04 动力 山科

d u z u z u z u z u z 1 p ux uy uz Z 2u z dt t x y z z
N-S方程 矢量形式
d u u 1 (u )u f p 2u d t t
时变 惯性力 位变 惯性 力 质量力 压差力 粘性力
d’
p
y
dy c’
c dx
duy dt
Y
1 p y
x
duy
1 p ux uy uz Y dt t x y z y
EXIT
u y
u y
u y
u y
同理，可得 x、z方向运 动方程
d u x u x u u u 1 p ux x u y x uz x X dt t x y z x
pxx u 0 p yyu 0 pzzu 0
p
。该假设是根据静止流体不能承受切应
力，而运动流体又不能承受拉应力而做出的。
牛顿流体的本构方程
u x u y xy yx 2 yx x y u y u z yz zy 2 zy z y u z u x zx xz 2 xz z x
时变 惯性力
位变 惯性力
质量力
压差力
EXIT
圆柱坐标系下的Euler方程
d u u 1 (u )u f p d t t
1 er e ez r r z
1 p Dur f r r Dt ar 1 p Du a f r Dt 1 p Du z az fz z Dt
d uy d ux d uz 1 p p p ux d t uy d t uz d t X d x Y d y Z d z d x d y d z dt dt dt x y z
上式左边可改写为：
d uy d ux du ux d t u y d t z uz d t ux d ux u y d u y uz d uz dt dt dt
EXIT
§4—1理想流体的运动方程式
运用牛顿第二定律，对理想流体建立运动方程，描述动压强、 质量力和流速之间的关系。 中心点C 压强 p,流速(u ,u .u ), x y z 1 p 1 p p dy a’ 2 y d’ p 2 y dy 质量力(X,Y,Z) c z dz b C 作用于六面体微元沿 y 方向的 dx 表面力的合力为 b’ dy c’ y 1 p 1 p o (p d y) d x d z ( p d y) d x d z 2 y 2 y x 六面体 p 流体微团 d yd xd z y (系统)
斯托克斯(Stokes)提出的三个基本假设
①应力与变形速率成线性关系。该假设得到牛顿剪切定律的启
示，既然一维流动中
与变形速率 yx
dux dy
成线性关系，于是可
设想一般情况下也有这样的关系。 ②应力与变形速率的关系各向同性。该假设认为，既然常见流 体的物理性质都是各向同性的，于是可以设想应力与变形速率 的关系也具有各向同性的性质。 ③静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压强， 即
切向力
( yx ( zx yx dy yx ) dzdx ( yx y 2 y zx dz zx )dxdy ( zx z 2 z dy )dzdx 2 dz )dxdy 2
惯性力
dux dxdydz dt
粘性流体的运动微分方程(应力形式表示)
d uy
u y u y u y 1 p ux uy uz Y dt t x y z y d u z u z u z u z u z 1 p ux uy uz Z dt t x y z z
u y
矢量形式
欧拉方程
d u u 1 (u )u f p d t t
xy yx , xz zx , yz zy
切向应力互等定理的证明
根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。
yx
yx y
M
dy
yx dy dy yx dxdz ( yx dy)dxdz 2 y 2 xy dx dx xy dydz ( xy dx)dydz 0 2 x 2
xy
dy
xy
xy x
dx
dx
yx

xy yx

同理
xy yx yz zy zx xz
x方向流体微团受到的力
质量力 法向力
( pxx ( pxx pxx dx )dydz x 2
Xdxdydz
pxx dx )dydz x 2
v x p xx p 2 x v y p yy p 2 y v z p zz p 2 z
2 2 2 du x 1 p u x u x u x X ( ) u 2 2 2 x x y z x dt 2 2 2 u u uy du y p 1 y y u ( 2 ) Navier-Stokes方程 Y 2 2 y x y z y dt 2 2 2 du z 1 p u z u z u z Z u ( 2 ) 2 2 z x y z z dt
1 pxx yx zx Du x X x y z Dt 1 xy p yy zy Du y Y x y z Dt 1 xz yz pzz Du z Z x y z Dt
EXIT
伯努里方程是流体力学中最常用的公式之一，但
在使用时，应注意其限制条件：
（1）理想不可压缩流体；
（2）作定常流动；
（3）作用于流体上的质量力只有重力； （4）沿同一条流线（或微元流束）。 伯努利方程演示实验
2 2 2 2 2 u u u ux u2 u y z d y d z d x d 2 2 2 2
u2 d 2

1 p p p 1 ( dx dy d z) d p x y z
第四章 流体动力学基础
流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究 流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。
§4—1 理想流体的运动方程式 §4—2 粘性流体的运动方程式 §4—3 理想流体的伯努里方程
§4—4 伯努里方程的能量和几何意义
EXIT
§4—5 相对运动的伯努里方程 §4—6 总流伯努里方程 §4—7 伯努里方程的应用 §4—8 动量方程 §4—9 动量矩方程
不可压流体N-S方程
d u x u x u x u x u x 1 p ux uy uz X 2u x dt t x y z x d u y u y u y u y u y 1 p ux uy uz Y 2u y dt t x y z y
球面坐标系下的Euler方程
d u u 1 (u )u f p d t t
1 1 er e e r r r sin
1 p f r r ar 1 p a f r 1 1 p a f r sin
d ux 1 p X dt x
duy 1 p Y dt y
理想流体
d uz 1 p Z dt z






定常流动
ux d t d x
+ uy d t d y
+ uz d t d z
（dx,dy,dz）是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合。
EXIT
流体静止时，只受质量力、压差力的 作用，运动方程简化为平衡方程
f
1

p 0
EXIT
§4—3 理想流体的伯努里方程
运用运动微分方程求解各种流动问题时，需要对方程进行积 运用运动微分方程求解各种流动问题时，需要对方程进行积 分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下 分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下 面先讨论在定常条件下理想流体运动方程沿流线的积分。 面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。
理想流体 伯努利方 程
Xdx Ydy Zdz
1

dp
1 2 du 2
EXIT
重力场中的伯努利方程 z
流线
2 1 u o
X 0, Y 0, Z g
伯努利方程可写为
gdz dp


du 0 2
2
o
积分得
p u2 z Cl g 2 g
Cl：流线常 数
对同一流线上任意两点 1 和 2 利用 伯努利积分，即有 伯 努 2 p1 u12 p2 u 2 z1 z 2 利 g 2 g g 2 g 方 程 这是水力学中普遍使用的方程。
§4—2 粘性流体的运动方程式
在粘性流体的流场中取微元平行六面体，分析受力：质量力、 表面力（法向力－包含由于线变形引起的附加法向力，切向力） 和惯性力（加速度）。
应力下标的意义。每个应力都有两个下标，第一个下标表示 应力作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。 应力正负的规定 。若应力所在平面的外法线与坐标轴正向一 致，则指向坐标轴正向的应力为正，反之为负；若应力所在平 面的外法线与坐标轴正向相反，则指向坐标轴负方向的应力为 正，反之为负。 应力状态及切应力互等定理 。粘性流场中任意一点的应力有 9个分量，包括3个正应力分量和6个切应力分量（其中只有3个 切应力分量是独立的）。可以证明，在6个切应力分量中，互换 下标的每一对切应力是相等的，即切应力互等定理 。