排列组合相关公式.
排列组合公式(全)
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中,取r个不重复的元素，按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P（n,r）表示.排列的个数用P(n,r）表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P（n，r），P(n，r）。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合.组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C（n，r）表示,对应于可重组合有记号C（n,r）,C(n，r）.一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单,与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；（4）计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用（1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏）(2）乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合,S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S(B）＊3!S（B)=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式排列组合的数学公式1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2. 组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3. 其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）.k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）.排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）（n-m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示.pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1.2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cn,m 表示.cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m;3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/n1!*n2!*...*nk!.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m.排列Pnmn为下标，m为上标Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n组合Cnmn为下标，m为上标Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。
特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。
两条性质两公式，函数赋值变换式。
1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 分步②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 分类2. 排列有序与组合无序Anm=nn-1n-2n-3…n-m+1=n!/n-m! Ann =n!Cnm = n!/n-m!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=k+1!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑插空法解决相间问题间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：1把具体问题转化或归结为排列或组合问题;2通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;3分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;4列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①a+bn=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：1+xn=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
排列组合计算公式
1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４ 证明． 证明 左式 右式． ∴ 等式成立． 点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化． 例5 化简． 解法一 原式 解法二 原式 点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化． 例6 解方程：（1）；（2）． 解 （1）原方程 解得． （2）原方程可变为 ∵ ，， ∴ 原方程可化为． 即 ，解得第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解 设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解 分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
排列组合公式排列组合计算公式
和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：若 m、n、p、q∈N①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq②若m+n=2q，则am+an=2aq注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。
求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=a1n+n(n-1)d d=公差Sn=An2+Bn A=d/2,B=1-(d/2)排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P 12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P 13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P 33，得P 13P 33P 12＝36(个) 由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P 13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610 B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
定义及公式排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。
A(n,m)=n(n-1）（n-2）……（n-m+1）= n!/(n-m)! 此外规定0!=1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
C(n,m)=A(n,m）∧2/m!=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(m-n,m）。
（其中m≥n) 其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。
符号 C-Combination 组合数 A-Arrangement 排列数（在旧教材为P-Permutation） N-元素的总个数 M-参与选择的元素个数！-阶乘基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
常用排列组合公式
常用排列组合公式2. 组合公式n 个相异物件取 r 个（ 1 \leq r \leq n ）个的不同组合总数，为C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{P_r^n}{r!} =\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!}\\当 r=0 时，按 0!=1 的约定，算出 \binom{n}{0} = 1，这可看作一个约定。
只要 r 为非负整数，n 不论为任何实数，都有意义。
故 n 可不必限制为自然数。
例如：\binom{-1}{r} = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r\\ 3. 组合系数与二项式展开的关系组合系数 \binom{n}{m} 又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^i b^{n-i}\\利用这个关系式，可得出许多有用的组合公式。
例如，令a=b=1，得\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n\\令 a = -1，b = 1 ，则得：\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\dbinom{n}{n} = 0\\另一个有用的公式是\dbinom{m+n}{k} =\sum_{i=0}^{k}\dbinom{m}{i}\dbinom{n}{k-i}\\它是由恒等式 (1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n 即\sum_{j=0}^{m+n} \dbinom{m+n}{j} x^j = \sum_{j=0}^{m} \dbinom{m}{j} x^j \sum_{j=0}^{n} \dbinom{n}{j}x^j \\比较两边的 x^k 项的系数得到的。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种 解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6 在(x- )10的展开式中，x 6的系数是( )A.-27C 610B.27C 410C.-9C 610D.9C 410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种 D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４ 证明． 证明 左式右式． ∴等式成立． 点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化． 例5 化简． 解法一 原式 解法二 原式 点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化． 例6 解方程：（1）；（2）． 解（1）原方程解得． （2）原方程可变为 ∵，， ∴原方程可化为． 即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块，找个推导都难！真是的！一、排列(在乎顺序)全排列：P(n,n)=n!n个人都排队。
第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列：P(n,m)=n!-(n-m)!n个人，选m个出来排队，第一个位置可以选n个，…，最后一个可以选n-m+1个，以此类推得：P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。
二、组合(不在乎顺序)n个人，选m个人出来。
因为不在乎顺序，所以按排列算的话，每个组合被选到之后还要排列，是被算了m!遍的。
即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得：C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质：1、C(n,m)=C(n,n-m)。
就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。
2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。
递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排：Q(n,n)=（n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。
想想坐成一圈后，分别以每个位置为头断开，可以排成一个序列，就是将n个人全排列中的一种。
这样可以得到n个序列，但是在圆排中是视为同一种坐法的。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排：Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个)：n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak，求这n个球的全排列数。
把每种球重复的除掉就好了。
假如第一种球有a1个，那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法，然而它们都是一样的，就是说重复了a1!次。
排列组合公式
排列组合公式排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列组合公式：排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m。
高考数学公式：排列组合公式
高考数学公式：排列组合公式1．排列及运算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及运算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
排列组合通项公式
在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念，它们描述了从一组对象中选择元素的方式。
下面详细介绍排列和组合的通项公式。
排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序排列的方式。
给定一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列，排列的总数记为P(n, r)。
排列的通项公式如下：
P(n, r) = n! / (n - r)!
其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) ×... ×3 × 2 ×1。
"!"符号表示阶乘运算。
组合是指从一组元素中选择一部分元素而不考虑顺序的方式。
给定一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合，组合的总数记为C(n, r)。
组合的通项公式如下：
C(n, r) = n! / (r! ×(n - r)!)
其中，n! 表示n的阶乘，r! 表示r的阶乘，(n - r)! 表示(n - r)的阶乘。
排列和组合的通项公式提供了计算排列数和组合数的公式，可以用于确定从给定集合中选择元素的不同方式的总数。
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排列组合公式
排列定义从 n 个不同的元素中,取 r 个不重复的元素,按次序排列,称为从 n 个中取 r 个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r表示。
排列的个数用 P(n,r表示。
当 r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为
P(n,r,P(n,r。
组合定组合定义义从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从 n 个中取 r 个的无重组合。
组合的全体组成的集合用 C(n,r表示,组合的个数用 C(n,r表示,对应于可重组合
有记号 C(n,r,C(n,r。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一排列组合部分是中学数学中的难点之一, , 原因在于
(1从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力;
(2限制条件有时比较隐晦, 需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词准确理解;
(3计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大;
(4计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,
并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1加法原理和分类计数法
1. 加法原理加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务; 两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重;完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏
(2乘法原理和分步计数法
1. 乘法原理
乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务, 必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务; 各步计数相互独立; 只要有一步中所采取的方法不同, 则对应的完成此事的方法也不同
例 1:用 1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合 A 为数字不重复的九位数的集合,S(A=9!
集合 B 为数字不重复的六位数的集合。
把集合 A 分为子集的集合, 规则为前 6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数,等于剩余的 3个数的全排列,即 3! 这时集合 B 的元素与 A 的子集存在一一对应关系,则
S(A=S(B*3!
S(B=9!/3!
这就是我们用以前的方法求出的 P(9,6
例 2:从编号为 1-9的队员中选 6人组成一个队,问有多少种选法?
设不同选法构成的集合为 C,集合 B 为数字不重复的六位数的集合。
把集合 B 分为子集的集合, 规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集, 则每个子集都是某 6个数的全排列,即每个子集有 6!个元素。
这时集合 C 的元素与 B 的子集存在一一对应关系,则
S(B=S(C*6!
S(C=9!/3!/6!
这就是我们用以前的方法求出的 C(9,6
以上都是简单的例子, 似乎不用弄得这么复杂。
但是集合的观念才是排列组合公式的来源, 也是对公式更深刻的认识。
大家可能没有意识到, 在我们平时数物品的数量时,说 1,2,3,4,5,一共有 5个,这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1, 2, 3,4,5的元素个数相等,所以我们才说物品共有 5个。
我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰 ,从而能用它解决更复杂的问题。
例 3:9个人坐成一圈 ,问不同坐法有多少种?
9个人排成一排,不同排法有 9!种,对应集合为前面的集合 A
9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。
设集合 D 为坐成一圈的坐法的集合。
以任何人为起点 ,把圈展开成直线 ,在集合 A 中都对应不同元素,
但在集合 D 中相当于同一种坐法, 所以集合 D 中每个元素对应集合 A 中 9个元素, 所以 S(D =9!/9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人, 再排其他人, 结果为 8!。
这个方法实际上是找到了一种集合 A 与集合 D 之间的对应关系。
用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系, 使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。
例 4:用 1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求 1排在 2前面 ,求符合要求的九位数的个数。
集合 A 为 9个数的全排列,把集合 A 分为两个集合 B、C,集合 B 中 1排在 2前面 ,集合 C 中 1排在 2后面。
则 S(B +S(C=S(A
在集合 B、C 之间建立以下对应关系:集合 B 中任一元素 1和 2位置对调形成的数字,对应集合 C 中相同数字。
则这个对应关系为一一对应。
因此 S(B=S(C =9!/2
以同样的思路可解出下题:
从 1、2、3… ,9这九个数中选出 3个不同的数作为函数 y =ax *x+bx+c的系数, 且要求 a>b>c,问这样的函数共有多少个?
例 5:M 个球装入 N 个盒子的不同装法, 盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了 ,我再用更形象的方法说说。
假设我们把 M 个球用细线连成一排, 再用 N -1把刀去砍断细线 , 就可以把M 个球按顺序分为 N 组。
则 M 个球装入 N 个盒子的每一种装法都对应一种砍
线的方法。
而砍线的方法等于 M 个球与 N -1把刀的排列方式(如两把刀排在一起 ,就表示相应的盒子里球数为 0。
所以方法总数为 C(M+N-1, N -1
例 6:7人坐成一排照像 , 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻 , 则共有 ________排法 .
解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为 X 1, X 2, X 3, X 4,其中 X 1, X 4》 =0, X 2, X 3》0
先把其余 4人看作一样 ,则不同排法为方程
X 1+X2+X3+X4=4的解的个数, 令 X 2=Y 2+1, X 3=Y 3+1
化为求 X 1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数, 这与把 2个球装入 4个盒
子的方法一一对应,个数为 C(5,3=10
由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应 4个人的全排列 4!,所以
不同排法共有 C(5,3*4!=240种。