C语言

y
二分法的定义
对于在区间 [a,b] 上连续且 f (a) • f (b)<0 的函数 y=f (x)， 通过不断的把函数 f (x) 的零点 所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做 二分法。
f(x )
c3 0
a
x
c1
c2
b
例5 已知方程 x4-5x2+x+2=0 在区间 [1.5,2.5] 内只有一个根， 用二分法求出这个根。精度要求为10-5。
图 前5个月的兔子繁殖情况
#include <stdio.h> main() { long f1,f2,f3; int i,n; scanf("%d",&n); f1=1; f2=1; printf("%10ld%10ld",f1,f2); for(i=3;i<=n;i++) { f3=f1+f2; printf("%10ld",f3); if(i%5==0) printf("\n"); f1=f2; 10 ↙ f2=f3; } 1 } 8
递归的两个关键点： （1）归约 ① 将A塔上面的63个盘子，借助C塔，移到B塔上； ② 将A塔上的最后一个盘子移到C塔上； ③ 将B塔上的63个盘子，借助A塔，移到C塔上。 （2）递归终止：只有一个盘子时，可以直接移动。
例8 梵天塔问题
A
1 2 3
B
C
Please input the number of plate: 3↙ void HN(int n,char a,char b,char c) 3 plate moving steps are as follows: { if(n==1) from A to C printf("from %c to %c\n",a,c); from A to B else from C to B { HN(n-1,a,c,b); from A to C printf("from %c to %c\n",a,c); from B to A HN(n-1,b,a,c); from B to C } from A to C
例3 用迭代法求方程 x3-x2-1=0 在x=1.5附近的根，精度要求为10-5。 #include "stdio.h" float f (float x) #include "math.h" #define M 30 {return pow(x*x+1,1.0/3); } main () { float x1,x0,eps,f(float x); 1.5 0.00001↙ int k=0; iteration number =11,x=1.465577 scanf("%f",&x1); scanf("%f",&eps); do {x0=x1; x1=f(x0); k++; } while(fabs(x0-x1)>=eps&&k<M); if(fabs(x0-x1)<eps) printf (" iteration number =%d,x=%f\n",k,x1); else printf(" iteration failure\n"); }
int put(int row) { int j, s; for(j = 0; j < N; j++) { if(canput(row, j)) { chess[row][j] = 1; if(row == N-1) { count = count +1; print_chess(); chess[row][j] = 0; continue; } s = put(row+1); if(s == 0) { chess[row][j] = 0; continue; } else break; } } if (j==N) return 0; else return 1; }
3.递归的视觉形式：德罗斯特效应
例7 递归法求解斐波那契数列问题。
long fib(int n) { if (n==1||n==2) return 1; else return fib(n-1)+fib(n-2); } #include <stdio.h> main () { int n; scanf("%d",&n); printf("%10ld",fib(n)); }
作业：
2. 用牛顿迭代法求方程x3-x-1=0在 x=2.5 附近的根，精度要求为10-6。
实验报告：
1. 输入某年某月某日，判断这一天是这一年的第几 天？
2. 用递归法求有n个数的数组的最小值。
例5 已知方程 x4-5x2+x+2=0 在区间 [1.5,2.5] 内只有一个根， 用二分法求出这个根。精度要求为10-5。
n 1 1 f (n) 1 n2 f (n 1) f (n 2) n 2
运行结果： 10 ↙ 55
例8 梵天塔问题
印度教的天神梵天在创建地球时建了一座神庙，有一座钻石宝塔（塔A），其上 有64个金碟。所有碟子按从大到小的次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外 两个钻石宝塔（塔B和塔C）。从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直试图把塔 A上的碟子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。每次只能移动一个碟子，任何 时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。 编 程 思 路
回溯
1 2 3
4
1 1 2 2 3 4
4
4
4
3
4
#include <stdio.h> #define N 8 int chess[N][N] = {0}; int count = 0; int canput(int row, int col) { int i,j; for(i = 0; i < N; i ++) { if(chess[i][col] == 1) return 0; for(j = 0; j < N; j++) { if(chess[row][j]==1) return 0; if (chess[i][j]==1&& (i-j==row-col||i+j==row+col)) return 0; } } return 1; }
1
2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4
回溯
回溯法—以四皇后为例
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1
2 3 4 1 1 2 3 2 3 4
1
2 3 4 1 2 3 4
1
2 3 4 1 1 2 3 2 3 4
1
回溯
2 3 4 1 1 2 3 2 3 4
scanf("%f%f",&a,&b); scanf("%f",&eps); r=df(a,b,eps); printf("%f\n",r); } 1.5 2.5 0.00001 ↙ 2.000000
float df(float a,float b,float eps) {float c; while (b-a>=eps) {c=(a+b)/2; if (f(c)==0) return c; else if (f(a)*f(c)<0) b=c; else a=c; } return c; }
判断是否达到精度，若达到，则得到零点近似值；否则 重复步骤2~4。
例5 已知方程 x4-5x2+x+2=0 在区间 [1.5,2.5] 内只有一个根， 用二分法求出这个根。精度要求为10-5。 float f (float x) main ( ) {return x*x*x*x-5*x*x+x+2;} {float a,b,r,eps;
1.5 递归法
4.优点
结构清晰、可读性强、容易证明算法的正确性。
5.缺点
运行效率低。
1.基本思想
Hale Waihona Puke 1.6 回溯法能进则进，不能进则退。
2.典型应用实例
老鼠走迷宫、八皇后问题
例9 八皇后问题
问题描述
在一个8×8国际象棋棋盘上， 有8个皇后，每个皇后占一格； 要求皇后间不会出现“相互攻击” 的现象，即不能有两个皇后处在 同一行、同一列或同一斜线上。 问共有多少种不同的方法？
main() { int s ; s = put(0); printf("%d\n", count); }
1.7 分治法
1.基本思想
将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的子问题， 以便各个击破，分而治之。然后把各个子问题的解合并起来，得出 整个问题的解。
例10 用二分查找法找一个数是否在一个有序数组中。
0
1
low=0
1
3
2
5
3
7
4
9
5
6
7
8
9
10 11
key 27
12 15 19 24 27 38 66
mid=5 high=11
low=mid+1
15 19 24 27 38 66
例6 意大利数学家斐波纳契（Fibonacci）在他的书中提出了一 个关于兔子繁殖 的问题：如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它们 出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，假定在不发生死亡的情况下， 由一对出生的小兔开始，问前n个月每个月有多少对兔子？