模拟

F，已知 AD= 15，BE= CF= 10，求 l 与 m 的距离．
五.设 n 是自然数，fn(x)=
7 2
xn+1－x－n－1 1 (x0，±1)，令 y=x+ ． x－x－1 x
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)fn-1(x)，(n>1) 2.用数学归纳法证明：
fn(x)=

n n 1 i yn－Cn－1yn－2+…+(－1)iCn－i yn－2i+…+(－1)2，(i=1，2，…， ，n为偶数)
A M B N F C G P E H Q D
3
2013 大学自主招生模拟试题三
一.选择题 1 ． 对 于 每 个 自 然 数 n ， 抛 物 线 y=(n +n)x (2n+1)x+1 与 x 轴 交 于 An ， Bn 两 点 ， 以 |AnBn| 表 示 该 两 点 的 距 离 ， 则
2 2
6． 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA，PB 的延长线分别交于 Q，R，则 1 1 1 和式 + + PQ PR PS (A)有最大值而无最小值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 二.填空题 α 1． 设 α，β 为一对共轭复数，若|α－β|=2 3，且 2为实数，则|α|= β 2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为
y
1
Si)/S，则λ一定满足( Σ i=1
)
1
O 1
1 x
(D)3.5<λ<5.5
C sinB 4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别记为 a，b，c(b1)，且 ， 都是方程 log x=logb(4x－4)的根， A sinA b
则△ABC( ) (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
1 5． 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值，那么 f(x)在该区间上的最大值是( x 11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 (C) 13 3 1－ 2+ 4 2 53 3 (B) 4－ 2+ 4 2 (D)以上答案都不对
)
6． 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1，球心 O1 在圆台的轴上，球 O1 与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个 半径为 3 的球 O2，使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球 O2，圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数 是( ) (A) 1 二.填空题 1 1． 集合{x|－1≤log110<－ ，x∈N*}的真子集的个数是 2 x ． (B) 2 (C) 3 (D) 4
2 2
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (C)是等腰直角三角形
5．设复数 z1，z2 在复平面上对应的点分别为 A，B，且|z1|=4，4z1 2z1z2+z2 =0，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 6．设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足下列关系 f(10+x)=f(10x)， f(20x)=f(20+x)，则 f(x)是 (A)偶函数，又是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 二.填空题 1 1 1 x z 1．设 x，y，z 是实数，3x，4y，5z 成等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 + 的值是______． (B)偶函数，但不是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数
z2 z1
3
相约鹭园，相约南昌
6．函数 f(x)= 4 三.求证：16<
x4－3x2－6x+13－ x4－x2+1的最大值是_____．
1 <17． Σ k i=1
四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 分别作 m 的垂线 AD，BE，CF，垂足依次是 D，E，
)
x y z
z x
2．在区间[0，]中，三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______． 3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则 k 的最大值是_____． 4．设 z1，z2 都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则 arg( ) 的值是______． 5． 设数列 a1， a2， ， an， 满足 a1=a2=1， a3=2， 且对任何自然数 n， 都有 anan+1an+21， 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3， 则 a1+a2++a100 的值是____．
1995
)
2． 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1，Z2，…，Z20，则复数 Z1 同的点的个数是( (A)4 ) (B)5 (C)10 (D)20 )
，Z2
1995
，…，Z20 所对应的不
1995
3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就称他为棒 小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 1 2n+1 (D)100 个 )
大学自主招生
2013 大学自主招生模拟试题一
一.选择题 1． 把圆 x2+(y－1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 ) )
1 2． 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=－ ,用 πn 表示它的前 n 项之积。则 πn(n∈N*)最大的是( 2 (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 )
2 2 2 2
(B)(x 1－y )(y 1－x )=0
2 2 2 2
(C)(x+ 1－y )(y 1－x )=0 (D)(x 1－y )(y+ 1－x )=0 4 3．设四面体四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，它们的最大值为 S，记λ=( (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5
_ π 2． 复平面上，非零复数 z1，z2 在以 i 为圆心，1 为半径的圆上，z1· z2 的实部为零，z1 的辐角主值为 ，则 z2=_______． 6 3． 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ，点 A 的极坐标是(2,0)，曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是 _______． 4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2， 则最远的两顶点间的距离是________． 5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不 同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体
n
4
n(n－1) 2 ，故 π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：
又，
π12 1 － π13 1 － =15363( )66 36>1， =1536( )78 66<1．故选 C． π9 2 π12 2
3. 解：如果 p 为奇质数，p=2k+1，则存在 n=k2(k∈N+)，使 p+n+ n=2k+1．故选 D． 4. 解：α1= cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除 B、D． π π π ∵ sin|x|π+ cos|x|π= 2sin(|x|π+ )< ，于是 cos|x|π< －sin|x|π， 4 2 2 ∴ sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π)，故 α2<α1，选 A． 1 2 2 3 π 2 π 又解：取 x=－ ，则 α1=cos ，α2=sin ，α3=cos π<0．由于 < < ，故 α1>α2． 4 2 2 4 6 2 4 1 1 1 1 5. ：g(x)= x+ 2= x+ x+ 2≥3 x 2 2 x
2
n－1 n－1 n－1 1 i n n－2 i y －Cn－1y +…+(－1) Cn－i+…+(－1) 2 C n2 ，n为奇数) +1 y，(i=1，2，…，
2 2
模拟题答案
模拟一
一 1 1. 解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，8y2－20y+8=0，y=2 或 ，相应的，x=0，或 x=± 3． 2 此三点连成一个正三角形．选 C． 1 2. 解：πn=1536 ×(－ ) 2
2
(B 有最小值而无最大值 (D)是一个与面 QPS 无关的常数
．
． ．
3． 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数， 方程 lg x－[lgx]－2=0 的实根个数是 y≤3x， x 4． 直角坐标平面上，满足不等式组 y≥3， 的整点个数是 x+y≤100 总数是 ． ．
5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可使用，那么不同的染色方法的 6． 设 M={1，2，3，…，1995}，A 是 M 的子集且满足条件：当 x∈A 时，15xA，则 A 中元素的个数最多是 ．