2B ．－7C ．3D ．14．（黑龙江省齐齐哈尔一中2019届期中）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（湖北省十堰一中2019届期末）已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则点|PM |的最小值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．36．（吉林省四平一中2019届期中）已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)7．（湖北省荆州一中2019届月考）经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是________．8．（浙江省衢州一中2019届期中）与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．9．（福建省莆田一中2019届期末）已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |的最小值是________．10．（江西省九江一中2019届质检）已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．11．（山东青岛二中2019届模拟）直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为() A．3或－1 B.0或3C．0或－1 D．－1或0或312．（湖北省宜昌一中2019届模拟）已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l共有()A．1条B.2条C．3条D．4条13．（河南省商丘一中2019届模拟）若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A.22 B.1C. 2 D．214．（山西省吕梁一中2019届模拟）l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．15．（江苏省淮安一中2019届模拟）若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为______________________．16．（湖南省郴州一中2019届模拟）在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．17. （辽宁省大连八中2019届模拟）如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．18．（河北省秦皇岛一中2019届模拟）如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．19．（山西省阳泉一中2019届模拟）已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．20．（江苏省南通一中2019届模拟）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P . (1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．1.（2019·江苏高考）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4专题9.2 两条直线的位置关系1．（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23 D ．－2【答案】D【解析】由a ×1＋2×1＝0得a ＝－2.故选D.2．（河北衡水一中2019届调研）过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0【答案】C【解析】设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将(1,0)代入， 求得c ＝－2，所以所求方程为2x ＋y －2＝0.故选C.3．（一中2019届期末）已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 【答案】C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m 2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.4．（黑龙江省齐齐哈尔一中2019届期中）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C.5．（湖北省十堰一中2019届期末）已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则点|PM |的最小值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3【答案】B【解析】|PM |的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.6．（吉林省四平一中2019届期中）已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)【答案】C【解析】设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，即(4，－2)．所以直线BC 所在的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．7．（湖北省荆州一中2019届月考）经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是________．【答案】2x －y ＋4＝0【解析】因为y ′＝6x －4，所以y ′|x ＝1＝2，所以所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．（浙江省衢州一中2019届期中）与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．【答案】12x ＋8y －15＝0【解析】l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0. 9．（福建省莆田一中2019届期末）已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |的最小值是________．【答案】2 5【解析】点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，则|P A |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为M ，则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5.由三角形两边之和大于第三边知当P 不与M 重合时，|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |，故当P 与M 重合时，|P A |＋|PB |取得最小值．10．（江西省九江一中2019届质检）已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．【解析】依题意知k AC ＝－2，A (5,1)，所以直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 和直线CM的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.11．（山东青岛二中2019届模拟）直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为( ) A ．3或－1 B.0或3 C ．0或－1 D ．－1或0或3 【答案】C【解析】两直线无公共点，即两直线平行．当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点；当a ≠0时，由－1a 2＝－a －23a ，解得a ＝3或a ＝－1.若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a ＝－1，这两条直线分别为x ＋y ＋6＝0和3x ＋3y ＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a ＝0或a ＝－1.12．（湖北省宜昌一中2019届模拟）已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )A ．1条 B.2条 C ．3条 D ．4条 【答案】C【解析】当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝－2＋－2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.13．（河南省商丘一中2019届模拟）若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A.22B.1C. 2D ．2【答案】C【解析】因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，曲线y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为2，故选C.14．（山西省吕梁一中2019届模拟）l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________________．【答案】x ＋2y －3＝0【解析】当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，此时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.15．（江苏省淮安一中2019届模拟）若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为______________________．【答案】x ＋3y －5＝0或x ＝－1【解析】当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．16．（湖南省郴州一中2019届模拟）在平面直角坐标系中，已知点P (－2,2)，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0(a ，b ∈R 且不同时为零)，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是________．【答案】[0,5]【解析】易知直线l 经过定点(1，－2)，则点P 到直线l 的最大距离为－2－2＋＋2＝5，最小距离为0，所以d 的取值范围是[0,5]．17. （辽宁省大连八中2019届模拟）如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．【答案】6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4· 36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．18．（河北省秦皇岛一中2019届模拟）如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．【答案】(4，＋∞)【解析】从特殊位置考虑．如图所示，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD ＞，即k FD ∈(4，＋∞)．19．（山西省阳泉一中2019届模拟）已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．【解析】(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14.因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为l 1与l 2不重合，所以a 2＋1≠3， 所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时，等号成立，因此|ab |的最小值为2.20．（江苏省南通一中2019届模拟）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P . (1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即交点P (2,1)．由直线l 与A ，B 的距离相等可知，l ∥AB 或l 过AB 的中点．①由l ∥AB 得k l ＝k AB ＝2－33－1＝－12，所以直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.②由l 过AB 的中点得l 的方程为x ＝2. 综上得x ＋2y －4＝0或x ＝2为所求．(2)由题可知直线l 1的横、纵截距a ，b 存在，且a ＞0，b ＞0，则l 1：x a ＋yb＝1.又直线l 1过点(2,1)，△ABO的面积为4，所以⎩⎨⎧2a ＋1b＝1，12ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，故直线l 1的方程为x 4＋y 2＝1，即x ＋2y －4＝0.1.（2019·江苏高考）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P 到直线的距离由，得，，即切点，则切点Q 到直线的距离为，故答案为4。
高考数学 两条直线的位置关系复习练习(含解析)文
两条直线的位置关系高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线求满足下列条件的实数a 的值：（1）直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：3x ＋ay －1＝0平行； （2）直线l 1：2x ＋3y ＝1，l 2：ax －3y ＝0，且l 1⊥l 2；（3）经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直． 【参考答案】（1）3；（2）92；（3）0或1．（3）l 1的斜率1301(2)a k a -==--，当0a ≠时，l 2的斜率22(1)120a ak a a----==-，由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝－1，即121aa a-⋅=-，解得a ＝1；当a ＝0时，A (－2，0)，B (1，0)，P (0，－1)，Q (0，0)，此时直线l 1的斜率为0，直线l 2的斜率不存在，显然l 1⊥l 2．综上可知，实数a 的值为0或1．【解题必备】（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．两条直线的位置关系的相关结论如下：离d；两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d．学霸推荐1．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为A． -2 B． -3 C．-4 D．-52．已知M=3{(,)|3}2yx yx-=-，N={(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M N=∅，则a=A．－6或－2 B．－6 C．2或－6 D．－21．【答案】D【解析】∵，∴，故选D．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线方程与两条直线的位置关系练习 理-人教版高三全册
§9.1直线方程与两条直线的位置关系命题探究解答过程答案:A解析:解法一:由题意可知,点F的坐标为(1,0),直线AB的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为x=my+1. 由得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4m2+4.∵AB⊥DE,∴直线DE的方程为x=-y+1,|DE|=+4,∴|AB|+|DE|=4m2+4++4=4+8≥4×2+8=16,当且仅当m2=,即m=±1时,等号成立.即|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.解法二:如图,l1⊥l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B与E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1.又直线l2过点(1,0),∴直线l2的方程为y=x-1,联立方程组则y2-4y-4=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),∴y1+y2=4,y1y2=-4,∴|DE|=·|y1-y2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.直线的倾斜角、斜率和方程①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离掌握2015课标Ⅰ,20;2014某某,10;2013某某,9选择题填空题★★☆2.点与直线、直线与直线的位置关系掌握2016某某,9;2014某某,14;2013课标全国Ⅱ,12选择题填空题★★☆分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一直线的倾斜角、斜率和方程1.(2013某某,9,5分)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0答案 A2.(2014某某,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=03.(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)考点二点与直线、直线与直线的位置关系1.(2016某某,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值X围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案 A2.(2013课标全国Ⅱ,12,5分)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值X围是( )A.(0,1)B.C. D.答案 B3.(2013某某,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.D.答案 D4.(2014某某,14,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是.答案 5三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一直线的倾斜角、斜率和方程1.(2018某某某某期中,2)已知直线l:x+y+2 017=0,则直线l的倾斜角为( )A.150°B.120°C.60°D.30°答案 B2.(2018某某某某期末,6)过不重合的A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为( )A.-1B.-2C.-1或2D.1或-2答案 B3.(2018某某某某模拟,4)过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为( )A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=0答案 C4.(人教A必2,三,3-2-2,2,变式)已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是()A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1答案 A5.(2017某某四地六校联考,6)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a≠0,b≠0),若f=f,则直线ax-by+c=0的倾斜角为()A. B.C. D.答案 D6.(2017某某“江淮十校”第一次联考,13)经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是. 答案x-y+1=0考点二点与直线、直线与直线的位置关系7.(2018某某某某期中,6)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( )A.(2,0)或(4,6)B.(2,0)或(6,4)C.(4,6)D.(0,2)答案 A8.(2018某某六盘水模拟,7)若点M和N都在直线l:x+y=1上,则点P,Q和l的关系是( )A.P和Q都在l上B.P和Q都不在l上C.P在l上,Q不在l上D.P不在l上,Q在l上答案 A9.(2017某某某某二模,4)若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于( )A.0或-1或3B.0或3C.0或-1D.-1或3答案 D10.(2016某某某某二模,4)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a的值为( )A.-1B.1C.±1D.-答案 CB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018某某某某模拟,6)如图所示,已知M(1,0),N(-1,0),直线2x+y-b=0与线段MN相交,则b的取值X围是A.[-2,2]B.[-1,1]C. D.[0,2]答案 A2.(2018某某乌鲁木齐模拟,6)直线a1x+b1y=2和a2x+b2y=2交于点P(2,3),则过点A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线方程是( )A.2x+3y-2=0B.3x+2y-2=0C.3x+2y+2=0D.2x+3y+2=0答案 A3.(2017豫南九校联考,5)若θ是直线l的倾斜角,且sin θ+cos θ=,则l的斜率为( )A.-B.-或-2C.或2D.-2答案 D4.(2016某某某某二模,9)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),直线y=kx将△ABC分割为两部分,则当这两部分的面积之积取得最大值时k的值为( )A.-B.-C.-D.-答案 A二、解答题(共15分)5.(2017某某某某模拟,18)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且两平行直线l1与l2间的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.解析(1)l2的方程可化为2x-y-=0,∴l1与l2间的距离d==,∴=,∴=,∵a>0,∴a=3.(2)能.假设存在满足题意的P点.设点P(x0,y0),∵P点满足条件②,∴P点在与l1、l2平行的直线l':2x-y+C=0上,其中C满足=×,C≠3且C≠-, 则C=或C=,∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.∵P点满足条件③,∴由点到直线的距离公式得=×,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.∵P点在第一象限,∴3x0+2=0不满足题意.由解得(舍去).∴存在满足题意的P点,且P点的坐标为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求直线的斜率及倾斜角的X围的方法1.(2018某某某某期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值X围为( )A. B.C. D.答案 A2.(2018某某黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值X围是( )A. B.∪C. D.∪答案 A3.(2016某某某某期末,5)直线(1+a2)x-y+2=0的倾斜角的取值X围是( )A. B.C.∪D.答案 D4.(2017某某某某调研,14)若过点(0,2)的直线l与圆(x-2)2+(y-2)2=1有公共点,则直线l的斜率的取值X围是.答案方法2 确定直线方程的方法5.(2018某某某某期中,8)已知直线l的方程为f(x,y)=0,P1(x1,y1)和P2(x2,y2)分别为直线l上和l外的点,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示( )A.过点P1且与l垂直的直线B.与l重合的直线C.过点P2且与l平行的直线D.不过点P2,但与l平行的直线答案 C6.(2017某某某某模拟,13)经过点(2,1)的直线l和两坐标轴相交于A、B两点,若△AOB(O是原点)的面积恰为4,则符合要求的直线l有条.答案 37.(2016某某天一大联考,19)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)相外切.(1)若圆C2关于直线l:-=1对称,求由点(a,b)向圆C2所作的切线长的最小值;(2)若直线l1过点A(1,0)且与圆C2相交于P,Q两点,求△C2PQ面积的最大值,并求此时直线l1的方程.解析(1)由题意知圆C1的圆心为(0,0),半径为3,圆C2的圆心为(3,4),半径为r,因为圆C1与圆C2外切,所以|C1C2|=5=3+r,所以r=2.因为圆C2关于直线l:-=1对称,所以圆心C2(3,4)在直线-=1上,所以-=1,所以a=b+3,所以由点(a,b)向圆C2所作的切线长为===,所以当b=2时,切线长取得最小值,最小值为2.(2)因为直线l1过点A且与圆C2相交,所以l1的斜率一定存在且不为0,设直线l1:kx-y-k=0,则圆心C2(3,4)到直线l1的距离为d=,△C2PQ的面积S=d×2=d==,当d=时,S取得最大值2,所以d==,解得k=1或k=7,所以此时直线l1的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.方法3 两直线平行与垂直问题的解决策略8.(2018某某某某模拟,7)过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0交于点P,则|PM|·|PN|的最大值为( )A.4B.3C.2D.1答案 D9.(2018某某某某模拟,14)若三条直线2x-y+4=0,x-2y+5=0,mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=.答案-或-610.(2017某某池州月考,14)已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0垂直,则ab的最小值为.答案 2方法4 求距离的方法11.(2018某某学业考试,5)平行于直线l:x+2y-3=0,且与l的距离为2的直线的方程为( )A.x+2y+7=0B.x+2y-13=0或x+2y+7=0C.x+2y+13=0D.x+2y+13=0或x+2y-7=0答案 B12.(2018某某某某模拟,6)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为()A. B. C.2 D.2答案 A13.(2016某某某某期末,8)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的取值X围是( )A.0≤d<B.d≥0C.d>D.d≥答案 A14.(2017某某某某二模,8)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为( )A. B. C.1 D.9答案 B方法5 关于对称问题的求解策略15.(2018某某陵川一中期中,6)若点(a,b)关于直线y=2x的对称点在x轴上,则a,b满足的条件为( )A.4a+3b=0B.3a+4b=0C.2a+3b=0D.3a+2b=0答案 A16.(2017某某五校联考,5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为( )A.2x+3y-12=0B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0D.2x+3y+12=0答案 D。
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.直线和直线垂直，则实数的值为（）A．1B．0C．2D．-1或0【答案】D【解析】若直线与直线垂直，则，解得m=-1，或m=0．故选Ｄ．【考点】两条直线垂直的条件．2.已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．【答案】－【解析】由题意知，m≠0，则直线l1的方程为：y＝－x－，∴，解得m＝－．3.已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是________．【答案】0或1【解析】因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1．4.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则a为（）A．4B．2C．1D．3【答案】A【解析】∵,∴曲线在点处的切线的斜率为，又∵切线与直线互相垂直∴×，∴a=4．5.已知两条直线和互相平行，则等于( )A．1或－3B．－1或3C．1或3D．－1或－3【答案】A【解析】因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A．6.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为()．A．0B．1C．2D．3【解析】设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，∵原点到直线的距离，∴，即直线方程为x＝1或4x＋3y＋5＝0，选C．7.两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．【答案】【解析】在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝8.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．【答案】充分不必要【解析】由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.9.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是()A．重合B．垂直C．相交但不垂直D．平行【答案】D【解析】∵直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,斜率k1=k2=2,∴l1∥l2.10.“”是“直线与直线互相垂直”的( )A．充要条件；B．充分不必要条件；C．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.【答案】B【解析】本题考查两条直线垂直的判定，直线与直线互相垂直的充要条件是，即或，故本题应该选B.【考点】两直线垂直的充要条件.11.已知直线，若，则的值为（）A．B．C．D．或【答案】【解析】，则，所以或.【考点】两直线的平行关系.12.已知过点和点的直线与直线平行，则实数的值为（）A．B．C．D．【解析】直线的斜率为，过点和点的直线与直线平行，故，解得．【考点】两直线的位置关系．13.已知点直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求动点的轨迹方程；（2）、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标.【答案】（1）动点的轨迹方程为；（2）点的纵坐标为.【解析】（1）设动点的坐标为，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点的轨迹方程；（2）先设点，利用导数求出曲线在点和点处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点的坐标，利用两切线垂直得到，从而求出点的纵坐标.试题解析：（1）设，则，∵，∴．即，即，所以动点的轨迹M的方程． 4分（2）设点、的坐标分别为、，∵、分别是抛物线在点、处的切线，∴直线的斜率，直线的斜率.∵,∴, 得. ①∵、是抛物线上的点,∴∴直线的方程为,直线的方程为.由解得∴点的纵坐标为.【考点】1.动点的轨迹方程；2.利用导数求切线方程；3.两直线的位置关系；4.两直线的交点14.若直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.【答案】【解析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与与直线垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（-1，3）代入，即可求出c值，得到所求方程. 解：∵所求直线方程与直线垂直，∴设方程为2x+y+c=0，∵直线过点（-1，3），∴2×（-1）+3+c=0，∴c=-1∴所求直线方程为故答案为【考点】两直线的垂直关系点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意两条直线互相垂直的条件的灵活运用．15.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a的值为．【答案】-6【解析】据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．∵直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，∴它们的斜率相等，∴ =3，∴a=-6．故填写-6.【考点】两直线平行点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．16.已知两条直线：与：的交点，求满足下列条件的直线方程（1）过点P且过原点的直线方程；（2）过点P且垂直于直线：直线的方程；(10分)【答案】解：由解得∴点P的坐标是（，2）（1）所求直线为y=-x（2）∵所求直线与垂直，∴设直线的方程为把点P的坐标代入得，得∴所求直线的方程为【解析】略17.．已知过、两点的直线与直线平行，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B18.已知直线与直线，若，则实数的值为______【答案】10【解析】略19.直线与直线平行，则实数m= 。
高中数学《直线方程与两直线的位置关系》复习和习题课件PPT
1 − 2
2
+ 1 − 2 2 .
2.点到直线的距离公式
点p 0 , 0 到直线Ax+By+C=0的距离 =
0 +B0 +C
2 +2
.
知识清单
知识点七 距离公式
3.平行线间的距离公式
若两条平行直线的方程分别为1 : 1
+ 1 + 1 = 0, 2 : 2 +
（1）方程组有唯一解⟺ 1 , 2 相交，交点坐标就是方程组的解.
（2）方程组无解⟺ 1 ∥ 2 .
（3）方程组有无数解⟺ 1 , 2 重合.
知识清单
知识点七 距离公式
1.两点间的距离公式
在平面直角坐标系中，若两点坐标分别为1 1 , 1 、2 2 , 2 则1 、2 两点
2 + 2 = 0 ， 1 ≠ 2 ，则1 与2 的距离为 =
0ሻ
1 −2
2 +2
ሺ2 + 2 ≠
典例精析
例
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例
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例
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例
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典精析
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例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
高中
数学
§第一节 直线方程与两直线的位置关系
（复习+习题练习）
解析几何
真题在线
（2019年·河南对口升学）直线2x+3y+6=0在y轴上的截距是
___.
【专家详解】令x=0，则3y+6=0，解得y=-2.
专题27 直线的方程及两条直线的位置关系(纯答案)
专题27 直线的方程及两条直线的位置关系 答案题型一、直线方程与斜率 例1、解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 变式1、【答案】[)0,π 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3． 变式2、【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 【解析】由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∪－1≤cos α≤1，∪－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.变式3、【答案】 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)【解析】 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则 k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角. 又k P A ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∪－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∪[0，π4]∪[3π4，π).题型二、直线的位置关系 例2、【答案】8【解析】由题意直线1l 的斜率存在.1214,,82a al l ∴=∴=.直线2l 的方程为4880x y -+=，即220x y ，∴直线12,l l的距离为5d==. 故答案为：8. 变式1、【答案】：12【解析】∪x ，y∪R ，直线（a ﹣1）x+y ﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直，∪（a ﹣1）×1+1×a=0，解得a=12. ∪实数a 的值为12． 变式2、【答案】 充分必要【解析】直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ay ＋1＝0的斜率都存在且相等时，a ＝±1，当 a ＝1时，两直线平行，当a ＝－1时，两直线重合，所以“a ＝1”是“直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ ay ＋1＝0平行”的充分必要条件． 变式3【答案】-1 ..【解析】直线12110l mx y l x my ---：＝，：＝， 若12l l //，则21010m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得1m -＝；直线11l mx y -：＝过定点1(0)G ，， 化圆222240x x y ++-＝为()22125x y ++＝，可知圆心坐标为()10C -，，半径为5.如图，CG则min AB =＝.故答案为：-1；. 变式4、【答案】 垂直【解析】 由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∪两直线垂直. 题型三、直线的对称性 例3【答案】 y ＝6x －6【解析】由题意得反射光线经过点M (－3,4)关于直线l 的对称点Q (x ，y )与点N (2,6)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋3＝－1，x －32－y ＋42＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以Q (1,0)，所以反射光线所在直线的方程为y －0x －1＝6－02－1，即y ＝6x －6.变式1、【答案】x －2y ＋3＝0.【解析】设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)…由00002022()x x y y x x y y ++⎧-+=⎪⎨⎪-=--⎩得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上. ∪2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.变式2、解 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∪反射点M 的坐标为(－1,2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′∪l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∪3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－5－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.方法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∪3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－y ＋y＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∪所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.1、【答案】：x ＋y ＋1＝0.【解析】直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 2、【答案】 35【解析】 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35.3、【答案】：.52【解析】因为两直线平行，所以m 1＝－4－2≠34，解得m ＝2.解法1(转化为点到直线的距离) 在直线l 1：x －2y ＋4＝0上取一点P(0，2)，P 到直线l 2：2x －4y ＋3＝0的距离为d ＝|0－8＋3|22＋42＝52. 解法2(平行线距离公式) 由l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x －2y ＋32＝0，根据平行线间的距离公式得d ＝|4－32|12＋22＝52.4、【答案】：（－6，－8）【解析】：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有解得， 5、【答案】：()1,1-(4,0)P 54210x y ++=111(,)P x y 1PP 1140(,)22x y M ++54210x y ++=1PP 111145421022445x y y x +⋅+⋅+==-⎧⎪⎨⎪⎩116,8,x y =-=-∴1(6,8)P --【解析】已知直线进行变形，()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让,m n “失去作用”，则21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即定点为()1,1- 6、4π【解析】依题意，原点O 到直线l 的距离为d ，2|1|1m d m +==+要距离最大值，则0m >，2112(1)2(1)2(1)21m d m m m m +==+-++++-+12≤=，当且仅当1m =，等号成立， 所以原点O 到直线l； ()22110mx m y m +---=，平面内所有点(),x y 恒不在l 上，∴关于m 的方程2(12)10ym m x y +--+=无解，显然1(0,)2不是直线l 的点20,(12)4(1)0y x y y ∴≠∆=---+<，即22111()(),0224x y y -+-<≠和点1(0,)2， 为(,)x y 所围成的图形，面积为4π.故答案为:12；4π.。
高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案
高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案一、选择题1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0答案：A解析：设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1，0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34答案：D解析：∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由两条直线平行，∴a 3 ＝2a －1 ≠2a 7－a， 得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1． 又∵0<k <12，∴x ＝k k －1 <0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．“C ＝2”是“点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：由点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3， 得|1＋3×3＋C |12＋（3）2 ＝|4＋C |2 ＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0答案：A解析：过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0 ＝12，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5 ，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1答案：C解析：∵l 1∥l 2，∴12 ＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋（－2）2 ＝|m ＋3|5 ＝5 ，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1答案：C解析：由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．(多选)已知直线l ：3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3 y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3 ，0)到直线l 的距离是2D ．过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是3 x －y －4＝0答案：CD解析：对于A ，直线l ：3 x －y ＋1＝0的斜率k ＝3 ，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3 y ＋1＝0的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3 ，0)到直线l 的距离d ＝|3×3－0＋1|（3）2＋（－1）2 ＝2，故C 正确；对于D ，过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3 (x －23 )，整理得3 x －y －4＝0，故D 正确．二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．答案：2解析：由题意得A (0，1)，由点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12 ＝2 . 11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝________．答案：33 解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y ＝x m，即x －my ＝0.圆的方程可化为x 2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得|0－2m|m2＋1＝1，解得m＝±33.又因为m＞0，所以m＝33.12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．答案：2解析：由题意可知，k AB＝b－a5－4＝b－a＝1，故|AB|＝（5－4）2＋（b－a）2＝2.。
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高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解一、选择题1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m (m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A.2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[答案] A[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A.(理)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] y ′＝2ax ，在(1，a )处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2)D ．(2，－2)[答案] D[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A |＝|B |＝1时，点A (x 0，y 0)关于l 的对称点B (x ，y )的坐标，x ＝－By 0－C A ，y ＝－Ax 0－CB.4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O (0,0)，A (2,0)，C (0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－1,0]D ．[－2,0][答案] D[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，∵k OD ≥k OB ＝12，∴k ＝－1k OD ≥－2，且k <0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k ≤0.5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(10，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，10 [答案] D[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43<a <10，故选D. (理)如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．－5[答案] C[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0， ∴318<a <5，又a 为整数，∴a ＝4. 6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率等于( )A ．1 B.32 C.12D.33[答案] C[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l ′，则OA →、OB →在l ′上的射影也相等，故A 、B 到直线l ′的距离相等，设l ′：y ＝kx ，则|k －3|1＋k 2＝|－3k －1|1＋k 2，∴k ＝－2或12，∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12.[点评] 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k )，由OA →，OB →在a 上射影的长度相等可得|a ·OA →||a |＝|a ·OB →||a |，可解出k .7．设A (0,0)，B (2,2)，C (8,4)，若直线AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(16，－12) B ．(8，－6) C ．(4，－3)D ．(－4,3)[答案] A[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －1＝0[答案] B[解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0， ∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，故选B.(理)(2010·山东潍坊)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009的值为( )C ．log 20102009－1D ．1[答案] B [解析] 由y ＝x n＋1得y ′＝(n ＋1)x n ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，x n ＝nn ＋1，∴log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009 ＝log 2010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2010⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×20092010＝log 201012010＝－1，故选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 [答案] C[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为 1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±24.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－24，24.故选C. (理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A (3，－1)，C (2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，则B 点轨迹的方程为( )A ．3x －y －20＝0(x ≠13)B ．3x －y －10＝0(x ≠13)C ．3x －y －9＝0(x ≠－8)D ．3x －y －12＝0(x ≠－8)[答案] A[解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫52，－2，设B (x ，y )，则B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y )在直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x )－(－4－y )＋1＝0，即3x －y －20＝0.∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x ≠13.10．已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p ，直线l 在两坐标轴上的截距之和为q ，且p 比q 大1，则这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋ 6C ．4＋3 3D ．5＋2 6 [答案] D[解析] 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b ≥2ab ，∴12ab ≥2ab ＋1，即(ab )2－4ab －2≥0，解得ab ≥2＋6，∴12ab ≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6. 二、填空题11．(2010·深圳中学)已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] a ＋2b ＝(－2,3)，设l 上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －3，y ＋1)，由条件知，(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，∴2x －3y －9＝0.12．(2010·浙江临安)设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝____”．[答案] －2[解析] 由条件知a 3＝2a －1，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3，当a ＝3时，两直线重合不合题意，∴a ＝－2.14．(文)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)，则yx 的最大值、最小值分别为________．[答案] 23，－1[解析] 设k ＝y x ，则yx 表示线段AB ：3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A (1，－1)，B (3,2)．由图易知：k max ＝k OB ＝23，k min ＝k OA ＝－1.(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案] [0，π2)∪(2π3，π)[解析] 由题意f ′(x )＝a (x －1)2－3，∵a >0，∴f ′(x )≥－3，因此曲线y ＝f (x )上任一点的切线斜率k ＝tan α≥－3， ∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3<α<π.三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．[解析] 当0≤x ≤10时，直线过点O (0,0)，A (10,20)，∴k OA ＝2010＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x ≤40时，直线过点A (10,20)，B (40,30)， 此进k AB ＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)，即y ＝13x ＋503；当x >40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v 1，放水的速度为v 2，在OA 段时是进水过程，∴v 1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v 1＋v 2＝13，∴2＋v 2＝13.∴v 2＝－53.∴当x >40时，k ＝－53.又过点B (40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C (58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，0≤x ≤1013x ＋503，10<x ≤40－53x ＋2903，40<x ≤58.(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝⎛⎭⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝⎛⎭⎫－1，13在AD 所在直线上． (1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C 1的方程；(2)已知点E ⎝⎛⎭⎫－12，0，点F 是圆C 1上的动点，线段EF 的垂直平分线交FM 于点P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为－43.又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)，即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)． 又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心． 而|MA |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(－1－0)2＝52，∴外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝54. (2)由题意得，|PE |＋|PM |＝|PF |＋|PM |＝|FM |＝52，又|FM |>|EM |，∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c ＝12，a ＝54，∴b 2＝a 2－c 2＝516－14＝116.故动点P 的轨迹方程是x 2516＋y 2116＝1.16．已知直线l 1过点A (－1,0)，且斜率为k ，直线l 2过点B (1,0)，且斜率为－2k ，其中k ≠0，又直线l 1与l 2交于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．[解析] (1)设M (x ，y )，∵点M 为l 1与l 2的交点，∴⎩⎨⎧yx ＋1＝k y x －1＝－2k(k ≠0)，消去k 得，y 2x 2－1＝－2，∴点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． (2)由(1)知M 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则2x 12＋y 12＝2① 2x 22＋y 22＝2②①－②得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－2×x 1＋x 2y 1＋y 2， ∵N ⎝⎛⎭⎫12，1为CD 的中点， 有x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝2， ∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1、l 2都相切，求l 2所在直线的方程和圆C 的方程．[解析] 直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)． ∵l 的倾斜角为30°.∴l 2的倾斜角为60°.∴k 2＝ 3.∴反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0. 已知圆C 与l 1切于点A ，设C (a ，b )． ∵⊙C 与l 1、l 2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， ∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴a ＝33②由①②得⎩⎨⎧a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.。