2009年全国卷2高考数学试题(理数)

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2009高考数学全国卷II(理)(word版含答案)

2009高考数学全国卷II(理)(word版含答案)


2009 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第 II 卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 本卷共 2 页,10 小题,用黑色碳素笔将答案答在答题卡.答在试题卷上的答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. 13. ( x y y x )4 的展开式中 x3 y3 的系数为 .
2009 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 II 卷)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分,考试用时 120 分钟.
第Ⅰ 卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 卡上填写清楚,请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定 的位置贴好条形码. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的答案无效. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式
19.本小题满分 12 分 设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 =1, sn 1 =4 an +2 (Ⅰ )设 bn an 1 2 an ,证明数列{ bn }是等比数列; (Ⅱ )求数列{ an }的通项公式.
) D. b c a
C. b a c
8.若讲函数 y tan( x
图像重合,则 的最小值为( A.
π π π ) 的图像向右平移 个单位长度后,与函数 y tan( x ) 的 4 6 6

2009年全国统一高考数学试卷

2009年全国统一高考数学试卷

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个2.(5分)已知=2+i,则复数z=()A.﹣1+3i B.1﹣3i C.3+i D.3﹣i3.(5分)不等式<1的解集为()A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|x<0} 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种6.(5分)设、、是单位向量,且,则?的最小值为()A.﹣2 B.﹣2 C.﹣1 D.1﹣7.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.8.(5分)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.9.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣210.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.1 B.2 C.D.411.(5分)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数12.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF 交C于点B,若=3,则||=()A.B.2 C.D.3二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.14.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=81,则a2+a5+a8=.15.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于.16.(5分)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.18.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.19.(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.20.(12分)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1+)a n+.(1)设b n=,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.21.(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.22.(12分)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2].(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:.2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B,再根据补集的含义求解.【解答】解:A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9}∴?U(A∩B)={3,5,8}故选A.也可用摩根律:?U(A∩B)=(?U A)∪(?U B)故选A2.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)已知=2+i,则复数z=()A.﹣1+3i B.1﹣3i C.3+i D.3﹣i【分析】化简复数直接求解,利用共轭复数可求z.【解答】解:,∴故选B3.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)不等式<1的解集为()A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|x<0}【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值.【解答】解:∵<1,∴|x+1|<|x﹣1|,∴x2+2x+1<x2﹣2x+1.∴x<0.∴不等式的解集为{x|x<0}.故选D4.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到a和b 的关系,从而推断出a和c的关系,答案可得.【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0,因渐近线与抛物线相切,所以b2﹣4a2=0,即,故选择C.5.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法.故共有345种选法.故选D6.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)设、、是单位向量,且,则?的最小值为()A.﹣2 B.﹣2 C.﹣1 D.1﹣【分析】由题意可得=,故要求的式子即﹣()?+=1﹣cos=1﹣cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值.【解答】解:∵、、是单位向量,,∴,=.∴?=﹣()?+=0﹣()?+1=1﹣cos=1﹣cos≥.故选项为D7.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角(如∠A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之.【解答】解:设BC的中点为D,连接A1D、AD、A1B,易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角;并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=,|A1D|=,|A1B|=,由余弦定理,得cosθ==.故选D.8.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.【分析】先根据函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.【解答】解:∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称.∴∴由此易得.故选A9.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.【解答】解:设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又∵∴x0+a=1∴y0=0,x0=﹣1∴a=2.故选项为B10.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.1 B.2 C.D.4【分析】分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD 则∠ACQ=∠PBD=60°,在三角形APQ中将PQ表示出来,再研究其最值即可.【解答】解:如图分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD则∠ACQ=∠PDB=60°,,∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故答案选C.11.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f(x)的周期,然后利用此周期推导选择项.【解答】解:∵f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,∴函数f(x)关于点(1,0)及点(﹣1,0)对称,∴f(x)+f(2﹣x)=0,f(x)+f(﹣2﹣x)=0,故有f(2﹣x)=f(﹣2﹣x),函数f(x)是周期T=[2﹣(﹣2)]=4的周期函数.∴f(﹣x﹣1+4)=﹣f(x﹣1+4),f(﹣x+3)=﹣f(x+3),f(x+3)是奇函数.故选D12.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=()A.B.2 C.D.3【分析】过点B作BM⊥x轴于M,设右准线l与x轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据,求出BM,AN,进而可得|AF|.【解答】解:过点B作BM⊥x轴于M,并设右准线l与x轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故FM=,故B点的横坐标为,纵坐标为±即BM=,故AN=1,∴.故选A二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240.【分析】首先要了解二项式定理:(a+b)n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n,各项的通项公式为:T r=C n r a n﹣r b r.然后根据题目已知求解即可.+1【解答】解:因为(x﹣y)10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3(﹣1)3=﹣C103x7y3,含x3y7的项为C107x10﹣7y7(﹣1)7=﹣C107x3y7.由C103=C107=120知,x7y3与x3y7的系数之和为﹣240.故答案为﹣240.14.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=81,则a2+a5+a8=27.【分析】由s9解得a5即可.【解答】解:∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于20π.【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为O',球心为O,在RT△OBO'中,求出球的半径,然后求出球的表面积.【解答】解:在△ABC中AB=AC=2,∠BAC=120°,可得由正弦定理,可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RT△OBO'中,易得球半径,故此球的表面积为4πR2=20π故答案为:20π16.(5分)(2009?全国卷Ⅰ)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8.【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式,之后转化成关于tanx的函数,将tanx看破成整体,最后转化成函数的最值问题解决.【解答】解:令tanx=t,∵,∴故填:﹣8.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)(2009?全国卷Ⅰ)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系,再根据a2﹣c2=2b即可得到答案.【解答】解:法一:在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:,化简并整理得:2(a2﹣c2)=b2.又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2.解得b=4或b=0(舍);法二:由余弦定理得:a2﹣c2=b2﹣2bccosA.又a2﹣c2=2b,b≠0.所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC,∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC由正弦定理得,故b=4ccosA②由①,②解得b=4.18.(12分)(2009?全国卷Ⅰ)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.【分析】(Ⅰ)法一:要证明M是侧棱SC的中点,作MN∥SD交CD于N,作NE⊥AB交AB于E,连ME、NB,则MN⊥面ABCD,ME⊥AB,设MN=x,则NC=EB=x,解RT△MNE即可得x的值,进而得到M为侧棱SC的中点;法二:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标,然后根据中点公式进行判断;法三:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,构造空间向量,然后数乘向量的方法来证明.(Ⅱ)我们可以以D为坐标原点,分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小.【解答】证明:(Ⅰ)作MN∥SD交CD于N,作NE⊥AB交AB于E,连ME、NB,则MN⊥面ABCD,ME⊥AB,设MN=x,则NC=EB=x,在RT△MEB中,∵∠MBE=60°∴.在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1,从而∴M为侧棱SC的中点M.(Ⅰ)证法二:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,则.设M(0,a,b)(a>0,b>0),则,,由题得,即解之个方程组得a=1,b=1即M(0,1,1)所以M是侧棱SC的中点.(I)证法三:设,则又故,即,解得λ=1,所以M是侧棱SC的中点.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,设分别是平面SAM、MAB的法向量,则且,即且分别令得z 1=1,y1=1,y2=0,z2=2,即,∴二面角S﹣AM﹣B的大小.19.(12分)(2009?全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.【分析】(1)由题意知前2局中,甲、乙各胜1局,甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局,根据各局比赛结果相互独立,根据相互独立事件的概率公式得到结果.(2)由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由上一问可知ξ的可能取值是2、3,由于各局相互独立,得到变量的分布列,求出期望.【解答】解:记A i表示事件:第i局甲获胜,(i=3、4、5)B i表示第j局乙获胜,j=3、4(1)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利,∵前2局中,甲、乙各胜1局,∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局,∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立,∴P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=×+××+××=(2)ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立,得到ξ的分布列P(ξ=2)=P(A3A4+B3B4)=P(ξ=3)=1﹣P(ξ=2)=1﹣=∴Eξ=2×+3×=.20.(12分)(2009?全国卷Ⅰ)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1+)a n+.(1)设b n=,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.【分析】(1)由已知得=+,即b n=b n+,由此能够推导出所求的通+1项公式.(2)由题设知a n=2n﹣,故S n=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+),设T n=1++++…+,由错位相减法能求出T n=4﹣.从而导出数列{a n}的前n项和S n.【解答】解:(1)由已知得b1=a1=1,且=+,即b n=b n+,从而b2=b1+,+1b3=b2+,b n=b n﹣1+(n≥2).于是b n=b1+++…+=2﹣(n≥2).又b1=1,故所求的通项公式为b n=2﹣.(2)由(1)知a n=2n﹣,故S n=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+),设T n=1++++…+,①T n=+++…++,②①﹣②得,T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣,∴T n=4﹣.∴S n=n(n+1)+﹣4.21.(12分)(2009?全国卷Ⅰ)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程,根据抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根,可求出r的范围.(2)先设出四点A,B,C,D的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积,表示出面积并求出其的平方值,最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标.【解答】解:(Ⅰ)将抛物线E:y2=x代入圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)的方程,消去y2,整理得x2﹣7x+16﹣r2=0(1)抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根∴即.解这个方程组得,.(II)设四个交点的坐标分别为、、、.则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?(x﹣x 1),y+=(x﹣x1),解得点P的坐标为(,0),则由(I)根据韦达定理有x1+x2=7,x1x2=16﹣r2,则∴令,则S2=(7+2t)2(7﹣2t)下面求S2的最大值.由三次均值有:当且仅当7+2t=14﹣4t,即时取最大值.经检验此时满足题意.故所求的点P的坐标为.22.(12分)(2009?全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2].(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:.【分析】(1)根据极值的意义可知,极值点x1、x2是导函数等于零的两个根,根据根的分布建立不等关系,画出满足条件的区域即可;(2)先用消元法消去参数b,利用参数c表示出f(x2)的值域,再利用参数c 的范围求出f(x2)的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=3x2+6bx+3c,(2分)依题意知,方程f'(x)=0有两个根x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2]等价于f'(﹣1)≥0,f'(0)≤0,f'(1)≤0,f'(2)≥0.由此得b,c满足的约束条件为(4分)满足这些条件的点(b,c)的区域为图中阴影部分.(6分)(Ⅱ)由题设知f'(x2)=3x22+6bx2+3c=0,则,故.(8分)由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,故.又由(Ⅰ)知﹣2≤c≤0,(10分)所以.。

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)=()A.﹣2+4i B.﹣2﹣4i C.2+4i D.2﹣4i2.(5分)设集合A={x||x|>3},B={x |<0},则A∩B=()A.φB.(3,4)C.(﹣2,1)D.(4,+∞)3.(5分)已知△ABC中,cotA=﹣,则cosA=()A .B .C .D .4.(5分)函数在点(1,1)处的切线方程为()A.x﹣y﹣2=0B.x+y﹣2=0C.x+4y﹣5=0D.x﹣4y+3=05.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为()A .B .C .D .6.(5分)已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=()A .B .C.5D.257.(5分)设a=log3π,b=log 2,c=log 3,则()A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a8.(5分)若将函数y=tan(ωx +)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx +)的图象重合,则ω的最小值为()A .B .C .D .9.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A .B .C .D .10.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A.6种B.12种C.24种D.30种11.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点,若=4,则C的离心率为()A .B .C .D .12.(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位()A.南B.北C.西D.下二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)4的展开式中x3y3的系数为.14.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则=.15.(5分)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于.16.(5分)求证:菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A﹣C)+cosB=,b2=ac,求B.18.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A﹣BD﹣C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2(n∈N*).(1)设b n=a n+1﹣2a n,证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.20.(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.21.(12分)已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l 的距离为,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F 转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.22.(12分)设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2,(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:f(x2)>.2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)=()A.﹣2+4i B.﹣2﹣4i C.2+4i D.2﹣4i【考点】A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母进行乘法运算,整理成最简形式,得到结果.【解答】解:原式=,故选:A.【点评】本题考查复数的乘除运算,是一个基础题,在近几年的高考题目中,复数的简单的运算题目是一个必考的问题,通常出现在试卷的前几个题目中.2.(5分)设集合A={x||x|>3},B={x |<0},则A∩B=()A.φB.(3,4)C.(﹣2,1)D.(4,+∞)【考点】1E:交集及其运算.【分析】先化简集合A和B,再根据两个集合的交集的意义求解.【解答】解:A={x||x|>3}⇒{x|x>3或x<﹣3},B={x |<0}={x|1<x<4},∴A∩B=(3,4),故选:B.【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型.3.(5分)已知△ABC中,cotA=﹣,则cosA=()A .B .C .D .【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】11:计算题.【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦,求得sinA和cosA的关系式,进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值.【解答】解:∵cotA=∴A为钝角,cosA<0排除A和B,再由cotA==,和sin2A+cos2A=1求得cosA=,故选:D.【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用.主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系.4.(5分)函数在点(1,1)处的切线方程为()A.x﹣y﹣2=0B.x+y﹣2=0C.x+4y﹣5=0D.x﹣4y+3=0【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】11:计算题.【分析】欲求切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.【解答】解:依题意得y′=,因此曲线在点(1,1)处的切线的斜率等于﹣1,相应的切线方程是y﹣1=﹣1×(x﹣1),即x+y﹣2=0,故选:B.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.5.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为()A .B .C .D .【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5G:空间角.【分析】由BA1∥CD1,知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角,由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值.【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,∴BA1∥CD1,∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角,设AA1=2AB=2,则A1E=1,BE==,A1B==,∴cos∠A1BE===.∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.6.(5分)已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=()A .B .C.5D.25【考点】91:向量的概念与向量的模;9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|=两边平方,变化为有模长和数量积的形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可.【解答】解:∵|+|=,||=∴(+)2=2+2+2=50,得||=5故选:C.【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用.7.(5分)设a=log3π,b=log 2,c=log 3,则()A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a【考点】4M:对数值大小的比较.【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解.当a>1时函数为增函数当0<a<1时函数为减函数,如果底a不相同时可利用1做为中介值.【解答】解:∵∵,故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性,这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值.8.(5分)若将函数y=tan(ωx +)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx +)的图象重合,则ω的最小值为()A .B .C .D .【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】11:计算题.【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式,与函数y=tan(ωx +)的图象重合,比较系数,求出ω=6k +(k∈Z),然后求出ω的最小值.【解答】解:y=tan(ωx +),向右平移个单位可得:y=tan[ω(x ﹣)+]=tan(ωx +)∴﹣ω+kπ=∴ω=k +(k∈Z),又∵ω>0∴ωmin =.故选:D.【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,待定系数法的应用,考查计算能力,是常考题.9.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A .B .C .D .【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据直线方程可知直线恒过定点,如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB ,进而可知,进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,则点B的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率.【解答】解:设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=﹣2直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(﹣2,0)如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B 的坐标为,故选:D.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用.10.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A.6种B.12种C.24种D.30种【考点】D5:组合及组合数公式.【专题】11:计算题.【分析】根据题意,分两步,①先求所有两人各选修2门的种数,②再求两人所选两门都相同与都不同的种数,进而由事件间的相互关系,分析可得答案.【解答】解:根据题意,分两步,①由题意可得,所有两人各选修2门的种数C42C42=36,②两人所选两门都相同的有为C42=6种,都不同的种数为C42=6,故选:C.【点评】本题考查组合公式的运用,解题时注意事件之间的关系,选用直接法或间接法.11.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点,若=4,则C的离心率为()A .B .C .D .【考点】I3:直线的斜率;KA:双曲线的定义.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设双曲线的有准线为l,过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角,进而推,由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|,进而根据,求得离心率.【解答】解:设双曲线的右准线为l,过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,由直线AB 的斜率为,知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°,由双曲线的第二定义有:=∴,∴故选:A.【点评】本题主要考查了双曲线的定义.解题的关键是利用了双曲线的第二定义,找到了已知条件与离心率之间的联系.12.(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位()A.南B.北C.西D.下【考点】LC:空间几何体的直观图.【专题】16:压轴题.【分析】本题考查多面体展开图;正方体的展开图有多种形式,结合题目,首先满足上和东所在正方体的方位,“△”的面就好确定.【解答】解:如图所示.故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原,属于基本知识基本能力的考查.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)4的展开式中x3y3的系数为6.【考点】DA:二项式定理.【分析】先化简代数式,再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x,y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解:,只需求展开式中的含xy项的系数.∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.14.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则=9.【考点】83:等差数列的性质.【专题】11:计算题.【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5,S5=5a3,根据a5=5a3,进而可得则的值.【解答】解:∵{a n}为等差数列,S9=a1+a2+…+a9=9a5,S5=a1+a2+…+a5=5a3,∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质.属基础题.15.(5分)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C 的面积等于,则球O 的表面积等于8π.【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】本题可以设出球和圆的半径,利用题目的关系,求解出具体的值,即可得到答案.【解答】解:设球半径为R,圆C的半径为r,.因为.由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为:8π,【点评】本题考查学生对空间想象能力,以及球的面积体积公式的利用,是基础题.16.(5分)求证:菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.【考点】N8:圆內接多边形的性质与判定.【专题】14:证明题;16:压轴题.【分析】如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q,根据菱形的性质得到AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB,得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上.【解答】已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点,∴OM=ON=OP=OQ=AB,∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上.所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.【点评】本题考查了四点共圆的判定方法.也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A﹣C)+cosB=,b2=ac,求B.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.【专题】11:计算题.【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约,并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉),从而求出答案.【解答】解:由cos(A﹣C)+cosB=及B=π﹣(A +C)得cos (A﹣C)﹣cos(A+C)=,∴cosAcosC+sinAsinC﹣(cosAcosC﹣sinAsinC)=,∴sinAsinC=.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故,∴或(舍去),于是B=或B=.又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=.【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系,然后通过角的关系,选择恰当的公式,即:如果角与角相等,则使用同角三角函数关系;如果角与角之间的和或差是直角的整数倍,则使用诱导公式;如果角与角之间存在和差关系,则我们用和差角公式;如果角与角存在倍数关系,则使用倍角公式.18.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A﹣BD﹣C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系.【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)连接BE,可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC,再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC;(2)求B1C与平面BCD所成的线面角,只需求点B1到面BDC的距离即可,作AG⊥BD于G,连GC,∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,在三角形AGC中求出GC即可.【解答】解:如图(I)连接BE,∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴∠B1BC=90°,∵E为B1C的中点,∴BE=EC.又DE⊥平面BCC1,∴BD=DC(射影相等的两条斜线段相等)而DA⊥平面ABC,∴AB=AC(相等的斜线段的射影相等).(II)求B1C与平面BCD所成的线面角,只需求点B1到面BDC的距离即可.作AG⊥BD于G,连GC,∵AB⊥AC,∴GC⊥BD,∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,∠AGC=60°不妨设,则AG=2,GC=4在RT△ABD中,由AD•AB=BD•AG ,易得设点B1到面BDC的距离为h,B1C与平面BCD所成的角为α.利用,可求得h=,又可求得,∴α=30°.即B1C与平面BCD所成的角为30°.【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.19.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2(n∈N*).(1)设b n=a n+1﹣2a n,证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.【考点】87:等比数列的性质;8H:数列递推式.【专题】15:综合题.【分析】(1)由题设条件知b1=a2﹣2a1=3.由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1,即a n+1﹣2a n=2(a n﹣2a n﹣1),所以b n=2b n﹣1,由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列.(2)由题设知.所以数列是首项为,公差为的等差数列.由此能求出数列{a n}的通项公式.【解答】解:(1)由a1=1,及S n+1=4a n+2,得a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,所以b1=a2﹣2a1=3.由S n+1=4a n+2,①则当n≥2时,有S n=4a n﹣1+2,②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1,所以a n+1﹣2a n=2(a n﹣2a n﹣1),又b n=a n+1﹣2a n,所以b n=2b n﹣1(b n≠0),所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列.(6分)(2)由(I)可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1,等式两边同时除以2n+1,得.所以数列是首项为,公差为的等差数列.所以,即a n=(3n﹣1)•2n﹣2(n∈N*).(13分)【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要掌握等比数列的证明方法,会求数列的通项公式.20.(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.【考点】B3:分层抽样方法;CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题;48:分析法.【分析】(Ⅰ)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可.另外要注意此分层抽样与性别无关.(Ⅱ)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.直接在男工里面抽取一人,在女工里面抽取一人,除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案.(Ⅲ)求ξ的数学期望.因为ξ的可能取值为0,1,2,3.分别求出每个取值的概率,然后根据期望公式求得结果即可得到答案.【解答】解:(Ⅰ)因为甲组有10名工人,乙组有5名工人,从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,根据分层抽样的原理可直接得到,在甲中抽取2名,乙中抽取1名.(Ⅱ)因为由上问求得;在甲中抽取2名工人,故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3,,,ξ01 2 3P故Eξ==.【点评】本题较常规,比08年的概率统计题要容易.在计算P(ξ=2)时,采用求反面的方法,用直接法也可,但较繁琐.考生应增强灵活变通的能力.21.(12分)已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l 的距离为,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F 转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(I)设F(c,0),则直线l的方程为x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l的距离求得c,进而根据离心率求得a和b.(II)由(I)可得椭圆的方程,设A(x1,y1)、B(x2,y2),l:x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△>0.由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式,假设存在点P ,使成立,则其充要条件为:点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),代入椭圆方程;把A,B两点代入椭圆方程,最后联立方程求得c,进而求得P点坐标,求出m的值得出直线l的方程.【解答】解:(I)设F(c,0),直线l:x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l 的距离为则,解得c=1又,∴(II)由(I )知椭圆的方程为设A(x1,y1)、B(x2,y2)由题意知l的斜率为一定不为0,故不妨设l:x=my+1代入椭圆的方程中整理得(2m2+3)y2+4my﹣4=0,显然△>0.由韦达定理有:,,①假设存在点P ,使成立,则其充要条件为:点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),点P 在椭圆上,即.整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在椭圆上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②解得∴,x1+x2=,即当;当【点评】本题主要考查了椭圆的性质.处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如:三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点.22.(12分)设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2,(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:f(x2)>.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值;R6:不等式的证明.【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题.【分析】(1)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),令g(x)=2x2+2x+a,由题意知x1、x2是方程g(x)=0的两个均大于﹣1的不相等的实根,建立不等关系解之即可,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出单调区间;(2)x2是方程g(x)=0的根,将a用x2表示,消去a得到关于x2的函数,研究函数的单调性求出函数的最大值,即可证得不等式.【解答】解:(I )令g(x)=2x2+2x+a ,其对称轴为.由题意知x1、x2是方程g(x)=0的两个均大于﹣1的不相等的实根,其充要条件为,得(1)当x∈(﹣1,x1)时,f'(x)>0,∴f(x)在(﹣1,x1)内为增函数;(2)当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,∴f(x)在(x1,x2)内为减函数;(3)当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(x2,+∞)内为增函数;(II)由(I)g(0)=a>0,∴,a=﹣(2x22+2x2)∴f(x2)=x22+aln(1+x2)=x22﹣(2x22+2x2)ln(1+x2)设h(x)=x2﹣(2x2+2x)ln(1+x),(﹣<x<0)则h'(x)=2x﹣2(2x+1)ln(1+x)﹣2x=﹣2(2x+1)ln(1+x)当时,h'(x)>0,∴h(x )在单调递增,故.【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究函数的极值等有关知识,属于中档题.。

2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案

2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案

一、选择题(本大题共12小题,共60。

0分)1。

已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1) B.(—1,3)C。

(1,+∞)D。

(—∞,-3)2。

已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{—1,0,1,2,3}3。

已知向量=(1,m),=(3,-2),且(+)⊥,则m=()A。

—8 B。

—6 C.6 D。

84.圆x2+y2-2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A。

— B.- C. D.25。

如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24 B。

18 C.12 D。

96。

如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB。

24π C.28πD。

32π7。

若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象的对称轴为()A。

x=—(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=—(k∈Z)D。

x=+(k∈Z)8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7 B。

12 C.17 D.349。

若cos(-α)=,则sin2α=()A.B。

C.— D.-10.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n构成n个数对(x1,y1),(x2,y2)…(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A. B. C.D。

11。

已知F1,F2是双曲线E:—=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为()A。

2009年高考数学试题(全国卷)

2009年高考数学试题(全国卷)

2009年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB ,则集合[u (A B )中的元素共有(A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个(2)已知1iZ +=2+I,则复数z= (A )-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i(3) 不等式11X X +-<1的解集为 (A ){x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈(C ){}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 (4)设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于(A (B )2 (C (D(5) 甲组有5名同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(A )150种 (B )180种 (C )300种 (D)345种(6)设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b =0,则()()a c b c -•-的最小值为(A )2-(B 2 (C )1- (D)1(7)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A )4(B )4 (C )4 (D) 34(8)如果函数()cos 2y x φ=3+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭,0中心对称,那么π的最小值为 (A )6π (B )4π (C )3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切,则α的值为(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2(10)已知二面角α-l -β为600 ,动点P 、Q 分别在面α、β内,P ,Q到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为(B)2 (C) (D)4(11)函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数(12)已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ,右准线为L ,点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

2009年北京高考数学真题及答案(理科)

2009年北京高考数学真题及答案(理科)

2009北京高考数学真题(理科)第I 卷(选择题 共40分)一、本大题每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.在复平面内,复数(12)z i i =+对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.已知向量,a b 不共线,(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ,那么 A .1k =且c 与d 同向 B .1k =且c 与d 反向 C .1k =-且c 与d 同向 D .1k =-且c 与d 反向 3.为了得到函数3lg10x y +=的图像,只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A .向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B .向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C .向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D .向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度4.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1,1AB 与底面ABCD 成60°角,则11A C 到底面ABCD 的距离为 A .33B .1C .2D .3 5.“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件6.若5(12)2(,a b a b +++为有理数),则a b +=A .45B .55C .70D .807.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A .324 B .328 C .360 D .6488.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点,且|||PA AB =,则称点P 为“点”,那么下列结论中正确的是 A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“点”D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

历年高考数学真题(全国卷整理版)

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式:如果事件A 、B 互斥,则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立,则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ={1.3. m },B ={1,m} ,AB =A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为*=-4 ,则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中,AB 边的高为CD ,假设a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角,sin α+sin β=33,则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C:*²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)*<y<z 〔B〕z<*<y (C)z<y<* (D)y<z<*(10) 函数y=*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点,则c=〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不一样,梅列的字母也互不一样,则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。

2009年北京市高考数学试卷(理科)及答案

2009年北京市高考数学试卷(理科)及答案

2009年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)已知向量=(1,0),=(0,1),=k+(k∈R),=﹣,如果∥,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=﹣1且c与d同向 D.k=﹣1且c与d反向3.(5分)为了得到函数y=lg的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度4.(5分)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1 C.D.5.(5分)“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=()A.45 B.55 C.70 D.807.(5分)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324 B.328 C.360 D.6488.(5分)点P在直线l:y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是()A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.(5分)=.10.(5分)若实数x,y满足则s=y﹣x的最小值为.11.(5分)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为.12.(5分)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.13.(5分)若函数则不等式的解集为.14.(5分){a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=a n,n∈N*则a2009=;a2014=.三、解答题(共6小题,满分80分)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由.17.(13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.18.(13分)设函数f(x)=xe kx(k≠0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求k的取值范围.19.(14分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为x=(I)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.20.(13分)已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…a n,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明:a1=1,且;(Ⅲ)证明:当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.2009年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)(2009•北京)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可确定复数z所在象限.【解答】解:∵z=i(1+2i)=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为(﹣2,1),故选B2.(5分)(2009•北京)已知向量=(1,0),=(0,1),=k+(k∈R),=﹣,如果∥,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=﹣1且c与d同向 D.k=﹣1且c与d反向【分析】根据所给的选项特点,检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项.【解答】解:∵=(1,0),=(0,1),若k=1,则=+=(1,1),=﹣=(1,﹣1),显然,与不平行,排除A、B.若k=﹣1,则=﹣+=(﹣1,1),=﹣=(1,﹣1),即∥且与反向,排除C,故选D.3.(5分)(2009•北京)为了得到函数y=lg的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简,即可选出答案.【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C.4.(5分)(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1 C.D.【分析】画出图象,利用线段的关系,角的三角函数,求解即可.【解答】解:依题意,BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°,BB1=1×tan60°=,故选:D.5.(5分)(2009•北京)“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立,但cos2a=时,a=+2kπ(k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论.【解答】解:当a=+2kπ(k∈Z)时,cos2a=cos(4kπ+)=cos=反之,当cos2a=时,有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z),或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣(k∈Z),故选A.6.(5分)(2009•北京)若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=()A.45 B.55 C.70 D.80【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数,化简展开式求出a,b,求出a+b【解答】解析:由二项式定理得:(1+)5=1+C51+C52()2+C53()3+C54()4+C55•()5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70.故选C7.(5分)(2009•北京)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324 B.328 C.360 D.648【分析】本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0,所以百位有8种,个位有8种,写出结果数,当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果,写出结果,根据分类计数原理得到共有的结果数.【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0,所以百位有8种,十位有8种,共有8×8×4=256当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果,共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B8.(5分)(2009•北京)点P在直线l:y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是()A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标,进而B的坐标可表示出,把A,B 的坐标代入抛物线方程联立消去y,求得判别式大于0恒成立,可推断出方程有解,进而可推断出直线l上的所有点都符合.【解答】解:设A(m,n),P(x,x﹣1)则,B(2m﹣x,2n﹣x+1)∵A,B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=(2m﹣x)2消去n,整理得关于x的方程x2﹣(4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5>0恒成立,∴方程恒有实数解,∴故选A.二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.(5分)(2009•北京)=.【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值.【解答】解:===.故答案为:.10.(5分)(2009•北京)若实数x,y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6.【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过(4,﹣2)点时s有最小值.【解答】解:画可行域如图阴影部分,令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4,﹣2)时s有最小值﹣6,故答案为﹣6.11.(5分)(2009•北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1.【分析】偶函数关于y轴对称,结合图象,根据对称性即可解决本题.【解答】解;取f(x)=x2﹣1,如图,易得该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1.故应填﹣1.12.(5分)(2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=2,∠F1PF2的大小为120°.【分析】第一问用定义法,由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|;第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解.【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=6﹣|PF1|=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣,∴∠F1PF2=120°.故答案为:2;120°13.(5分)(2009•北京)若函数则不等式的解集为[﹣3,1] .【分析】先由分段函数的定义域选择解析式,构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解,最后两种结果取并集.【解答】解:①由.②由.∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1,故答案为:[﹣3,1].14.(5分)(2009•北京){a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=a n,n∈N*则a2009=1;a2014=0.=1,a4n﹣1=0,a2n=a n,知第一项是1,第二项是1,第三项是0,【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3,故第2009项是1,第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1,所以第2014项是0.【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1,∵a2014=a1007,1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0.三、解答题(共6小题,满分80分)15.(13分)(2009•北京)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.【分析】(Ⅰ)由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A,然后将C的值代入sinC,利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ)要求三角形的面积,根据面积公式S=absinC和(Ⅰ)可知公式里边的a 不知道,所以利用正弦定理求出a即可.【解答】解:(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且>0,∴A为锐角,则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A)=cosA+sinA=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinA=,sinC=,又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得∴a==,∴△ABC的面积S=absinC=×××=.16.(14分)(2009•北京)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由.【分析】(1)欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC,满足定理所需条件;(2)根据DE⊥平面PAC,垂足为点E,则∠DAE是AD与平面PAC所成的角.在Rt△ADE中,求出AD与平面PAC所成角即可;(3)根据DE⊥AE,DE⊥PE,由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角.【解答】解:(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点,DE∥BC,∴DE=BC.又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E,∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,∴AD=AB.在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=AB,∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===,即AD与平面PAC所成角的正弦值为.(3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PBC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角.17.(13分)(2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【分析】(1)由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的,所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率,根据公式得到结果.(2)由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验,根据独立重复试验公式得到变量的分布列,算出期望.【解答】解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,∴事件A的概率为(Ⅱ)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4),∴,∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是18.(13分)(2009•北京)设函数f(x)=xe kx(k≠0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求k的取值范围.【分析】(I)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.(II)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间即可;(III)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,若k<0,则当且仅当﹣≥1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,由此即可求k的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=(1+kx)e kx,f′(0)=1,f(0)=0,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x;(Ⅱ)由f′(x)=(1+kx)e kx=0,得x=﹣(k≠0),若k>0,则当x∈(﹣∞,﹣)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(﹣,+∞,)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,若k<0,则当x∈(﹣∞,﹣)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(﹣,+∞,)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当﹣≤﹣1,即k≤1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,若k<0,则当且仅当﹣≥1,即k≥﹣1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,综上可知,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增时,k的取值范围是[﹣1,0)∪(0,1].19.(14分)(2009•北京)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为x=(I)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.【分析】(I)先利用条件列出关于a,c的方程解方程求出a,c,b;即可求出双曲线方程.(II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A,B坐标之间的方程,再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值.【解答】解:(Ⅰ)由题意,,解得a=1,c=,b2=c2﹣a2=2,∴所求双曲C的方程.(Ⅱ)设P(m,n)(mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y﹣n=﹣(x﹣m),化简得mx+ny=2.以及m2+n2=2得(3m2﹣4)x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<m2<2,3m2﹣4≠0,且△=16m2﹣4(3m2﹣4)(8﹣2m2)>0,设A、B两点的坐标分别(x1,y1),(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.∵,且=x1x2+[4﹣2m(x1+x2)+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0.∴∠AOB的大小为900.20.(13分)(2009•北京)已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…a n,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明:a1=1,且;(Ⅲ)证明:当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.【分析】(I)根据性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j与两数中至少有一个属于A,验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素;(Ⅱ)由性质P,知a n a n>a n,故a n a n∉A,从而1=∈A,a1=1.再验证又∵<<…<<,,,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,命题得证;(Ⅲ)跟据(Ⅱ),只要证明即可.【解答】解:(Ⅰ)由于3×与均不属于数集{1,3,4,∴该数集不具有性质P.由于1×2,1×3,1×6,2×3,,,,,,都属于数集{1,2,3,6,∴该数集具有性质P.(Ⅱ)∵A={a1,a2,…,a n}具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1<a2<…<a n,∴a n a n>a n故a n a n∉A.从而1=∈A,a1=1.∵1=a1<a2<…a n,n≥2,∴a k a n>a n(k=2,3,4,…,n),故a k a n∉A(k=2,3,4,…,n).由A具有性质P可知∈A(k=2,3,4,…,n).又∵<<…<<,∴,,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n=5时,有,,即a5=a2•a4=a32,∵1=a1<a2<…<a5,∴a3a4>a2a4=a5,∴a3a4∉A,由A具有性质P可知∈A.由a2•a4=a32,得∈A,且1<,∴,∴,即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1,公比为a2等比数列.。

2009年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

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绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)已知向量=(1,0),=(0,1),=k+(k∈R),=﹣,如果∥,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=﹣1且c与d同向D.k=﹣1且c与d反向3.(5分)为了得到函数y=lg的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度4.(5分)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.5.(5分)“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=()A.45B.55C.70D.807.(5分)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.6488.(5分)点P在直线l:y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B 两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是()A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.(5分)=.10.(5分)若实数x,y满足则s=y﹣x的最小值为.11.(5分)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为.12.(5分)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.13.(5分)若函数则不等式的解集为.14.(5分){a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=a n,n∈N*则a2009=;a2014=.三、解答题(共6小题,满分80分)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由.17.(13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.18.(13分)设函数f(x)=xe kx(k≠0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求k的取值范围.19.(14分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为x=(I)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.20.(13分)已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…a n,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明:a1=1,且;(Ⅲ)证明:当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.2009年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】A1:虚数单位i、复数;A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可确定复数z所在象限.【解答】解:∵z=i(1+2i)=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为(﹣2,1),故选:B.【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.2.(5分)已知向量=(1,0),=(0,1),=k+(k∈R),=﹣,如果∥,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=﹣1且c与d同向D.k=﹣1且c与d反向【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.【专题】11:计算题.【分析】根据所给的选项特点,检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项.【解答】解:∵=(1,0),=(0,1),若k=1,则=+=(1,1),=﹣=(1,﹣1),显然,与不平行,排除A、B.若k=﹣1,则=﹣+=(﹣1,1),=﹣=(1,﹣1),即∥且与反向,排除C,故选:D.【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍.3.(5分)为了得到函数y=lg的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简,即可选出答案.【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选:C.【点评】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.4.(5分)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.【考点】LS:直线与平面平行.【专题】11:计算题;13:作图题;16:压轴题.【分析】画出图象,利用线段的关系,角的三角函数,求解即可.【解答】解:依题意,BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°,BB1=1×tan60°=,故选:D.【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念,属于基础知识、基本运算的考查.5.(5分)“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件;G9:任意角的三角函数的定义;GS:二倍角的三角函数.【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立,但cos2a=时,a=+2kπ(k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论.【解答】解:当a=+2kπ(k∈Z)时,cos2a=cos(4kπ+)=cos=反之,当cos2a=时,有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z),或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣(k∈Z),故选:A.【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.6.(5分)若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=()A.45B.55C.70D.80【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数,化简展开式求出a,b,求出a+b【解答】解析:由二项式定理得:(1+)5=1+C51+C52()2+C53()3+C54()4+C55•()5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70.故选:C.【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数.7.(5分)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.648【考点】D3:计数原理的应用.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0,所以百位有8种,个位有8种,写出结果数,当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果,写出结果,根据分类计数原理得到共有的结果数.【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0,所以百位有8种,十位有8种,共有8×8×4=256当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果,共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选:B.【点评】数字问题是排列中的一大类问题,条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质,很多题目要分类讨论,要做到不重不漏.8.(5分)点P在直线l:y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B 两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是()A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”【考点】IR:两点间的距离公式.【专题】11:计算题;16:压轴题;2:创新题型.【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标,进而B的坐标可表示出,把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y,求得判别式大于0恒成立,可推断出方程有解,进而可推断出直线l上的所有点都符合.【解答】解:设A(m,n),P(x,x﹣1)则,B(2m﹣x,2n﹣x+1)∵A,B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=(2m﹣x)2消去n,整理得关于x的方程x2﹣(4m﹣1)x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5>0恒成立,∴方程恒有实数解,∴故选A.【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.一般是把直线与圆锥曲线方程联立,解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断.二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.(5分)=.【考点】6F:极限及其运算.【专题】11:计算题.【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值.【解答】解:===.故答案为:.【点评】本题考查函数的极限,解题时要注意消除零因子.10.(5分)若实数x,y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6.【考点】7C:简单线性规划.【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过(4,﹣2)点时s有最小值.【解答】解:画可行域如图阴影部分,令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4,﹣2)时s有最小值﹣6,故答案为﹣6.【点评】本题考查线性规划问题:可行域画法目标函数几何意义11.(5分)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1.【考点】3I:奇函数、偶函数;62:导数及其几何意义.【分析】偶函数关于y轴对称,结合图象,根据对称性即可解决本题.【解答】解;取f(x)=x2﹣1,如图,易得该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1.故应填﹣1.【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型,在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法.12.(5分)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= 2,∠F1PF2的大小为120°.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】第一问用定义法,由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|;第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解.【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=6﹣|PF1|=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣,∴∠F1PF2=120°.故答案为:2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型,难度不大,考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位.13.(5分)若函数则不等式的解集为[﹣3,1].【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】11:计算题;16:压轴题;35:转化思想.【分析】先由分段函数的定义域选择解析式,构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解,最后两种结果取并集.【解答】解:①由.②由.∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1,故答案为:[﹣3,1].【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算.14.(5分){a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=a n,n∈N*则a2009=1;a2014= 0.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】16:压轴题.=1,a4n﹣1=0,a2n=a n,知第一项是1,第二项是1,第三项是0,【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3,故第2009项是1,第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1,所以第2014项是0.【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1,∵a2014=a1007,1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0.【点评】培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.三、解答题(共6小题,满分80分)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.【专题】11:计算题.(Ⅰ)由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 【分析】的值,根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A,然后将C的值代入sinC,利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ)要求三角形的面积,根据面积公式S=absinC和(Ⅰ)可知公式里边的a 不知道,所以利用正弦定理求出a即可.【解答】解:(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且>0,∴A为锐角,则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A)=cosA+sinA=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinA=,sinC=,又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得∴a==,∴△ABC的面积S=absinC=×××=.【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值.灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值.16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由.【考点】MI:直线与平面所成的角;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC,满足定理所需条件;(2)根据DE⊥平面PAC,垂足为点E,则∠DAE是AD与平面PAC所成的角.在Rt△ADE中,求出AD与平面PAC所成角即可;(3)根据DE⊥AE,DE⊥PE,由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A ﹣DE﹣P的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角.【解答】解:(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点,DE∥BC,∴DE=BC.又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E,∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,∴AD=AB.在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=AB,∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===,即AD与平面PAC所成角的正弦值为.(3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PBC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角.【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法,涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强.17.(13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式;CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题.【分析】(1)由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的,所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率,根据公式得到结果.(2)由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验,根据独立重复试验公式得到变量的分布列,算出期望.【解答】解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,∴事件A的概率为(Ⅱ)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4),∴,∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指,两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件,遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率.18.(13分)设函数f(x)=xe kx(k≠0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求k的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】(I)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.(II)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间即可;(III)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,若k<0,则当且仅当﹣≥1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,由此即可求k的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=(1+kx)e kx,f′(0)=1,f(0)=0,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x;(Ⅱ)由f′(x)=(1+kx)e kx=0,得x=﹣(k≠0),若k>0,则当x∈(﹣∞,﹣)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(﹣,+∞,)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,若k<0,则当x∈(﹣∞,﹣)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(﹣,+∞,)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当﹣≤﹣1,即k≤1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,若k<0,则当且仅当﹣≥1,即k≥﹣1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,综上可知,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增时,k的取值范围是[﹣1,0)∪(0,1].【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力以及分类讨论思想.属于基础题.19.(14分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为x=(I)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.【考点】KJ:圆与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;15:综合题;16:压轴题;35:转化思想.【分析】(I)先利用条件列出关于a,c的方程解方程求出a,c,b;即可求出双曲线方程.(II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A,B坐标之间的方程,再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值.【解答】解:(Ⅰ)由题意,,解得a=1,c=,b2=c2﹣a2=2,∴所求双曲C的方程.(Ⅱ)设P(m,n)(mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y﹣n=﹣(x﹣m),化简得mx+ny=2.以及m2+n2=2得(3m2﹣4)x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<m2<2,3m2﹣4≠0,且△=16m2﹣4(3m2﹣4)(8﹣2m2)>0,设A、B两点的坐标分别(x1,y1),(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.∵,且=x1x2+[4﹣2m(x1+x2)+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0.∴∠AOB的大小为900.【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.20.(13分)已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…a n,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明:a1=1,且;(Ⅲ)证明:当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.【考点】8B:数列的应用.【专题】14:证明题;15:综合题;16:压轴题;23:新定义;32:分类讨论.【分析】(I)根据性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j与两数中至少有一个属于A,验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素;(Ⅱ)由性质P,知a n a n>a n,故a n a n∉A,从而1=∈A,a1=1.再验证又∵<<…<<,,,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,命题得证;(Ⅲ)跟据(Ⅱ),只要证明即可.【解答】解:(Ⅰ)由于3×与均不属于数集{1,3,4,∴该数集不具有性质P.由于1×2,1×3,1×6,2×3,,,,,,都属于数集{1,2,3,6,∴该数集具有性质P.(Ⅱ)∵A={a1,a2,…,a n}具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1<a2<…<a n,∴a n a n>a n故a n a n∉A.从而1=∈A,a1=1.∵1=a1<a2<…a n,n≥2,∴a k a n>a n(k=2,3,4,…,n),故a k a n∉A(k=2,3,4,…,n).由A具有性质P可知∈A(k=2,3,4,…,n).又∵<<…<<,∴,,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n=5时,有,,即a5=a2•a4=a32,∵1=a1<a2<…<a5,∴a3a4>a2a4=a5,∴a3a4∉A,由A具有性质P可知∈A.由a2•a4=a32,得∈A,且1<,∴,∴,即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1,公比为a2等比数列.【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法.此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属于较难层次题.。

2009年湖北省高考数学试题答案(理数)

2009年湖北省高考数学试题答案(理数)

09年普通高等学校全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。

1、已知是两个向量集合,则P Q =A .{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}2.设a 为非零实数,函数的反函数是A 、B 、C 、D 、3、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m 和n,则复数(m+ni )(n-mi)为实数的概率为 A 、13 B 、14 C 、16D 、1124.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当2.2D 为奇函数时,向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到一个班,则不同分法的种数为.18A .24B .30C .36D6.设222212012122)...2nn nn n x a a x a x a xa x--+=+++++(,则2024213521li m [(...)(n n n a a a a a a a a-→∞++++-++++=.1A-.0B.1C2 .2 D7.已知双曲线22122x y-=的准线过椭圆22214x yb+=的焦点,则直线2y kx=+与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.11,22K⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.11,,22K⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 22,22K⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.22,,22K⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎪⎝⎦⎣⎭8.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。

每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台。

高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题:数列

高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题:数列

高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题:数列1.等比数列{}n a 中,已知142,16a a ==(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项,试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足:3576,24a a a =+=.(1)求等差数列{}n a 的通项公式;(2)求数列1{}nS 的前n 项和n T .3.已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==,()12N n n a a n *+=∈,()12311111N 23n n b b b b b n n *+++++=-∈ .(1)求n a 与n b ;(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .4.已知等差数列{}n a 满足36a =,前7项和为749S =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 满足()33n n n b a =-⋅,求{}n b 的前n 项和n T .5.已知{}n a 是递增的等比数列,11a =,且22a 、332a 、4a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设21231log log n n n b a a ++=⋅,n *∈N ,求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3项和39S =,且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求证12n T <.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==,42a b =,4212S T -=.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b +的前n 项和.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,()112,2*n n a a S n N +==+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令112(1)(1)n n n n b a a -+=--,求数列{}n b 的前n 项和n T ,求证:12n T <.答案以及解析1.答案:(1)设{}n a 的公比为q ,由已知得3162q =,解得2q =,∴112.n n n a a q -==(2)由(1)得358,32a a ==,则358,32b b ==,设{}n b 的公差为d ,则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩∴1612112)2(8n b n n =+--=-,∴数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.2.答案:(1设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ,3576,24a a a =+= ,()()111264624a d a d a d +=⎧∴⎨+++=⎩,解得:122d a =⎧⎨=⎩,(2122)n a n n ∴=+-⨯=;(2由(1)得:()1(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+,所以1211111111 11223(1)(1)n n n T S S S S n n n n =++++=++++-⨯⨯-+ 11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++.3.答案:(1)由112,2n n a a a +==,知0n a ≠,故12n n a a +=,即{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,得()2N n n a n *=∈.由题意知,当1n =时,121b b =-,故22b =.当2n ≥时,11n n n b b b n +=-,整理得11n n b b n n +=+,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,1为公比的等比数列,即1n b n =,所以()N n b n n *=∈.(2)由(1)知2n n n a b n =⋅.因此231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①23412222322n n T n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,②①-②得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅.故()()1122N n n T n n +*=-+∈.4.答案:(1)由()177477492a a S a ⨯+===,得47a =,因为36a =,所以11.4d a ==,故3n a n =+.(2)()333n n n n b a n =-⋅=⋅,所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②由①-②得1231133233333313n n n n n T n n +++--=++++-⨯=-⨯- ,所以1(21)334n n n T +-⨯+=.5.答案:(1)设数列{}n a 的公比为q ,由题意及11a =,知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列,34232a a a ∴=+,2332q q q ∴=+,即2320q q -+=,解得2q =或1q =(舍去),2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==;(2)()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭ ,11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()13113232212431114122221n n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭+⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭.6.答案:(1)由3S 9=得13a d +=①;125,,,a a a 成等比数列得:()()21114a a d a d +=+②;联立①②得11,2a d ==;故21n a n =-.(2)111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭.7.答案:(1)由1142,a b a b ==,则()()421234122312S T a a a a b b a a -=+++-+=+=,设等差数列{}n a 的公差为d ,则231236312a a a d d +=+=+=,所以2d =.所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ,由题249b a ==,即2139b b q q ===,所以3q =.所以3n n b =;(2)(21)3n n n a b n +=++,所以{}n n a b +的前n 项和为()()1212n n a a a b b b +++++++ ()2(3521)333n n =++++++++ ()()313331(321)(2)2132n n n n n n --++=+=++-8.答案:(1)()12,*n n a S n N +=+∈,①当1n =时,212a S =+,即24a =,当2n ≥时,12n n a S -=+,②由①-②可得11n n n n a a S S +--=-,即12n n a a +=,∴2222,2n n n a a n -=⨯=≥当1n =时,1122a ==,满足上式,∴()2n n a n N *=∈(2)由(1)得1112111()(21)(21)22121n n n n n n b -++==-----∴1111111111(1)(1)23372121221n n n n T ++=-+-++-=---- ∴12n T <。

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个2.(5分)已知=2+i,则复数z=()A.﹣1+3i B.1﹣3i C.3+i D.3﹣i3.(5分)不等式<1的解集为()A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|x<0} 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种6.(5分)设、、是单位向量,且,则•的最小值为()A.﹣2 B.﹣2 C.﹣1 D.1﹣7.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.8.(5分)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.9.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣210.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.1 B.2 C.D.411.(5分)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数12.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF 交C于点B,若=3,则||=()A.B.2 C.D.3二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.14.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=81,则a2+a5+a8=.15.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于.16.(5分)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.18.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.19.(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.20.(12分)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1+)a n+.(1)设b n=,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.21.(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.22.(12分)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2].(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:.2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B,再根据补集的含义求解.【解答】解:A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9}∴∁U(A∩B)={3,5,8}故选A.也可用摩根律:∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选A2.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)已知=2+i,则复数z=()A.﹣1+3i B.1﹣3i C.3+i D.3﹣i【分析】化简复数直接求解,利用共轭复数可求z.【解答】解:,∴故选B3.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)不等式<1的解集为()A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|x<0}【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值.【解答】解:∵<1,∴|x+1|<|x﹣1|,∴x2+2x+1<x2﹣2x+1.∴x<0.∴不等式的解集为{x|x<0}.故选D4.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到a和b 的关系,从而推断出a和c的关系,答案可得.【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0,因渐近线与抛物线相切,所以b2﹣4a2=0,即,故选择C.5.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法.故共有345种选法.故选D6.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)设、、是单位向量,且,则•的最小值为()A.﹣2 B.﹣2 C.﹣1 D.1﹣【分析】由题意可得=,故要求的式子即﹣()•+=1﹣cos=1﹣cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值.【解答】解:∵、、是单位向量,,∴,=.∴•=﹣()•+=0﹣()•+1=1﹣cos=1﹣cos≥.故选项为D7.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角(如∠A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之.【解答】解:设BC的中点为D,连接A1D、AD、A1B,易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角;并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=,|A1D|=,|A1B|=,由余弦定理,得cosθ==.故选D.8.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.【分析】先根据函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.【解答】解:∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称.∴∴由此易得.故选A9.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.【解答】解:设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又∵∴x0+a=1∴y0=0,x0=﹣1∴a=2.故选项为B10.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.1 B.2 C.D.4【分析】分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD 则∠ACQ=∠PBD=60°,在三角形APQ中将PQ表示出来,再研究其最值即可.【解答】解:如图分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD则∠ACQ=∠PDB=60°,,∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故答案选C.11.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f(x)的周期,然后利用此周期推导选择项.【解答】解:∵f(x+1)与f(x﹣1)都是奇函数,∴函数f(x)关于点(1,0)及点(﹣1,0)对称,∴f(x)+f(2﹣x)=0,f(x)+f(﹣2﹣x)=0,故有f(2﹣x)=f(﹣2﹣x),函数f(x)是周期T=[2﹣(﹣2)]=4的周期函数.∴f(﹣x﹣1+4)=﹣f(x﹣1+4),f(﹣x+3)=﹣f(x+3),f(x+3)是奇函数.故选D12.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=()A.B.2 C.D.3【分析】过点B作BM⊥x轴于M,设右准线l与x轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据,求出BM,AN,进而可得|AF|.【解答】解:过点B作BM⊥x轴于M,并设右准线l与x轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故FM=,故B点的横坐标为,纵坐标为±即BM=,故AN=1,∴.故选A二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240.【分析】首先要了解二项式定理:(a+b)n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n,各项的通项公式为:T r=C n r a n﹣r b r.然后根据题目已知求解即可.+1【解答】解:因为(x﹣y)10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3(﹣1)3=﹣C103x7y3,含x3y7的项为C107x10﹣7y7(﹣1)7=﹣C107x3y7.由C103=C107=120知,x7y3与x3y7的系数之和为﹣240.故答案为﹣240.14.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=81,则a2+a5+a8=27.【分析】由s9解得a5即可.【解答】解:∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于20π.【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为O',球心为O,在RT△OBO'中,求出球的半径,然后求出球的表面积.【解答】解:在△ABC中AB=AC=2,∠BAC=120°,可得由正弦定理,可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RT△OBO'中,易得球半径,故此球的表面积为4πR2=20π故答案为:20π16.(5分)(2009•全国卷Ⅰ)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8.【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式,之后转化成关于tanx的函数,将tanx看破成整体,最后转化成函数的最值问题解决.【解答】解:令tanx=t,∵,∴故填:﹣8.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)(2009•全国卷Ⅰ)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系,再根据a2﹣c2=2b即可得到答案.【解答】解:法一:在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:,化简并整理得:2(a2﹣c2)=b2.又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2.解得b=4或b=0(舍);法二:由余弦定理得:a2﹣c2=b2﹣2bccosA.又a2﹣c2=2b,b≠0.所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC,∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC由正弦定理得,故b=4ccosA②由①,②解得b=4.18.(12分)(2009•全国卷Ⅰ)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.【分析】(Ⅰ)法一:要证明M是侧棱SC的中点,作MN∥SD交CD于N,作NE⊥AB交AB于E,连ME、NB,则MN⊥面ABCD,ME⊥AB,设MN=x,则NC=EB=x,解RT△MNE即可得x的值,进而得到M为侧棱SC的中点;法二:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标,然后根据中点公式进行判断;法三:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,构造空间向量,然后数乘向量的方法来证明.(Ⅱ)我们可以以D为坐标原点,分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小.【解答】证明:(Ⅰ)作MN∥SD交CD于N,作NE⊥AB交AB于E,连ME、NB,则MN⊥面ABCD,ME⊥AB,设MN=x,则NC=EB=x,在RT△MEB中,∵∠MBE=60°∴.在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1,从而∴M为侧棱SC的中点M.(Ⅰ)证法二:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,则.设M(0,a,b)(a>0,b>0),则,,由题得,即解之个方程组得a=1,b=1即M(0,1,1)所以M是侧棱SC的中点.(I)证法三:设,则又故,即,解得λ=1,所以M是侧棱SC的中点.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,设分别是平面SAM、MAB的法向量,则且,即且分别令得z1=1,y1=1,y2=0,z2=2,即,∴二面角S﹣AM﹣B的大小.19.(12分)(2009•全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.【分析】(1)由题意知前2局中,甲、乙各胜1局,甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局,根据各局比赛结果相互独立,根据相互独立事件的概率公式得到结果.(2)由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由上一问可知ξ的可能取值是2、3,由于各局相互独立,得到变量的分布列,求出期望.【解答】解:记A i表示事件:第i局甲获胜,(i=3、4、5)B i表示第j局乙获胜,j=3、4(1)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利,∵前2局中,甲、乙各胜1局,∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局,∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立,∴P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648(2)ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立,得到ξ的分布列P(ξ=2)=P(A3A4+B3B4)=0.52P(ξ=3)=1﹣P(ξ=2)=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48.20.(12分)(2009•全国卷Ⅰ)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1+)a n+.(1)设b n=,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.【分析】(1)由已知得=+,即b n=b n+,由此能够推导出所求的通+1项公式.(2)由题设知a n=2n﹣,故S n=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+),设T n=1++++…+,由错位相减法能求出T n=4﹣.从而导出数列{a n}的前n项和S n.【解答】解:(1)由已知得b1=a1=1,且=+,即b n=b n+,从而b2=b1+,+1b3=b2+,b n=b n﹣1+(n≥2).于是b n=b1+++…+=2﹣(n≥2).又b1=1,故所求的通项公式为b n=2﹣.(2)由(1)知a n=2n﹣,故S n=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+),设T n=1++++…+,①T n=+++…++,②①﹣②得,T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣,∴T n=4﹣.∴S n=n(n+1)+﹣4.21.(12分)(2009•全国卷Ⅰ)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程,根据抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根,可求出r的范围.(2)先设出四点A,B,C,D的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积,表示出面积并求出其的平方值,最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标.【解答】解:(Ⅰ)将抛物线E:y2=x代入圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)的方程,消去y2,整理得x2﹣7x+16﹣r2=0(1)抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根∴即.解这个方程组得,.(II)设四个交点的坐标分别为、、、.则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•(x﹣x1),y+=(x﹣x1),解得点P的坐标为(,0),则由(I)根据韦达定理有x1+x2=7,x1x2=16﹣r2,则∴令,则S2=(7+2t)2(7﹣2t)下面求S2的最大值.由三次均值有:当且仅当7+2t=14﹣4t,即时取最大值.经检验此时满足题意.故所求的点P的坐标为.22.(12分)(2009•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2].(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:.【分析】(1)根据极值的意义可知,极值点x1、x2是导函数等于零的两个根,根据根的分布建立不等关系,画出满足条件的区域即可;(2)先用消元法消去参数b,利用参数c表示出f(x2)的值域,再利用参数c 的范围求出f(x2)的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=3x2+6bx+3c,(2分)依题意知,方程f'(x)=0有两个根x1、x2,且x1∈[﹣1,0],x2∈[1,2]等价于f'(﹣1)≥0,f'(0)≤0,f'(1)≤0,f'(2)≥0.由此得b,c满足的约束条件为(4分)满足这些条件的点(b,c)的区域为图中阴影部分.(6分)(Ⅱ)由题设知f'(x2)=3x22+6bx2+3c=0,则,故.(8分)由于x2∈[1,2],而由(Ⅰ)知c≤0,故.又由(Ⅰ)知﹣2≤c≤0,(10分)所以.。

高考文科数学试题分类汇编复数精品

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2009-20年高考文科数学试题分类汇编——复数一、选择题1.(20年广东卷文)下列n的取值中,使=1(i是虚数单位)的是()(A)n=2 (B)n=3 (C)n=4 (D)n=52.(2009浙江卷文)设z=1+i(i是虚数单位),则+z2=()(A)1+i(B)-1+i (C) 1-i (D)-1-i3.(2009山东卷文)复数等于()(A)1+2i(B)1-2i(C)2+i(D)2-i4. (2009安徽卷文)i是虚数单位,i(1+i)等于()(A)1+i (B)-1-i (C)1-i (D)-1+i5.(2009天津卷文)i是虚数单位,=()(A)1+2i (B)-1-2i (C)1-2i (D)-1+2i6. (2009宁夏海南卷文)复数=()(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i7. (2009辽宁卷文)已知复数z=1-2i,则=()(A)+i(B)-i(C)+i(D)-i8.(2010湖南文数1)复数等于()(A) 1+i(B) 1-i (C)-1+i (D)-1-i9.(2010浙江理数)对随意复数z=x+(x R,y R),i为虚数单位,则下列结论正确的是()(A)-|=2y(B)z2=x2+y2(C)-|≥2x(D)≤+10.(2010全国卷2理数)复数()2=()(A)-3-4i(B)-3+4i(C)3-4i(D)3+4i11.(2010陕西文数)复数z=在复平面上对应的点位于()(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限12.(2010辽宁理数(2))设a,b为实数,若复数=1+i,则()(A)a=,b=(B)a=3,b=1(C)a=,b=(D)a=1,b=313.(2010江西理数)已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()(A)x=-1,y=1 (B)x=-1,y=2(C)x=1,y=1 (D)x=1,y=214.(2010安徽文数(2))已知i2=-1,则i(1-i)=()(A)-i(B)+i (C)--i (D)-+i15.(2010浙江文数)设i为虚数单位,则=()(A)-2-3i (B)-2+3i(C)2-3i (D)2+3i16.(2010山东文数)已知=b+i(a,b R),其中i为虚数单位,则a+b=()(A)-1(B) 1 (C)2 (D) 317.(2010北京文数(2))在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B,若C为线段的中点,则点C对应的复数是()(A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i18.(2010四川理数(1))i是虚数单位,计算i+i2+i3=()(A)-1 (B)1 (C)-i(D)i19.(2010天津文数)i是虚数单位,复数=()(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i20.(2010天津理数)i 是虚数单位,复数=()(A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i (D)-1-i21.(2010广东理数)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=()(A)4+2 i (B) 2+ i (C) 2+2 i (D)322.(2010福建文数)i是虚数单位,()4等于()(A)i (B)-i (C)1 (D)-123.(2010全国卷1理数(1))复数=()(A)i (B)-i(C)12-13i(D) 12+13i24.(2010山东理)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=()(A)-1 (B)1 (C)2 (D)325.(2010安徽理数1)i是虚数单位,+3i) =()(A)-,12) I(B)+,12) i(C)+,6) i(D)-,6) i26. (20年北京理)复数=()(A)i (B)-i (C)--i (D)-+i27.(20年福建理)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则()(A)i S(B)i2S(C)i3S(D)S28.(2010湖北理数)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数Z,则表示复数的点是()(A)E(B)F(C)G(D)H29.(20年安徽理(1))设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为()(A)2 (B)-2 (C)-(D)30.(20年福建文)i是虚数单位,1+i3等于()(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i31.(20年广东理1)设复数z满意(1+i)z=2,其中i为虚数单位,则Z=()(A)1+i (B)1-i (C)2+2i (D)2-2i 32.(20年广东文1)设复数z满意=1,其中i为虚数单位,则z=()(A)-i(B)i(C)-1(D)133.(20年湖北理1)i为虚数单位,则()2011=()(A)-i(B)-1(C)i(D)134.(20年湖南理1)若a,b R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则()(A)a=1,b=1(B)a=-1,b=1(C)a=-1,b=-1(D)a=1,b=-135.(20年江西理1)设z=i) ,则复数=()(A)-2-i(B)-2+i(C)2-i(D)2+i36.(20年江西文1)若(x-i)i=y+2i,x,y R,则复数x+=()(A)-2+i (B) 2+i (C)1-2i(D)1+2i37.(20年辽宁理1)a为正实数,i为虚数单位,||=2,则a=()(A)2 (B)(C)(D)138.(20年辽宁文2)i为虚数单位,+++=()(A)0 (B)2i(C)-2i(D)4i39.(20年全国Ⅰ理(1))复数的共轭复数是()(A)-i(B)i(C)-i(D)i40.(20年全国Ⅰ文(3))已知复数z=+i,(1-i)2) ,则=()(A)(B)(C)1 (D)241.(20年全国Ⅱ理(1))复数z=1+i,为z的共轭复数,则z-z-1=()(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i42.(20年山东理)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限43.(20年四川理2)复数-i+=()(A)-2i(B)i(C)0 (D)2i44.(20年天津理1)i是虚数单位,复数=()(A)1+i(B)5+5i(C)-5-5i(D)-1-i45.(20年天津文1)i是虚数单位,复数()(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i46.(20年浙江文)若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+i)z=()(A)1+3i(B)3+3i(C)3-i(D)347.(20年重庆理(1))复数=()(A)--i (B)-+i (C)-i(D)+i48.【2012安徽文1】复数z满意(z-i)i=2+i,则z=()(A)-1-i(B)1-I(C)-1+3i(D)1-2i49.【2012新课标文2】复数z=的共轭复数是()(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i50.【2012山东文1】若复数z满意z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则为()(A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i(D)-3-5i51.【2012浙江文2】已知i是虚数单位,则=()(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i52.【2012上海文】若1+i是关于x的实系数方程x2++c=0的一个复数根,则()(A)b=2,c=3(B)b=2,c=-1(C)b=-2,c=-1(D)b=-2,c=353.【2012辽宁文3】复数=()(A)-i (B)+i(C)1-i(D)1+i54.【2012江西文1】若复数z=1+i(i为虚数单位)是z的共轭复数,则z2+2的虚部为()(A)0 (B)-1 (C)1 (D)-255.【2012湖南文2】复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是()(A)-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i56.【2012广东文1】设i为虚数单位,则复数=()(A)-4-3i(B)-4+3i(C)4+3i(D)4-3i57.【2102福建文1】复数(2+i)2等于()(A)3+4i (B)5+4i (C)3+2i (D)5+2i58.【2102北京文2】在复平面内,复数对应的点的坐标为()(A)(1 ,3)(B)(3,1)(C)(-1,3)(D)(3 ,-1)59.【2012天津文科1】i是虚数单位,复数i)=(A)1-i (B)-1+i(C)1+i(D)-1-i60.(20年辽宁卷(文))复数的z=i-1)模为()(A)(B),2)(C)(D)261.(20年课标Ⅱ卷(文))||=()(A)2(B)2 (C)(D)162.(20年北京卷(文))在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于()(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限63.(20年山东卷(文))复数z=(i为虚数单位),则=()(A)25 (B)(C)5 (D)64.(20年课标Ⅰ卷(文))=()(A)-1-i (B)-1+i(C)1+i (D)1-i65.(20年福建卷)复数z=-1-2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限66.(20年广东卷(文))若i(x+)=3+4i,x,y R,则复数x+的模是()(A)2 (B)3 (C)4 (D)567.(20年江西卷)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()(A)第一象限(B)其次象限(C)第三象限(D)第四象限68.(20年四川卷(文))如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()(A)A (B)B(C)C(D)D69.(20年浙江卷(文))已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=()(A)5-5i (B)7-5i (C)5+5i (D)7+5i70.(20年安徽)设i是虚数单位,若复数a-(a R)是纯虚数,则a的值为()(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3二、填空题71.(2009江苏卷)若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为.72.(2009福建卷文)复数i2(1+i)的实部是.73.(20年江苏3)设复数i满意i(z+1)=-3+2i(i是虚数单位),则z 的实部是74.(20年浙江理2)已知复数z=,其中i是虚数单位,则=.75.【2012湖北文12】若=a+(a,b为实数,i为虚数单位),则a+b=.76.【2012江苏3】设a,b为实数,a+=(i为虚数单位),则a+b的值为.77.【2012上海文1】计算:=(i为虚数单位)78.(20年湖南)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于.79.(20年天津卷(文))i是虚数单位. 复数(3+i)(1-2i)= .80.(20年重庆卷(文))已知复数z=1+2i (i是虚数单位),则=.81.(20年上海卷(文科))设m R,m2+m-2(m2-1)i,是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m=.82.(20年湖北卷(文))i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=.三、解答题83.(20年上海理19)已知复数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.。

广东省2009-2011年高考理数试卷论文

广东省2009-2011年高考理数试卷论文

广东省2009-2011年高考理数试卷分析【摘要】高三教学有别于新知识的教学,研究近三年高考命题的走向,实际上这是最好的复习蓝本。

近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向,强调“注意通性通法,淡化特殊技巧”。

【关键词】高考试题复习蓝本通性通法【中图分类号】 g424 【文献标识码】 a 【文章编号】新课程标准的教材是按照不同模块来编排的,各个模块之间既相对独立又同属于一个完整的知识体系,模块之间相互交叉渗透。

例如:立体几何分布在两个不同的模块必修2以及选修2-1中,解析几何也存在类似的问题,新增的内容概率与统计也是分两个不同的模块来进行学习的。

将不同模块的内容整合在一道题目中,这是近三年广东高考理科数学试题最显著的特点。

高考命题不会过分追求知识的覆盖率,所以教学时应做到既要紧扣教学说明,抓基础,全面复习,当然还要突出高中数学的重点知识和主干知识;其次,教师要熟悉和研究近几年高考试题,掌握高考试题的结构和特征,明确哪些内容在近几年的考题中已经出现,哪些还未涉及过,哪些知识点常常考新,逐一排查找出知识的重点、难点、疑点,做到心中有数,有的放矢。

下面是本人对广东省近三年高考理数的考题考点的分析。

1广东省高考试题结构分析理科选择题8个,每题5分,共40分,题号是1~8;填空题6题(09年有三选二),每题5分,共30分,题号是9~15;解答题6道,共80分,题号是16~21。

2广东省2009~2011这三年高考的试卷分析(1)2009年高考理数试题分析下面以题号由小到大的顺序就09年广东数学高考试题具体分布情况作如下分析(其中13~15是三选二):1、考查集合中的元素,集合的运算;2、考查复数的运算;3、考查原函数与反函数的概念;4、考查等比数列性质,当 m+n=p+q,有amgan=apgaq ,对数的运算,等差数列求和公式;5、考查立体几何中命题的真假性;6、考查平面向量加法及解三角形中的余弦定理;7、考查排列组合知识点,关键是两大计数原理;8、考查定积分的物理意义;9、读懂程序框图,循环结构(初始变量、循环体、循环结束的控制变量);10、考查平面向量的加法,平行向量,向量的模;11、考查椭圆的标准方程;12、考查离散型随机变量的数学期望与方差的计算;13、考查坐标系与参数方程,平面内直线间的位置关系;14、考查解绝对值不等式;15、考查几何证明选讲的知识点;16、(三角函数)第一问:考查平面向量垂直关系的坐标表示,同角三角函数的关系;第二问:考查两角和(或差)的正(余)弦公式的运用;17、(概率与统计)第一问:考查频率分布直方图;第二问:考查频数的计算;第三问:考查二项分布的应用;18、(立体几何)第一问:考查线面垂直的判定定理;第二问:考查异面直线的夹角;19、(解析几何)第一问:考查相关点法求轨迹方程;第二问:考查直线与圆的位置关系(数形结合的思想);20、(函数、导数、方程及不等式)第一问:考查二次函数与导数结合,求二次函数的解析式,利用基本不等式求最值;第二问:考查函数的零点(分类讨论思想)21、(解析几何、函数、不等式)第一问:直线与曲线间的位置关系;第二问:放缩法、构造法证明不等式。

2009年高考全国卷1数学试题答案(理数)

2009年高考全国卷1数学试题答案(理数)

第一章第二节夏商西周的更替和制度1、建立:约公元前2070年,禹建立夏朝。

2、制度:夏启以“王位世袭制”代替了“禅让制”;国家机构初具规模,是我国第一个奴隶制的国家。

3、区域:今河南西部和山西南部;相传都城在阳城(今河南登封)。

4、灭亡:约公元前1600年,桀暴虐无道,商汤起兵打败夏桀。

二、商朝兴衰1、建立:商汤灭夏建立商朝,以亳(今河南郑州)为都城。

2、迁都:商朝中期,商王盘庚迁都殷,故商朝又称殷朝,是当时世界上的大国。

3、奴隶制:实行残酷的“人殉”和“人祭”。

4、衰亡:暴君商纣残酷统治,社会矛盾尖锐,周武王灭纣,商亡。

三、西周1、武王伐纣:公元前1046年,牧野之战,周武王打败商纣,商亡。

周朝建立,都城在镐京(今陕西西安),史称西周。

2、制度(1)井田制:①是奴隶社会的国有土地制度,是奴隶社会的经济基础。

②规定:土地属于周王所有,周王将土地分赐给诸侯臣下,受田者只能世代享用,不得转让与买卖,并向周王交纳贡赋。

③奴隶在井田上集体劳动。

(2)分封制:①内容:周王将一定的土地和人民分封给王族、功臣和先代贵族,建立诸侯国;诸侯要服从周王,向周王贡献财物,随从作战。

②诸侯国:重要的诸侯国有齐、鲁、燕、卫、晋、宋等。

③它使周朝巩固了统治,扩大了疆域。

3、灭亡:(1)国人暴动:公元前841年,爆发“国人暴动”反抗周厉王的残酷剥削。

(2)公元前771年,犬戎族攻破镐京,西周灭亡;第二年,周平王迁都洛邑,史称东周。

作者:深冬之寒2007-2-13 21:24 回复此发言________________________________________2回复:【历史】高三中国古代史复习提纲第三节夏商西周的社会经济一、农业和畜牧业1、农作物:品种多,“五谷”在商周时期都已种植。

2、耕作技术:集体耕作;农具主要是木、石和骨器,少量使用青铜工具;已懂施肥。

3、畜牧业:占有重要地位,家畜多,除食用外还用于拉车和祭祀。

二、手工业1、青铜器:①主要手工部门,称为“青铜时代”,商周达到繁盛。

2009年高考上海数学试题答案(理数)

2009年高考上海数学试题答案(理数)

2009年高考上海数学试题答案(理数) 一、(第一题至第14题)1. i2. 1a ≤3. 83x > 4. 2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩5 47=9. 3 10.3411. 1k ≤ 12. 14 13.()3,3 14. 2arctan 3二.(第15题至第18题)三. (第19题至第23题) 19.解:如图,建立空间直角坐标系。

则 A ()2,0,0,C ()0,2,0,A 1()2,0,2,B 1()0,0,2,C 1()0,2,2, …… 2分设AC 的中点为M , BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴ BM ⊥平面11AC C ,即BM=(1,1,0)是平面11AC C 的一个法向量。

……5分设平面A 1B 1C 的一个法向量是n=(),,x y z ,1AC =()2,2,2--,11A B =()2,0,0-, …… 7分∴n ⋅11A B=2x -=0,∴n ⋅1AC =2220x y z -+-=,令1z =,解得0,1x y ==。

∴n=()0,1,1, …… 10分设法向量n 与BM的夹角为ϕ,二面角111B AC C --θθ的大小为,显然为锐角。

1cos cos 2|n BM n BM θ⋅=ϕ==⋅ ,解得3πθ=∴二面角111B AC C --的大小为3π…… 14分20. 证明:(1)当≥x7时,0.4(1)()(3)(4)f x f x x x +-=--而当≥x 7时,函数(3)(4)x x --y=单调递增,且(3)(4)0x x --> ……3分故(1)()f x f x +-单调递减。

所以,当≥x 7,掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降 ……6分解:(2)由题意可知0.115ln0.856aa +=- ……9分 整理得0.056ae a =- ……13分 解得(]0.050.05620.506123.0,123.0121,1271e a e =⋅≈⨯=∈- ……14分 由此可知,该学科是乙学科 21.解:(1)双曲线C的渐近线0m y =,即0x = …… 2分 ∴直线l的方程0x += …… 6分∴直线l 与m的距离d =…… 8分 (2)证法一:设过原点且平行于l 的直线:0,b kx y -=则直线l 与b 的距离d =,当2k >时,d >。

2009年全国高考陕西数学试题答案(理数)

2009年全国高考陕西数学试题答案(理数)

2009年全国高考陕西数学试题答案(理数)一、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)1.不等式3x﹣a≤0的正整数解是1,2,3,则a的取值范围是_________.2.不等式x≤的正整数解是_________.3.不等式﹣9+3x≤0的非负整数解的和为_________.4.不等式x﹣2≤5的正整数解是_________.5.不等式9﹣3x>0的非负整数解是_________.6.不等式﹣4(x+1)≤16的负整数解是_________.7.请写出解集为x<3的不等式:_________.(写出一个即可)8.不等式组的整数解为_________.二、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)9.下列不等式一定成立的是()A.5a>4a B.x+2<x+3 C.﹣a>﹣2a D.10.已知x>y,则下列不等式不成立的是()A.x﹣6>y﹣6 B.3x>3y C.﹣2x<﹣2y D.﹣3x+6>﹣3y+611.给出四个命题:①若a>b,c=d,则ac>bd;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac2>bc2;④若ac2>bc2,则a >b.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图所示,在数轴上表示了某不等式的解集,则这个不等式可能是()A.3x≤1 B.3x≤﹣1 C.3x≥1 D.3x≥﹣1三、填空题(共11小题,每小题3分,满分33分)13.使二次根式有意义的x的取值范围是_________.14.如果2﹣3a<﹣4a,则a的取值范围是_________.15.已知不等式(a﹣1)x>a﹣1的解集是x<1,求a的取值范围_________.16.当m_________时,不等式(2﹣m)x<8的解集为x>.17.已知不等式组无解,则m的取值范围是_________.18.如果不等式组有解,求m的取值范围_________.19.若不等式组无解,则m的取值范围是_________.20.不等式组的解集是_________.21.已知x和y满足方程组,则9x2﹣4y2=_________.22.已知点P(m﹣3,m+1)在第一象限,则m的取值范围是_________.23.已知点A(2﹣a,a+1)在第一象限,则a的取值范围是_________.四、选择题(共2小题,每小题3分,满分6分)24.(2003•滨州)函数y=kx+b(k、b为常数)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>0的解集是()A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>225.如图所示,一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)与正比例函数y=ax(a为常数,且a≠0)相交于点P,则不等式kx+b>ax的解集是()A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2五、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)26.(2010•龙岩)已知一次函数y=kx+b的图象如图,当x<0时,y的取值范围是_________.27.若的值是非负数,则x的取值范围是_________.28.代数式的值不大于的值,那么a的取值范围是_________.29.若代数式的值不小于代数式的值,则x的取值范围是_________.30.关于x的方程的解为x=1,则a=_________.六、解答题(共18小题,满分0分)31.解不等式组:,并找出非负整数解.32.解不等式(组),并把解集分别表示在数轴上(1)﹣2(x﹣3)>1 (2).33.如图所示,一筐橘子分给若干个儿童,如果每人分4个,则剩下9个;如果每人分6个,则最后一个儿童分得的橘子数少于3个,问共有_________个儿童,分了_________个橘子?34.某工艺品厂的手工编织车间有工人20名,每人每天可编织5个座垫或4个挂毯.在这20名工人中,如果派x 人编织座垫,其余的编织挂毯.已知每个座垫可获利16元,每个挂毯可获利24元.(1)写出该车间每天生产这两种工艺品所获得的利润y(元)与x(人)之间的函数关系式;(2)若使车间每天所获利润不小于1800元,最多安排多少人编织座垫?35.小婷和小丽去商店买东西,与售货员对话如下:小婷:阿姨,我想买一盒饼干,一袋牛奶,给你十元钱.售货员:小朋友,10元钱买一盒饼干是有余的,再加一袋牛奶本来是不够;但今天是感恩节,饼干给你打9折,10元钱够了,还可以找你0.8元.小丽:原来的饼干是整数元,问:一盒饼干原价是多少元?36.(2001•陕西)某城市的一种出租车起步价为10元(即行驶5千米以内都需付款10元车费),达到或超过5千米后,每增加1千米加价1.2元(不足1千米按1千米计算),现某人乘这种出租车有甲地到乙地,支付车费17.2元.求甲、乙两地的路程.37.对于函数y=3x+6 (1)当x为什么值时,y>0?(2)如果这个函数y的值满足﹣6≤y≤6,求相应的x的取值范围.38.(2005•呼和浩特)某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保证利润不低于5%,则最多可以打几折?39.甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客,分别推出了赶某地旅游的团体优惠办法.甲旅行社的优惠办法是:买4张全票,其余人按半价优惠;乙旅行社的优惠办法是:一律按原价的优惠.已知这两家旅行社的原价均为每人100元,那么随着团体人数的变化,哪家旅行社的收费更优惠?40.(2006•河南)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价8折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价8.5折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).(1)请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用;(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.41.(2000•嘉兴)国家为了鼓励居民合理用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电不超过100千瓦•时,按每千瓦•时0.57元计费;每月用电超过100千瓦•时,其中100千瓦•时按原标准收费,超过部分按每千瓦•时0.50元计费.(1)设月用电x千瓦•时,应交电费y元,当x≤100和x>100时,分别写出y关于x的函数解析式;42.(2009•德城区)甲、乙两人骑自行车前往A地,他们距A地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)甲、乙两人的速度各是多少?(2)求出甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式.(3)在什么时间段内乙比甲离A地更近?43.一艘轮船以每小时20千米的速度从甲港驶往160千米远的乙港,2小时后,一艘快艇以每小时40千米的速度也从甲港驶往乙港.分别列出轮船和快艇行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系式,在图中的直角坐标系中画出函数图象,观察图象回答下列问题:(1)何时轮船行驶在快艇的前面?(2)何时快艇行驶在轮船的前面?(3)哪一艘船先驶过60千米?哪一艘船先驶过100千米?44.已知A、B两个海港相距180海里.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从A港出发到B港航行过程中路程随时间变化的图象(分别是正比例函数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题:(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);(2)快艇出发多长时间后能超过轮船?(3)快艇和轮船哪一艘先到达B港?45.(2004•河北)光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分配方案,并将各种方案设计出来;(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议.46.(2006•贵阳)某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元;(1)符合公司要求的购买方案有几种?请说明理由;(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?47.扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京、已知每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B型货厢的运费是0.8万元;甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有几种方案?请你设计出来,并说明哪种方案的运费最少,最少运费是多少?七、选择题(共2小题,每小题3分,满分6分)48.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足()A.﹣8<x<8 B.x<﹣8或x>8 C.x<8 D.x>849.要使函数y=(2m﹣3)x+(3n+1)的图象经过x、y轴的正半轴,则m与n的取值应为()A.m>,n>﹣B.m>3,n>﹣3 C.m<,n<﹣D.m<,n>﹣八、解答题(共1小题,满分0分)50.如图所示,根据图中信息.(1)你能写出m、n的值吗?(2)你能写出P点的坐标吗?(3)当x为何值时,y1>y2?九、选择题(共1小题,每小题3分,满分3分)51.(2005•荆州)平面直角坐标系中的点P(2﹣m,m)关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上可表示为()A.B.C.D.十、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)52.若不等式组的解集是x<2,则a的取值范围是_________.53.如果不等式组的解集是x>4,则n的取值范围是_________.54.一元一次不等式组的解集是x>a,则a与b的关系为_________.55.若不等式组的解集是﹣1<x<2,则m=_________,n=_________.56.某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去北京旅游.甲旅行社说:如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠;乙旅行社说:包括校长在内全部按全票的6折优惠,若全票价为240元.(1)设学生数为x人,甲旅行社收费y1元,乙旅行社收费y2元,分别写出y1,y2与x的关系式_________;(2)就学生数讨论哪家旅行社更优惠_________.57.不等式2x+1<8的最大整数解是_________.十一、解答题(共1小题,满分0分)58.(2007•青岛)某饮料厂开发了A、B两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示.现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产,计划生产A、B两种饮料共100瓶.设生产A种饮料x瓶,解析下列问题:(2)如果A种饮料每瓶的成本为2.60元,B种饮料每瓶的成本为2.80元,这两种饮料成本总额为y元,请写出y 与x之间的关系式,并说明x取何值会使成本总额最低?十二、填空题(共1小题,每小题3分,满分3分)59.若不等式组的解集是﹣1<x<1,则(a+b)2006=_________.十三、选择题(共1小题,每小题3分,满分3分)60.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是()A.B.C.D.十四、填空题(共2小题,每小题3分,满分6分)61.不等式组的最小整数解是_________.62.在直角坐标系中,点P(2x﹣6,x﹣5)在第四象限,则x的取值范围是_________.。

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Task AOf all the changes that have taken place in English-language newspapers during the past quarter-century, perhaps the most far-reaching has been the inexorable decline in the scope and seriousness of their arts coverage. Not only have many newspapers done away with their book-review sections, but several major papers, including the Chicago Sun-Times and the Minneapolis Star-Tribune, no longer employ full-time classical-music critics. Even those papers that continue to review fine-arts events are devot ing less space to them, while the “think pieces” on cultural subjects that once graced the pages of big-city Sunday papers are becoming a thing of the past.It is, I suspect, difficult to the point of impossibility for the average reader under the age of forty to imagine a time when high-quality arts criticism could be found in most big-city newspapers. Yet a considerable number of the most significant collections of criticism published in the 20th century, including Virgil Thomson‟s The Musical Scene (1945), Edwin Denby‟s Looking at the Dance (1949), Kenneth Tynan‟s Curtains (1961), and Hilton Kramer‟s The Age of the Avant-Garde (1973) consisted in large part of newspaper reviews. To read such books today is to marvel at the fact that their erudite contents were once deemed suitable for publication in general-circulation dailies.We are even farther removed from the discursive newspaper reviews published in England between the turn of the 20th century and the eve of World War II, at a time when newsprint was dirt-cheap and stylish arts criticism was considered an ornament to the publications in which it appeared. In those far-off days, it was taken for granted that the critics of major papers would write in detail and at length about the events they covered.1 Theirs was a serious business, and even those reviewers who wore their learning lightly, like George Bernard Shaw and Ernest Newman, could be trusted to know what they were about. These men (for they were all men) believed in journalism as a calling, and were proud to be published in the daily press. “So few authors have brains enough or literary gift enough to keep their own end up in journalism,” Newman wrote, “that I am tempted to define …journalism‟ as …a term of contempt applied by writers who are not read to writers who are.‟”Why, then, are virtually all of these critics forgotten. Neville Cardus, who wrote for the Manchester Guardian from 1917 until shortly before his death in 1975, is now known solely as a writer of essays on the game of cr icket. During his lifetime, though, he was also one of England‟s foremost classical-music critics, a stylist so widely admired that his Autobiography (1947) became a best-seller. He was knighted in 1967, the first music critic to be so honored. Yet only one of his books is now in print, and his vast body of writings on music is unknown save to specialists.Is there any chance that Cardus's criticism will enjoy a revival The prospect seems remote. Journalistic tastes had changed long before his death, and postmodern readers have little use for the richly uphostered Vicwardian prose in which he specialized. Moreover, the amateur tradition in music criticism has been in headlong retreat.1. It is indicated in Paragraphs 1 and 2 thatA) arts criticism has disappeared from big-city newspapers.B) English-language newspapers used to carry more arts reviews.C) high-quality newspapers retain a large body of readers.D) young readers doubt the suitability of criticism on dailies.2. Newspaper reviews in England before World War 2 were characterized byA) free themes.B) casual style.C) elaborate layout.D) radical viewpoints.3. Which of the following would Shaw and Newman most probably agree onA) It is writers' duty to fulfill journalistic goals.B) It is contemptible for writers to be journalists.C) Writers are likely to be tempted into journalism.D) Not all writers are capable of journalistic writing.4. What can be learned about Cardus according to the last two paragraphsA) His music criticism may not appeal to readers today.B) His reputation as a music critic has long been in dispute.C) His style caters largely to modern specialists.D) His writings fail to follow the amateur tradition.5. What would be the best title for the textA) Newspapers of the Good Old DaysB) The Lost Horizon in NewspapersC) Mournful Decline of JournalismD) Prominent Critics in Memory。

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