一元二次方程复习(1)
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程的解法复习课
2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x
2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
中考总复习一元二次方程复习
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0， 解得x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）． （2）当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得x1=1
（不合题意，舍去），x2=-2．
∴原方程的根是x1=2， x2 =-2． 请参照例题解方程：
x2-│x-3│-3=0，则此方程的根是________．
∴x2=5，x=± . ∴原方程的解为x1=
x3= ，x4=－ .解答5 问题：
2 ，x2=－ ，
2
(1)填2 空：在由5 原方程得到5方程①的过程中，利用_________
法达到了降次的目的，体现了_________的数学思想.
(2)解方程x4－x2－6=0
第十二页，编辑于星期一：十五点 五十二分。
基础闯关
• １．判断下列方程是否为一元二次方程？
•
•
（1） 3x + 2 = 5y - 3
（2）
• 整式方程中都只含 有一个未知数，并
且未知数的最高次
• （3）
数是2，这样的方 程叫做一元二次方
程
• （4）
２．若方程(k²+2k-3)x²+(k-1)x+4=0是关于x的一
元二次方程，则k的取值范围是＿＿＿＿
2 )x + ( 1 ) 2 - 3 x + 1 + 2 = 0 ;（因式分解法）
３) －x2＋4x－3=0（因式分解法）
４）2x2-9x+8=0（公式法）
１０. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式
３k2＋６k＋5的值必定大于零.
第十页，编辑于星期一：十五点 五十二分。
基础闯关
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
中考一轮数学《一元二次方程及应用》专题复习(1)含答案
河北省沧州市献县2016届中考一轮数学专题复习：一元二次方程及应用测试题1．（来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A ． 试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．2．（贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 【答案】B ．试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．3．（钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ ）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x += 【答案】A ．试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．4．（成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠ 【答案】D ．试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．5．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； ∴等腰三角形的底为1，腰为3； ∴三角形的周长为1+3+3=7． 故选B ．6．（达州）方程21(2)304m x mx --+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．试题分析：根据题意得：220301(34(2)04m m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=---⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．7．（南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C ．8．（佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．9．（安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（ ）象限． A ．四 B ．三 C ．二 D ．一 【答案】D ．试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．10．（山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．11．（枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 【答案】A ．12．（烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ．13．（甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 ． 【答案】5．试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 的对角线长是：2234+=5．故答案为：5．14．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ． 【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．15．（广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x =-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________． 【答案】2-．试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根； 将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根． 故m=2-．故答案为：2-．16．（毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L ． 【答案】20．试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．17．（日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++= ． 【答案】2026．考点：根与系数的关系．18．（自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．19．（崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，市政府共3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．（1）求每年市政府的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．试题分析：（1）设每年市政府的增长率为x．根据6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：建设了18万平方米廉租房．对应练习1．一元二次方程x2＝2x的根是( C )A．x＝2 B．x＝0C．x1＝0, x2＝2 D．x1＝0, x2＝－22．方程x2－4＝0的根是( C )A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝43．方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( D )A．x＝0 B．x＝3C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝04．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( D )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝235．一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( A ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( D ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．37．当m 满足m <4.5时，关于x 的方程x 2－4x ＋m －12＝0有两个不相等的实数根．8．方程2x 2＋5x －3＝0的解是x 1＝－3，x 2＝12.9．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝1，另一根是－3.10．(四川宜宾)某城市居民每月最低生活保障在是240元，经过连续两年的增加，到提高到345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是20%.11．(山东滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为289(1－x )2＝256.12．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0. 解：(x －3)2＋4x (x －3)＝0， (x －3)(x －3＋4x )＝0， (x －3)(5x －3)＝0.于是得x －3＝0或5x －3＝0，x 1＝3，x 2＝35.13．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D ) A ．－1 B ．2C ．1和2D ．－1和214．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p 、q 的值分别是( A )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,315．关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( B ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种16．已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于－1.17．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a 、b ，则1a ＋1b 的值是－65. 18．如图X2－1－4，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是 1或2m(可利用的围墙长度超过6 m)．图X2－1－4 C 级 拔尖题19．三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，且该三角形不是等边三角形，求三角形的周长．解：解方程x 2－6x ＋8＝0得x ＝2，x ＝4， ∴三角形的三条边的长只能是4,4,2， ∴周长是10.20．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14 000元/m 2下降到5月份的12 600元/m 2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10 000元/m 2？请说明理由．(参考数据：0.9≈0.95)解：(1)设4,5月份平均每月降价的百分率为x ，根据题意得14 000(1－x )2＝12 600， 化简得(1－x )2＝0.9，解得x 1≈0.05，x 2≈1.95(不合题意，舍去)． 因此4,5月份平均每月降低的百分率约为5%.(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12 600(1－x )2＝12 600×0.9＝11 340>10 000，因此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10 000元/m 2. 21．关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 解：(1)方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k )＞0，即4k >－9，解得k >－94.(2)若k 是负整数，k 只能为－1或－2. 如果k ＝－1，原方程为x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52.如果k ＝－2，原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.22．如图X2－1－5，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm.动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向B 移动，一直到点B 为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．(1)P、Q两点从出发开始多长时间，四边形PBCQ的面积是33 cm2；(2)P、Q两点从出发开始多长时间，点P与点Q间的距离是10 cm.图X2－1－5解：(1)设P、Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2，则AP＝3x cm，PB＝(16－3x) cm，CQ＝2x cm，由梯形的面积公式，得[2x＋(16－3x)]×6÷2＝33，解得x＝5.所以P、Q两点从出发开始5 s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2.(2)过点Q作QH⊥AB，则HB＝BC＝6，HB＝QC＝2x，所以PH＝16－5x，在Rt△PHQ中，PQ2＝PH2＋HQ2＝(16－5x)2＋62＝102，即(16－5x)2＝64，解得x1＝1.6，x2＝4.8.当x＝4.8时，16－5x＝－8，不符题意，舍去．所以P、Q两点从出发1.6s时，点P与点Q间的距离是10 cm.。
《一元二次方程》-总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2=-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b±b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
一元二次方程复习1
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
一元二次方程单元复习(一)(含答案)
一元二次方程单元复习（一）一、单选题(共14道，每道6分)1.下列方程中，是一元二次方程的为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成（a，b，c为常数，）的形式，这样的方程叫做一元二次方程；②定义要点：整式方程，化简整理，一元二次．2．解题过程A．，不满足；B．是一元二次方程；C．中在分母上，不符合整式方程；D．，整理得，不符合二次．试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义2.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=( )A.-2B.-3C.-1D.-6答案：A解题思路：∵x=1是一元二次方程x2+ax+2b=0的解∴1+a+2b=0∴a+2b=-1∴2a+4b=-2试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解3.若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值可以为( )A.-1B.-2C.-3D.5答案：D解题思路：思路一：要使该方程有实数根，根据平方根的意义，有思路二：原方程可变形为由题意，解得试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程——配方法4.用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是( )A.(x-3)2=17B.(x-3)2=14C.(x-6)2=44D.(x-3)2=1答案：A解题思路：原方程可变形为∴∴试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程——配方法5.已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论一定错误的是( )A.x1≠x2B.x12-2x1=0C.x1+x2=2D.x1·x2=2答案：D解题思路：解得一元二次方程x2-2x=0的两根分别为0和21≠x2；x1+x2=2；x12-2x1=0成立；x1·x2=0．试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解6.已知是方程的一个根，则方程的另一个根及c的值为( )A.，B.，2C.，-1D.，1答案：D解题思路：∵方程有两个根∴∵是方程的一个根∴方程的另一个根为∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系7.已知α，β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为( )A.3或-1B.3C.1D.-3或1答案：B解题思路：∵α，β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根∴，∴∵∴∴解得m1=3，m2=-1（舍）试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根的判别式8.若，，，则下列方程中必有两个实数根的是( )A. B.C. D.以上答案都不对答案：C解题思路：∵，，∴，A．，无法判断正负B．，无法判断正负C．，∴方程有两个不相等的实数根试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根的判别式9.若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：∵方程有两个实数根∴∴且试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根的判别式10.设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程的两个根，则m 的值为( )A. B.C. D.以上答案都不对答案：A解题思路：∵菱形两条对角线的长是方程的两个根∴∵菱形的周长为20∴菱形的边长为5由勾股定理得，∴∴∴解得把分别代入不成立．试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系11.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元．设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )A.2 500(1+x)2=9 100B.2 500(1+x%)2=9 100C.2 500(1+x)+2 500(1+x)2=9100D.2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2=9100答案：D解题思路：该公司4月的营业额为2500万元，5，6两月的营业额的月平均增长率为x∴5月份营业额为2500(1+x)，6月份营业额为2500(1+x)2∴第二季度的总营业额为2500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——增长率型12.扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由题意得，种花之后矩形空地剩下的面积为总面积的四分之三∴试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——面积型13.某特产店销售开心果，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低3元，平均每天的销售量可增加30千克，若该特产店销售这种开心果想要平均每天获利2240元，则每千克开心果的售价应为多少元？若设每千克开心果应降价x元，则x满足的方程为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——经济型14.天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每超过1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不低于700元（总人数不超过40人）．某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？( )A.25B.30C.35D.40答案：B解题思路：设该单位这次共有x名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，①若，则共支付给旅行社的旅游费用为1000x元∴1000x=27000解得，与假设不符。
一元二次方程复习
【主题训练1】(2014·怀化模拟)若(a-3) 的一元二次方程,则a的值为( )
+4xxa 2－+75=0是关于x
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
第三页，共28页。
【主题升华】 一元二次方程的有关定义及根
第十七页，共28页。
1.(2013·珠海中考)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解
第十八页，共28页。
【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=412=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为 Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
第十九页，共28页。
2.(2013·黄冈中考)已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则
另一根为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把
c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
第二十页，共28页。
3.(2013·武汉中考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则
得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%. 答案:10%
第二十七页，共28页。
谢谢大家
第二十八页，共28页。
第22章 一元二次方程复习
第22章一元二次方程复习（1）一元二次方程及其解法樊城区太平店中学刘玉萍一、内容与内容解析1、内容复习一元二次方程及其有关的概念，一元二次方程的基本解————配方法、公式法、因式分解法，一元二次方程根与系数的关系等知识，建立知识体系，综合运用一元二次方程的知识解决有关的问题。
2、内容解析本章学习了一元二次方程。
在学习中通过具体实例认识了一元二次方程，探索了一元二次方程的解法，研究了实际问题与一元二次方程，分别讨论了传播问题、增长率问题和几何图形面积问题。
本章的重点是一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
这些知识都是方程领域的基础知识，在以后学习“二次函数”中“用函数的观点看一元二次方程”也要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习。
学好这部分内容的关键是要使学生理解一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的情况；一元二次方程根与系数的关系等知识。
并将一元二次方程与一元一次方程作类比，因为一元二次方程是一元一次方程的拓展和延伸，一元一次方程是学习一元二次方程的基础。
在本章的学习过程中需要学生通过观察、对比、归纳、类比等来发现一元二次方程的解法，同时还要注意引导学生分析方程的特点，引导学生进行转化，是学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题的思考方法。
作为本章复习课的第一节课，本节主要复习一元二次方程的有关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的根与系数的关系。
本节内容是对本章重点知识的巩固和提高，通过复习使学生能够熟练地选用适当的方法解一元二次方程，进一步体会一元二次方程化归降次的思想。
由以上的分析，确定本节课的教学重点是：灵活应用一元二次方程的解法解决有关的问题。
二、教材解析本节课主要内容是复习巩固一元二次方程有关概念和一元二次方程的解法及根与系数的关系等知识，重点是一元二次方程的解法。
在知识回顾的过程中，结合问题让学生通过独立思考，回顾所学的内容，建立相应的知识结构图。
一元二次方程复习题
一元二次方程复习题一. 知识归纳1 一元二次方程概念ax 2+bx +c =0(a ≠0)2 解法①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3 根的判别式⊿△=b 2-4ac4 根与系数关系1x + 2x =ab-, 1x ·2x =a c二. 填空题1方程02=x 的解为__________，方程()()040022≥-≠=++ac b a c bx ax 的解为________若关于x 的二次方程(m +1)x 2-3x +2=0有两个相等的实数根，则m =______.2设方程0432=-+x x 的两根分别为1x ，2x ，则1x + 2x =______，1x ·2x =________ =+2221x x ________, ()221x x -=________, 121213x x x x ++=___________3 若方程x 2-5x +m =0的一个根是1，则m =________4 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是________5 已知方程2x 2+(k -1)x -6=0的一个根为2，则k =_______6若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为______ 7方程 无实根，则 ______8如果 是一个完全平方公式，则 ______。
9若方程 的两根之差的绝对值是8，则 ______。
10若方程的两根之比为3，则_____。
11在实数范围内分解因式：=-52x ___ _，12-+x x =____________122--x x =______________132--x x =____________12若a ，b 为实数，且()0232=-+-+ab b a ，则以a ，b 为根的一元二次方程是_______________13以方程0122=--x x 的两根的相反数为根的一元二次方程是______________ 三. 选择题1下列方程（1）－x 2+2=0 （2）2x 2－3x =0 （3）－3x 2=0 （3）x 2+x1=0 （5）232+x ＝5x （6）2x 2－3=（x －3）（x 2+1）中是一元二次方程的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2下列配方正确的是（ ）(1) x 2+3x =（x +23）2－23 （2）x 2+2x +5=（x +1）2+4 （3）x 2－21x +43=（x －41）2+161 （4）3x 2+6x +1=3（x +1）2－23方程（x －1）2+（2x +1）2=9x 的一次项系数是（ ）A 、2B 、5C 、－7D 、7 4方程x 2－3x +2－m =0有实根，则m 的取值范围是（ ） A 、m ＞－41 B 、m ≥41 C 、m ≥－41 D 、m ＞41 5方程（m +1）x 2－（2m +2）x +3m －1=0有一个根为0，则m 的值为（ ） A 、32 B 、31 C 、－32 D 、－316方程()()1231=+-x x 化为02=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ） （A ）1，–2，-15 （B ）1，-2，15（C ）-1，2，15 （D ）–1，2，–15 7方程()()02322=-+x x 的解的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48若方程07532=--x x 的两根为x 1，x 2，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（ ）(A)7,52121-=⋅=+x x x x （B ）37,352121=⋅-=+x x x x（C ）37,352121=⋅=+x x x x （D ）37,352121-=⋅=+x x x x9以215-和215+为根的一元二次方程是（ ） （A ）0152=+-x x （B ）02522=+-x x （C ）0152=++x x （D ）02522=++x x 10如果一元二次方程02=++c bx ax 的两个根是x 1，x 2，那么二次三项式c bx ax ++2分解因式的结果是（ ）（A ）()()212x x x x c bx ax --=++ （B ）()()212x ax x ax c bx ax --=++（C ）()()212x x x x a c bx ax ++=++ （D ）()()212x x x x a c bx ax --=++11在实数范围内，1842++x x 可以分解为（ ）（A ）()()3232++-+x x （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--232232x x （C ）()()322322++-+x x （D ）()()32232241++-+x x12已知方程()031222=+--m x m x 的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m13如果关于x 的方程3ax 2－23（a －1）x +a =0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a <21且a ≠0 B 、a ≥21 C 、a ≤21且a ≠0 D 、a ≤21 14若方程2x （kx －4）－x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、415一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（ ）A 、x 2－6x －7=0B 、x 2－6x +7=0C 、x 2+6x －7=0D 、x 2+6x +7=016已知方程07822=+-x x 的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角 形的斜边的长是（ ） （A ）9（B ）6 （C ）3（D ）317若一元二次方程02=++q px x 的两根之比为3∶2，则q p ,满足的关系式是（ ） （A ）q p 2532= （B ）q p 2562= （C ）q p 3252= (D) q p 6252= 18方程x 2-2x-m=0有两个正实根，则m 的取值范围是 （ ） A 、0<m<1 B 、m>0 C 、－１≤m ＜０ Ｄ、m ＜－１ 19一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则c bm an ++2121 的值为（ ）A 、0B 、22n m + C 、2m D 、2n 20已知关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两根21x x 、满足161112221=+x x ，则m 的值为（ ）A 、4B 、－36C 、4或－36D 、－36或－421若一元二次方程的两根21x x 、满足下列关系：=+++22121x x x x 0,05222121=+--x x x x ，则这个一元二次方程（ ）A 、032=++x x B 、032=--x x C 、032=+-x x D 、032=-+x x 四. 解方程1、04)221(2=-+x 2、0662=++x x3、06)32(5)32(2=+---x x4、22)3(4)23(-=+x x 5、06122=+-x x6、34124)3(2-+=-x x五. 在实数范围内分解因式 1、592-x2、3742--x x3、22582y xy x +-六. 解答题1已知方程0132=--x x 的两个根是21,x x ，求代数式 （1）()()1121--x x ；（2）111221+++x xx x 的值。
《一元二次方程》全章复习
《一元二次方程》全章复习1． 一元二次方程的有关概念2． 配方法的应用3． 根判别式，根与系数的关系4． 一元二次方程的解法：1）直接开平方法 2)因式分解法 3）配方法 4）公式法5． 实际问题：1）传播与数字问题 2）增长率与销售问题 3）有关面积的问题【巩固练习】1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A.211x x x-=+ B.224x xy y -+= C.20ax bx c +=+ D.(x 1)1x x -=- 2.在一元二次方程2410x x --=中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A.1，4B.1，-4C.-1，-4D.2,4x x -3.在一元二次方程260x kx --=中，已知一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-24.关于x 的一元二次方程22(a 1)10x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.1或-1D.12 5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m <1B.m > -1C.m < -1D.m > 16. 若关于x 的方程2(m 1)02x m mx +-+=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是7. 已知2410x x a +=-可变为2(2)x b -的形式，则ab=8. 若关于x 的方程2(2)10x x m m +++=-有两个相等的实数根，则m=9.已知一个矩形长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长是10. 若方程2310x x b +=+无解，则b 应满足的条件是11. 若关于x 的方程22(21)20k x x k -+-+=+有实数根，则k 的取值范围是 12. 若分式2817x x x -+-的值为0，则x= 13. 关于x 的方程22202x x a b a +-=+的根是14. 若关于x 的方程260x x k +=+的两根之差为2，则k=15. 已知关于x 的方程22(31)0x x m m --+=有两根为12,x x ，且121134x x +=-，则m= 16.用恰当的方法解下列方程： （1）21(3)13x += （2）2(21)2(2x 1)x +=+（3）(x 8)16x += （4）2280x x +-=（5）22(32)(2x 1)x +=- （5）2(21)4(21)40y y +-++=17.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值18.已知12,x x 是方程2214160x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值，（1）212()x x - （2）2112x x x x + （3）12(2)(2)x x -- （4）12x x -19.已知关于x 的方程222(a 1)740x x a a +-+--=的两根为12,x x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值20.实数k 在什么范围取值时，方程22(k 1)0kx kx -+-=有两个正的实数根21.若关于x 的方程2430x x k -+-=的两根为12,x x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值23.若n > 0，关于x 的方程21(m 2n)04x x mn --+=有两个相等的正的实数根，求m n24.如果2246130x x y y -++=，求(xy)z25.水果店花500元进了一批水果，按40%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利67元．若两次打折相同，每次打了几折？26.如图，在△ABC中，AB=10m，BC= 40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?25.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________ 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）。
一元二次方程经典复习题(含答案)
9．一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，若 a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情
况是（ ）
A．有两个正根
B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中 a﹣c≠0，
以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数 Nhomakorabea根
B．如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同
C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根
D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1
11．已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0 的两实数根，则
（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
12．设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根 x1、x2，且
x1＜1＜x2，那么实数 a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
评卷人 得 分
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共 8 小题）
13．若 x1，x2 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣5=0 的两根，则代数式 x12﹣3x1﹣x2﹣6
1
C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 【解答】解：设游客人数的年平均增长率为 x， 则 2016 的游客人数为：12×（1+x）， 2017 的游客人数为：12×（1+x）2． 那么可得方程：12（1+x）2=17． 故选：C．
一元二次方程复习1
一元二次方程复习教学过程：一、一元二次方程的概念：问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：_____________________．归纳：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式_______________．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成___________后，其中_______是二次项，_______是二次项系数；________是一次项，________是一次项系数；________是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0“夹逼”方法求出该方程的根．例4．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150（3）你知道铁片的长x是多少吗？练习：一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则a cb b=（）． A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解练习：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足34a +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？（二）、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0例2．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0例3求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0例4、用配方法解方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）练习： 一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或94．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）．A ．（x-13）2=89B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89D ．（x-13）2=1095．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a6．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．4．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2+3=23x 2．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y-+的值．3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．4．如果x 2-4x+y 2+6y+2z ++13=0，求（xy ）z 的值．5、求证：无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是正数（三）公式法由上例4可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
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• 2010年广东省广州市）已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+1=0(a≠0) 有两个相等的实数根， • 求 的值。
强化训练
-2
• 解：因为a=6时，方程就是-8x+6=0,显然这个方程 有实数根. • 当a≠6时，因为方程有实数根，所以△≥0，
• 即：（-8）2-4（a-6）×6=64-24(a-6) ≥0
主题三：一元二次方程根的判别式
• 【例3】(2010年安徽省芜湖市)关于x的方程(a －5)x2 －4x－1＝0有实数根，则a满足（ A） • A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由于题中“关于x的方程”没有指明已知方程 是一元一次方程还是一元二次方程，因此a-5可以等于 0，也可以不等于0，因此要分情况考虑。 解：当a=5时，已知方程是：-4x-1=0,显然这个 方程有实数解，x=1 当a≠5时，方程有实数解的条件是：△≥0，即： （-4）2-4（a-5）×(-1) ≥0 16+4(a-5) ≥0,4a-4≥0,a≥1 综上，当a≥1时，已知方程有实数解。故选A.
一元二次方程复习
学习目标
• 1 系统了解本章知识结构，掌握本章知识要 点。 • 2 通过训练，能快速准确的解一元二次方程； • 3 会利用根的判别式，判断一元二次方程的 根的情况。 • 重点：本章知识要点、一元二次方程的解 法。 • 难点：一元二次方程的解法及根与系数的 关系综合运用。
知识结构
定义 直接开平方法 因式分解法 解法 一元二次方程 配方法 公式法 根的判别式 应用
• 8-3（a-6）≥0,-3a+26≥0, a ≤ 值为8。故选c。
2 8 , 则整数a的意隐含条件----二次项系数不等于零。 • 2.解一元二次方程要注意选择合适的方法。 • 3.利用根的判别式解题，要注意二次项系数 不为零的条件。
作业
再见
同学们辛苦了！再见！
回顾：本章学习了哪些知识？
主题一：一元二次方程的概念
2
【分析】一元二次方程的 三个要素：只含有一 个未知数、未知数的最高次数为1、是整式方程
主题二.一元二次方程的解法
• 点评：1、形如（x-k）2=h（h ≥ 0）或 x2=h（h ≥ 0）的方程可以用直接开平方法求解 • 2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知 数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为 这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解 法求解。 • 3、当方程的左边是二次三项式的时候优先用 十字相乘法求解。 • 当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可 以用公式法或配方法求解，公式法和配方法是万 能的。