乐山市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学文科试题(含答案)
2020-2021学年人教版高二上册数学期末数学试卷(文科)带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab<b2B.ab>a2C.1a <1bD.1a>1b2. 抛物线y=−4x2的准线方程为（）A.y=−116B.y=116C.x=−1D.x=13. 下列求导结果正确的是()A.(cosπ6)′=−sinπ6B.(3x)′=x⋅3x−1C.(log2x)′=log2exD.(sin2x)′=cos2x4. 已知命题p:∃x0∈(1, +∞)，使得；命题q:∀x∈R，2x2−3x+5> 0．那么下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.(￢p)∨qC.p∨(￢q)D.(￢p)∧(￢q)5. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B＝（）A. B. C. D.6. 若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A. B.6 C. D.47. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，a1a2a3＝−27，则a5＝（）A.81B.24C.−81D.−248. 已知a>0，b>0，且3a+2b＝ab，则a+b的最小值为（）A. B. C. D.9. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且该双曲线的一个焦点在直线l上，则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.10. 若函数f(x)＝e x−2ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）)11. 已知在数列{a n}中，a5=4，其前n项和为S n，下列说法正确的是（）A.若{a n}为等差数列，a2=1，则S10=45B.若{a n}为等比数列，a1=1，则a3=±2C.若{a n}为等差数列，则a1a9≤16D.若{a n}为等比数列，则a2+a8≥812. 已知曲线C:mx2+ny2＝1，下列说法正确的是（）A.若m＝n>0，则C是圆，其半径为．B.若m>0，n＝0，则C是两条直线．C.若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上．D.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）)13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5＝a3+4，则S13＝________．14. 设点P是曲线上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．（用区间表示）15. 若△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的内切圆半径等于________．16. 设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17. 设命题p：实数x满足x2−4mx+3m2<0(m>0)；命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；a n，，求数列{c n}的前n项和T n．(Ⅱ)设b n＝log319. 已知函数f(x)=x3−2x2+x．(1)求曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程；(2)求曲线y=f(x)过点(1, 0)的切线方程．20. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b+c＝12．(Ⅰ)若a＝2，b＝5，求cos A的值；(Ⅱ)若sin A cos2＝2sin C，且△ABC的面积为10sin C，试判断△ABC的形状并说明理由．21. 已知椭圆经过如下四个点中的三个，，P2(0, 1)，，．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C （A，B均不与点C重合），证明：直线l过定点．22. 已知函数f(x)＝ln x+ax2+(2a+1)x+1．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<0时，证明：f(x)≤−−1．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可判断出．2.【答案】B【解析】利用抛物线的标准方程及其性质即可得出．3.【答案】C【解析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可．4.【答案】B【解析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．5.【答案】A【解析】利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角B的大小6.【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．7.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，令n＝1，则S2＝4a1，可得a2＝3a1，根据a1a2a3＝−27，可得a23=−27，解得a2．利用等比数列的通项公式即可得出．8.【答案】B【解析】将3a+2b＝ab变形为，再由“乘1法”，即可得解．9.【答案】B【解析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．10.【答案】C【解析】由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)＝0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）11.【答案】A,C【解析】对于A，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝0，d＝1，由此能求出S10；对于B，利用等比数列能通项公式求出q2＝2，进而能求出a3；对于C，利用等差数列通项公式得a1+a9＝2a5＝8，当a1，a9一正一负时，a1a9≤16成立，当a1，a9均大于0时，则a1a9≤（）2＝16；对于D，{a n}为等比数列时，a2a8＝＝16，当a2，a8均大于0时，a2+a8≥2＝8，当a2，a8均小于0时，a2+a8＝−(−a2−a8)≤−2＝−(8)12.【答案】A,B,D【解析】通过m，n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】52【解析】利用等差数列{a n}的通项公式列方程求得a1+6d＝4，再由S13＝＝13(a1+6d)，能求出结果．14.【答案】【解析】求出原函数的导函数，利用配方法求得导函数的值域，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值，即可求得曲线在点P处的切线的倾斜角α的范围．15.【答案】【解析】由已知结合余弦定理可求C，易得三角形的面积，所以内切圆半径满足关系：S＝(a+b+c)r．16.【答案】【解析】判断三角形周长取得最大值时，求出m的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭圆的离心率即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】由x2−4mx+5m2<0，得(x−m)(x−5m)<0，又m>0，所以m<x<3m，由，得0<4−x<5因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件．设A＝(3, m)B＝(2，则B是A的真子集，故或即．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，根据￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，进行转化求解即可．18.【答案】（1）当n＝1时，2a6＝2S1＝2a1−1，∴a8＝1当n≥2时，8a n＝2S n−2S n−2＝(3a n−3)−(8a n−1−3)即：，∴数列{a n}为以3为首项，4为公比的等比数列．∴（2）由(Ⅰ)知，a n＝n，所以b n＝log3故．即①所以②①②得所以．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．19.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，∴曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程为y+4=8(x+1)，即8x−y+4=0.(2)设切点为(x0, y0)，∵切点在函数图象上，∴y0=x03−2x02+x0，故曲线在该点处的切线为y −(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(x −x 0).∵ 切线过点(1, 0)，∴ 0−(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(1−x 0)即(x 0−1)2(2x 0−1)=0，解得x 0=1或x 0=12，当x 0=1时，切点为(1,0)，∵ f ′(1)=0，∴ 切线方程为y −0=0⋅(x −1)即y =0.当x 0=12时，切点为(12,18)， ∵ f ′(12)=−14， ∴ 切线方程为y −0=−14(x −1)即x +4y −1=0.综上可得，切线方程为y =0或x +4y −1=0．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得到函数在x ＝−1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；(Ⅱ)设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步求解过点(1, 0)的切线方程．利用导数研究某一点的切线方程问题（含参问题）.20.【答案】（1）∵ a +b +c ＝12，a ＝2，∴ c ＝5． ∴ -（2）∵ △ABC 为直角三角形，， ∴，即sin A +sin B +sin A cos B +cos A sin B ＝4sin C ，∴ sin A +sin B +sin (A +B)＝4sin C ，∵ A +B +C ＝π，A +B ＝π−C ．∴ sin A +sin B ＝3sin C ，由正弦定理得a +b ＝3c ，∵ a +b +c ＝12，可得8c ＝12．从而a +b ＝9．又∵ △ABC 的面积为10sin C ，∴．即ab＝20，∴a＝5，b＝5，又∵c＝6，可得cos B＝＝，可得B为直角，∴△ABC为直角三角形．【解析】（1）由题意可求c的值，进而根据余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A+sin B＝3sin C，由正弦定理得a+b＝3c，解得c，可得a+b＝9，利用三角形的面积公式可求ab＝20，解得a，b的值，即可判断得解．21.【答案】（1）；由题意，点与点，根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点和点，又因为点与点，即椭圆过点，P3（，），P7(0, 1)，所以，且，故a6＝4，b2＝3，所以，椭圆M的方程为．（2）证明：直线l恒过点．由题意，可设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，联立消去x2+4)y2+2kmy+m2−4＝0，设A(x1, y8)，B(x2, y2)，则有，①又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴，由，，得(x2−2)(x2−8)+y1y2＝5，将x1＝ky1+m，x6＝ky2+m代入上式得，将①代入上式求得或m＝2（舍），则直线l恒过点．【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可得椭圆过点，，P2(0, 1)，代入椭圆的方程，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．(Ⅱ)设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线AB与椭圆的方程可得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，由线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，得，用坐标表示，可得m，进而可得答案．22.【答案】（1）因为f(x)＝ln x+ax2+(2a+5)x+1，所以，当a≥7时，f′(x)≥0恒成立，+∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)>5，所以，令f′(x)<0，则2ax+2<0，所以f(x)的增区间为，减区间为．综上：当a≥3时，f(x)的增区间为(0；当a<0时，f(x)的增区间为．（2）证明：由(Ⅰ)知，当a<0时max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+3(t>0)，则，令g′(t)>0，则5<t<1，则t>1，所以g(t)在(6, 1)上单调递增，+∞)上单调递减，故g(t)max＝g(1)＝0，所以ln t−t+3≤0又因为，所以则，从而，所以．【解析】(Ⅰ)对f(x)求得，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+1(t>0)，利用导数可得g(t)的最大值为0，可得，从而可得．。
四川省乐山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学文试题
四川省乐山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．2502．若复数2()m m mi -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x 等于（）A ．21B ．22C ．23D ．244．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.65．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）A ．118B ．19C ．16D ．112 6．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（ ）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3和()1,3-D ．()1,3- 7．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为( )A ．34B ．78C ．1516D ．31328．设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =（）A ．29B ．112C ．16D ．12 9．在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，则函数()22f x x ax b =++无零点的概率为（ ）A ．12B ．14C ．23D ．3410．根据如下样本数据，得到回归方程ˆybx a =+，则( )A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b >D ．0a <，0b < 11．若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51[,)8+∞B ．(],3-∞C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．[)3,+∞ 12．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．C ．(0,1)D ．(0，＋∞)二、填空题 13．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率为_____．14．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．16．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+，∞上存在公共点，则a 的取值范围为三、解答题17．已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈ （1）若函数()f x 的导函数为偶函数，求a 的值；（2）若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围18．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ;（2）设1AP =，AD =，三棱锥P ABD -的体积 4V =，求A 到平面PBC 的距离．20．已知函数，()32,1,ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩（1）求()f x 在区间(),1-∞上的极小值和极大值；（2）求()f x 在[]1,e -（e 为自然对数的底数）上的最大值．21．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：（1）求m ，n ；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 22．设函数()x f x e =，()ln g x x =．（Ⅰ）证明：()2e g x x≥-； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【解析】 试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A 考点：分层抽样2．C【解析】 试题分析：若复数2()m m mi -+为纯虚数，则必有20{0m m m -=≠解得：1m =，所以答案为C ．考点：1．纯虚数的定义；2．解方程．3．A【解析】【分析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x 的方程，解方程即可．【详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数22232x +=， ∴x ＝21故选A ．【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．4．B【解析】区间[22,30)内的数据共有4个，总的数据共有10个，所以频率为0．4,故选B ．5．B【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．考点：概率问题6．C【分析】求导，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，经检验可得P 点的坐标.【详解】因()2'31f x x =-，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上，故选C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7．B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x 的值，因此可以逆向求解：输出0x =,此时4i =； 上一步：1210,2x x -==,此时3i =； 上一步：1321,24x x -==,此时2i =； 上一步：3721,48x x -==,此时1i =； 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题. 8．A【解析】【分析】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ），共有6×6＝36种不同情况，其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴C 的概率P （C ）82369==， 故选A ．【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．9．D【分析】在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，其对应的数对(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所求事件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率.【详解】因为函数()22f x x ax b =++无零点，所以2240a b -<， 因为01,01a b ≤≤≤≤，所以22402a a b b -<⇔>， 则事件函数()22f x x ax b =++无零点构成的区域为梯形OABC ，在区间[]0,1上任取两个实数a ，b 所对应的点(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所以函数()22f x x ax b =++无零点的概率OABC ODBC 34S P S ==梯形正方形. 【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.10．A【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b 、a 的符号．【详解】 解：样本平均数345678 5.56x +++++==，4 2.50.50.5230.256y +-+--==， ∴61()()24.5i i i x x y y =--=-∑，621()17.5i i x x =-=∑，24.5 1.417.5b ∴=-=-， 0.25( 1.4)5.57.95a ∴=--=，故选：A ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．11．A【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围.【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题. 12．B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．13．120【分析】总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5100. 【详解】因为总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5110020=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有N 个个体，从中抽取n 个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为n N.14【分析】求出复数2z i =-，代入模的计算公式得|z |=【详解】由()431243212ii z i z i i++=+⇒==-+，所以||z ==【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.15．10； 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， AE =（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2），设AE 与CD 1所成角为θ， 则cosθ11105AE CD AE CD ⋅===⋅， ∴AE 与CD 1所成角的余弦值为10． ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：根据题意，函数与函数在()0+，∞上有公共点，令2xax e =得：2xe a x= 设()2x e f x x =则()222x xx e xe f x x-'= 由()0f x '=得：2x =当02x <<时，()0f x '<，函数()2xef x x =在区间()0,2上是减函数，当2x >时，()0f x '>，函数()2x ef x x=在区间()2,+∞上是增函数，所以当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+，∞上有最小值()224e f = 所以24e a ≥．考点：求参数的取值范围． 17．（1）1a =；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）求出函数()f x 的导数()()()23212f x x a x a a '=+--+，由于二次函数'()f x 为偶函数，所以一次项系数为0，进而求得a 的值；（2）由题意得()0f x '=存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于0. 【详解】（1）∵()()()23212f x x a x a a '=+--+，由题因为()f x '为偶函数，∴()210a -=，即1a = （2）∵曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程()()()23212f x x a x a a '=+--+有两个不相等的实数根，∴()()2411220a a a ∆=-++>，即24410a a ++>，∴12a ≠-. ∴a 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线转化成方程有两根. 18．（1）13；（2）215.【解析】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P == （2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个. 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.19．（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 的距离为13【详解】试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB 又EO 平面AEC ，PB 平面AEC 所以PB ∥平面AEC ．（2）166V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为法2：等体积法166V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得. 由题设易知,得BC假设到平面的距离为d ， 又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离20．（1）极小值为0，极大值为427.（2）答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）对三次函数32()f x x x 进行求导，解导数不等式，画出表格，从而得到极值； （2）由（1）知函数32()f x x x 的性质，再对a 进行分类讨论，求()ln f x a x =在1≥x 的性质，比较两段的最大值，进而得到函数()f x 的最大值. 【详解】（1）当1x <时，()232f x x x '=-+，令()0f x '=，解得0x =或23x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：故当0x =时，函数()f x 取得极小值为()00f =， 当23x =时，函数()f x 取值极大值为24327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）①当11x -≤<时，由（1）知，函数()f x 在[]1,0-和2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.因为()12f -=，24327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f =， 所以()f x 在[)1,1-上的值大值为2. ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =， 当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()f x 在[]1,e 上的最大值为()f e a =. 故当2a ≥时，()f x 在[]1,e -上最大值为a ； 当2a <时，()f x 在[]1,e -上的最大值为2. 【点睛】本题三次函数、对数函数为背景，考查利用导数求三次函数的极值，考查分类讨论思想的应用.21．（1）8m =，48n =（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人【分析】（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；（2）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为208 960560n+=，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根据题意完善2×2列联表，如下；计算K2()24820812832162028⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯0.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为322 483=，用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为623⨯=4（人）．【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2a≤.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）令()()e2F x g x x=-+，求导得单调性，进而得()()min e 0F x F ==，从而得证；（Ⅱ）记()()()xxh x f x f x ax e eax -=---=--求两次导得()h x '在[)0,+∞递增， 又()02h a '=-，进而讨论2a -的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（Ⅰ）令()()e e 2ln 2F x g x x x x =-+=-+，()221e ex F x x x x-∴=-=' 由()0e F x x >'⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[)e,+∞递增， ∴ ()()min e e lne 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即()e2g x x≥-成立． （Ⅱ） 记()()()xxh x f x f x ax e eax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[)0,+∞恒成立，()e x x h x e a -=+-'， ∵ ()()e 00x x h x e x -=≥''-≥，∴ ()h x '在[)0,+∞递增， 又()02h a '=-，∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[)0,+∞递增， 则()()00h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立；② 当2a >时，∵()h x '在[)0,+∞递增，且()min 20h x a =-<'， ∴ 必存在()0,t ∈+∞使得()0h t '=．则()0,x t ∈时，()0h t '<，即 ()0,x t ∈时，()()00h t h <=与()0h x ≥在[)0,+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x > .。
乐山市高中2021届期末统考高二上期文科数学试题含答案(2019-2020学年上期)
机密★启用前〔考试时间：2020年1月15日上午8：00—10,00]乐山市高中2021届期末教学质量检测文科数学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择的）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时•须将答案答在答题卡上,在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150 分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须用2B处笔将答案标号填涂在各题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题•每小题5分，共60分.一、选择髓：本大题共12小胭，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“VzWR,d/l”的否定是（A）（B）V N SR,/= Z（C）三改《R忌#n （D） 3诙€R,太=x02.下列命题中正确的是（A）若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行（B）垂克于同一平面的两个平面平行（C）存在两条异面直线同时平行于同一平面（D）三点确定一个平面工“A = CW0.B=0”是“方程A?+Rry+C/+D;r+Ey+F=O”衰示圆的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（。
充要条件（D〉既不充分也不必要条件4.楠师吉+4=1的左、右焦点分别为点?在椭圆上，如果PB的中点在y轴上，那么IPBI是IPF/的高二数学（文科）试题第1页（共4页）（A）7 倍（B）5 倍（。
4 倍（D）3 倍高二数学(文科)试题第2页(共4页)高二数学（文科）试题第3页（共4页）5 .已知点在圆l 外•则出线ax+by=l 与圆O 的位置关系是10 .在△ABC 中，NACB —90°,D 是BC 的中点，PAJ_平面ABC,如果PB 、PC 与平面ABC成的角分别姑30“和60•，那么PD 与平面ABC 所成的保为11 .如图•过抛物线，=2pz(p>0)的焦点F 的宜线交抛物线于点A 、& 交其准线I 于点C,若诬=2而,且|戏| =3,则p 的值为(B)3(D)等 z12 .如图•四边形月BCD 和ADEF 均为正方形,它们所在的平面互相垂宜,动点M 在线段AE上•设宜线CM 与BF 所成的角为。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
四川省乐山四校2020-2021学年高二第三学期半期联考数学(文科)试题
四川省乐山四校2020-2021学年高二第三学期半期联考数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题是真命题的为（ ）A ．若11x y =,则x y =B ．若21x =,则1x =C ．若x y =,=D ．若x y <,则22x y <2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 3．平面//α平面β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，//,//a a αβB ．存在一条直线a ，,//a a αβ⊂C ．存在两条平行直线,,a b //,//,a a b αββ⊂D ．存在两条异面直线,,a b ,,//,//a b a b αββα⊂⊂4．已知命题2:,0;p x R x x ∀∈->命题1:,2,2x q x R ∃∈<则下列命题是真命题的为（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．p q ⌝∧⌝5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别为棱1BB 、1CC 的中点，P 为棱BC 上的一点，且()01BP m m =<<，则点P 到平面AEF 的距离为（ ）A ．2BC ．2D ．56．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直角三角形ABC 的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离为（ ）A ．5B ．6C ．10D ．128．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到平面α的距离都相等，则正确的结论是（ ） A ．平面ABC 必平行于平面αB ．平面ABC 必与平面α相交 C ．平面ABC 必不垂直于平面αD ．存在ABC ∆的一条中位线平行于平面α或在平面α内9．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为a ，且长为a 的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A B C D 10．如图，AB 是夹在90的二面角l αβ--之间的一条线段，,A B αβ∈∈,且直线AB 与平面,αβ分别成30,45的角，过A 作AA l '⊥于A ',过B 作BB l '⊥于B '.则A B AB''的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3411．已知二面角l αβ--的大小为120，直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面β，则过直线l 上一点P ，与直线a 和直线b 都成60的直线有（ ）A ．四条B ．三条C ．两条D ．一条12．如图，在等腰梯形ABCD 中，22,60AB DC DAB ==∠=,E 为AB 中点.将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）DA B C．8二、填空题13．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_____个部分.14．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为4，一个内角为60的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．-中,E、F、G分别为AB、AC、CD中点，且15．如图，在三棱锥A BCD==,EG=AD与BC所成的角的大小为_________.2AD BC16．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.有下列四个命题⑴点H 是ΔA 1BD 的垂心 ⑵AH ⊥平面CB 1D 1⑶二面角C −B 1D 1−C 1的正切值为√2 ⑷点H 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为34则正确的命题有________.三、解答题17．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .18．（1）已知命题:,243p x R x x ∈-+->对任何.请写出该命题的否定.（2）不等式2(1)0x a x a +++≤成立的一个充分不必要条件是21,x -<<-求a 的取值范围.19．某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是A B C '''，其中02,A O B O C ==''''=''（1）画出该几何体的直观图；（2）分别求该几何体的体积和表面积.20．已知,m R ∈设[]22:1,1,24820p x x x m m ∀∈---+-≥成立； :q 指数函数()()42xf x m =-为增函数，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围． 21．如图1所示，在Rt ABC ∆中，90,,C D E ο∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1,A F CD ⊥如图2所示.（1）求证：DE //平面1A CB ；（2）求证：1A F BE ⊥； （3）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？请说明理由.22．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．参考答案1．A【解析】试题分析：B 若21x =，则1x =±，所以错误；C ．若0x y =<，=所以错误；D ．若21x y =-<=，此时式子22x y <不成立．所以错误，故选择A 考点：命题真假2．D【详解】试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图3．D【解析】逐一考查所给的选项：A .存在一条直线a ，//,//a a αβ，有可能a 平行于两平面的交线，该条件不是平面//α平面β的一个充分条件；B .存在一条直线a ，,//a a αβ⊂，有可能a 平行于两平面的交线，该条件不是平面//α平面β的一个充分条件；C .存在两条平行直线,,//,//,a b a a b αββ⊂，有可能a 平行于两平面的交线，该条件不是平面//α平面β的一个充分条件；D .存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂，据此可得平面//α平面β，该条件是平面//α平面β的一个充分条件；本题选择D 选项.4．B【解析】当0x =时， 20x x -=，命题p 是假命题；当2x =-时， 11242x =<，命题q 为真命题， 考查所给的命题：A . p q ∧是假命题；B . p q ⌝∧是真命题；C . p q ∨⌝是假命题；D . p q ⌝∧⌝是假命题；本题选择B 选项.5．B【解析】由BC EF ∥可知BC ∥平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离即点B 到平面AEF 的距离，直线EF ⊥平面11ABB A ，则平面AEF ⊥平面11ABB A ，结合平面AEF 平面11ABB A AE =可知原问题可转换为点B 到直线AE 的距离，利用面积相等可得点P 到平面AEF111⨯⨯=. 本题选择B 选项.6．B【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．7．D【解析】由题意可知，直角三角形的斜边为直角三角形所在小圆的直径，其直径为：10=，12=.本题选择D 选项.8．D【解析】利用排除法：如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，取棱的中点,,,E F G H ，将平面EFGH 看作平面α，1,,A D A 三点到平面的距离相等，该平面与α垂直相交，选项A ，C 错误；,,A B C 三点到平面的距离相等，该平面与α平行，选项B 错误；本题选择D 选项.点睛：平面几何的基本公理是平面几何的基础，公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．9．A【解析】如图所示，三棱锥A BCD -中，,1AD a BC AB AC BD CD ======，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD 看作底面，则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高2h =， △BCD 是等腰直角三角形，则12BCD S =，综上可得，三棱锥的体积的最大值为1132⨯=本题选择A 选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10．A【解析】如图所示，连接'BA ，则'Rt ABA 中，'45ABA ∠=，'A B AB =； 'Rt ABB 中，'30BAB ∠=，1'2A B AB =；''Rt BA B 中，由勾股定理可得：1''2A B AB ==， 据此有：''12A B AB =. 本题选择A 选项.11．B【解析】如图所示，考查半平面外一点A ，过点A 作直线，作,AB B AC C αβ⊥=⊥=平面ABC 交直线l 于点D ， 寻找使得直线与直线AB ,AC 的夹角为60°的直线， 很明显直线AD 满足条件，且在点D 上方，下方均可找到唯一的点E ,F ， 使得60BAF CAF BEF CEF ∠=∠=∠=∠=， 则使得直线与直线AB ,AC 的夹角为60°的直线存在3条，过点P 分布作上述三条直线的平行线，则作出的直线满足题中的条件. 综上可得：过直线l 上一点P ，与直线a 和直线b 都成60的直线有三条. 本题选择B 选项.12．C 【详解】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故其外接球与棱长为2的正方体的外接球一直，又正方体外接球半径为R ==故外接球的体积为343π= 故选C ． 13．7【解析】将一个直三棱柱三个侧面无限延伸，即可得到题中所给的三个平面，从上向下看，原问题等价于平面内三条直线彼此相交与不同的3个点，考查直线将平面分成几个部分，如图所示，观察可得，直线将平面分成7个部分，则这三个平面把空间分成7个部分.14．π【解析】由三视图可知，题中所给的几何体是由两个全等的三棱锥组成的组合体，且三棱锥的底面相交，三棱锥的底面直径为1，母线长度为1， 组合体的表面积为两个三棱锥的侧面积之和，即：12212S Rl πππ⎛⎫=⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.15．60 【解析】由三角形中位线的性质可知：,EF BC GF AD ，则∠EFG 或其补角即为所求，由几何关系有：111,122EF BC GF AD ====，由余弦定理可得：222111cos 2112EFG +-∠==-⨯⨯，则120EFG ∠=，据此有：异面直线AD 与BC 所成的角的大小为18012060-=.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 16．⑴⑵⑶【解析】由AH ⊥平面ADA 1可得AH ⊥BA 1，由AD ⊥平面ABB 1A 1可得AD ⊥BA 1， 且AH ∩AD =A ，则BA 1⊥平面ADH,∴BA 1⊥DH ，同理可知BD ⊥A 1H,A 1D ⊥BH ，则点H 是ΔA 1BD 的垂心，说法(1)正确；很明显BD ∥B 1D 1,B 1C ∥A 1D ，结合面面平行的判断定理可知：平面B 1CD 1∥平面BDA 1， 结合AH ⊥平面BDA 1可知AH ⊥平面CB 1D 1，说法(2)正确；如图所示，连结A 1C 1，交B 1D 1于点M ，连结CM ，由正方形的性质和等边三角形的性质可知A 1C 1⊥B 1D 1,CM ⊥B 1D 1，则∠CMC 1为二面角C −B 1D 1−C 1的平面角，直角三角形MC 1C 中，tan∠CMC 1=CC 1MC 1=√22=√2，说法(3)正确，由射影定理可知AC 1⊥平面BDA 1，AC 1⊥平面CB 1D 1， 结合对称性可知点H 为靠近点A 的线段AC 1的一个三等分点，由相似性可知：点H 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为23AA 1=23，说法(4)错误. 综上可得：正确的命题有⑴⑵⑶.17． (1) 证明见解析(2) 证明见解析【分析】（1）连接CE，OF，易知四边形ABCE是菱形，可得O是AC的中点，利用中位线的概念，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（2）通过证明AP⊥BE、BE⊥AC，可证明BE⊥平面PAC【详解】证明：(1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点.又F为PC的中点，所以在△P AC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面P AC，所以BE⊥平面P AC【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定，考查了线面垂直的性质，在证明线面垂直问题时，注意线线垂直与线面垂直的互化.18．（1）0,243x R x x∃∈-+-≤（2）2a≥【解析】试题分析：(1)全程命题的否定为特称命题，据此可得原命题的否定为0,243x R x x ∃∈-+-≤； (2)由题意设()(){10}A x x x a =++≤,()2,1B =--，满足题意时，B 是A 的真子集，据此可得关于实数a 的不等式，求解不等式有 2.a ≥ 试题解析：（1）0,243x R x x ∃∈-+-≤（2）(){}()()210{10}A x x a x a x x x a =+++≤=++≤令,()2,1B =--因为不等式()210x a x a +++≤成立的一个充分不必要条件是21,x -<<-所以B A ≠⊂，[],1A a =-- 则2 2.a a -≤-⇒≥19．(1)见解析(2)见解析 【解析】 试题分析：(1)由题意结合俯视图的直观图可知底面ABC ∆为边长为4的等边三角形，据此画出该几何体的直观图即可；(2)结合几何体的性质可知该几何体为三棱锥，计算可得其体积13ABC V S PB ∆=⋅=表面积24S =+. 试题解析：(1)经分析底面ABC ∆为边长为4的等边三角形，且侧棱PB 垂直于底面(2)体积2114633ABC V S PB ∆=⋅=⋅=表面积224ABC PAB PAC S S S S ∆∆∆=++=+20．12m <或32m =．【解析】 【分析】先求出p 真时m 的取值范围，再求出q 为真时m 的取值范围，利用,p q 一真一假求出m 的取值范围． 【详解】若p 为真：对[]11x ∀∈-，，224822m m x x -≤--恒成立， 设()222f x x x =--，配方得()()213f x x =--，所以()f x 在[]11-，上的最小值为3-，所以2483m m -≤-，解得1322m ≤≤，所以p 为真时：1322m ≤≤； 若q 为真：34212m m ->⇒<，因为p q ∨”为真，“p q ∧”为假，所以p 与q 一真一假，当p 真q 假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以32m =，当p 假q 真时132232m m m 或⎧⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，所以12m <，综上所述，实数m 的取值范围是12m <或32m =．【点睛】对于“p q ∨为”真，“p q ∧”为假的问题，我们一般先求出p 真时参数的范围，再求出q 为真时参数的范围，通过p 真q 假和p 假q 真得到最终的参数的取值范围． 21．（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）∵DE ∥BC ，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证1DE A DC ⊥平面，得出1DE A F ⊥，∵1A F CD ⊥∴1A F BCDE ⊥底面 ∴1A F BE ⊥(3)Q 为1A B 的中点，由上问1DE A DC ⊥平面，易知1DE A C ⊥,取1A C 中点P ，连接DP和QP ，不难证出1PQ A C ⊥，1PD A C ⊥∴1A C PQD ⊥平面∴1A C PQ ⊥,又∵1DE A C ⊥∴1A C PQE ⊥平面22．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）2． 【详解】（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而222C C O '=OE +E '=+=，亦即C E +OE 的最小值为2．考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．。
四川省乐山市2020-2021学年度高一上学期期末考试试题 数学【含答案】
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13. 的值为______________.
14.已知幂函数 的图象过点 ，则 ______．
15.已知 是函数 的两个零点，若 的最小值为 ，则 的单调递增区间为____________.
16.已知函数 （ 且 ），若 有最小值，则实数 的取值范围为_______________________.
(1)求 (万元)与 (件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
21.已知函数 的图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）求 的对称轴方程和对称中心；
（3）求 在 上的值域.
22.定义在 上的函数 ，如果满足“存在常数 ，对任意 ，都有 成立”，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界.已知
四川省乐山市
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，则 （）
A. B. C. D.
2.函数 的定义域是（）
A. B. C. D. 或
3.下பைடு நூலகம்各角中，与 终边相同的角为（）
A. B. C. D.
4.已知 弧度的圆心角所对的弦长为 ，则这个圆心角所对的弧长为（）
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
7.函数 的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
8.在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象交点坐标可能是（）
A. B. C. D.
四川省乐山市2020-2021学年上学期高二期末考试语文试题及答案
乐山市高中2022届教学质量检测语文参考答案及评分意见2021.11.B(A.“其中要数裴高才成就最高”说法错误，原文为“但像高才兄如此多产、且影响远及海内外者，似不多见”。
C.根据原文内容，裴高才的研究成果可以说“空前”，但不能说“绝后”。
D.原文最后一段提到费孝通先生的思考，是书评作者樊星的联想，而不是《无陂不成镇》一书作者自己的写作目的。
)2.D(张冠李戴，从历史和现实两个维度审视的应是“黄陂”这一地域及其文化影响，并不是《无陂不成镇》一书。
)3.C(“只有……才……”的表述太绝对。
)4.B(除了国家政策外，还跟张滢自己的吃苦勤学有关。
)5.C（埃及《民生报》是就一个省市的脱贫工作进行报道，不能说“全面”。
）6.①党政层面:党中央高度重视，全面布局；（1分）各级党政领导干部信念坚定，勇于担当，满腔热情地投入脱贫攻坚工作。
（1分）②政策层面：a.实施就业优先政策，保持就业稳定；b.减税降费，优化收入分配格局，让居民更加富裕；c.实施乡村振兴战略和区域协调发展战略，提升居民收入；d.完善社会保障网，促进居民持续增收。
（4分）7.B（从文中不能看出祖父“盼着自己死去”）8.①守信，说到做到，不再轻生；②热心肠，街上七个老人去世,他冒着高温酷暑,逐一登门吊唁；③对生死的态度达观，由轻生变成看淡生死；④承受孤独，轻生时感叹“一言难尽”；对晚辈的不放心，暗示晚辈关心不够。
9.①为自己准备遗照的做法表面上看是老人未雨绸缪,实际上反映的是老人对子女的不信任。
小说中祖父说“我这条命，说走就走的，到时都靠他们，怎么也不放心”,由此可见,老人的子女平时对老人的照顾不够尽心；而码头工人乔师傅留下的遗憾也让祖父感到心寒,所以祖父才打定主意“趁着身体还硬朗，就为自己准备一张新鲜的遗照”。
②这一做法，值得小说中老人的子女反省，也值得我们读者深思。
现实生活中，有些子女对家中老人的晚年生活关注不够。
(结合小说中的现象言之成理即可)10.A(“初”为时间副词，其后应断，排除C项；“高邮”“六合”为并列的地名，其间应断，排除B、D两项。
2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．过点()2,1A 且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．20x y -=【答案】B【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=. 故选：B.2．已知直线,,a b c ，若,a b 异面，b ∥c ，则,a c 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．相交 C ．平行或异面 D ．相交或异面【答案】D【分析】以正方体为载体说明即可. 【详解】如下图所示的正方体： AB 和1DD 是异面直线，11//DD BB ，1ABBB B ；AB 和1DD 是异面直线，11//DD CC ，AB 与1CC 是异面直线.所以两直线a 与b 是异面直线，b ∥c ，则,a c 的位置关系是相交或异面. 故选：D3．圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标与半径分别是（ ） A ．()1,2,2- B ．()1,2,2- C ．()1,2,3- D ．()1,2,3-【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案. 【详解】由题可知，圆的标准方程为22(1)(2)9x y -++=，所以圆心为()1,2-，半径为3， 故选C .4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1D C 与BD 所成的角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【详解】连接11B D 与1B C ，因为11//BD B D ，则11CD B ∠为所求，又11CD B △是正三角形，1160CD B ∠=.故选：C.5．曲线221259x y -=与曲线22(1)259x y k k -=>的（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．渐进线相同【答案】D【分析】将曲线22(1)259x y k k -=>化为标准方程后即可求解. 【详解】22259x y k -=化为标准方程为221259x y k k-=，由于1k >，则两曲线实轴长､虚轴长､焦距均不相等，而渐近线方程同为35y x =±.故选：D6．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．42【答案】A【分析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，2OA =，1OC =，45COA ∠=︒，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则22CD =,所以直观图是底为2､高为22的平行四边形OABC ，所以面积为2.故选：A.7．已知点P 是椭圆22195x y +=上的任意点，F 是椭圆的左焦点，Q 是PF 的中点，则OFQ 的周长为（ ）A ．5B ．6C ．10D ．12【答案】A【分析】设椭圆的另一个焦点为F '，连接PF '，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆22195x y +=中，3a =，5b =，222c a b =-=， 如图，设椭圆的另一个焦点为F '，连接PF '， 因为O 、Q 分别为FF '、PF 的中点，则12OQ PF '=， 则OFQ 的周长为()152OF OQ QF OF PF PF c a '++=++=+=， 故选：A.8．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一动点，过P 点作y 轴垂线并延长交双曲线左支于点Q ，当P 点向上移动时，PF QF -的值（ ）A ．增大B ．减小C ．不变D ．无法确定【答案】C【分析】令双曲线右焦点为F '，由对称性可知，QF PF '=，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为F '，由对称性可知，QF PF '=， 则||||||2PF QF PF PF a '-=-=∣，为常数， 故选：C.9．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，132,6BA BC BB ===，则1AB 与平面11AAC C 所成角的正弦值为（ ）A 21B 21C 6D 6【答案】C【分析】取11A C 的中点M ，连接,AM BM ，易证1B M ⊥平面11AAC C ，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取11A C 的中点M ，连接AM ，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，则1AA ⊥平面111A B C ，又1B M ⊂平面111A B C ， 所以11B M AA ⊥，又由题意可知111A B C △为等腰直角三角形，且M 为斜边的中点，从而1B M MA ⊥， 而AM ⊂平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AACC ，且1AM AA A =，所以1B M ⊥平面11AAC C ，则1B AM ∠为1AB 与平面11AAC C 所成的角.在直角1AB M 中，1116sin 26B M B AM AB ∠==故选：C10．已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A ．4π B 43C ．8πD 83【答案】D【分析】设圆锥的半径为r ，母线长l ，根据已知条件求出r 、l 的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长l ，因为侧面展开图是一个半圆，则2l r ππ=，即2l r =，又圆锥的表面积为12π，则212r rl πππ+=，解得2r =，4l，则圆锥的高2223h l r -21833V r h π==，故选：D.11．如图，在三棱锥S ABC -中，22,2SA SC AC AB BC SB ======，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．12πB ．4πC ．43πD ．433π 【答案】A【分析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥S ABC -中，22,2SA SC AC AB BC SB ======， 所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2， 则体对角线长为23，外接球的半径为3R =， 所以外接球的表面积为2412R ππ=， 故选：A .12．过抛物线26y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（ ）A ．62B ．3C ．32D ．33【答案】B【分析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF ，BK ，然后求解三角形的面积即可．【详解】如图，设拋物线的准线为l ，过A 作AM l ⊥于M ，过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，则根据抛物线的定义可得,3,4BN m AF AM m AB m ====，2AK m =，13cos 60,3,2,234322AK BAM BAM CF p m m BK m AB ∴∠==⇒∠=∴===∴=∴==，ABC ∴的面积为1632ACFBCFS SSCF BK =+=⋅⋅=， 故选：B .二、填空题13．抛物线214y x =-的准线方程是________【答案】1y =【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y = 故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为43，则该正方体的边长为___________.【答案】2【分析】根据体积公式直接计算即可.【详解】设正方体边长为a ，则2114323a a ⨯⨯=，解得2a =.故答案为：215．过椭圆2212y x +=上一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为___________. 【答案】2221x y +=【分析】相关点法求解轨迹方程.【详解】设()()00,,,P x y M x y ，则()0,0Q x ，则0012x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩，因为220012y x +=， 代入可得2221x y +=，即M 的轨迹方程为2221x y +=. 故答案为：2221x y += 16．已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】51,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得2OM ，由已知可得22OM a ≤，可得出关于a 、c 的齐次不等式，结合1e >可求得e 的取值范围.【详解】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，因为212PF F F =，所以1PN F N =，又因为21OF OF =，所以1MN FM =，故1114F M F P =， 又因为122PF PF a -=，且2122PF F F c ==，所以122PF a c =+，因此12a c F M +=，所以2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，所以22OM a ≤，故2222a c c a +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即223250c ac a --≤，则23250e e --≤，所以513e -≤≤， 又因为双曲线的离心率1e >，所以513e <≤. 故答案为：51,3⎛⎤⎥⎝⎦.三、解答题17．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，,H G 分别是AD CD ､上的点，满足CG AHGD HD=.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)设EH 与FG 交于点P ，求证：,,B D P 三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】(1) 连接AC ，,E F 分别是,AB BC 的中点，//EF AC ∴.在ADC 中，,//,//CG AHGH AC EF GH GD HD=∴∴， 所以,,,E F G H 四点共面.(2)EH FG P ⋂=，所以P EH ∈， 又EH ⊂平面,ABD P ∴∈平面ABD ， 同理P ∈平面BCD ，P ∴为平面ABD 与平面BCD 的一个公共点.又平面ABD ⋂平面.BCD BD P BD =∴∈，即,,P B D 三点共线.18．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 交拋物线于M 、N 两点.(1)若直线l 过点F 且60xFM ∠=，求FM ； (2)若()2,1P 平分线段MN ，求直线l 的方程. 【答案】(1)4； (2)230x y --=.【分析】（1）分析可知直线l 的方程为31x y =+，将直线l 的方程与抛物线方程联立，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义可求得FM ；（2）利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程. (1)解：设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线l 的倾斜角为60，易知点()1,0F ，直线l 的方程为31x y =+，联立2314x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩234430y y --=， 由题意可知10y >，则123y =11313x y ∴=+=，因此，314FM =+=. (2)解：设()11,M x y 、()22,N x y ，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在，因为M 、N 在抛物线上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得1212124y y x x y y -=-+， 又因为()2,1P 为MN 的中点，则122y y +=， 所以，直线l 的斜率为1212422y y k x x -===-， 此时，直线l 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，2,,PA AC E F ==分别为,PD BC 的中点.(1)证明：EF ∥平面PAB ； (2)求三棱锥A CDE -的体积. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）取PA 的中点G ，利用三角形中位线定理可证明BG //EF ，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得12A CDE E ACD P ACD V V V ---==，以ACD △为底面，证明PA 为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案; (1)取PA 的中点G ，因为E 为PD 的中点， 所以//GE AD 且12GE AD =， 又因为F 为BC 的中点，四边形ABCD 为菱形， 所以//BF AD 且12BF AD =， 所以//BF GE 且BF GE =，故四边形BFEG 为平行四边形，所以BG //EF ， 因为BG ⊂面,PAB EF ⊄面PAB ，所以//EF 面PAB .(2)因为底面ABCD 是边长为2的菱形，2AC =，则ACD △为正三角形， 所以2323ACD S ==△因为PA ⊥面ABC ，所以PA 为三棱锥P ACD -的高所以三棱锥的体积111332223A CDE E ACD P ACD V V V ---===⨯=20．已知直线:10l ax y --=与双曲线22:21C x y -=相交于P 、Q 两点. (1)当1a =时，求PQ ；(2)是否存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)22 (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）当1a =时，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得PQ ；（2）假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点，设()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线l 与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出220a +=，即可得出结论. (1)解：设点()11,P x y 、()22,Q x y ，当1a =时，联立221021x y x y --=⎧⎨-=⎩，可得2430x x -+=， 16120∆=->，由韦达定理可得124x x +=，123x x =， 所以，()2212121142PQ x x x x =++-=(2)解：假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点，设()11,P x y 、()22,Q x y ，联立221021ax y x y --=⎧⎨-=⎩得()2221430a x ax --+=， 由题意可得()222210Δ1612210a a a ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得6622a -<<且22a ≠±， 由韦达定理可知122122421321a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP OQ ⊥，所以，()()()()11222122111221111O x x ax ax a x P x x a x x OQ x y y =+--⋅=+=+-++()2223141021a a a +-=+=-，整理可得220a +=，该方程无实解，故不存在.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AA M ==是1CC 上的点，满足BDM 为等边三角形.(1)求证：1A M ⊥平面BDM ； (2)求点M 到平面1A BD 的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)1.【分析】（1）根据题意证明1A M BM ⊥，1A M DM ⊥，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；（2）结合（1），进而利用等体积法求得答案. (1)由题意，2BD =，BDM 为等边三角形，2BM DM BD ∴==∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CC BC ⊥，则221CM BM BC =-=，即M 为1CC 中点.连接11A C ，∵1CC ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，∴111CC AC ⊥，易得1112,1AC MC ==，则()221123A M =+=，又2211115A B A B BB =+=，于是22211A M BM A B +=，即1A M BM ⊥，同理22211A M DM A D +=，即1A M DM ⊥，又1,BM DM M A M ⋂=∴⊥平面BDM .(2)设M 到平面1A BD 的距离为d ，11111313M A BD A BDM A BD BDMSS V V d A M --=⨯=⨯⇒⨯⨯，∴11BDMA BDA M S d S ⋅=.易得115,2A B A D BD ==取BD 的中点N ，连接1,A N MN ，则1,A N BD MN BD ⊥⊥，所以2211322A N A B BN =-，226MN MB BN =-=11323222A BDS==，16322BDMS ==11332132BDM A BD A M S d S ⋅∴===.即M 到平面1A BD 的距离为1.22．已知椭圆22:163x y C +=，点,M N 在C 上，()2,1A ，且90MAN ∠=(1)求出直线MN 所过定点R 的坐标；（不需要证明）(2)过A 点作MN 的垂线，垂足为D ，是否存在点Q ，使得DQ 为定值？若存在，求出DQ 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)存在，DQ =【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点Q ，使得DQ 为定值，求出结果. (1)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++， 因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅=，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理可得：()()()22121212(1)40kx x km k x x m ++--++-+=，所以()()2222226412(1)401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得:()()231210k m k m +++-=， 因为()2,1A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠， 故()23101k m k ++=≠，于是MN 的方程为()21133y k x k ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由0AM AN ⋅=得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33R ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)由（1）可知22214221333AR⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣ 因为AD MN ⊥，取AR 中点Q ，则12223DQ AR ==此时，41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直线为y kx b =+，联立后用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合题干条件得到等量关系，求出,k b 的关系，进而得到定点坐标.。
2020-2021学年四川省乐山市沐川中学高二数学文上学期期末试题含解析
2020-2021学年四川省乐山市沐川中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】两向量的和或差的模的最值．【分析】求出的坐标，根据向量的模的定义求出的值．【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），∴==．故当t=0时，有最小值等于，故选C．2. 中，、，则 AB边的中线对应方程为 ( ) A．B． C．D．参考答案：D3. 设是平面直角坐标系中任意一点，定义（其中为坐标原点）.若点是直线上任意一点，则使得取最小值的点有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个参考答案：D4. .求数列的前项和为（）A． B． C． D．参考答案：B5. 下列说法错误的是（）A．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题B．“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题C．如果命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系．【分析】x，y互为相反数?x+y=0；“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题；命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题；“”不能推出“θ=30°”．【解答】解：x，y互为相反数?x+y=0，故A成立；∵“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题，故B成立；命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故C成立；“”不能推出“θ=30°”，故D不成立．故选D．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意四种命题的真假关系的应用．6. “m∈（2，6）”是“方程+=1为椭圆方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】原方程要表示椭圆方程，需满足，即2＜m＜6，且m≠4，所以看m∈（2，6）能否让方程满足这个条件，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的充分条件；然后看若方程表示椭圆方程，则它要满足条件：2＜m＜6，且m≠4，这时候看能否得到2＜m＜6，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的必要条件；这样即可找到正确选项．【解答】解：（1）若m∈（2，6），则：0＜m﹣2＜4，0＜6﹣m＜4，m﹣2=6﹣m时，m=4；∴方程不一定为椭圆方程；∴m∈（2，6）不是方程为椭圆方程的充分条件；（2）若方程为椭圆方程，则：，解得2＜m＜6，且m≠4，所以能得到m∈（2，6）；∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要条件；∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要不充分条件．故选：B．7. 已知都是正数，，则有（）A. B. C. D.参考答案：C略8. 与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0) B．(，0) C．(－1,0) D．(0，－)参考答案：C略9. 某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，则此校数学成绩在分的考生占总人数的百分比为（）A．31.74﹪B．68.26﹪ C．95.44﹪ D．99.74﹪参考答案：C10. 锐角三角形的三边构成等比数列，其中一边的长为1，它们的公比为，则的取值范围是（）A．B．C． D．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则参考答案：-112. 是方程的两实数根；,则是的条件。
2020-2021学年四川省乐山市高二上学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱3．圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的圆心坐标和半径分别是（）A．（﹣1，2），3B．（﹣1，2），9C．（1，﹣2），3D．（1，﹣2），9 4．若直线l与平面α有两个公共点，则l与α的位置关系是（）A．l⊂αB．l∥αC．l与α相交D．l∈α5．抛物线y＝4x2的准线方程是（）A．y+1＝0B．x+1＝0C．16y+1＝0D．16x+1＝06．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，AB的中点为M．若|AB|＝8，则点M的横坐标为（）A．2B．3C．4D．58．如图，若PC⊥菱形ABCD所在的平面，那么PA与BD的位置关系是（）A．平行B．垂直且相交C．相交但不垂直D．垂直但不相交9．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+411．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．12．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝4，AB＝2，，E为BC中点，平面α过点E且与平面BDD1垂直，CC1∥α，则α被此直四棱柱截得的截面面积为（）A．1B．2C．4D．6二、填空题（共4小题）.13．全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是．14．方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．16．双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|＝|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2＝a2相切，则E的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．E、F分别是B1C1、CC1的中点．求证：A1E、D1C1、DF三线共点．18．经过点M（2，1）作直线l交双曲线于A、B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．19．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若MN＝，PA＝BC＝2，求异面直线PA与MN所成的角．20．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过点E（2，0）且与抛物线C相交于A、B两点，O是坐标原点．（1）求证：点O在以AB为直径的圆上；（2）若△OAB的面积为8，求直线l的斜率．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，且椭圆经过点（0，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l1：x+2y﹣2＝0与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m＝0相切：（ⅰ）求圆D的标准方程；（ⅱ）若直线l2过定点（3，0），与椭圆C交于不同的两点E，F，与圆D交于不同的两点M，N，求|EF|•|MN|的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，故选：C．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱解：由于棱柱的侧面与底面都是平行四边形，所以用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是棱柱．故选：D．3．圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的圆心坐标和半径分别是（）A．（﹣1，2），3B．（﹣1，2），9C．（1，﹣2），3D．（1，﹣2），9解：由方程x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0可得（x+1）2+（y﹣2）2＝9，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径为3．故选：A．4．若直线l与平面α有两个公共点，则l与α的位置关系是（）A．l⊂αB．l∥αC．l与α相交D．l∈α解：根据平面的公理1可知，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，故若直线l与平面α有两个公共点，则l与α的位置关系是l⊂α．故选：A．5．抛物线y＝4x2的准线方程是（）A．y+1＝0B．x+1＝0C．16y+1＝0D．16x+1＝0解：整理抛物线方程得x2＝，∴p＝，∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y＝﹣，故选：C．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：连接BD，DC1，∴B1D1∥BD，∴BD与BC1所成角即为B1D1与BC1所成角，则在正方体中，BD＝BC1＝C1D，则三角形BDC1为正三角形，则∠DBC1＝60°，即cos∠DBC1＝，故选：B．7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，AB的中点为M．若|AB|＝8，则点M的横坐标为（）A．2B．3C．4D．5解：由抛物线的方程可得焦点坐标为F（1，0），设点M的坐标为（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意，可得|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+2＝8，所以x1+x2＝6，则m＝，所以点M的横坐标为3．故选：B．8．如图，若PC⊥菱形ABCD所在的平面，那么PA与BD的位置关系是（）A．平行B．垂直且相交C．相交但不垂直D．垂直但不相交解：∵PC⊥菱形ABCD所在的平面，∴PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BD，故选：D．9．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|＝2+r，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，所以点P 的轨迹是双曲线的一支．故选：B．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，故选：D．11．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．联立，解得P（，）．∴．故选：B．12．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝4，AB＝2，，E为BC中点，平面α过点E且与平面BDD1垂直，CC1∥α，则α被此直四棱柱截得的截面面积为（）A．1B．2C．4D．6解：分别取AB，A1B1，B1C1的中点F，M，N，连接MF，MN，NE，FE，AC．由四边形ABCD为菱形，知BD⊥AC，再根据三角形的中位线定理，知EF∥AC，所以BD⊥EF，又因为EN∥CC1，因此BD⊥EN．又EF∩EN＝E，EF⊂平面EFMN，EN⊂平面EFMN，故BD⊥平面EFMN，又BD⊂平面BDD1，则平面EFMN⊥平面BDD1．则EFMN为矩形．由EF＝1，MF＝4，故截面面积为4．故选：C．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是∃a0∈Z，a0没有正因数．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是：∃a0∈z，a0没有正因数．故答案为：∃a0∈Z，a0没有正因数．14．方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为{k|1＜k＜2且}．解：由椭圆的性质，可得，解得1＜k＜2且k，故答案为：{k|1＜k＜2且k}．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1＝．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：＝．故答案为：．16．双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|＝|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2＝a2相切，则E的离心率为．解：设直线PF2与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF1，由于|PF1|＝|F1F2|＝2c，则NF1⊥PF2，|NP|＝|NF2|，由|NF1|＝2|OM|＝2a，则|NP|＝2b，即有|PF2|＝4b，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝c+a，4b2＝（c+a）2，即4（c2﹣a2）＝（c+a）2，4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，则e＝＝．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．E、F分别是B1C1、CC1的中点．求证：A1E、D1C1、DF三线共点．【解答】证明：连结EF、B1C、A1D，由题可知A1D∥B1C，∵E、F分别是B1C1、C1C的中点，∴EF∥B1C，且，∴EF∥A1D，且，∴A1DFE为梯形．则可令A1E∩DF＝P．由P∈A1E⊂面A1B1C1D1，P∈DF⊂面D1DCC1，∴P∈D1C1＝面A1B1C1D1∩面D1DCC1，∴A1E、D1C1、DF共点于P．得证．18．经过点M（2，1）作直线l交双曲线于A、B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．解：令A（x1，y1），B（x2，y2），由，知M为AB的中点．令l：y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx+1﹣2k．将y＝kx+1﹣2k代入双曲线方程中，得（2﹣k2）x2﹣2k（1﹣2k）x﹣（1﹣2k）2﹣2＝0．（2﹣k2≠0）①∴，解得k＝4．当k＝4时，方程①为14x2﹣56x+51＝0．∵该方程根的判别式△＝562﹣56×51＞0，∴方程①有实数解．∴直线l的方程为y＝4x﹣7．19．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若MN＝，PA＝BC＝2，求异面直线PA与MN所成的角．解：（1）证明：取PD的中点为Q，连结QN、QA，∵N是PC的中点，∴QN∥DC且．又∵ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．又∵M是AB的中点，∴QN∥AM且QN＝AM．∴QAMN为平行四边形．∴MN∥QA．∵QA⊂面PAD，且MN⊄面PAD，∴MN∥面PAD．（2）由（1）可知∠PAQ即为MN与PA所成的角．∵PA＝BC＝2＝AD．Q为PD的中点．∴AQ⊥PD．∴，∴．即异面直线PA与MN所成的角为．20．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过点E（2，0）且与抛物线C相交于A、B两点，O是坐标原点．（1）求证：点O在以AB为直径的圆上；（2）若△OAB的面积为8，求直线l的斜率．【解答】（1）证明：令l的方程为x＝ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），（1分）由消去x得y2﹣2ty﹣4＝0，则y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4．∵＝．∴．即点O在以AB为直径的圆上．（2）解：由题知，|OE|＝2，∴S△OAB＝S△AOE+S△BOE＝．＝＝∴．∴直线l的斜率为．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE，∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，且椭圆经过点（0，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l1：x+2y﹣2＝0与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m＝0相切：（ⅰ）求圆D的标准方程；（ⅱ）若直线l2过定点（3，0），与椭圆C交于不同的两点E，F，与圆D交于不同的两点M，N，求|EF|•|MN|的取值范围．解：（1）Q椭圆经过点（0，1），∴＝1，b2＝1，∵e＝，∴e2＝1﹣＝，解得a2＝4椭圆C的标准方程为+y2＝1，（2）（i）由（1）得直线l1的方程为+y＝1，即x+2y﹣2＝0，又圆D的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13﹣m，∴圆心为（3，2），圆的半径r＝＝，∴圆D的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5．（ii）由题可得直线l2的斜率存在，设l2：y＝k（x﹣3），与椭圆C的两个交点为E（x1，y1）、F（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0，由△＞0，得0≤k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴|EF|＝•＝•＝．又圆D的圆心（3，2）到直线l2：kx﹣y﹣3k＝0的距离d＝＝，∴圆D截直线l2所得弦长|MN|＝2＝2，∴|EF|•|MN|＝4××2＝8×，设t＝1+4k2∈[1，），k2＝，∴|EF|•|MN|＝8＝2，∵t∈[1，），∴﹣9（）2+﹣25∈（0，16]，∴|EF|•|MN|的取值范围（0，8]。
2020-2021学年四川省乐山市十校高二上学期期中联考数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年四川省乐山市十校高二上学期期中联考数学（文）试题一、单选题1．双曲线2214x y -=的虚轴长为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【分析】根据虚轴长的定义进行求解即可.【详解】由双曲线2214x y -=的标准方程可知：1b =，因此双曲线2214x y -=的虚轴长为22b =.故选：C2．椭圆2218x y +=上的点P 到一个焦点的距离为P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．4B ．CD ．2【答案】C【分析】利用椭圆的定义可得出结果.【详解】由题意可知，a =P 到另一个焦点的距离为2a -=故选：C.【点睛】本题考查利用椭圆的定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题. 3．圆224690x y x y +-++=的圆心坐标和半径长分别是（ ） A ．(2,3),2- B ．(2,3),2-C ．(2,3),4-D ．(2,3),4-【答案】B【分析】将圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标和半径长．【详解】圆224690x y x y +-++=的标准方程为()()22234x y -++=则圆心坐标为(2,3)-，半径长2 故选：B4．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y m=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49m =. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5．已知圆221:1C x y +=与圆222:(2)1C x y ++=，则两圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内含【答案】B【分析】利用两圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系【详解】因为圆221:1C x y +=与圆222:(2)1C x y ++=，所以()()12120,0,0,2,1,1C C r r -==,所以12211C C ===+， 故两圆外切， 选：B6．已知点F 是抛物线22(0)x py p =>的焦点，点0(,1)M x 在抛物线上，若32FM =，则该抛物线的方程为（ ）A ．22x y =B ．232x y =C ．2x y =D ．212x y =【答案】A【分析】根据抛物线的定义直接求出p 即可. 【详解】由抛物线的定义知，31()22p FM =--=，解得1p =，所以抛物线方程为22x y =， 故选：A7．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,1)-∞C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】直接根据椭圆的几何性质列不等式求解即可.【详解】因为方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆 210m m ∴->->，312m ∴<<故选：C.8．三个几何体组合的正视图和侧视图均为如下图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】正视图和侧视图一样，由正视图和侧视图知三个几何体可以是圆柱或底面为正方形的直棱柱，依次验证即可.【详解】解：对于①，由三个圆柱组合而成，其正视图和侧视图相同，符合要求；对于②，最底层是圆柱，中间是底面为正方形的直棱柱，最上面是小的圆柱，其正视图和侧视图相同，符合要求；对于③，最底层是圆柱，中间是底面为正方形的直棱柱，最上面是底面为正方形的小的直棱柱，其正视图和侧视图相同，符合要求；对于④，最底层是圆柱，中间是圆柱，最上面是底面为正方形的直棱柱，其正视图和侧视图相同，符合要求；所以四个图都可能作为俯视图. 故选：D.【点睛】考查由正视图和侧视图判断几何体的俯视图；基础题. 9．已知实数,x y 满足22430x y x +-+= ，则22x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】D【分析】根据题意，22x y +的几何意义圆上的一点与原点距离的平方，结合点与圆的位置关系分析圆22430x y x +-+=上的点到原点距离最大值，计算可得答案． 【详解】根据题意，实数x ，y 满足方程22430x y x +-+=，则点(,)x y 是圆22430x y x +-+=上的点，设22t x y =+，其几何意义为圆上的一点与原点距离的平方，而圆22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =，2=，则圆22430x y x +-+=上的点到原点距离最大值为21=3+， 所以22xy +的最大值是239=.故选：D10．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===．若将直角梯形绕BC 边旋转一周，所得几何体的体积为（ ）A ．πB ．43π C ．53π D ．2π【答案】B【分析】将该直角梯形绕BC 边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱加上底面半径为1高为1的圆锥，由此能求出所得的几何体的体积．【详解】∵在直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===， ∴将该直角梯形绕BC 边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱加上一个底面半径为1高为1的圆锥， 则所得的几何体的体积为：2214+11+133V V V πππ==⨯⨯⨯=圆柱圆锥． 故选：B【点睛】方法点睛：本题主要考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．求几何体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体11．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．13D 23【答案】B【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作斜率小于0的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且l 与准线交于点C ，若3CA AF =，则||||AF BF =（ ） A ．25B ．49 C ．13D ．12【答案】D【分析】依题意可得焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线2p x =-，设直线l 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元，得2124p x x =，再根据3CA AF=求出1x ，从而得到2x ，从而得到||||AF BF . 【详解】解：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线2p x =-，设直线l 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()11,A x y ，()22,B x y联立直线方程得222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去y 得()22222204k p k x k p p x -++= 2124p x x ∴= 过A 作2AA ⊥x 轴，过B 作2BB ⊥x 轴，3CA AF =2114FA FF ∴=，14p x ∴= 2x p ∴=2212422p pFA AF p BF FB p -∴===- 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.二、填空题13．抛物线x 2=﹣8y 的准线方程为 ． 【答案】y=2【解析】试题分析：由于抛物线x 2=﹣2py 的准线方程为y=，则抛物线x 2=﹣8y 的准线方程即可得到．解：由于抛物线x 2=﹣2py 的准线方程为y=， 则有抛物线x 2=﹣8y 的准线方程为y=2． 故答案为y=2．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为________．【答案】22145x y -=【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出c 的值，再由双曲线的离心率得出a ，进而可得双曲线的标准方程．【详解】由椭圆方程221123x y +=，可得焦点为()()3,0,3,0-设双曲线的半焦距为c ，则3c =，因双曲线的离心率为32，则332c e a a ===故2a =，所以b ==，所以双曲线的标准方程为：22145x y -=故答案为：22145x y -=15．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k =________． 【答案】7【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-，圆的半径为r =设圆心()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，d == 当dr 时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，3=，解得7k =.此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，符合题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-< 综上，7k = 故答案为：7【点睛】关键点点睛：解此题的关键在于分类讨论的思想，根据直线与圆的位置关系不同，分别求解，综合即可求解.16．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的内切圆半径为________．【分析】求出△ABF 1的周长和面积，可得内切圆半径．【详解】因为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12(1,0)F F (-1,0)、，所以直线l 为：tan(1)14y x x π=-=-，代入椭圆方程可得：27690y y +-=，设A B 、两点坐标为11(,)x y ， 22(,)x y ，则1277y y -==，故1F AB 的面积()12122S c y y =⋅⋅-=， 1F AB 的周长C =4a =8，所以1F AB 的内切圆半径为2S r C ==，【点睛】关键点点睛：考查三角形内切圆半径．椭圆中过一个焦点的弦与另一焦点构成的三角形的周长为长轴长的2倍，即4a ．利用三角形面积12S C r =⋅可求解.三、解答题17．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点()30A -,,()0,2B -； （2）长轴长等于20,焦距等于12.【答案】（1）22194x y +=；（2）22110064x y +=或22110064y x +=【分析】（1）设椭圆方程,根据椭圆经过点()30A -,,()0,2B -,得出32a b =⎧⎨=⎩,代入方程即可. （2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12,得220212a c =⎧⎨=⎩,则可得1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.【详解】解:（1）设椭圆方程为:22221x y a b+=,因为椭圆经过点()30A -,,()0,2B -, ()30A -,,()0,2B -分别为左顶点和下顶点,所以得32a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆标准方程为22194x y +=.（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12依题意:220212a c =⎧⎨=⎩,所以1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆标准方程为:22110064x y +=或22110064y x +=. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,需要注意焦点所在的轴的情况,是基础题. 18．求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）实轴在x 轴上，实轴长为4，离心率为2； （2）焦点为(0,6)，且与双曲线2212x y -=有相同渐近线．【答案】（1）22143x y -=；（2）2211224y x -=．【分析】（1）根据实轴长可得出2ac ，从而得出b ，得出双曲线的标准方程；（2）由题意可知6c =，根据双曲线2212x y -=可解出渐近线方程，再根据222c a b =+解出,a b ，得出双曲线的标准方程.【详解】解：（1）由题可设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦距为2c ，由题意可知24a =，242a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩∴2a =，c =∴222743b c a =-=-= ∴双曲线的标准方程为22143x y -=（2）由题可设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦距为2c ，则6c =，渐近线方程为a y x b=±2212x y -=的渐近线方程为2y x =±∴2a b =，即222b a =又222c a b =+，则22236a a +=，解得：212a =，224b =∴双曲线的标准方程为2211224y x -=.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，属于基础题，解答时易错点如下： （1）双曲线中，222c a b =+，而不是222a b c =+； （2）焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为by x a=±，而焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为：a y x b=±. 19．已知点(3,3),A -点()1,3B 两点. （1）求以AB 为直径的圆C 的方程；（2）若直线230x y ++=与圆C 交于,M N 两不同点，求线段MN 的长度.【答案】（1）22(2)10x y -+=（2）【解析】试题分析：（1）根据题意可得圆心C 的坐标，再求出圆C 的半径即可；（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线MN 的距离，利用弦心距、弦长与圆的半径的关系列式求得MN 的长度.试题解析：（1）由题意圆心C 为AB 中点，所以0(2)C ，半径r AC ===所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=；（2）圆心到直线MN 的距离d ==所以2MN ==MN =20．已知抛物线C 的顶点在原点，准线为1y =-，过焦点F 作斜率为k 的直线l 与C 交于,A B 两点，若3BF FA =，求直线l 的方程．【答案】1y x =+或1y x =+ 【分析】求出抛物线C 的方程和直线l ，联立方程写出韦达定理，由3BF FA =得出交点,A B 的坐标间的关系，列方程得出斜率的值，进而得出直线方程．【详解】由题可得抛物线C 的方程为24x y =，∴点(0,1)F ． 设直线l 的方程为1y kx =+由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=， 令11(,)A x y .22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x =-①3BF FA =，∴2211(,1)3(,1)x y x y --=-，∴213x x =-②由①②得：111432x x x k -=-=，()2111334x x x =-=--解得213k =，∴3k =或∴直线l的方程为1y x =+或1y x =+． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1M 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 平行于OM ，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点.若AOB ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取位范围.【答案】（1）22182x y +=；（2）()(⋃. 【解析】试题分析：（1）根据题意得22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解方程即可得椭圆方程； （2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率12OM k k ==，AOB ∠为钝角等价于12120OA OB x x y y ⋅=+<，直线l 与椭圆C 联立，利用韦达定理即可求范围.试题解析：（1）依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩ 解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率12OM k k ==，又l 在y 轴上的截距为m ，所以l 的方程为12y x m =+. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x mx m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，所以()()2224240m m ∆=-->，解得22m -<<. 设()()1122,,,A x y B x y ，又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<且0m ≠，则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212125042mx x x x m =+++<， 将212122,24x x m x x m +=-=-代入上式，化简整理得22m <，即m <<故m的取值范围是()(⋃. 22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线2p y x ⎫=-⎪⎭相交于A ，B 两点，线段AB的长为8．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线l 与抛物线C 交于M ．N 两点，点P 为直线2x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为123,,k k k ，且满足132k k k λ+=，λ能否为定值？若为定值，求出λ的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）26y x =；（2）是，λ为定值2． 【分析】（1）把22y px =代入2p y x ⎫=-⎪⎭中，结合韦达定理和弦长公式可得结果；（2）依题意可设直线l 的方程为2x my =+，m R ∈，(2,)P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线的方程，将韦达定理和两点间斜率计算公式相结合即可得结果. 【详解】（1）把22y px =代入2p y x ⎫=-⎪⎭得21022p y y p --=∴A B y y +=，2A B y y p =-∴8||83pAB ====∴3p =所以抛物线C 的方程为26y x =；（2）设直线l 的方程为2x my =+，m R ∈，(2,)P t -，()11,M x y ，()22,N x y把2x my =+代入26y x =得26120y my --=∴126y y m +=，1212y y =- ∴12121312122244y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221124444y t my y t my my my -++-+=++()()1212212122(4)84162my y tm y y t tm y y m y y +-+-==-+++∴202242t t tk λλλ-=⋅=-=---∴2λ=，所以λ为定值2．【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.。
2020-2021学年四川省乐山市十校高二上学期期中(文科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年四川省乐山市十校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．双曲线﹣y2＝1的虚轴长为（）A．B．1C．2D．42．椭圆上的点P到一个焦点的距离为，则点P到另一个焦点的距离为（）A．B．2C．4D．3．圆x2+y2﹣4x+6y+9＝0的圆心坐标和半径长分别是（）A．（﹣2，3），2B．（2，﹣3），2C．（﹣2，3），4D．（2，﹣3），4 4．若双曲线﹣y2＝1的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则m的值为（）A．B．C．D．5．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+（y+2）2＝1，则两圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内含6．已知点F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点M（x0，1）在抛物线C上，若|FM|＝，则抛物线C的方程为（）A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝y D．x2＝2y7．已知＝1表示焦点在y轴上椭圆，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，+∞）D．（，2）8．三个几何体组合的正视图和侧视图均为如图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+3＝0，则x2+y2的最大值为（）A．2B．3C．4D．910．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2．若将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体的体积为（）A．πB．C．D．2π11．已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆E于A、B两点，且线段AB被点（2，﹣1）平分，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．12．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率小于0的直线l与抛物线交于A，B两点，且l与准线交于点C，若，则＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．抛物线x2＝﹣8y的准线方程为．14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且与椭圆＝1有公共焦点，则C的方程为．15．若圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣k＝0上的点到直线x+y﹣10＝0的最大距离与最小距离的差为6，则实数k＝．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且倾斜角为的直线l 交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的内切圆半径为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（Ⅰ）经过点A（﹣3，0），B（0，2）；（Ⅱ）长轴长等于20，焦距等于12．18．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程．（Ⅰ）实轴在x轴上，实轴长为4，离心率为；（Ⅱ）焦点为（0，6），且与双曲线有相同渐近线．19．（12分）已知点A（3，﹣3），点B（1，3）两点．（1）求以AB为直径的圆C的方程；（2）若直线x+2y+3＝0与圆C交于M，N两不同点，求线段MN的长度．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，准线为y＝﹣1，过焦点F作斜率为k的直线l 与C交于A、B两点，若，求直线l的方程．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线相交于A，B两点，线段AB的长为8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，点P为直线x＝﹣2上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为k1，k2，k3，且满足k1+k3＝λk2，λ能否为定值？若为定值，求出λ的值；若不为定值，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线﹣y2＝1的虚轴长为（）A．B．1C．2D．4解：双曲线﹣y2＝1，可得b＝1，所以，双曲线的虚轴长为2．故选：C．2．椭圆上的点P到一个焦点的距离为，则点P到另一个焦点的距离为（）A．B．2C．4D．解：椭圆的长轴长为4．∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为，∴P到另一个焦点的距离为4﹣3＝．故选：A．3．圆x2+y2﹣4x+6y+9＝0的圆心坐标和半径长分别是（）A．（﹣2，3），2B．（2，﹣3），2C．（﹣2，3），4D．（2，﹣3），4解：根据题意，圆x2+y2﹣4x+6y+9＝0，即（x﹣2）2+（y+3）2＝4，其圆心为（2，﹣3），半径r＝2，故选：B．4．若双曲线﹣y2＝1的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则m的值为（）A．B．C．D．解：双曲线﹣y2＝1的一条渐近线方程为3x+2y＝0，所以m＞0，所以＝，解得m＝．故选：D．5．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+（y+2）2＝1，则两圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内含解：由圆C1：x2+y2＝1，圆心C1（0，0），R＝1；圆C2：x2+（y+2）2＝1，圆心C2（0，﹣2），r＝1，∴两圆心间的距离d＝＝2＝R+r，∴圆C1和圆C2的位置关系是外切．故选：B．6．已知点F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点M（x0，1）在抛物线C上，若|FM|＝，则抛物线C的方程为（）A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝y D．x2＝2y解：由抛物线的定义可知：|FM|＝1+＝，解得p＝1，所以抛物线方程为：x2＝2y．故选：D．7．已知＝1表示焦点在y轴上椭圆，则m的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，+∞）D．（，2）解：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得1＜m＜．则m的取值范围为：（1，）．故选：B．8．三个几何体组合的正视图和侧视图均为如图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：由正视图和侧视图知三个几何体可以是圆柱或底面为正方形的直棱柱，所以四个图都可能作为俯视图，故选：D．9．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+3＝0，则x2+y2的最大值为（）A．2B．3C．4D．9解：实数x，y满足x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆，则x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方，故x2+y2的最大值为（OC+1）2＝（2+1）2＝9．故选：D．10．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2．若将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体的体积为（）A．πB．C．D．2π解：将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体如图：该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥与圆柱的底面半径均为1，高均为1，则所得几何体的体积为V＝．故选：B．11．已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆E于A、B两点，且线段AB被点（2，﹣1）平分，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减得：＝0，∵线段AB的中点坐标为（2，﹣1），∴x1+x2＝4，y1+y2＝﹣2，∴＝，由AB斜率k AB＝＝，∴＝，即a＝2b，e＝＝＝．故选：B．12．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率小于0的直线l与抛物线交于A，B两点，且l与准线交于点C，若，则＝（）A．B．C．D．解：由抛物线的焦点（，0），准线l：x＝﹣，过A作AA1⊥l，则|AA1|＝|AF|，设直线AB的倾斜角为θ，由，所以＝，所以，由抛物线的焦半径公式可知，，所以＝，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．抛物线x2＝﹣8y的准线方程为y＝2．解：由于抛物线x2＝﹣2py的准线方程为y＝，则有抛物线x2＝﹣8y的准线方程为y＝2．故答案为：y＝2．14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且与椭圆＝1有公共焦点，则C的方程为＝1．解：椭圆＝1的焦点为（±3，0），可得双曲线的c＝3，即a2+b2＝9，由双曲线的离心率为，可得＝，解得a＝2，所以b2＝c2﹣a2＝5，则双曲线的方程为＝1．故答案为：＝1．15．若圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣k＝0上的点到直线x+y﹣10＝0的最大距离与最小距离的差为6，则实数k＝7．解：化圆的方程化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝k+2，则k+2＞0，即k＞﹣2．设圆心到直线x+y﹣10＝0的距离为d，则圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣k＝0上的点到直线x+y﹣10＝0的最大距离为d+r，最小距离为d ﹣r，∴（d+r）﹣（d﹣r）＝6，得r＝3，即k+2＝r2＝9，解得k＝7，故答案为：7．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且倾斜角为的直线l 交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的内切圆半径为．解：椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，则F2的坐标为（1，0），过F2且斜率为1的直线l为：y＝x﹣1，即x＝y+1，代入椭圆得：7y2+6y﹣9＝0，则y1﹣y2＝＝，故△F1AB的面积S＝•2c•y1﹣y2＝，△F1AB的周长C＝4a＝8，故△F1AB的内切圆半径r＝＝，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（Ⅰ）经过点A（﹣3，0），B（0，2）；（Ⅱ）长轴长等于20，焦距等于12．解：（Ⅰ）由题可设椭圆方程为，则a＝3，b＝2，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝20，2c＝12，∴a＝10，c＝6，∴b2＝a2﹣c2＝100﹣36＝64，∴椭圆的标准方程为或．18．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程．（Ⅰ）实轴在x轴上，实轴长为4，离心率为；（Ⅱ）焦点为（0，6），且与双曲线有相同渐近线．解：（Ⅰ）由题可设双曲线方程为，焦距为2c，则2a＝4，，∴a＝2，，得b2＝c2﹣a2＝7﹣4＝3，∴双曲线的标准方程为；（Ⅱ）由题可设双曲线方程为，焦距为2c，则c＝6，渐近线方程为，∵的渐近线方程为，∴，即b2＝2a2，又∵c2＝a2+b2，则a2+2a2＝36，∴a2＝12，b2＝24，∴双曲线的标准方程为．19．（12分）已知点A（3，﹣3），点B（1，3）两点．（1）求以AB为直径的圆C的方程；（2）若直线x+2y+3＝0与圆C交于M，N两不同点，求线段MN的长度．解：（1）由题意圆心C为AB中点，所以C（2，0），半径r＝|AC|＝＝，所以圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝1；（2）圆心到直线MN的距离d＝＝，所以＝＝，所以|MN|＝2，线段MN的长度|MN|＝2．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，准线为y＝﹣1，过焦点F作斜率为k的直线l 与C交于A、B两点，若，求直线l的方程．解：由题可得抛物线C的方程为x2＝4y，∴点F（0，1）．直线l的方程为y＝kx+1，由得x2﹣4kx﹣4＝0，令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4①，∵，∴（﹣x2，1﹣y2）＝3（x1，y1﹣1），∴﹣x2＝3x1＝2②，由①②得：，∴或，∴直线l的方程为或．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C 上．∴，解得a＝2，b＝，c＝，∴椭圆C的方程为＝1．（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k＝k OM＝，又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y＝．由，得x2+2mx+2m2﹣4＝0．又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△＝（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m ＜2．∠AOB为钝角等价于＜0，且m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝x1x2+y1y2＝＝，由韦达定理x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4，代入上式，化简整理得m2＜2，即，故所求范围是（﹣）∪（0，）．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线相交于A，B两点，线段AB的长为8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，点P为直线x＝﹣2上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为k1，k2，k3，且满足k1+k3＝λk2，λ能否为定值？若为定值，求出λ的值；若不为定值，请说明理由．解：（1）把y2＝2px代入得，∴，，∴＝，∴p＝3，所以抛物线C的方程为y2＝6x；（2）设直线l的方程为x＝my+2，m∈R，P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2）把x＝my+2代入y2＝6x得y2﹣6my﹣12＝0，∴y1+y2＝6m，y1y2＝﹣12，∴＝＝，∴∴λ＝2，所以λ为定值2．。
2020-2021学年四川省乐山市第十二中学高二数学文联考试卷含解析
2020-2021学年四川省乐山市第十二中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则的一个单调递增区间为A．(－∞,0] B．[0,+∞) C．D．参考答案：C2. 在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于()A. B. C D.参考答案：B3. 已知满足则的最大值是 ( )A． B．C．2 D．参考答案：B4. 若数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}的前n项和为()A. B. C. D.参考答案：C∵a n=2n+2n-1，设，易知{}为等比数列，{}为等差数列，且.则数列{a n}的前n项和：，故选C. 5. 在某一试验中事件A出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为（）. 1－. . 1－.参考答案：D6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．84参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．7. 过抛物线的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 不确定参考答案：C略8. 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种B．35种C．120种D．140种参考答案：A【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】利用间接法，先求出没有限制条件的选法，在排除只有男生的选法，问题得以解决【解答】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题9. 已知函数，在(－∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为函数，在上是增函数，所以有，解得.故选D【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.10. 给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的A.充分而不必条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 安排5名歌手的演出顺序时，要求其中的歌手甲不第一个出场，歌手乙不最后一个出场，不同排法的总数是．（用数字作答）参考答案：7812. 如果实数 x ,y 满足3x + 2y－10 , 那么 u = x2 + y2 + 6x－2y的最小值是______参考答案：－13. 函数在区间[0,1]的单调增区间为__________．参考答案：，（开闭都可以）.【分析】由复合函数的单调性可得：，解得函数的单调增区间为（），对的取值分类，求得即可得解。
2020-2021学年四川省乐山市峨山中学高二数学文联考试卷含解析
2020-2021学年四川省乐山市峨山中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，BC=2，B=，当△ABC的面积等于时，c=（）A．B．C．2 D．1参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】由已知及三角形面积公式即可解得c的值．【解答】解：∵BC=2，B=，△ABC的面积=BC×AB×sinB=2×AB×，∴解得：AB=1，∴c=AB=1．故答案为：1．2. 若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（）A.(－∞,0)B. (－∞,2)C. [－1,1]D. (－∞, －1)参考答案：D【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数的取值范围.【详解】命题“存在，使”的否定为：任意，总成立.所以，所以，选D.【点睛】存在性命题和全称命题可以相互转化，如果存命题是假命题，则全称是真命题，后者可以看成恒成立问题.3. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A. B. C. D.参考答案：A解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=200，∠BAC=300，所以，在△ADC中，由正弦定理得，，故选择A.4. 若f(x)＝f1(x)＝，f n(x)＝f n－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋f n(1)＝( )A．n B. C. D．1参考答案：A5. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（）A． B.C． D.不确定参考答案：B略6. 在△ABC 中，a ＝，b ＝，B ＝45°，则A 等于 ( )A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150° 参考答案：C7. 下列在曲线上的点是（ ）A 、 （）B 、C 、D 、参考答案：B8. 不等式≥﹣1的解集为( )A ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）B ．（﹣∞，0）∪ D ．∪（1，+∞）B ．（﹣∞，0）∪D ．∪（1，+∞）．参考答案：A ．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查计算能力．9. 设 ，则 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3参考答案：C 略10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A 为“奇数点向上”，事件B 为“偶数点向上”，事件C 为“向上的点数是2的倍数”，事件D 为“2点或4点向上”。
四川省乐山市2021-2022学年高二上学期期末数学文科试题
试卷第 5页，共 5页
1．B 【分析】 利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】
由题意可知所求直线的方程为 y 1 2 x 2 ，即 2x y 3 0 .
2．已知直线 a,b, c ，若 a,b 异面， b ∥ c ，则 a, c 的位置关系是（
）
A．异面
B．相交
C．平行或异面
D．相交或异面
3．圆 x2 y2 2 x 4 y 4 0的圆心坐标与半径分别是（
）
A． 1, 2, 2
B． 1, 2, 2
C． 1, 2,3
D． 1, 2,3
4．如图，在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，异面直线 D1C 与 BD 所成的角为（
试卷第 4页，共 5页
21．如图，在正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中， AB 1, AA1 2, M 是 CC1 上的点，满足 BDM 为 等边三角形.
(1)求证： A1M 平面 BDM ； (2)求点 M 到平面 A1BD 的距离.
22．已知椭圆 C : x2 y2 1，点 M , N 在 C 上， A2,1 ，且 MAN 90o
(1)若直线 l 过点 F 且 xFM 60o ，求 FM ；
(2)若 P 2,1 平分线段 MN ，求直线 l 的方程.
19．在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA AC 2, E, F 分别为 PD, BC 的中点.
(1)证明： EF ∥平面 PAB ； (2)求三棱锥 A CDE 的体积. 20．已知直线 l : ax y 1 0 与双曲线 C : x2 2 y2 1相交于 P 、 Q 两点. (1)当 a 1 时，求 PQ ； (2)是否存在实数 a ，使以 PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出 a 的值；若不存在， 说明理由.
四川省乐山市2020-2021学年高二上学期期末考试政治试题
乐山市高2022届教学质量检测思想政治参考答案2021.01第I卷（选择题共48分）题号123456789101112答案A C D D C C A D B B C A 题号131415161718192021222324答案A A C B C D A B D B C D第Ⅱ卷（非选择题共52分）25.（12分）①文化对人的影响来自特定的文化环境和各种形式的文化活动。
乐山市各学校开展“节约粮食，拒绝浪费，从我做起”主题教育系列活动有利于形成节约光荣、浪费可耻的良好氛围。
（3分）②优秀文化塑造人生。
该活动的开展有利于弘扬中华民族勤俭节约的传统美德，丰富精神世界，促进人的全面发展。
（3分）③文化影响人的认识活动和实践活动。
该活动的开展有利于让师生形成正确的粮食观，更好地养成勤俭节约习惯和践行光盘行动。
（3分）④教育具有选择、传递、创造文化的功能，在人的教化和培育上扮演着重要角色。
该活动的主题体现了教育的文化选择功能，活动的开展有利于将勤俭节约的传统美德传承下去并发扬光大，培养德才兼备的优秀学生。
（3分）(其他答案，言之有理，亦可酌情给分。
)26.（12分）①通过汉字书写可以实现信息交流，说明汉字是我国人民进行文化信息交流的重要媒介。
（3分）②汉字以特有的造型符号和笔墨韵律，融入人们对自然、社会、生命的思考，从而表现出中国人特有的思维方式、人格精神与性情志趣的艺术实践，说明汉字文化内涵丰富，具有鲜明的民族性，以其独树一帜体现中华文化博大精深的基本特征。
（3分）③书写是我国历史上儒家的“六艺”之一、是一门历史十分悠久的艺术，几千年来一直散发着独特的魅力，说明中华汉字书写文化源远流长，在世代相传中始终保留着其基本特征。
（3分）④传统文化具有继承性。
古老的汉字书写艺术是我国的传统文艺，是中华民族灿烂文化的重要组成部分，目前面临传承窘况，需要每一个中国人都来传承，所以每一个中国人都应该重视汉字书写。
（3分）(其他答案，言之有理，亦可酌情给分。
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乐山市2020-2021学年高二上学期期末考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题“如果22x a b +，那么2x ab ”的逆否命题是（ ）A ．如果22x a b <+，那么2x ab < B ．如果2x ab ，那么22x a b + C ．如果2x ab <，那么22x a b <+ D ．如果22x a b +，那么2x ab < 2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．棱柱3．圆222440x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别是（ ）A ．(1,2),9-B ．(2,4),3-C ．(1,2),3-D ．(2,4),9-4．若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊂B ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈5．抛物线24y x =的准线方程为（ ）A ．410x +=B ．1610x +=C ．410y +=D ．1610y +=6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11B D 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．12C D 7．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于点A B 、两点，AB 的中点为M ．若||8AB =，则点M 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，若PC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么PA 与BD 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直且相交C ．相交但不垂直D ．垂直但不相交9．与圆221x y +=内切，且与圆228120x y x +-+=外切的圆的圆心在（ ）A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上10．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．34π+B ．4πC ．24π+D ．3π11．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若||||OP OF =，则OPF 的面积为（ ）A B C ．54 D ．5212．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，14,2,,3AA AB ABC E π==∠=为BC中点，平面α过点E 且与平面1BDD 垂直，1//CC 平面α，则平面α被直四棱柱截得的图形面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．命题“,a a ∀∈Z 有一个正因数”的否定是___________．14．方程22121x y k k-=--表示的曲线是椭圆，则实数k 的取值范围为_________． 15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为___________．16．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2,F P 是E 左支上一点，且112|||PF F F =∣，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本小题满分10分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中．E F 、分别是11B C 、1CC 的中点．求证：111A E D C DF 、、三线共点．18．（本小题满分12分）经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线2212y x -=于A B 、两点，若2OA OB OM +=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．19．（本小题满分12分）如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M N 、分别是AB PC 、的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若2MN PA BC ===，求异面直线PA 与MN 所成的角；20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y x =，直线l 过点(2,0)E 且与抛物线C 相交于A B 、两点，O 是坐标原点．（1）求证：点O 在以AB 为直径的圆上；（2）若OAB 的面积为8，求直线l 的斜率．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若60ABC ︒∠=，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？请说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(0,1)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线1:220l x y +-=与圆22:640D x y x y m +--+=相切．（i ）求圆D 的标准方程；（ii ）若直线2l 过定点(3,0)，与椭圆C 交于不同的两点E F 、，与圆D 交于不同的两点M N 、，求||||EF MN ⋅的取值范围．参考答案2021.1一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）．1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D 9．B 10．A 11．D 12．C二、填空题（每小题5分，4小题，共计20分）13．00,a a ∃∈Z 没有正因数； 14．12k <<且32k ≠15．13； 16．53 三、解答题（6小题，共70分）17．（本小题满分10分）证明：连结11EF B C A D 、、，由题可知11//A D B C ，1分 E F 、分别是111B C C C 、的中点，1//EF B C ∴，且112EF B C =，1//EF A D ∴，且112EF A D =， 3分1A DFE ∴为梯形． 4分则可令1A E DF P ⋂=．由1P A E ∈⊂面1111A B C D ，P DF ∈⊂面11D DCC ， 6分11P D C ∴∈=面1111A B C D ⋂面11D DCC 8分111A E D C DF ∴、、共点于P ．得证． 10分18．（本小题满分12分）解：令()()1122,,,A x y B x y ，由2OA OB OM +=，知M 为AB 的中点． 2分令:1(2)l y k x -=-，即12y kx k =+-． 4分将12y kx k =+-代入双曲线方程2212y x -=中，得()22222(12)(12)20k x k k x k ------=．()220k -≠① 7分122(12)222x x k k k +-∴==-，解得4k =． 9分当4k =时，方程①为21456510x x -+=．∵该方程根的判别式25656510=-⨯>．∴方程①有实数解． 11分∴直线l 的方程为47y x =-． 12分19．（本小题满分12分）解：（1）证明：取PD 的中点为Q ，连结QN QA 、,N 是PC 的中点，//QN DC ∴且12QN DC =． 2分又ABCD 是平行四边形，//DC AB ∴． 3分又M 是AB 的中点，//QN AM ∴且QN AM =． 4分QAMN ∴为平行四边形．//MN QA ∴．QA ⊂面PAD ，且MN ⊄面PAD ，//MN ∴面PAD ． 6分（2）由（1）可知PAQ ∠即为MN 与PA 所成的角．7分 2PA BC AD ===．Q 为PD 的中点．AQ PD ∴⊥． 9分cos 2AQMNPAQ PA PA ∴∠===，6PAQ π∴∠=． 12分20．（本小题满分12分）解：（1）令l 的方程为2x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ， 1分由222y x x ty ⎧=⎨=+⎩消去x 得2240y ty --=，3分 则12122,4y y t y y +==-． 4分22121212124y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+2(4)404-=-+=． 5分OA OB ∴⊥．即点O 在以AB 为直径的圆上． 7分（2）由题知，||2OE =，OAB AOE BOE S S S ∴=+()121||2OE y y =⋅⋅+． 9分12122y y =⨯⨯-=8== 11分t ∴=±∴直线l 的斜率为1k t ===12分 21．（本小题满分12分）解：（1）PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥． 1分 在菱形ABCD 中，AC BD ⊥． PAC 平面,PAC AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ． 3分（2）证明：PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ，PA AE ∴⊥． 4分在菱形ABCD 中，60,60ABC ADC ︒︒∠=∴∠=， ADC 为等边三角形．又E 为CD 的中点，AE CD ∴⊥．又//,AB CD AE AB ∴⊥． 6分AE ∴⊥平面PAB ．又AE ⊂面PAE ，∴面PAB ⊥面PAE ． 8分（3）棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得//CF 平面PAE ．9分 理由如下：如图，F 为PB 的中点，取PA 的中点为M ，连接,,MF ME FC ． M 、F 分别为PA PB 、的中点，1//,2MF AB MF AE ∴=． 10分∵底面ABCD 为菱形，1//,2CE AB CE AB ∴=，FC EM ∴∥，∴四边形MFCE 为平行四边形，FC EM ∴∥． 11分EM ⊂平面,PAE FC ⊄平面PAE ，//FC ∴平面PAE 12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆经过点(0,1)，所以211b=， 解得21b =． 1分因为2e =，所以2c a =， 所以()2223441a c a ==-，解得24a =． 2分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． 3分 （2）（i ）圆D 的标准方程为22(3)(2)13x y m -+-=-，圆心为(3,2)， 因为直线1:220l x y +-=与圆22:640D x y x y m +--+=相切， 所以圆D的半径为r == 5分 所以圆D 的标准方程为22(3)(2)5x y -+-=． 6分（ii ）由题可知直线2l 的斜率存在，设2l 方程为(3)y k x =-， 由22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得()222214243640k x k x k +-+-=． 7分 因为直线2l 与椭圆C 交于不同的两点E F 、，所以()()()222224414364k k k =--+-()216150k =->， 解得2105k <． 8分 设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122224364,1414k k x x x x k k -+==++， 所以|EF =∣== 9分又圆D 截直线2l所得弦长||MN ==， 设29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，则214t k -=，10分所以|||EF MN ⋅==∣ 因为91,5t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 所以21195025(0,16]t t ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭， 所以||||EF MN ⋅的取值范围为(0,8]． 12分。