08-09-1学期-08《高等数学1》试卷2

合集下载

《高等数学》试卷1(下)

《高等数学》试卷1(下)

《高等数学》试卷1(下)一.选择题(3分⨯10)1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ).A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2,则有( ).A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是( ).A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是( ).A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是( ). A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz =( ).A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则( ). A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为( ).A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ).A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ).A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题(4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分⨯6)1.设v e z usin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin,其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径).5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题(10分⨯2)1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ,()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时,用料最省.2..312x y =《高数》试卷2(下)一.选择题(3分⨯10)1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M ( ). A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为( ). A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为( ).A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为( ). A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz ( ).A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的,则( ).A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为( ).A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是( ). A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ).A.cx ey = B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题(4分⨯5)1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=,求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+(0>a )所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题(10分⨯2) 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图,以初速度0v 将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律().t x x =(提示:g dtxd -=22.当0=t时,有0x x =,0v dtdx=)试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3(下)一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分) 1、二阶行列式 2 -3 的值为( )4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ,则a 与b 的向量积为( ) A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P (-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点(1,4π)处的两个偏导数分别为( ) A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ,则yzx z ∂∂∂∂,分别为( ) A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R ,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为( )(面积A=2R π)A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为( )A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为( )A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是( ) A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为( ) A 、-2,-1 B 、2,1 C 、-2,1 D 、1,-2 二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分) 1、直线L 1:x=y=z 与直线L 2:的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高等数学一考试题及答案

高等数学一考试题及答案

高等数学一考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10题)1. 极限的定义中,当x趋近于a时,函数f(x)的极限为L,意味着:A. 对于任意的正数ε,存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,|f(x)-L|<εB. 对于任意的正数ε,存在正数δ,使得当|x-a|<δ时,|f(x)-L|<εC. 对于任意的正数ε,存在正数δ,使得当x≠a时,|f(x)-L|<εD. 对于任意的正数ε,存在正数δ,使得当x>a时,|f(x)-L|<ε答案:B2. 以下哪个函数是偶函数?A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案:C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案:A4. 微分方程dy/dx = 2x的通解是:A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x + CD. y = 2x + C答案:A5. 以下哪个级数是收敛的?A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 答案:D6. 函数f(x) = e^x的导数是:A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案:A7. 以下哪个函数在x=0处有极值?A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案:B8. 以下哪个选项是二阶导数?A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案:B9. 以下哪个函数是周期函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案:C10. 以下哪个函数是单调递增的?A. f(x) = -x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = e^(-x)D. f(x) = ln(x)答案:B二、填空题(每题3分,共5题)1. 函数f(x) = x^3在x=1处的导数是______。

《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案

《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案

--《高等数学1(一)》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意:1、本试卷共3页; 2、考试时间:120分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题,请将答案填入题后的方括号内(每小题2分, 共20分)1.与函数()f x =[ C ]. A.lnx B.21()2ln x C .lnx D.ln x2.若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-,则α与β的值为[ D ]. A.11,3αβ== B .15,3αβ== C.511,3αβ== D .515,3αβ==3.设函数()y f x =在点0x 处可导,dy 为()f x 在0x 处的微分,当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时, 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A .-1 B.0 C .1 D.∞4.若()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A .1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 B.0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C.0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D.0()()lim h f a f a h h→--存在5.已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续,则a 与b 等于[ C ].A.1,1a b ==B.0,a b R =∈ C .,0a R b ∈= D.,a R b R ∈∈6.若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-,则下列结论中正确的是[ B ].A.3,0a b =-=,且1x =为函数()f x 的极小值点B.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极小值点 C .1,0a b =-=,且1x =为函数()f x 的极大值点D.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极大值点7.设1()1f x x =-,其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A.11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B .11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C.12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D.11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8.若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数,则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A.sin 2cos2x x x C ++ B .sin 2cos2x x x C -+C.1sin 2cos 22x x x C -+ D.1sin 2cos 22x x x C ++9.若非零向量,,a b c 满足0a b ⋅=与0a c ⨯=,则b c ⋅等于[ A ]. A .0 B .-1 C.1 D.310.直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A .直线在平面内B .平行C .垂直 D.相交但不垂直二.填空题(每小题2分,共10分)1.一质点作直线运动,其运动规律为426s t t t =-+,则速度增加的时刻t = 1 . 2.若21arctan (1)2y x x ln x =-+,则dy =arctan xdx . 3.已知21adx x π+∞-∞=+⎰,则a = 1 .4.已知()xf x e =,则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5.设向量,,m n p 满足0m n p ++=,且6m =,8n =,10p =,则m n n p p m ⨯+⨯+⨯= 144 .三.求解下列各题(每小题5分,共10分)1.11lim(1)21n n n +→∞-+解:原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2 =(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52.20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解:原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=2023cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题(每小题6分,共12分)1.若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数,求函数y 的微分dy . 解:原方程两边同时对x 求导,有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xy y y e y x y e +'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62.设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数,求22d ydx .解:sin 2dy tdx t-=3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五.求解下列各题(每小题6分,共18分)1.222()lnx dx xlnx +⎰解:原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2.222max{,}x x dx -⎰解:原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63.设21sin ()x tf x dt t =⎰,求10()xf x dx ⎰解:21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. (本题10分)y已知星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩如右图所示,其中0a >, a 1) 计算星形线的全长; a - 0 a x2) 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解:1)长度4L =⎰2 a -4=⎰46a = 52)面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. (本题7分)已知某直角三角形的边长之和为常数,求该直角三角形面积的最大值. 解:设两直角边与斜边分别为,,x y z ,其和为常数k ,所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=,则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-,且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=-有驻点22x k -= 5则22max34S k -==为所求 7八. (本题7分)求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解:记直线111:321x y zL +-==-,设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =,即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --=为所求直线的方向向量得到所求直线为:213214x y z ---==- 7九. (本题6分)设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<,试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根,并证明你的结论. 证:记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->,即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6。

(完整word版)《高等数学(1)》练习题库

(完整word版)《高等数学(1)》练习题库

华中师范大学网络教育 《高等数学(1)》练习测试题库一.选择题1.函数y=112+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为( )A 2x 2-2B 2-2x 2C 1+x 2D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( )A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999B .23,32,45,54C .{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数,为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212+}4.数列有界是数列收敛的( )A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( )A .发散数列必无界B .两无界数列之和必无界C .两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛6.=--→1)1sin(lim21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/2 7.设=+∞→x x xk)1(lim e 6 则k=( )A.1B.2C.6D.1/6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )A.x2-1B. x3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的()A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时,y= ()A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x0不连续,则下列结论成立是()A、f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有()A、B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logx相切,则()aA、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x0)=a,则f`(-x0)=()A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑,则y’|x=0=()A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx,则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x,则y(10)=()A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、-8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|,则()A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()A、-1B、0C、л/2D、232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=()A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x0可微的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是()A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是( )A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x xx 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 xx x x sin 1sin lim20→=( )A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的( )A 、(n+1)阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为( )A 、2B 、1/2C 、1D 、042、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为( ) A 、0 B 、1/2 C 、1 D 、2 43、若函数f(x)在(a,b )内存在原函数,则原函数有( )A 、一个B 、两个C 、无穷多个D 、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=( )A 、2e x/2B 、4 e x/2C 、e x/2 +CD 、e x/245、∫xe-x dx =( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=()A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()A、B、2 C、31/2D、21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为()A、原点(0,0,0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是()A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是()A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56、设函数f(x)=──,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111A.1-──B.1+ ──C. ────D.xxx1-x157、x→0 时,xsin──+1是()xA.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量58、方程2x+3y=1在空间表示的图形是()A.平行于xoy面的平面B.平行于oz轴的平面C.过oz轴的平面D.直线59、下列函数中为偶函数的是()A.y=e^xB.y=x^3+1C.y=x^3cosxD.y=ln│x│60、设f(x)在(a,b)可导,a〈x_1〈x_2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()A.f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)B.f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)C.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)D.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)61、设f(X )在 X =Xo 的左右导数存在且相等是f(X )在 X =Xo 可导的 ( ) A.充分必要的条件 B.必要非充分的条件 C.必要且充分的条件 D 既非必要又非充分的条件二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( )2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=( )3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=( )4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x =( )5、求极限0lim →x (1-x)1/x = ( )6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( ) 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( ) 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( ) 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( ) 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( ) 13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=( )16、∫xx 1/2dx= ( )17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( ) 18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ,则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt=( )20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续, 则a=( ) 21、∫02(x 2+1/x 4)dx=( ) 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( ) 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( ) 25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=( ) 26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 32、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )33、满足不等式|x-2|<1的X 所在区间为 ( ) 34、设f(x) = [x] +1,则f (л+10)=( ) 35、函数Y=|sinx|的周期是 ( )36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是 ( ) 37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是 ( )38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为()39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是()44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()46、函数y=arcsin√1-x^2 +──────的定义域为_________√1-x^2_______________。

《高等数学(一)》期 末闭卷考试题参考解答08

《高等数学(一)》期 末闭卷考试题参考解答08

西南财经大学2008——2009学年第一学期 《高等数学》期末闭卷考试题参考解答一. 填空题(请将正确答案填在题中的横线上,每小题2分,共20分):1.设已知12(log )1,a f x x -=+则()f x =1log (1)(1)2a x x ->.2.0limx +→=3.若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ,则a =1,b =4-.4..函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点是x 0 = 0 , 补充定义f (x 0) = – 2 ,则函数f (x )在x 0处连续.5.设函数)sin 1ln()(2x x f -=,则=)4('πf – 2 .6.设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根,则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有 4 个实根. 7.设函数()() ()1n xf x f x x=+、则=1(1)(1)!(1)n n n x +-+-+ . 8.已知f (x )的一个原函数为ln 2 x ,则()xf x dx '=⎰ 2ln x - ln 2 x + C .9.300()(),10,()aaf x x f x dx a f x dx =-+≠=⎰⎰设 则44(1)a a +. 10.2lim ().a xt x x a te dt a x a-∞→+∞+==-⎰若,则常数52.二、单项选择题(每小题2分,共10分):1.设函数y =的定义域是[-4,-π]∪[0,π],则()g x =( ① ).① sin x ② cos x ③ tan x ④cot x2.“0()x x f x A →当时,-为无穷小量”是“0lim ()x x f x A →=”的( ③ ) .① 充分但非必要 ② 必要但非充分③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3.设()x y f e -=, 则dy = ( ④ ) .① '()x x f e de --- ② '()()x f e d x --③'()x x f e e dx -- ④'()x x f e de -- 4.1()()()(01).1n f x n R x xθ==<<-的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项 ①111(1)(1)n n x n x θ+++- ② 11(1)(1)(1)n n n x n x θ++-+- ③ 121(1)n n x x θ++- ④ 12(1)(1)n n n x x θ++-- 5.在开区间),(b a 内,)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f =,则一定有( ④ )① )()(x g x f =; ② 1)()(+=x g x f ; ③ ⎰⎰='')]([])([x g dx x f ; ④ ⎰⎰=)()(x dg x df .三、计算下列各题(每小题7分,共49分):1.求极限01lim sin x x x e xe x x→-+.解:2001(1)lim lim sin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='3分 0l i m 2x x xx e e x e x→-++= 6分 1.2= 7分2. 已知arccos ,0(),0x x f x ax b x ≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导,求常数b a ,.解:因为f (x )在x = 0处可导必连续,所以00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2分 2b π=得 3分又因为f (x )在x = 0处可导,所以0()(0)limx f x f x→-存在 4分000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=++-7分3.arctan'"y xe y x y y =确定是的函数,求与.解:arctan221'1()y xy x yey x x-=⋅⋅+ 2分arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得 4分22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得 7分4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解:22()()sin ()2()'()2()sin ()()'() f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e--=== 5分 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e-∴= 7分5. 求⎰+dx x xx 2ln . 解: 22ln ln ln x x xdx x dx x x+=+⎰⎰ 2分 1ln ln x xd x -⎰= 4分2ln 1ln x x dx x x -+⎰= 6分 l n 1ln x x x x--=+C 7分 6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求:的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解: 令是的极小值点,的极小值为 3分4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,() x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当时, 当时,曲线拐点的横坐标为 7分7.计算2121sin ()1x xf x dx x -+=+⎰. 解:22112211sin 11()11x xx f x dx dx x x --++-==++⎰⎰ 3分 1211(1)1dx x-=-+⎰ 5分 1022arctan 22x π=-=-7分 四、应用题(每小题8分,共16分):1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?解:设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++ 1分截面的面积为2()522x xy π+=,即 58xy x π=- 3分故10,()4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x x π=+-=, 令'0l =得驻点x = 6分又因为"0l >,驻点唯一,故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解:03'(42)4,'2 x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2,则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分五、证明题(5分):证明:当x > 0时,xxx x +>+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =, 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理,于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ,使得 xx xx x x f -+-++=+=1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ,又因为01ln >+ξ,所以x x x x ln )1ln()1(>++, 即 xxx x +>+1ln )1ln(.( x > 0) 2分。

高等数学1试卷(附答案)

高等数学1试卷(附答案)

一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。

2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x=-。

3. 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。

4.11dx =⎰。

5. 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最大值为6π+。

6. 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭L =4π。

二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分)1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩,则0x =是()f x 的 D 。

A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .振荡间断点 D .连续点2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。

A .是等价无穷小与x x f )(B .同阶但非等价无穷小与x x f )(C .高阶的无穷小是比x x f )(D .低阶的无穷小是比x x f )(暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名: 学号:3.1+∞=⎰C 。

A .不存在B .0C .2πD .π4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。

A .(0)f 是()f x 的极大值B .(0)f 是()f x 的极小值C .(0)f 不是()f x 的极值D .(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。

A .1B .2C .3D .46. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点? A 。

A .32a =-,92b = B. 32a =,92b =- C .32a =-,92b =- D. 32a =,92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。

高等数学1教材试题及答案

高等数学1教材试题及答案

高等数学1教材试题及答案一、选择题1. 下列函数中,是偶函数的是()A. y = x^3 - 2xB. y = x^2 + 1C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案:D2. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像在x轴上的截点为()A. (1, 0)和(2, 0)B. (0, 1)和(0, 2)C. (-1, 0)和(2, 0)D. (1, 0)和(1, 2)答案:A3. 设函数f(x) = e^x,g(x) = ln(x),则f[g(1)]的值为()A. 0B. 1C. eD. -1答案:C二、填空题1. 设函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x),则f(π/4)的值为______。

答案:12. 设函数y = ln(1 + e^x),则其反函数为______。

答案:y = ln(e^x - 1)三、计算题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数f'(x)。

解答:f'(x) = 6x - 42. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4的定积分∫[0, 1] f(x)dx。

解答:∫[0, 1] f(x)dx = [x^4/2 - x^3 + 4x] |[0, 1]= (1/2 - 1 + 4) - (0/2 - 0 + 0)= 3.5四、应用题1. 一个圆的半径逐渐增长,当半径为r时,其面积为A。

求圆的面积A与半径r之间的函数关系。

解答:圆的面积公式为A = πr^2,其中π为常数。

所以,A与r之间的函数关系为A = πr^2。

2. 一座塔高380米,顶部和底部之间的水平距离为500米。

求参观塔顶时的斜率。

解答:设塔底部的位置为点A(0, 0),塔顶部的位置为点B(500, 380)。

斜率可以通过点A和点B的坐标计算。

斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (380 - 0) / (500 - 0) = 38/50 = 0.76答案:0.76综上所述,我提供了一些高等数学1教材试题及答案。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I卷)理数数学试题及详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I卷)理数数学试题及详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅰ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页,第II 卷3至9页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效..........3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式: 如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=,,,一、选择题 1.函数y =)A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥D .{}|01x x ≤≤2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( )A .B .C .D .3.在ABC △中,AB =c ,AC =b .若点D 满足2BD DC =,则AD =( ) A .2133+b cB .5233-c b C .2133-b cD .1233+b c 4.设a ∈R ,且2()a i i +为正实数,则a =( ) A .2B .1C .0D .1-5.已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( ) A .138B .135C .95D .236.若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( ) A .21x e-B .2xeC .21x e+D .22x e+7.设曲线11x y x +=-在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A .2B .12C .12- D .2-8.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A .向左平移5π12个长度单位B .向右平移5π12个长度单位 C .向左平移5π6个长度单位D .向右平移5π6个长度单位 9.设奇函数()f x 在(0)+∞,上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A .(10)(1)-+∞,,B .(1)(01)-∞-,,C .(1)(1)-∞-+∞,,D .(10)(01)-,,10.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα,,则( ) A .221a b +≤ B .221a b +≥ C .22111a b+≤D .22111a b+≥11.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A .13B .3C D .2312.如图,一环形花坛分成A B C D ,,,四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A .96 B .84 C .60 D .482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅰ)第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共7页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.......... 3.本卷共10小题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作答无效.........) 13.13.若x y ,满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩,,,≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 .14.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .15.在ABC △中,AB BC =,7cos 18B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .16.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的余弦值为3,M N ,分别是AC BC ,的中点,则EM AN ,所成角的余弦值等于 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) (注意:在试题卷上作答无效.........) 设ABC △的内角A B C ,,所对的边长分别为a b c ,,,且3cos cos 5a Bb Ac -=.(Ⅰ)求tan cot A B 的值; (Ⅱ)求tan()A B -的最大值. 18.(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效.........) 四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为矩形,侧面ABC ⊥底面BCDE ,2BC =,CD =AB AC =.(Ⅰ)证明:AD CE ⊥;(Ⅱ)设CE 与平面ABE 所成的角为45,求二面角C AD E --的大小.19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知函数32()1f x x ax x =+++,a ∈R . (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭,内是减函数,求a 的取值范围. 20.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;CDE AB(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望. 21.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 双曲线的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为12l l ,,经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ,于A B ,两点.已知OA AB OB 、、成等差数列,且BF 与FA 同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程. 22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=. (Ⅰ)证明:函数()f x 在区间(01),是增函数; (Ⅱ)证明:11n n a a +<<;(Ⅲ)设1(1)b a ∈,,整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>.参考答案1、C 由x(x-1)≥0,x ≥0得x ≥1或x=0;2、A 根据汽车加速行驶S=221at ,匀速行驶s=vt ,减速行驶s=221at -结合函数图象可知。

高等数学1期中考试试题参考答案

高等数学1期中考试试题参考答案

《高等数学(Ⅰ)》试卷学院:______ 班级:_____学号:________姓名:________任课教师:_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题(每题2分,共16分)1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )(A )(B ) (C ) (D ) xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、,,则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax (A )(B ) ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax (C )(D ) 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax (A ) f (x )>0, (B ) g(x )<0, (C ) f (x )>g (x ) (D )存在a 的一个空心邻域,使f (x )g (x )<0。

4、已知, 则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x (A ) 2/3, (B ) 3/2 (C ) 3/4 (D ) 不能确定。

5、若函数在[1,2]上连续,则下列关于函数在此区间上的叙述,不正确的是……( )(A ) 有最大值 (B ) 有界 (C ) 有零点 (D )有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述,正确的一个是………………………………………( )(A )有界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(B )有界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大,(C ) 无界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(D )无界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大。

大学高等数学第一册考试试题答案详解

大学高等数学第一册考试试题答案详解

大学高等数学第一册考试试题答案详解【大学高等数学第一册考试试题答案详解】一、选择题:1. 答:B解析:首先应用导数求解微分方程,得到特解y=e^x。

再将y=e^x 代入$x^2y''+xy'-y=0$式中,可以得到等式左边为0,故选项B正确。

2. 答:D解析:根据导数的定义得出,当x=1时,函数f(x)的导数为0,由此可推知f(x)在x=1处取极值。

又根据极值点的判定条件,当导数变号时,极值达到。

从而得出答案为选项D。

3. 答:C解析:由公式算得h(t)=1−0.2t,比较上下限得到兴趣区间为(0,5],同时根据积分的定义算得兴趣总量为1.2。

4. 答:A解析:利用二重积分计算可以得出此立体体积为选项A中的数字。

5. 答:D解析:根据函数与其导函数的关系,对f(-3)进行积分,可以得到选项D的答案。

二、填空题:1. 答:$-1/4$解析:利用分部积分法计算,并带入上下限,得到此结果。

2. 答:2解析:根据积分的性质计算得到积分结果为2。

3. 答:27解析:由多重积分公式计算得积分结果为27。

4. 答:0.5解析:利用积分求解二次方程得出结果为0.5。

5. 答:$\arcsin(2/3)+C$解析:通过求导验证可得到该结果。

三、解答题:1. 答:解释二重积分与定积分的关系。

解析:二重积分是定积分的推广,用于计算平面区域上的面积,其中积分的上下限分别为该区域的y轴边界函数和x轴边界函数。

定积分则是对一个区间上的函数进行求和,其中积分的上下限为该区间的起点和终点。

2. 答:证明洛必达法则在极限存在的条件下成立。

解析:洛必达法则用于解决极限存在但无法直接求解的情况。

在证明洛必达法则成立时,可以通过应用导数定义以及泰勒级数展开等方法进行推导,最终得到洛必达法则的条件以及成立的证明过程。

四、应用题:1. 答:$\frac{1}{6}\pi^3$解析:根据旋转体体积的计算公式,可以得到此结果。

高等数学1试题及标准答案

高等数学1试题及标准答案
三、解答题(每题7分,共49分)
得分
评阅人

得分ห้องสมุดไป่ตู้
评阅人

得分
评阅人
解两边取对数得
得分
评阅人

得分
评阅人

得分
评阅人

得分
评阅人

四、综合题(每题9分,共18分)
得分
评阅人

得分
评阅人

得分
评阅人
五、证明题(8分)
证 证
闭卷(√)考试时间:2009.1.10
题号





总分
1
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
9
9
8
阅卷人
(全名)
考生注意事项:1、本试卷共6页,总分100分,考试时间120分钟。
2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人

一、填空题(每题2分,共10分)
得分
评阅人
二、选择题(每题3分,共15分)
华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷卷
承诺:我将严格遵守考场纪律,知道考试违纪、作弊的严重性,还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位,愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名:
试卷编号:(A)卷
《高等数学(A)Ⅰ》课程(工科本科08级)课程类别:必

《高等数学》1(2)试题答案

《高等数学》1(2)试题答案
《高等数学》试题
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1、函数 lim f ( x) a(a为常数 ) ,则在处(
x x0
)。 D、以上都不是
A、一定有定义
B、一定无定义
C、有定义且
2、如果 f ( x) e x ,则 A、
1 c x
f (ln x ) ( )。 dx x B、 1 c C、ln x c x
A、xf ( x 2 ) B、 xf ( x 2 ) C、 xf ( x 2 ) 2
B.大于零 C.等于零 D.不确定 2 (e t 1)dt 0 x 0 在x=0处连续,则a为( 8、若 f ( x) )。 x2 x0 a 3 1 A、0 B、1 C、 D、 2 2 )。 D、 2 xf ( x 2 )
x 0
1 f 2 x f 2 x 1 ,则 f 0 。 x 2


x0 x0
其中g (x ) 为有界函数,则 f (x) 在x 0 处必可导。
四、解答题:(共22分)
1、求

4
4
1
1 dx (5分) x(1 ຫໍສະໝຸດ )1 dx 4
解:

dx x x (1 x )


2、y 1 cos2 x 在点x=0处的导数是0。 3、x=1是函数 f ( x)
3 3
1 x 1 1 x 1
1 1
的可去间断点。


4、设f(x)在x=0处可导,且 lim
ln(1 x 2 ) 5、若 f ( x) x x 2 g ( x) ( )
)。
sin x sin t 5、设 f ( x) , ( x) (1 2t ) t dt ,当 x 0 时,则( dt g 0 t 0 A、f(x)与g(x)是等价无穷小 B、 f(x)是比g(x) 高阶的无穷小

高等数学1试卷(附答案)汇编

高等数学1试卷(附答案)汇编

一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。

2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x=-。

3. 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。

4.11dx =⎰。

5. 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最大值为6π+。

6. 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。

二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分)1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩,则0x =是()f x 的 D 。

A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .振荡间断点 D .连续点2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。

A .是等价无穷小与x x f )(B .同阶但非等价无穷小与x x f )(C .高阶的无穷小是比x x f )(D .低阶的无穷小是比x x f )(3.1+∞=⎰C 。

A .不存在B .0C .2πD .π4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。

A .(0)f 是()f x 的极大值B .(0)f 是()f x 的极小值C .(0)f 不是()f x 的极值D .(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。

A .1B .2C .3D .46. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点? A 。

A .32a =-,92b = B. 32a =,92b =- C .32a =-,92b =- D. 32a =,92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。

2008年考研高数一真题(附答案)

2008年考研高数一真题(附答案)

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题:(本题共8小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰,则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+.显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续,且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<,由零点定理,知()f x '至少有一个零点.又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+,恒大于零,所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的.又因为(0)0f '=,根据其单调性可知,()f x '至多有一个零点.故()f x '有且只有一个零点.故应选(B).(2)函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++.222221x f x yx yx yy-∂-==∂++.所以(0,1)1f x∂=∂,(0,1)0f y∂=∂,于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++(123,,C C C 为任意的常数)为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++,可知其特征根为11λ=,2,32i λ=±,故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=.应选(D).(4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是【 】.(A) 若{}n x 收敛,则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调,则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛,则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调,则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调,则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知,若{()}n f x 单调有界,因此若{()}n f x 收敛.故应选(B).(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若30A =,则【 】则下列结论正确的是:(A) E A -不可逆,则E A +不可逆. (B) E A -不可逆,则E A +可逆.(C) E A -可逆,则E A +可逆. (D) E A -可逆,则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=,23()()E A E A A E A E +-+=+=.故E A -,E A +均可逆.故应选(C).(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=.故A 的正特征值个数为1.故应选(B).(7) 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ,则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A).【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==.故应选(A).(8)设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=,则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D).【详解】用排除法.设Y aX b =+.由1XY ρ=,知X ,Y 正相关,得0a >.排除(A )和(C ).由(0,1)X N ,(1,4)Y N ,得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+.10a b =⨯+,1b =.从而排除(B).故应选 (D).二、填空题:(9-14小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =.【详解】由dy y dxx=-,得dy dx yx=-.两边积分,得ln ||ln ||y x C =-+.代入条件(1)1y =,得0C =.所以1y x=.(10)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+.【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--,则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--,1(,)cos()x F x y x xy y x=+-,(0,1)1x F =-,(0,1)1y F =.于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='.故所求得切线方程为1y x =+.(11)已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5].【详解】由题意,知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-,则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-.所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5].(12)设曲面∑是z =的上侧,则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π.【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧.则由高斯公式,有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰.2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰.(13) 设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,10A α=,2122A ααα=+.则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1.【详解】根据题设条件,得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭. 记12(,)P αα=,因12,αα线性无关,故12(,)P αα=是可逆矩阵.因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭,从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A 与B 相似,从而有相同的特征值.因为2||(1)01E B λλλλλ--==--,0λ=,1λ=.故A 的非零特征值为1.(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX ==____________. 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布,所以1EX D X ==.从而由22()D X EX EX =-得22EX =.故{}{}22P X EX P X ====12e.三、解答题:(15-23小题,共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-==2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=,或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=.【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-==3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=(或0sin lim 6t tt→=) 16=.(16)(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段.【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算.2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-.【详解2】添加辅助线,按照Green 公式进行计算.设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段.D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-.因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ,记sin 2,2P x Q y ==-.因为0P P yx∂∂==∂∂,故1I 与积分路径无关.10sin 20I xdx π==⎰.对于2I , 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-.故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17(本题满分11分)已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点.【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ,故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点.构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-,由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =,从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义,曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点,故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1).【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ,故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点.构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭,由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =,从而2222(25)09x x --=.解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义,曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点,故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1).【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=,得5z =所以只要求()z z θ=的最值.令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++,得cos sin θθ=,解得5,44ππθ=.从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义,曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点,故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1).(18)(本题满分10分)设()f x 是连续函数, (I )利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导,且()()F x f x '=;(II )当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数. (I )【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰.(II) 【证法1】根据题设,有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.当()f x 是以2为周期的周期函数时,(2)()f x f x +=. 从而 (2)()G x G x ''+=.因而(2)()G x G x C +-=.取0x =得,(02)(0)0C G G =+-=,故 (2)()0G x G x +-=. 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数.【证法2】根据题设,有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰,2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰.对于22()x f t dt +⎰,作换元2t u =+,并注意到(2)()f u f u +=,则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰,因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰.于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰.即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设,有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰,222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰.当()f x 是以2为周期的周期函数时,必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰.事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰,所以22()x f t dt C +≡⎰.取0x =得,02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰.所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰.即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数,并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和.【详解】将()f x 作偶周期延拓,则有0,1,2,n b n == .0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=.所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑,0x π≤≤.令x=0,有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =,所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑.(20)(本题满分10分)设,αβ为3维列向量,矩阵TTA ααββ=+,其中,TTαβ分别是,αβ得转置.证明: (I ) 秩()2r A ≤;(II )若,αβ线性相关,则秩()2r A <.【详解】(I )【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤. 【证法2】因为T TA ααββ=+,A 为33⨯矩阵,所以()3r A ≤. 因为,αβ为3维列向量,所以存在向量0ξ≠,使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解,从而()2r A ≤.【证法3】因为TTA ααββ=+,所以A 为33⨯矩阵.又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤.(II )【证法】由,αβ线性相关,不妨设k αβ=.于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<.(21) (本题满分12分).设n 元线性方程组A x b =,其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .(I )证明行列式||(1)n A n a =+;(II )当a 为何值时,该方程组有惟一解,并求1x . (III )当a 为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解.【详解】(I )【证法1】数学归纳法.记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+. 当1n =时,12D a =,结论成立. 当2n =时,2222132a D a aa==,结论成立.假设结论对小于n 的情况成立.将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+.【注】本题(1)也可用递推法.由2122n n n D aD a D --==- 得,2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= .于是(1)nn D n a =+(I )【证法2】消元法.记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+.(II )【详解】当0a ≠时,方程组系数行列式0n D ≠,故方程组有惟一解.由克莱姆法则,将n D 得第一列换成b ,得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以,11(1)n nD a x D n a-==+.(III )【详解】 当0a =时,方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -,所以方程组有无穷多组解,其通解为 ()()010100TTx k =+,其中k 为任意常数.(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-,Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+. (I ) 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭; (II )求Z 的概率密度)(z f Z . (I )【详解】解法1.1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2.()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭(II )解法1.Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2.11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 (23)(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本,记∑==ni iXnX 11,2211()1ni i S X X n ==--∑,221T XS n=-.(1)证明T 是μ2的无偏估计量; (2)当μσ0,1==时,求.D T . 【详解1】(1)首先T 是统计量.其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立.因此T 是2ˆμ的无偏估计量. 【详解2】(1)首先T 是统计量.其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑,()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=,对一切,μσ成立.因此T 是2ˆμ的无偏估计量. (2)解法2(0,1)N ,22(1)nXχ ,22(1)(1)n S n χ-- .于是2()2D nX =,()2(1)2(1)D n S n -=-.所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。

高数第一册测试题及答案

高数第一册测试题及答案

高数第一册测试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^2+3x-4在x=1处的导数为()。

A. 6B. 4C. 2D. 02. 极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)的值为()。

A. 4B. 8C. 0D. 23. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为()。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 24. 以下哪个选项是洛必达法则的应用()。

A. 计算函数f(x)=x^2在x=0处的导数B. 计算极限lim(x→0) (sin x) / xC. 计算定积分∫(0,π) sin x dxD. 计算函数f(x)=x^3在x=1处的值二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x+6的导数为f'(x)=_________。

2. 极限lim(x→∞) (1/x) = _________。

3. 定积分∫(0,π) sin x dx的值为_________。

4. 函数f(x)=ln(x)的原函数为F(x)=_________。

三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。

3. 求定积分∫(0,1) (2x+3) dx。

4. 求函数f(x)=x^2-4x+4的不定积分。

5. 求函数f(x)=x^2-6x+8的导数。

6. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的原函数。

四、附加题(10分)1. 证明:函数f(x)=x^3-3x在x=1处的切线方程。

答案:一、选择题1. B2. B3. B4. B二、填空题1. 3x^2-12x+112. 03. 24. x ln(x) - x + C三、解答题1. 最大值:f(2)=5,最小值:f(-1)=-52. 13. 24. (1/3)x^3 - 2x^2 + 4x + C5. 2x - 66. (1/4)x^4 - x^3 + 2x + C四、附加题1. 证明:f'(x)=3x^2-3,f'(1)=0,f(1)=-2,因此切线方程为y=-2。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

??大学2008 —2009 学年第一学期
2008级电子类、物理类专业本科卷B 课程名称《高等数学》E1 课程号()考试形式(闭卷笔试)时间(120 分钟)
一.填空题:本题共5小题,每小题3分,满分15分.
1、如果()
y f x
=在(,)
-∞∞内可导,则
00
1
lim[()()]
n
n f x f x
n
→∞
+-=____________;
2、lim
n→∞
=_________________;
3、已知当0
x→时,()123
11
ax
+-与1cos x
-是等价无穷小,则常数a= __________;
4、已知:2
ln arcsin,
x
y x e x x
=+++则y'=____________;
5、
3
13
1
()sin d
x
G x t t
+
=⎰的导函数()
G x
'=__________________.
二.选择题:本题共5小题,每小题3分,满分15分.
1、设()
()
1
sin,0
3
1,0
x
x
f x x
a x x

<

=⎨
⎪-≥

在0
x=处连续,则a=();
A.0;B.1;C.1
3
;D.3.
2、设()
f x是可导函数,且
(1)(1)
lim1,
2
x
f f x
x

--
=-则曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处
的切线斜率为( );
.A1-; .B2-; .C0; .D1.
3、已知
2
lim0
1
x
x
ax b
x
→∞
⎛⎫
--=

+
⎝⎭
,其中,a b是常数,则();
A.1
a b
==;B.1,1
a b
=-=;
C.1,1
a b
==-;D.1
a b
==-.
4、设()d2sin
2
x
f x x C
=+
⎰,则()
f x=();
A.cos
2
x
C
+;B.cos
2
x
;C.2cos
2
x
C
+;D.2sin
2
x

5、定积分
3
4
sin2d x x
π
⎰的值是();
A.
1
2
;B.
1
2
-;C.
3
2
;D.
3
2
-.
三.计算题:本题共10小题,满分60分。

1、求
()
4
1cos1cos2
lim
x
x
x

--

2、设()(1)(2)(100)
f x x x x x
=---
,求)0(
f';
3、已知函数()y y x =由方程y e xy e +=所确定,求)0(y ';
4、已知22x y x e =, 求dy ;
5
、求
6、求1ln d e
e x x ⎰;
7
、求3
43 4(1arctan x ππ-+⎰

8、求函数02
3()d 1
x
t
f x t t t =⎰-+在区间[0,1]上的最大值与最小值;
9、求位于曲线x
y e =下方,该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的 面积;
10、设()2
1cos ,00
,0x x g x x
x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩,()0x x ϕ=在处可导,()()()F x g x ϕ=,求 ()0F '.
四、综合题:本题共2小题,每小题5分,满分10分.
1
、证明不等式1ln(0)x x x ++>>.
2、一底为8厘米,高为6厘米的等腰三角形片,铅直沉入水中,顶在上,底在下, 底与水平面平行,顶距水面3厘米,求每面所受的压力.。

相关文档
最新文档