数理统计
数理统计法
数理统计法
数理统计法（mathematical statistics）是统计学的一个分支，研究如何利用数学方法来分析和解释统计数据的规律和性质。
它主要涉及概率论、数理分析、线性代数和统计推断等数学工具。
数理统计法的目标是通过收集和分析数据来推断总体的特征和参数，并对统计结果进行合理的推断和解释。
它包括描述统计学和推断统计学两个方面。
描述统计学主要关注收集和整理数据，通过统计指标如均值、方差、频数分布等来描述数据的特征和分布。
推断统计学则通过对样本数据的分析来推断总体的特征和参数，包括点估计、区间估计和假设检验等。
数理统计法使用概率论的概念和方法，研究随机变量和概率分布的性质，建立统计模型和假设，利用统计推断方法
来对总体参数做出估计和推断。
它还通过数理分析和数值
计算等方法进行统计推断的演绎和计算。
数理统计法在科学研究、经济预测、社会调查等领域有广
泛应用。
它的理论和方法为决策科学和数据科学提供了重
要工具和技术，对推动科学发展和社会进步起着重要作用。
数理统计原理的应用
数理统计原理的应用一、概述数理统计是应用数学的一个分支，是研究数据分析和推断的方法的学科。
在现代社会中，数理统计的应用十分广泛，涵盖了经济、社会、医学等各个领域。
本文将介绍数理统计原理在实际应用中的一些案例，并解释其背后的统计原理。
二、市场调研2.1 问卷调查•数据收集：通过设计问卷并进行调查，收集样本数据。
•样本选取：使用随机抽样方法从整体人口中选取代表性样本。
•数据分析：对收集到的数据进行统计分析，包括计算频数、计算平均数、制作柱状图等。
•结果推断：通过对统计数据进行推断，得出对整体人口的结论。
2.2 市场分析•数据分析：通过分析市场上的销售数据、用户数据等，了解市场情况。
•假设检验：使用假设检验方法判断市场中的变化是否有统计显著性。
•预测模型：通过建立数理统计模型，对市场未来的走势进行预测。
三、医学研究3.1 临床试验•实验设计：制定合理的实验方案，包括对照组、实验组的确定等。
•样本大小计算：通过数理统计方法计算需要的样本大小，以保证实验结果的可靠性。
•数据分析：对实验产生的数据进行统计分析，包括计算效应量、进行方差分析等。
•结果推断：通过对统计数据进行推断，得出实验是否具有统计显著性。
3.2 流行病学调查•调查设计：选择合适的调查样本和调查方法，包括横断面调查、纵向研究等。
•数据分析：对调查收集到的数据进行统计分析，包括计算风险比、建立回归模型等。
•结果解释：通过对统计数据的解释，得出对人群健康状况的结论。
四、财务分析4.1 经济数据分析•数据收集：收集相关的经济数据，包括GDP、通胀率、失业率等。
•时间序列分析：使用时间序列分析方法对经济数据进行建模和预测。
•结果解释：通过分析经济数据的变化趋势，得出对经济发展的结论。
4.2 投资组合分析•数据收集：收集不同投资资产的历史收益率数据。
•风险评估：通过对历史数据进行统计分析，计算投资组合的风险和收益。
•优化选择：通过建立数理模型，选择最优的投资组合。
数理统计的意义
数理统计的意义数理统计是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
它在各个领域都有着广泛的应用，如自然科学、社会科学、医学、经济学等。
数理统计的意义在于帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势，为决策和预测提供科学依据。
数理统计的意义在于帮助我们收集和整理数据。
在实际应用中，我们往往需要大量的数据来支持我们的研究和决策。
数理统计提供了一系列的方法和技术，可以帮助我们有效地收集和整理数据，从而使数据更具有可用性和可分析性。
数理统计的意义在于帮助我们分析和解释数据。
通过数理统计的方法，我们可以对数据进行各种统计分析，如描述统计、推断统计等。
这些分析可以帮助我们揭示数据中的规律和趋势，进而对现象进行解释和预测。
例如，在医学研究中，数理统计可以帮助我们分析患者的病情和治疗效果，从而指导临床治疗和决策。
数理统计的意义还在于帮助我们进行决策和预测。
在现实生活中，我们往往面临各种决策问题，如投资决策、市场营销决策等。
数理统计可以通过对历史数据的分析和建模，提供决策支持和预测结果，帮助我们做出更加科学和准确的决策。
例如，在金融领域，数理统计可以帮助我们分析和预测股票市场的走势，从而指导投资决策。
数理统计还可以帮助我们验证和推翻科学假设。
科学研究往往需要通过实验来验证假设的有效性。
数理统计可以提供一系列的假设检验方法，帮助我们评估实验结果的可靠性和显著性。
通过数理统计的分析，我们可以得出结论，判断假设是否成立，进而推进科学研究的进展。
数理统计在现代社会中具有重要的意义。
它帮助我们收集和整理数据，分析和解释数据，进行决策和预测，验证和推翻假设。
数理统计的应用范围广泛，涉及各个领域。
它不仅是科学研究和决策的重要工具，也是推动社会发展和进步的重要手段。
只有通过科学的数据分析和解释，我们才能更好地认识和理解世界，做出更加准确和科学的决策。
因此，数理统计的意义不可忽视，它对我们的生活和社会具有重要影响。
数理统计公式
数理统计是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，其中涉及到许多公式和方法。
以下是一些常用的数理统计公式：
1. 均值公式：
均值（平均值）是一组数据的总和除以数据的个数。
均值= (x1 + x2 + ... + xn) / n
2. 方差公式：
方差是一组数据与其均值之差的平方和的平均值。
方差= ((x1 - 平均值)^2 + (x2 - 平均值)^2 + ... + (xn - 平均值)^2) / n
3. 标准差公式：
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
标准差= 方差的平方根
4. 相关系数公式：
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数= 协方差/ (x的标准差* y的标准差)
5. 正态分布公式：
正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
6. 估计公式：
估计公式用于根据样本数据估计总体参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本方差可以用来估计总体方差。
这只是数理统计中的一小部分公式，还有许多其他公式和方法，如假设检验、置信区间等。
具体使用哪些公式取决于具体的问题和数据类型。
数理统计基本概念
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
数理统计
数理统计数理统计(Mathematics Statistics)什么是数理统计数理统计是以概率论为基础，研究社会和自然界中大量随机现象数量变化基本规律的一种方法。
其主要内容有参数估计、假设检验、相关分析、试验设计、非参数统计、过程统计等。
数理统计的特点它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性.例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情况.试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批生产灯泡的使用寿命.合格率等.为了研究它的分布,利用概率论提供的数学模型进行指数分布,求出值,再利用几天的抽样试验来确定指数分布的合适性.数理统计的起源与发展数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议.数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作.在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.数理统计的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段.古典时期(19世纪以前).这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期.在这一时期里，瑞土数学家贝努里(1654-1795年)较早地系统论证了大数定律.1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后被发展为一种统计推断方法――贝叶斯方法，开创了数理统计的先河.法国数学家棣莫佛(1667-1754)于1733年首次发现了正态分布的密度函数.并计算出该曲线在各种不同区间内的概率，为整个大样本理论奠定了基础.1809年，德国数学家高斯(1777-1855)和法国数学家勒让德(1752-1833)各自独立地发现了最小二乘法，并应用于观测数据的误差分析.在数理统计的理论与应用方面都作出了重要贡献，他不仅将数理统计应用到生物学，而且还应用到教育学和心理学的研究.并且详细地论证了数理统计应用的广泛性，他曾预言："统计方法，可应用于各种学科的各个部门."近代时期(19世纪末至1845年)数理统计的主要分支建立，是数理统计的形成时期.上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展.1889年，英国数学家皮尔逊(1857-1936)提出了矩估计法，次年又提出了频率曲线的理论.并于1900年在德国数学家赫尔梅特在发现 c 2分布的基础上提出了c 2 检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布.1908年，英国的统计学家戈塞特(1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法(即t分布和t检验法)，这为数理统计的另一分支――多元分析奠定理论基础.1912年，英国统计学家费歇(1890-1962)推广了t检验法，同时发展了显著性检验及估计和方差分析等数理统计新分支.这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了其决定其面貌的内容和理论.数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科.现代时期(1945年以后)美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德(1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化，取得了很多重要成果.他发展了决策理论，提出了一般的判别问题.创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法.瓦尔德的两本著作《序贯分析》和《统计决策函数论》，被认为是数理发展史上的经典之作.由于计算机的应用，推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等.当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具.。
数理统计的基本概念
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼:
数理统计学(基础性学科理论)
与社会经济学关系
相同点
历史
不同点
历史
社会经济统计学在原始社会末期，奴隶社会早期就已经开始萌芽，主要是对人口数量与土地的丈量进行统计， 伴随着社会和经济的发展，社会经济统计学在封建社会就已经初具规模，在资本主义时期，其发展更是到了上升 时期。社会经济统计学的发展离不开人类的实践活动，在实践中逐渐成熟。直到在统计学中引入了概率论以后， 才使统计学诞生出新的学科，即数理统计学。
从数学上对生物统计进行研究的第一人是英国统计学家皮尔逊，他曾在伦敦大学学院学习，然后去德国学物 理，1881年在剑桥大学获得学士学位，1882年任伦敦大学应用数学力学教授。
具体地说与人们生活有关的如某种食品营养价值高低的调查；通过用户对家用电器性能指标及使用情况的调 查，得到全国某种家用电器的上榜品牌排名情况；一种药品对某种疾病的治疗效果的观察评价等都是利用数理统 计方法来实现的。
相同点
社会经济统计学和数理统计学都是对事物的统计规律进行研究，并且在研究方法论方面具有共通性，两者都 是利用归纳推理的研究方法而不是演绎推理的研究方法。在许多教材中，在对数理统计学的学科性质进行阐述时 都明确表示数理统计学是对随机现象的数据进行统计，并对其规律性进行研究与揭示。而关于社会经济统计学的 研究对象，在统计学术界还存在一些争议，一部分学者认为，社会经济统计学属于独立的社会科学类，主要是对 具体时间、具体地点条件下的社会经济现象中的数量表现进行研究和统计，并揭示其数量规律，认为其数量表现 和规律就是社会经济统计学需要研究的对象。还有一部分学者则认为社会经济统计学属于统计方法论科学类，重 在对社会经济现象下的数据进行收集、整理、统计与分析，认为其统计方法论就是需要研究的对象。而经过长期 的实践来看，社会经济统计学和数理统计学两者在研究对象上其实具有同一性，这两门学科都是在对事物的统计 规律进行研究和揭示。
数理统计公式
数理统计公式数理统计公式是数理统计学中的重要内容，通过公式的运用可以对数据进行分析和推断。
本文将介绍几个常用的数理统计公式，包括概率密度函数、期望值、方差和标准差等。
一、概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量的概率分布的函数。
对于一个连续随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1) f(x)≥0，对于所有的x∈R；2) ∫f(x)dx=1，即概率密度函数在整个实数轴上的积分等于1。
概率密度函数可以用来求解连续随机变量的概率。
二、期望值（Expectation）是用来描述随机变量平均取值的一个数学概念。
对于离散随机变量X，其期望值E(X)定义为E(X)=∑xP(X=x)，即随机变量X取值的加权平均值，其中P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于连续随机变量X，其期望值E(X)定义为E(X)=∫xf(x)dx，其中f(x)为X的概率密度函数。
三、方差（Variance）是用来描述随机变量离散程度的一个数学概念。
对于随机变量X，其方差Var(X)定义为Var(X)=E[(X-E(X))^2]，即随机变量X与其期望值之差的平方的期望值。
方差可以衡量数据的离散程度，方差越大表示数据越分散，方差越小表示数据越集中。
四、标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
对于随机变量X，其标准差σ定义为σ=sqrt(Var(X))。
标准差是方差的一种常见的度量方式，它具有与原始数据相同的单位，可以直观地表示数据的离散程度。
除了以上介绍的几个常用的数理统计公式外，数理统计学还有许多其他重要的公式，如协方差、相关系数、似然函数等。
这些公式在实际数据分析和统计推断中起到了重要的作用，帮助我们理解和解释数据背后的规律和特征。
数理统计公式是数理统计学的重要工具，它们可以帮助我们对数据进行分析和推断。
概率密度函数、期望值、方差和标准差是数理统计中常用的公式，通过它们的运用，我们可以更好地理解和解释数据的特征和规律。
第五章 数理统计的基本概念
线性无偏估计量
定义：如果总体参数的 点估计 满足 （ 1 ） 是样本的线性函数； （2）E
最小方差线性无偏估计量
定义：如果总体参数的 点估计 满足 （ 1 ） 是样本的线性函数； （2）对 的一切线性无偏估计量 0，D D 0
定理 (R-C不等式)
设总体X具有分布密度f ( x; )。抽取样本( x1 ,..., xn )， 设g ( )为 的一个可估函数，T T ( x1 ,..., xn )为g ( ) 的一个无偏估计量，且 满足正则条件
• 若12， 22已知
（X Y） ( 1 2 ) U ~ N (0,1)
2 1
n
2 2
m
• 若12， 22未知，但是12= 22
T （X Y） ( 1 2 ) ~ t (m n 2)
12
m
2 2
n
mS12
12
2 nS2 2 2
T
（X Y） (1 2 ) 1 1 2 mS12 nS2 /(m n 2) m n
~ t (m n 2)
推论：设( X 1 ,..., X n )和(Y1 ,..., Ym )分别为来自
2 2 正态总体N ( 1 , 1 )和N ( 2 , 2 )的两个相互
独立的样本，则随机变量
F
2 若 1 2 2
2 2 Sm / 1 2 Sn 2 / 2
~ F (m 1, n 1)
F
2 Sm 2 Sn
~ F (m 1, n 1)
第六章 参数估计
第一节 点估计
• 定义：设为总体分布中的未知参数，从X 中抽取样本 (x1,…,xn) ，构造适当的统计量 (x1,…,xn)， 估计 (以的值作为的近似)， 这种方法称为参数的点估计。 • 统计量称为的点估计量； • 对于一组样本观测值 (x1,…,xn) ，该统计量 相应的值(x1,…,xn)称为的点估计值 • 的点估计量和点估计值简称为的点估计。
数理统计的基本概念
概率论与数理统计的区别： 在概率论中,假设随机变量的分布列或者分布函数已知，然 后描述随机变量的统计规律. 数理统计首先解决,如何知道 随机变量的分布规律,如何知道分布中所含的参数.
数理统计研究问题：它研究怎样有效地收集整理和分析带有随 机性的数据,以对所考察的问题作出推断或预测,直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议.
概率统计的基本问题:依据有限个观测或试验如何对整体所作 出推论的问题.这种伴随有一定概率的推断称为统计推断.
母体与子样、经验分布函数
1、母体:把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体； 组成母体的每一个成员称为个体. 注：10、实际应用中总体往往指研究对象的某项数值指标的全体。 20、总体的某个数值指标是一个具有分布函数F(x)随机变量，称 总体为具有分布函数F(x)的总体。 30、也可能是一个随机向量,相应的分布函数就为多元函数.
(i
n! 1)！(n
i)！[F (
y)]i1[1
F(
y )] n1
f
(
y),
0 ,
a yb 其它
证明 第 i个次序统计量(i)落入无穷小区间 [ y , y y)
内这一事件等价于”容量为n的子样1 ,2 , n 中有(i 1)
个分量落入区间[a , y)内,1个分量落入区间[ y , y y)内,
n
F ( x1 ,, xn ) F ( xi ) i 1
例1 设总体 X 服从参数为 ( 0)的指数分布, ( X1, X2 ,, Xn )
是来自总体的样本, 求样本( X1, X2 ,, Xn )的概率密度.
解
总体 X 的概率密度为
ex ,
f (x)
数学的数理统计学
数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。
它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。
本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。
一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。
总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。
随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。
二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。
常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。
而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。
集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。
三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。
概率分布则用于描述随机变量的取值规律。
常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。
正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。
四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。
参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。
假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。
五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。
相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。
六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。
在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。
数理统计知识点梳理总结
数理统计知识点梳理总结一、统计学简介统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科。
在现代社会中，数据在各个领域都扮演着重要的角色，因此统计学成为了一门不可或缺的科学。
统计学的主要目的是通过对数据的分析和解释，从而得出对整体或者局部的结论。
统计学广泛应用于政治、经济、社会学、医学、环境科学、工程学等各个领域。
二、数据类型在统计学中，数据通常可以分为两种类型：定量数据和定性数据。
1. 定量数据：定量数据是可进行数值量度的数据，通常具有数值意义，可以进行数学运算。
例如，身高、体重、温度、成绩等都属于定量数据。
2. 定性数据：定性数据是指不能进行数值量度的数据，通常表示品质等性质。
例如，性别、颜色、职业等都属于定性数据。
三、描述统计描述统计是统计学中的一项重要内容，它包括了数据的整体描述和规律性分析。
描述统计的主要方法包括：中心趋势度量、离散程度度量和分布形态度量。
1. 中心趋势度量：中心趋势度量是用来描述数据集中趋势的度量。
主要包括均值、中位数和众数。
- 均值：均值是指将所有数据相加后除以数据的个数得到的平均值。
- 中位数：中位数是将数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数值。
- 众数：众数是指数据集中出现次数最多的数值。
2. 离散程度度量：离散程度度量是用来描述数据分布的离散程度的度量。
主要包括极差、方差和标准差。
- 极差：极差是指数据的最大值和最小值之间的差距。
- 方差：方差是描述数据分布离散程度的一种度量，它是各个数据与均值之间差的平方和的平均值。
- 标准差：标准差是方差的平方根，它是用来度量数据的分布离散程度的指标。
3. 分布形态度量：分布形态度量是用来描述数据分布形态的度量。
主要包括偏态系数和峰态系数。
- 偏态系数：偏态系数是用来描述数据分布偏斜程度的指标。
- 峰态系数：峰态系数是用来描述数据分布峰态程度的指标。
四、概率概率是统计学中的一个重要概念，它用来描述事件发生的可能性。
概率可以分为主观概率和客观概率。
常见数理统计量
常见数理统计量
均值（Mean）：均值是所有数据值的总和除以数据的个数。
它反映了数据的“平均”水平，是描述数据分布中心位置的重要指标。
中位数（Median）：中位数是将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数。
当数据量较大或存在极端值时，中位数更能反映数据的中心趋势。
众数（Mode）：众数是一组数据中出现次数最多的数。
它反映了数据的“主流”水平，有助于我们了解数据的集中程度。
方差（Variance）：方差是每个数据值与均值之差的平方和的平均值。
它描述了数据与其均值的离散程度，反映了数据的波动性。
标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量数据分布的离散程度。
与方差相比，标准差具有相同的量纲，更便于在不同数据集之间进行比较。
偏度（Skewness）：偏度描述了数据分布形态的偏斜程度。
正值表示数据分布向右偏斜，负值表示数据分布向左偏斜。
偏度有助于我们了解数据分布的不对称性。
峰度（Kurtosis）：峰度反映了数据分布形态的尖锐程度。
与正态分布相比，峰度值大于3的分布更为陡峭，峰度值小于3的分布则更为平缓。
峰度有助于我们了解数据分布的尖锐程度。
这些数理统计量在数据分析、预测、决策等领域具有广泛应用。
通过综合运用这些统计量，我们可以更全面地了解数据的特征，为实际问题提供科学依据。
数理统计-第一章 统计量及其分布
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第一章 统计量及其分布
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第一章 统计量及其分布
但在实际中,在样本量特别大时 (如 n≥100 ),又常用分组样本来代替完 全样本,这时需要对样本进行分组整理， 它能简明扼要地表示样本,使人们能更 好地认识总体,这是分组样本的优点。
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第一章 统计量及其分布
则 Fn (x)是一非减右连续函数，且满足 Fn (-∞) =0, Fn (+ ∞)=1 由此可见， Fn (x)是一个分布函数，称 Fn (x)为经验分 布函数。 太原理工大学 景英川
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1.6 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机 抽取 5 听饮料，称得其净重为（单 位：克） 351 347 355 344 351 这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本：
而若第一次抽到的是合格品,则第二次抽到不合格品 的概率为
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显然，如此得到的样本不是简单随 机样本。但是，当 N 很大时，我们可 以看到上述二种情 形的概率都近似等 于 p。所以当 N 很大，而 n不大（一个 经验法则是 ）时可以把 该样本近似地 看成简单随机样本。
从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能 由样本对总体作出较可靠的推断,就希望 样本能很 好的代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要 求,最常用的"简单随机抽样”有 如下二个要求： （1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体 都有同等机会被选入样本，这便意味着每一样品xi 与总体X有相同的分布。 （2）样本要有独立性，即要求样本中每一样品的 取值不影响其它样品的取值，这意 味着x1， x2, …,xn 相互独立。
第一章 统计量及其分布
常用数理统计公式
常用数理统计公式以下是一些常用的数理统计公式：1. 样本均值 (Sample Mean):x̄ = (Σxi) / n2. 总体均值 (Population Mean):μ = (Σxi) / N3. 样本方差 (Sample Variance):s^2 = (Σ(xi - x̄)^2) / (n - 1)4. 总体方差 (Population Variance):σ^2 = (Σ(xi - μ)^2) / N5. 样本标准差 (Sample Standard Deviation):s=√s^26. 总体标准差 (Population Standard Deviation):σ=√σ^27. 样本协方差 (Sample Covariance):Cov(x, y) = (Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)) / (n - 1)8. 总体协方差 (Population Covariance):Cov(X, Y) = (Σ(xi - μx)(yi - μy)) / N9. 样本相关系数 (Sample Correlation Coefficient):r = Cov(x, y) / (sxsy)10. 总体相关系数 (Population Correlation Coefficient):ρ = Cov(X, Y) / (σXσY)11. 样本标准误 (Standard Error of the Mean):SEM=s/√n12. 置信区间 (Confidence Interval):CI=x̄±(zα/2*SEM)13. z分数 (z-Score):z=(x-μ)/σ14. t分数 (t-Score):t=(x-μ)/(s/√n)15. 卡方检验 (Chi-Square Test):Chi^2 = Σ((O - E)^2) / E16. t检验 (t-Test):t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))17. 方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA):F=(MSB/MSE)18. 线性回归方程 (Linear Regression Equation):y=b0+b1*x19. 残差 (Residual):e=y-ŷ20. 判定系数 (Coefficient of Determination):R^2=(SSR/SST)=1-(SSE/SST)这些公式可以用于描述和分析数据集的中心趋势、变异性、相互关系和模型拟合程度。
数理统计公式大全
离散型
如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。
设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{= }的概率为pij,,称
为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
（2）
（2）二维随机变量的本质
（3）联合分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
数理统计的定义
数理统计的定义
哎呀呀，啥是数理统计呀？这可真是个让人头疼又好奇的问题！
对我这个小学生来说，一开始听到“数理统计”这四个字，就感觉像是遇到了一个大怪兽，神秘又可怕。
不过呢，后来老师给我们讲了讲，我好像有点明白了。
数理统计就好像是一个超级侦探，能从一堆乱七八糟的数据里面找出有用的线索。
比如说，我们班同学的考试成绩，这一堆数字看起来乱糟糟的，可通过数理统计就能知道大家的平均成绩怎么样，谁进步了，谁退步了。
这难道不神奇吗？
再比如说，我们去超市买糖果，有各种各样的品牌和价格。
要是有人能通过数理统计来分析一下，哪个品牌卖得最好，哪个价格大家最能接受，那超市的老板不就能更好地进货和定价了吗？
就像我们在拼图，数理统计就是帮我们把那些小小的数据碎片拼成一幅完整又有意义的图画。
老师还跟我们说，数理统计在很多很多地方都有用呢！科学家们用它来研究天气变化，医生们用它来分析病人的病情，就连工程师们造大桥、盖高楼也离不开它。
我就想啊，要是没有数理统计，这个世界得多乱套呀！大家都像没头的苍蝇一样，不知道该怎么做决定。
我现在还只是懂了一点点数理统计的皮毛，可我觉得它真的好厉害！我一定要好好学习，以后也能像那些厉害的大人一样，用数理统计解决好多好多问题。
我觉得呀，数理统计就是我们生活中的秘密武器，能帮我们把复杂的事情变得简单清楚，让我们做出更聪明的选择！。
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重庆大学数理学院
课程介绍
一、课程地位
概率论与数理统计：科学的语言和逻辑 研究对象:随机现象及其统计规律.
课程目的:为思考随机现象提供一种思维方式;
为掌握随机现象规律提供一套理论方法; 为数据分提供一种有效的定量分析方法.
二、课程特点 1.涉及的基础数学知识较多 高等数学，概率论，线性代数. 2.应用广泛 地球科学、神经学、人工智能、通讯网络、 资讯工程、医学、生物 学、经济学、 金融学、风险管理、心理学及社会学等. 3.内容多、任务重 课前预习、课后复习，多做练习， 经常总结和联想，学会自主学习、探索性学习.
T T
X n EX n Ym EX m Cov( X 1 , Y1 ) Cov( X 1 , Y2 ) Cov( X 1 , Ym ) Cov( X 2 , Y1 ) Cov( X 2 , Y2 ) Cov( X 2 , Ym ) Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) n 1 n 2 n m
四.常用分布的数字特征
1. X ~ B(1, p) EX p DX pq p(1 p)
2.
X ~ B(n, p) EX np
DX npq np(1 p)
3.
4.
5.
6.
EX DX ab 1 X ~ U (a, b) EX DX (b a) 2 2 12 1 1 X ~ E ( ) EX DX 2 X ~ N (a, 2 ) EX a DX 2
k 1
X是连续型随机变量,其密度函数是 f (x) 期望EX有如下性质:
(1) E (C ) C ( 2) E ( k X ) k E( X ) (3) E ( aX b) aE( X ) b ( 4) E ( X Y ) E ( X ) E (Y ); (5) X , Y独立，E ( XY ) EX EY
EX xf ( x)dx
C为常数; k为常数; a, b为常数;
2、方差: DX E( X EX )2
X是离散型:
DX xk EX pk
2 k 1
X是连续型,其密度函数是 f (x) : 一般用如下公式:
DX
x EX 2 f ( x)dx
2、二项分布: X∼B(n,p) 属离散型,描述只有两个状态的多次随机实验.也称 为n重贝努利分布.n=1时,就是0-1分布.
k P ( X k ) Cn p k q n k
(k 0,1,2,, n;0 p 1, q 1 p)
3、泊松分布: X∼P() 属离散型,描述随机到达现象. k P( X k ) e k! ( k 0,1,2, ; 0)
课程基本内容
一、相关的概率论知识 二、数理统计的基本概念与抽样分布定理 三、参数估计 1.点估计方法——矩估计法和极大似然法; 2.估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性 ）; 3.置信区间及其确定方法； 4.置信度、估计的允许误差、总体方差以及样本 容量之间的关系.
四、假设检验 1.假设检验的基本原理与两类错误； 2.假设检验的基本步骤； 3.正态总体的参数假设检验，比例的假设检验； 4.非参数假设检验（分布拟合卡方检验、秩和检 验和独立性检验）. 五、回归分析 1.回归分析的原理； 2.一元线性回归模型的参数估计方法以及估计参 性质; 3.一元线性回归的预测与控制问题； 4.多元线性回归的参数估计方法以及估计参数的 性质; 5.非线性回归。
X 1 EX 1 Ym EX m
DX 1 Cov( X 1 , X 2 ) Cov( X 1 , X n ) DX 2 Cov( X 2 , X n ) Cov( X 2 , X 1 ) Cov( X , X ) Cov( X ) Cov( X , X ) Cov( X , X ) DX n n 1 n 2
(2)随机矩阵的数学期望
T
X X 1 , X 2 , , X n , EX EX 1 , EX 2 , , EX n ;
T
Y11 Y12 Y1n EY11 Y21 Y22 Y2 n EY21 Y , EY Y EY Yn1 Ynn n1 n1
方差DX有如下性质:
DX E ( X EX ) 2 E ( X 2 ) E 2 ( X )
(1) D (C ) 0
C为常数; k为常数; a, b为常数;
( 2) D ( k X ) k 2 D ( X ) (3) D (aX b) a 2 D ( X )
( 4) D ( X ) E ( X 2 ) E 2 ( X ); (5) X , Y独立，D ( X Y ) DX DY .
(4)随机向量X的相关系数矩阵
1 r12 r1n r21 1 r2 n R r rn 2 1 n2
(5)协方差矩阵和相关系数矩阵的性质:
(a )Cov( X )对称正定; (b) X的分量相互独立时, Cov( X )为对角阵; 相关系数阵R I n .
X ~ P( )
五.协方差和相关系数
Cov( X , Y ) E ( X EX )(Y EY )称为X与Y的协方差.
计算时常用 Cov( X , Y ) E ( XY ) EX EY .
Cov( X , X ) E ( X EX ) 2 DX .
Cov( X , Y ) E ( X EX )(Y EY ) r 称为X与Y的相关系数. DX DY DX DY 若r 0, 则称X与Y不相关.
f (u )du
x
(1.2)
称X为连续型随机变量, f (x) 为X的分布密度或密度函 数. 它有:
(1) f ( x ) 0,
x ( , ) ;
( 2)
( 3 ) P (a X b) f ( x)dx
a
f ( x ) dx 1
b
分布函数的定义
EY12 EY1n EY22 EY2 n . EYn1 EYnn
(3)协方差矩阵的定义
X 1 EX 1 Y1 EY1 Cov( X , Y ) E X EX Y EY n 1 1 n X X 1 , X 2 , , X n , Y Y1 , Y2 , , Ym ;
六、方差分析与正交设计
1.方差分析的基本原理； 2.单因素方差分析方法； 3.正交试验、正交表及正交试验设计的方法和步 骤； 4.正交试验下的直观分析法和方差分析法.
七、多元统计分析
1.聚类分析原理和方法； 2.主成分分析原理和方法.
概率论相关知识
一、一维随机变量
离散型随机变量
随机变量X,取值只有有限个或可数个.
x
5、指数分布:X∼E() 属连续型.常用于描述人或物的寿命,其密度函数为:
e x ( x) 0
0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
x0 x0
0
=0.1 =0.2 =0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6、正态分布: X ~ N ( a, ) 属连续型. 描述大量独立微小扰动下的误差等现象,是 最重要的分布之一,其密度函数为:
对连续型随机变量X,若其密度函数为 f(x),则:
(1) F ( x) f ( x); (2) F ( x)是连续函数
二、常用分布
1、 0-1分布: X∼B(1,p)
属离散型随机变量,描述只有两个状态的随机实验.
X P
0 1-p
1
P
( x 0,1;0 p 1)
P( X x) p x (1 p)1 x
离散型随机变量分布列 X取值为 x1 , x2 ,, 且
P( X xk ) pk , k 1, 2,.
(1.1)
称为随机变量X的分布列.满足:
pk 0, k 1, 2,. 且
p
k 1
k
1
连续型随机变量 存在非负可积的函数 f (x),对任意实数 x ,有
P( X x)
F ( x) P( X x )
F ( x) P( X x) pj X是离散型，P ( X x j ) pi , x j x x X是连续型 f ( x)dx, j 1,2,
F(x)有如下性质
(1)0 F ( x ) 1; (2) F ( ) 0, F ( ) 1; (3) F ( x )单调增; (4) F ( x )右连续.
(1)协方差和相关系数的性质:
1)Cov( X , Y ) Cov(Y , X ); 2)Cov(aX b, cY d ) acCov( X , Y ); 3)Cov( X 1 X 2 , Y ) Cov( X 1 , Y ) Cov( X 2 , Y ).
4) D ( X Y ) DX DY 2Cov(Y , X ); 5) r 1; r 0 X与Y不相关.
4、均匀分布: X∼U(a,b) 属连续型.X在[a,b]内机会均等地取值,其密度函数 为:
1 a xb ( x) b a 0 其他
其分布函数为:
xa 0 x a F ( x) (u )du a xb b a 1 x b