经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件

则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
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y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
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定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
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这性质叫做全微分形式不变性.
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利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
例如，
(uv) (uv) d(uv) du dv vdu udv. u v
以上其余两个公式的证明类似. 利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算 更简便.
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x 例 6 求u 2 的全微分及偏导数. 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2)dx xd(2 2 2 2 2 2) 2 ( x y z x y z ( x y z )d x x d( x y z ) ( x y z )d x x d( x y z ) 解： du d u d u＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2) 2 ( x y z ( x y z ) (x y z )
t z f ( t, t ) 2 z du z dv dz 1 0 1 0 1 0 u d t v d t dt 2
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推广:
设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u, v, w) ,
满足
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
Fx z x Fz
同样可得
0
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例6 设 z f ( x, y) 是由方程 z y x xe 所确定的二元函数,求 dz .
第六章
第三节 复合函数和隐函数的偏导数
一、复合函数的偏导数 二、隐函数的偏导数 三、小结与思考练习
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复习引入
一元复合函数
求导法则
微分法则
推广
多元复合函数的求导法则和微分法则
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一、复合函数的偏导数
定理1 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数
y y y f xy e fu xe fuu e fuy xe f xu y
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例5 设
求
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w , . x x z
解: 令
w
则
w f (u , v) w f 2 y z x
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定理3
设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数; ② ③ 则方程
F ( x0 , y0 ) 0 ;
F y ( x0 , y 0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) ,
导数
满足条件
(隐函数求导公式)
并有连续
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
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z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
w x z
2
x y zx y z
( x y z, x y z ) y z f2
x y f12
y f 2 x y 2 z f 22
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x y f 22
, 为简便起见 引入记号 f11 y( x z ) f12
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2ln x sin x
dz z du z dv 2u v 1 2e e 2u v (1) cos x dx u dx v dx x 2ln x sin x 2 e ( cos x). x
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z z 例 2 设 z (3x y ) ,求 , . x y v 2 2 解 设 u 3x y ， v 4 x 2 y ，则 z u ，可得 u v u v z z v v 1 6 x, 2 y, 4, 2. v u , u ln u ， x x y y u v z 则 v u v 1 6 x u v ln u 4 x
z f
f1 f 2 1
z x z y
注意: 这里
x
v
x y
f 2 2
z 与 x
不同,
z x
口诀 :
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
分段用乘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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dz 例1 设 z e ,求 . dx 解 设 u ln x , v sin x ，则 z e2u v ，可得
解 令 F ( x, y, z) z y x xe
z yx
z yx
0
,则
z y x z y x z yx z yx Fx 1 e xe , Fy 1 xe , Fz 1 xe
因此,
z yx z yx Fy Fx 1 e z xe z , 1, z yx x Fz 1 xe y Fz
z 续偏导数，求 . x y z u y f u f x e f u f x ， 解 x x
2
2 z u u y y fuy ) f xu f xy e fu e ( fuu xy y y
o( )
z

(△t＜0 时,根式前加“–”号)
( 全导数公式 )
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说明:
若定理中 则定理结论不一定成立.
偏导数连续减弱为
偏导数存在,
例如:
z f (u, v)
u 2v 2 2 , u v 0 2 2 u v 0, u 2 v2 0
易知: 但复合函数
课后练习
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习题6－3
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二、隐函数的偏导数
本节讨论 :
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 及求导方法问题 . 研究其连续性、可微性
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z f (u , v)
且有链式法则
z
u
证: 设 t 取增量△t , 有增量△u ,△v , 则相应中间变量
v
t
t
z z z u v o ( ) u v
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o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y ) , v ( x, y )
课后练习
思考练习
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习题6－3
1. 设
求
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解法1:
•
•
•
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解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
d z f1 dx d y dz f 2 y z dx xz d y x y d z