淮安市2012—2013学年度高三年级第三次调研测试(word含附加题-不内含答案)

淮安市2012—2013学年度高三年级第三次调研测试
数 学 试 题 2013．03
注意事项：
1．本试卷共160分、考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：
锥体的体积公式为V ＝1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．已知集合A ＝{2α，3}，B ＝{2，3}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值是 ▲ ． 2．函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期是 ▲ ．
3．若复数z ＝1－m i 2＋i
（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值是 ▲ ．
4．盒子中有大小相同的3只白球，2只黑球．若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是 ▲ ．
5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定(试行)》，AQI 共分为六级：(0，50]为优，(50，100]为良，(100，150]为轻度污染，(150，200]为中度污染，(200，300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优良的总天数为 ▲ ．
6．运行如图所示的算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．
7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为2π
3的扇形，则此圆锥的高为 ▲ cm ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝4交于M ，N 两点．若MN ≥23，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ▲ ．
(
第6题)
(第5题)
9．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 21＋a 22＝a 23＋a 2
4，S 5＝5，则a 7
的值是 ▲ ．
10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －
1－3，则不等式f (x )＞1的解集
为 ▲ ．
11．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD →·BC →的值为 ▲ ． 12．若关于x 的不等式(2ax －1)ln x ≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 24－y 2
3＝1．设过点M (0，1)的直线l 与双曲线C 交于A ，
B 两点，若AM →＝2MB →
，则直线l 的斜率为 ▲ ．
14．已知数列{a n }的通项为 a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2，若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C cos B ＝2a －c
b ．
（1）求B ；
（2）若tan(A ＋π
4)＝7，求cos C 的值．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ， PB ＝AB ＝AD ＝1，点E 在线段P A 上，且满足PE ＝2EA ． （1）求三棱锥E －BAD 的体积； （2）求证：PC ∥平面BDE ．
17．(本小题满分14分)
P
A
B
C
D
(第16题)
E
如图，某广场中间有一块扇形状绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB ＝60 ．广场管理部门欲在绿地上修建一条观光小路：在⌒AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，修建与OA 平行的小路CE ．问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．
18．(本小题满分16分)
已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2
n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)．
（1）若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； （2）若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2
a 1
的值；
（3）已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成
立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
19．(本小题满分16分)
B
O
C
D
E A
(第17题)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (a 2，a
2)和点B (3，1)．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为x 0x ＋3y 0y －6＝0．
①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；
②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．
20．(本小题满分16分)
设函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x ． （1）求函数f (x )的单调区间；
（2）若函数f (x )有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；
（3）若方程 f (x )＝c 有两个不相等的实数根x 1，x 2，求证：f ′(x 1＋x 2
2
)＞0．
淮安市2012—2013学年度高三年级第三次调研测试
数学附加题 2013．03
注意事项：
1．附加题供选考物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡．．．上．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．卷卡指定．．．．
区域内．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，证明：AE 2＝EF ·BE ．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 50－2． （1）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（2）设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1，求A 5β．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－55t ，y ＝－1＋25
5t
（t 为参数）和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，
y ＝1＋t 2
（t 为参数）．若点P 是曲线C
上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值及此时点P 的坐标．
D ．选修4—5：不等式选讲
若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求13a ＋2＋4
3b ＋2的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
(第21题A )
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝4，CB ＝4，CC 1＝22，∠ACB ＝90°，点M 在线段A 1B 1上．
（1）若A 1M ＝3MB 1，求异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，试确定点M 的位置．
23．(本小题满分10分)
设f (x )＝(1＋x ) (1＋2x )·…·(1＋nx )，(n ∈N*且n ≥2)，其展开后含x r 项的系数记作a r （r ＝0，1，2，…，n ）．
（1）求a 1(用含n 的式子表示)； （2）求证：a 2＝3n ＋24C 3
n ＋1．
A
A 1
C 1
B 1
B
M
C
(第22题)。