简单的三角恒等变换(4)
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换是一种重要的数学思想，它是一种重要的数学变换，它可以将函数或形式转换成另一种形式。
它具有良好的几何意义，包括积分，平方，幂和三角函数。
这种变换可以帮助我们理解数学概念，解决数学问题，更好地应用数学的思想。
三角恒等变换的公式有很多种，其中最受欢迎的是“反三角变换”，它的公式如下：
反三角变换：f(x) = sinx和 cosx反三角变换是
Acos(x)+Bsin(x)。
它的反三角变换表示式是：
Acos(x)+Bsin(x) = f(x)
利用反三角变换可以将函数 f(x)换成 Acos(x)+Bsin(x)，其中A和B是任意实数。
也可以把它看成是三角函数的线性组合。
反射恒等变换：反射恒等变换是另一种常用的三角变换，它的公式是：
Csin(x)+Scos(x) = f(x)
反射恒等变换表示上式函数 f(x)以用 Csin(x)+Scos(x)表示，其中C和S是任意实数。
反射恒等变换也可以看成是三角函数的线性组合。
另外，三角恒等变换还有其他公式，例如求导公式：
f(x)=Acosx + Bsinx
反三角变换也可以应用于求积分，其求积分公式为：
F(x) = Asin(x)+Bcos(x)
F(x) =f (x) dx
上述就是三角恒等变换的所有公式，它们是数学的重要变换，有着无限的应用空间，被广泛应用在科学中和工程中。
他可以帮助我们更快地理解数学概念，解决数学问题，更好地运用数学思想。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全1.正弦和余弦的平方和差关系：sin²x + cos²x = 1sin²x = 1 - cos²xcos²x = 1 - sin²x2.正弦和余弦的和差关系：sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin xsin(x - x) = sin x cos x - cos x sin xcos(x + x) = cos x cos x - sin x sin xcos(x - x) = cos x cos x + sin x sin x3.正切和余切的和差关系：tan(x + x) = (tan x + tan x) / (1 - tan x tan x)tan(x - x) = (tan x - tan x) / (1 + tan x tan x)cot(x + x) = (cot x cot x - 1) / (cot x + cot x)cot(x - x) = (cot x cot x + 1) / (cot x - cot x)4.正弦和余弦的二倍角关系：sin(2x) = 2sin x cos xcos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x 5.正切和余切的二倍角关系：tan(2x) = (2tan x) / (1 - tan²x)cot(2x) = (cot²x - 1) / (2cot x)6.正弦和余弦的三倍角关系：sin(3x) = 3sin x - 4sin³xcos(3x) = 4cos³x - 3cos x7.正切和余切的三倍角关系：tan(3x) = (3tan x - tan³x) / (1 - 3tan²x)cot(3x) = (cot³x - 3cot x) / (3cot²x - 1)8.正弦和余弦的半角关系：sin(x/2) = ± √(1 - cos x) / 2cos(x/2) = ± √(1 + cosx) / 29.正切和余切的半角关系：tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x) cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x) 10.和差的三角函数关系：sin x + sin x = 2 sin((x + x)/2) cos((x - x)/2) sin x - sin x = 2 cos((x + x)/2) sin((x - x)/2) cos x + cos x = 2 cos((x + x)/2) cos((x - x)/2) cos x - cos x = -2 sin((x + x)/2) sin((x - x)/2)这些是一些常见的三角恒等变换公式，应用在不同的数学问题和物理公式的推导中。
(完整版)三角恒等变换公式
三角恒等变换公式及其证明一、 两角和、差的三角函数公式（1）cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ……………………………………………………①证明：利用三角函数线证明.（详见课本必修4 P125）cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β ………………………………………………………② 证明：cos （α＋β）＝cos [α－（－β）]＝cos αcos （－β）＋sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β.例：求cos 105°.解：cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×2－2×2＝4. （2）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ……………………………………………………③证明：sin （α＋β）＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ………………………………………………………④ 证明：sin （α－β）＝sin [α＋（－β）]＝sin αcos （－β）＋cos αsin （－β）＝sin αcos β－cos αsin β.（3）tan （α＋β）＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－ …………………………………………………………⑤ 证明：tan （α＋β）＝sin()cos()αβαβ＋＋＝sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ＋－ ＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－. tan （α－β）＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋ ……………………………………………………………⑥ 证明：tan （α－β）＝tan [α＋（－β）]＝tan tan()1tan tan()αβαβ＋－－－＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋. [ ] π2－（α＋β） [ （ ） ] π2－α －β （ ） π2－α （ ）π2－α二、 二倍角公式（1）cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α ……………………………………………………………………⑦证明：cos 2α＝cos （α＋α）＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2 α－sin 2 α.（2）sin 2α＝2sin αcos α …………………………………………………………………………⑧证明：sin 2α＝sin （α＋α）＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α.（3）tan 2α＝22tan 1tan αα－ ………………………………………………………………………⑨ 证明：tan 2α＝tan （α＋α）＝tan tan 1tan tan αααα＋－＝22tan 1tan αα－. 变式：公式⑦变式：cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝（1－sin 2 α）－sin 2 α＝1－2sin 2 α ……………………………⑩＝cos 2 α－（1－cos 2 α）＝2cos 2 α－1 ……………………………○11公式⑩变式：cos 2α＝1－2sin 2 α2sin 2 α＝1－cos 2αsin 2 α＝1cos 22α－. ○12 公式○11变式：cos 2α＝2cos 2 α－12cos 2 α＝cos 2α＋1cos 2 α＝cos 212α＋. ○13 公式○12和○13合称降幂公式.公式○12变式：sin 2α………………………………………………○14 证明： sin 2 α＝1cos 22α－ sin 2 2α＝1cos 2α－sin2α公式○13变式：cos 2α………………………………………………○15 证明： cos 2 α＝cos 212α＋cos 2 2α＝cos 12α＋ cos2α公式○14和○15合称半角公式. 三、 辅助角公式a sin x ±b cos x（x ±ϕ），其中tanϕ＝b a . …………………………○16 证明：（如图）a sin x ±b cos xsin xxsin x cos ϕ±cos x sin ϕ）（x ±ϕ）.）。
简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.(2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) (4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.(辅助角公式) 微思考1．思考三角恒等变换的基本技巧．提示 (1)变换函数名称：使用诱导公式．(2)升幂、降幂：使用倍角公式．(3)常数代换：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. (4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？提示 异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )(2)∀α∈R,1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)∀α∈R,2cos 2α＋cos 2α－1＝0.( × )(4)∃α∈R ，tan 2α＝2tan α.( √ )题组二 教材改编2．sin 15°cos 15°等于( )A ．－14 B.14 C ．－12 D.12答案 B解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14. 3．已知sin α－cos α＝15，0≤α≤π，则cos 2α等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－725 D.725答案 C解析 ∵sin α－cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1,0≤α≤π， ∴sin α＝45，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2⎝⎛⎭⎫452＝－725. 4．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 题组三 易错自纠5．计算：4tan π123tan 2π12－3等于( ) A.233 B ．－233 C.239 D ．－239答案 D解析 原式＝－23·2tanπ121－tan 2π12＝－23tan π6＝－23×33＝－239.6．(2020·泸州模拟)若tan α＝12，则cos 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35答案 D解析 ∵tan α＝12， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－141＋14＝35.题型一 三角函数式的化简1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59答案 A解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．(2020·江苏改编)已知sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23答案 B解析 ∵sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23， ∴1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α2＝23， 即1＋sin 2α2＝23，∴sin 2α＝13. 3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B. 4．21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )A ．2cos 2B ．2sin 2C ．4sin 2＋2cos 2D ．2sin 2＋4cos 2答案 B解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4＝2sin 22＋2sin 2cos 2＋cos 22＋2＋2(2cos 22－1)＝2(sin 2＋cos 2)2＋4cos 22＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵π2<2<π， ∴cos 2<0， ∵sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π4，0<2＋π4<π， ∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. (2)cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25° ＝2cos 25°cos 25°＝ 2. 命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos 2α的值为 ． 答案 0解析 ∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴tan α＝3或tan α＝13(舍)， 则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos 2α， ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22 ＝22(2sin αcos α)＋2(cos 2α－sin 2α)＋22 ＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.命题点3 给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又因为α，β均为锐角，sin β＝3314， 所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2， 又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．跟踪训练1 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.题型三 三角恒等变换的综合应用例4 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 解 (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1. 又α∈(0，π)，所以－π4<α－π4<3π4， 所以α－π4＝π2， 故α＝3π4， 因此tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值． 解 (1)由题意得f (x )＝24·sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22×⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－22·sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－22，64，即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22·sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝－12(sin 2θ－cos 2θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12·⎝⎛⎭⎫725＋2425＝3150.课时精练1．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 2．已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( ) A.725 B ．－725 C.2425 D ．－2425答案 B解析 ∵tan α＝43，tan α＝sin αcos α， ∴sin α＝43cos α， ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 3．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22答案 A解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22. 4．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( )A ．－78 B ．－14 C.14 D.78答案 A 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.5．(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是() A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2答案 CD解析 方法一 f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14 ＝sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14＝12·1－cos 2x 2＋34sin 2x －14 ＝34sin 2x －14cos 2x＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12.方法二 f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫x －x －π3－14＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫－π3－14＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋14－14＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 6．(多选)下列说法不正确的是( )A ．存在x ∈R ，使得1－cos 3x ＝log 2110B ．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期为πC ．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角答案 ABC解析 在A 中，因为cos x ∈[－1,1]，所以1－cos 3x ≥0，因为log 2110<log 21＝0， 所以不存在x ∈R ，使得1－cos 3x ＝log 2110，故A 错误； 在B 中，函数y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x 的最小正周期为π2，故B 错误； 在C 中，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ， 所以函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，故C 错误； 在D 中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D 正确．7．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 答案 34解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1010， ∴tan α＝sin αcos α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－2×31－(－3)2＝34.8．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝ .答案 －33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝12或sin α＝－1(舍去)， ∴α＝5π6，则tan α＝tan 5π6＝－tan π6＝－33. 9．(2021·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ .答案 －45解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3， ∴tan θ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4tan π4＝3－11＋3＝12， ∴sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝1－214＋1＝－45. 10.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 即sin αcos π4＋cos αsin π4＝210， 化简得sin α＋cos α＝15，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos α＝－35或cos α＝45， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以cos α＝－35. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35， 所以sin α＝45， 则cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250. 12．已知α，β为锐角，tan α2＝12，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－14＝43. 又α为锐角，且sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α， ∴sin α＝45，cos α＝35， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725. (2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 则tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝－2， ∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.13．设θ∈R ，则“0<θ<π3”是“3sin θ＋cos 2θ>1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 3sin θ＋cos 2θ>1⇔3sin θ>1－cos 2θ＝2sin 2θ⇔(2sin θ－3)sin θ<0⇔0<sin θ<32.当0<θ<π3时，0<sin θ<32；当0<sin θ<32时，2k π<θ<π3＋2k π，k ∈Z 或2π3＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z .所以0<θ<π3是3sin θ＋cos 2θ>1的充分不必要条件．故选A. 14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的值是 ． 答案 －2425解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a .又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75， 两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925， 即1＋sin 2α＝4925，∴sin 2α＝2425. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425.。
高二下册数学简单的三角恒等变换公式知识点总结
高二下册数学简单的三角恒等变换公式知识点总结数学是一切科学的基础，以下是为大家整理的高二下册数学简单的三角恒等变换公式知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。
平方关系：tan cot=1sin csc=1cos sec=1sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/secsin2+cos2=11+tan2=sec21+cot2=csc2诱导公式sin(-)=-sincos(-)=cos tan(-)=-tancot(-)=-cotsin(/2-)=coscos(/2-)=sintan(/2-)=cotcot(/2-)=tansin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin tan(/2+)=-cot cot(/2+)=-tan sin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cotsin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cotsin(3/2-)=-cos cos(3/2-)=-sin tan(3/2-)=cot cot(3/2-)=tan sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)=sin tan(3/2+)=-cot cot(3/2+)=-tan sin(2)=-sin cos(2)=costan(2)=-tancot(2)=-cotsin(2k)=sincos(2k)=costan(2k)=tancot(2k)=cot(其中kZ)最后，希望小编整理的高二下册数学简单的三角恒等变换公式知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
第四讲简单的三角恒等变换
第四讲简单的三角恒等变换部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第四讲简单的三角恒等变换一、基本公式梳理二、基本题型应用举例考点1、和、差、倍角公式的应用例1、已知，求及的值.(>练习1、如果α∈(错误!，π>，且sinα＝错误!，那么sin(α＋错误!>＋cos(α＋错误!>＝(>b5E2RGbCAPA.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!p1EanqFDPw解读：∵sinα＝错误!，错误!＜α＜π，∴cosα＝－错误!，而sin(α＋错误!>＋cos(α＋错误!>＝错误!sin(α＋错误!>＝错误!DXDiTa9E3dcosα＝－错误!.答案：D 练习2．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(>A.错误!B.错误!C．1 D.错误!解读：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1.又0＜A＜错误!，0＜cosA＜1.∴cosA＝错误!时，有最大值错误!.答案：DRTCrpUDGiT练习3．在△ABC中，已知cos(错误!＋A>＝错误!，则cos2A的值为________．5PCzVD7HxA解读：cos(错误!＋A>＝cos错误!cosA－sin错误!sinA＝错误!(cosA －sinA>＝错误!，jLBHrnAILg∴cosA－sinA＝错误!＞0.①∴0＜A＜错误!，∴0＜2A＜错误!，①2得1－sin2A＝错误!，xHAQX74J0X∴sin2A＝错误!.∴cos2A＝错误!＝错误!.答案：错误!LDAYtRyKfE练习4、已知，则=.考点2、和、差、倍角公式的变式及逆向应用例2、<1）化简；<）<2）=.(>练习1、化简=.练习2、=.<）练习3、的值为.<答案：1）练习4、在△ABC中，已知，则=.<）练习5、(1＋tan21°>(1＋tan20°>(1＋tan25°>(1＋tan24°>的值是( >Zzz6ZB2LtkA．2 B．4C．8 D．16解读：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°>＝错误!，dvzfvkwMI1∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，∴(1＋tan21°>(1＋tan24°>＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，同理(1＋tan20°>(1＋tan25°>＝2，∴(1＋tan21°>(1＋tan20°>(1＋tan25°>(1＋tan24°>＝2×2＝4.答案：B考点3、辅助角公式例3、化简：<1）；<2）.练习1、设函数，，(w为常数，且m>0>,已知函数f(x>的最大值为2.(I>求函数的单调递减区间；(II>已知a,b,c是的三边，且.若，，求B的值.考点4、拼角、拆角的技巧例4、<1）计算.<）<2）已知，则=.(>练习1、已知且.(1>求的值；< ） <2）求的值.<）练习2、已知，且求.<答案：）练习3、证明：考点5、给值求角例5、已知，且，求的值.<）练习1、已知，，其中．求的值．解∵，又∵，∴，在与之间，只有的正切值等于1，∴．练习2、已知，求的值.<）考点6、三角恒等变换的综合应用例6、<1）已知sinαcosβ＝错误!，则cosαsinβ的取值范围是________．rqyn14ZNXI解读：法一：设x＝cosαsinβ，则sin(α＋β>＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!＋x，sin(α－β>＝sinαcosβ－cosαsinβ＝错误!－x.∵－1≤sin(α＋β>≤1，－1≤sin(α－β>≤1，∴错误!∴错误!EmxvxOtOco∴－错误!≤x≤错误!.法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝错误!x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－错误!≤x≤错误!.SixE2yXPq5答案：[－错误!，错误!]<2）已知函数f(x>＝Asin(ωx＋φ>(A＞0，ω＞0，－错误!＜φ＜错误!>6ewMyirQFL一个周期的图象如图所示．(1>求函数f(x>的表达式；(2>若f(α>＋f(α－错误!>＝错误!，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．kavU42VRUs解：(1>从图知，函数的最大值为1，则A＝1.函数f(x>的周期为T＝4×(错误!＋错误!>＝π.而T＝错误!，则ω＝2.又x＝－错误!时，y＝0，∴sin[2×(－错误!>＋φ]＝0.而－错误!＜φ＜错误!，则φ＝错误!，∴函数f(x>的表达式为f(x>＝sin(2x＋错误!>．(2>由f(α>＋f(α－错误!>＝错误!，得sin(2α＋错误!>＋sin(2α－错误!>＝错误!，y6v3ALoS89即2sin2αcos错误!＝错误!，∴2sinαcosα＝错误!.M2ub6vSTnP∴(sinα＋cosα>2＝1＋错误!＝错误!.∵2sinαcosα＝错误!＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝错误!.0YujCfmUCw<3）已知，求的值．法一∵，∴，即……①又有……②，∴②－①2得……③，又∵，∴，∴联立①③，∴∴法二 ∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴，又，∴(4>2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形<如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于．eUts8ZQVRd <答案：）<5）设函数，其中向量，，，<Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；<Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的sQsAEJkW5T 解：(Ⅰ>由题意得， =(sinx,－cosx>·(sinx－cosx,sinx －3cosx> ＝sin2x －2sinxcosx+3cos2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+sin(2x+>所以，f(x>的最大值为2+，最小正周期是＝<Ⅱ）由sin(2x+>＝0得，即x ＝,k∈Z，于是k∈Z因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝<—，―2）即为所求<6）已知则连接两点的直线与单位圆的位置关系是<A）相交相切相离不能确定<7）已知函数(1>求函数的最小正周期；(2>若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.解读：(1>……………………4分∴ 函数f(x>的最小正周期……………………6分(2>当时，∴ 当，即时，f(x>取最小值－1………9分所以使题设成立的充要条件是，故m的取值范围是(－1,＋∞><8）已知向量, , .<Ⅰ）求的值。
高考数学知识点：简单的三角恒等变换
高考数学知识点：简单的三角恒等变换一、半角公式(不要求记忆)
典型例题1：
二、三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典型例题2：
三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
典型例题3：
四、三角函数求值有三类
1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
典型例题4：
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．典型例题5：
【作者：吴国平】。
三角恒等变换公式总结
三角恒等变换公式总结1. 引言三角恒等变换公式，这个听起来有些复杂的名字，实际上就像是数学里的“调味料”，能让我们在解决各种问题时，轻松又有趣。
想象一下，生活中的各种角度和三角形，不论是你在量房子的时候，还是在看风景时，三角函数都在悄悄发挥着作用。
今天就带大家轻松了解这些公式，保证让你有种“豁然开朗”的感觉！2. 基本三角恒等式2.1 正弦与余弦的关系首先，咱们得从最基础的说起，正弦（sin）和余弦（cos）。
你知道吗？它们就像是一对好朋友，总是形影不离。
基本恒等式之一就是sin²x + cos²x = 1。
简单来说，就是不论你选择哪个角度，它们俩加起来永远都是1。
这就像生活中的一种平衡，太多或太少都不行！2.2 正切的神奇接下来，咱们聊聊正切（tan）。
正切其实是余弦和正弦的比值，公式就是 tanx = sinx/cosx。
想象一下，这就好比你在餐厅里点了一份大餐，正弦是主菜，余弦是配菜，而正切就是你整个用餐体验的完美比例，缺一不可！3. 重要的三角恒等式3.1 角度和的公式说到三角恒等变换公式，角度和的公式可得好好聊聊。
比如说，sin(a + b) = sin a * cos b + cos a * sin b。
这就像是两个不同口味的冰淇淋，混合在一起后，产生了新鲜的口感，意外的美味总是让人惊喜。
而 cos(a + b) = cos a * cos b sin a * sin b，则是让人感觉有点酸酸甜甜的感觉，确实让人难忘！3.2 角度差的公式当然，除了和，角度差的公式也很有意思。
sin(a b) = sin a * cos b cos a * sin b。
这个公式就像是两位舞者，偶尔要展示一下各自的魅力，虽有些抵触，却又能擦出火花。
cos(a b) = cos a * cos b + sin a * sin b，则让人觉得温暖，像是朋友间的默契配合。
4. 应用实例4.1 解决实际问题学习这些公式，关键还是要知道如何运用。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
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总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
简单的三角恒等变换
1+cos
∴(1＋ cos
α)tan ＝
2
又∵ cos
3π
2
sin α .
− ＝－ sinα，且1－ cos α＝2
2
sin ，
2
.
∴原式＝
−sin−sin
2si2
2
＝
−2sin
2
sin
2
π
∵0＜α＜π，∴0＜ ＜ ，
2
2
∴
sin ＞0，
2
∴原式＝－2
2 cos .
＝ cos 2α·tan
2
1
α＝ cos
2
α sin
1
α＝ sin
4
2α
方法总结
三角恒等式证明的常用方法
1. 执因索果法：证明的形式一般化繁为简.
2. 左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
3. 拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消
除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
左边
4. 比较法：设法证明“左边－右边=0”“或
2
＝－
2
sin
2
2 2sin cos
2
.
考点二
三角函数求值
◉角度(一) 给角求值
例2
(1) cos 20°·cos 40°·cos (－460°)＝
1
－
8
；
(1) cos 20°·cos 40°·cos (－460°)
＝ cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－ cos 20°·cos 40°·cos 80°
简单的三角恒等变换
证明定理：利用代数恒等式证明三角恒等变换中的定理和公式 求解几何问题：利用代数恒等式求解几何问题，如三角形的面积、 周长等
三角函数的性质
正弦函数：y=sinx，周期为2π， 最大值为1，最小值为-1
余弦函数：y=cosx，周期为2π， 最大值为1，最小值为-1
平移变换：保持图形平移 不变的变换
相似变换：保持图形形状 和角度不变的变换
投影变换：保持图形投影 不变的变换
反射变换：保持图形反射 不变的变换
三角恒等变换的应用
在解三角形问 题时，三角恒 等变换可以用 来化简复杂的
三角表达式
在复数运算中， 三角恒等变换 可以用来将复 数表示为三角
函数形式
在信号处理和 通信工程中， 三角恒等变换 可以用来分析
正切函数：y=tnx，周期为π，最 大值为+∞，最小值为-∞
余切函数：y=cotx，周期为π，最 大值为+∞，最小值为-∞
正割函数：y=secx，周期为2π， 最大值为+∞，最小值为-1
余割函数：y=cscx，周期为2π， 最大值为+∞，最小值为-1
三角函数的图像与性质
三角函数的图像： 正弦、余弦、正 切函数的图像特 点
积化和差与和差化积公式
积化和差公式：sin(+b) = sin()cos(b) + cos()sin(b)
积化和差公式的证明：利用三角 函数的和差化积公式和正弦定理
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和差化积公式：sin(-b) = sin()cos(b) - cos()sin(b)
添加标题
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和差化积公式的证明：利用三角 函数的积化和差公式和正弦定理
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简单的三角恒等变换
作课人：吕许凤
导
1．半角的正弦、余弦、正切公式 α (1)在公式 cos2α＝2cos α－1＝1－2sin α 中， 用 2
2 2
代替 α 就会得到． α cos ＝ ± 2 α sin ＝ ± 2 α tan ＝± 2
1＋cosα ； 2 1－cosα ； 2 1－cosα . 1＋cosα
α (2)用 sinα，cosα 表示 tan ， 2
1－cosα α sinα tan ＝ ＝ . 2 sinα 1＋cosα
2．辅助角公式
2 2 b a ＋ b asinα＋bcosα＝ sin(x＋θ)(其中 tanθ＝ )． a
思议
利用辅助角公式写出下列式子的化简结果． (1)sinx＋cosx； (3) 3sinx＋cosx； (5)sinx＋ 3cosx； (2)sinx－cosx； (4) 3sinx－cosx； (6)sinx－ 3cosx.
[提示]先将所求的三角函数式化简，再结合已知条件求值．
[解 ] ＝
tanα＋β－tanα＋tanβ 原式＝ tan2βtanα＋β
tanα＋β－tanα＋β1－tanαtanβ tan2βtanα＋β
1－1－tanαtanβ tanα sinαcosβ ＝ ＝ ＝ . tan2β tanβ cosαsinβ 1 ∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ ， 2 1 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ 3 5 ①＋②，①－②得 sinαcosβ＝ ， 12 1 cosαsinβ＝ . 12 5 sinαcosβ 12 ∴原式＝ ＝ ＝5. cosαsinβ 1 12
展评
π π 5 2．已知 x∈(0， )，且 sin( －x)＝ ， 4 4 13 cos2x 求 的值． π cos4＋x
π 解：∵0<x< ， 4 π π ∴0< －x< . 4 4 π ∴cos( －x)＝ 4 π 12 1－sin －x＝ . 4 13
2
cos2x－sin2x cosx＋sinxcosx－sinx cos2x ∴ ＝ ＝ π 2 2 2 cos ＋x cosx－ sinx cosx－sinx 4 2 2 2 2 2 ＝ 2(cosx＋sinx)＝2( cosx＋ sinx) 2 2 π 12 24 ＝2cos( －x)＝2× ＝ . 4 13 13
提示：
π (1)sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )． 4
π (2)sinx－cosx＝ 2sin(x－ )． 4 π (3) 3sinx＋cosx＝2sin(x＋ )． 6 π (4) 3sinx－cosx＝2sin(x－ )． 6 π (5)sinx＋ 3cosx＝2sin(x＋ )． 3 π (6)sinx－ 3cosx＝2sin(x－ )． 3
检练
x x x 3．已知函数 f(x)＝2sin cos ＋ 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值； π (2)令 g(x)＝f(x＋ )，判断函数 g(x)的奇偶性，并说 3 明理由．
x x x π 解：(1)∵f(x)＝sin ＋ 3cos ＝2sin( ＋ )， 2 2 2 3 2π ∴f(x) 的最小正周期 T＝ ＝4π. 1 2 x π 当 sin( ＋ )＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 2 3 x π 当 sin( ＋ )＝1 时，f(x)取得最大值 2. 2 3
b 公式 asinα ＋ bcosα ＝ a ＋b sin(α ＋ φ)(tanφ＝ a ) 的应用非常广
2 2
泛，这个公式其实是和差公式的逆应用， a b 即 asinα＋bcosα＝ a ＋b (sinα· 2 2＋cosα· 2 2)， a ＋b a ＋b
2 2
a b b 令 cosφ＝ 2 2，sinφ＝ 2 2，即 tanφ＝ . a a ＋b a ＋b 由两角和的正弦公式得 asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)．
3π 已知 <θ<2π，试化简 1＋sinθ－ 1－sinθ. 2
[ 提示 ]根据化简的基本思想，需消去根式，联想到恒等式 θ θ2 1± sinθ＝(sin ± cos ) . 2 2
[解]
θ θ θ θ 原式＝|sin ＋cos |－|sin －cos |. 2 2 2 2
3π ∵ <θ<2π， 2 3π θ ∴ < <π， 4 2 θ θ θ θ 从而 sin ＋cos <0，sin －cos >0， 2 2 2 2 θ θ θ θ 则原式＝－(sin ＋cos )－(sin －cos ) 2 2 2 2 θ ＝－2sin . 2
课堂小结
1、半角公式、降幂公式和辅助角公式 2、公式的应用
3 π 1 π ＝2[ sin(2x－ )－ cos(2x－ )]＋1 2 6 2 6 π ＝2sin(2x－ )＋1， 3 2π 2π (1)f(x)的最小正周期 T＝ ω ＝ ＝π . 2 π π 5π (2)令 2x－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，∴x＝kπ＋ (k∈Z)， 3 2 12 5π ∴函数 f(x)取得最大值的 x 的集合是{x|x＝kπ＋ ，k∈Z}． 12
2sinx 又 ＝ cosx＋cos2x
2sinx 3x x 3x x cos － ＋cos ＋ 2 2 2 2
2sinx sinx ＝ ＝ ， 3x x 3x x 2cos cos cos cos 2 2 2 2 3x x 2sinx ∴tan －tan ＝ . 2 2 cosx＋cos2x
x π (2)由(1)知 f(x)＝2sin( ＋ )， 2 3 π 又 g(x)＝f(x＋ )． 3 1 π π ∴g(x)＝2sin[ (x＋ )＋ ] 2 3 3 x π x ＝2sin( ＋ )＝2cos . 2 2 2 x x ∵g(－x)＝2cos(－ )＝2cos ＝g(x)， 2 2 ∴ 函数 g(x)是偶函数．
应用
使用和、差角的正弦、余弦和正切公式进行恒等变换 时应该注意： (1)公式的适用条件；
(2)公式的正用、逆用和变形应用；
(3)角的合成与分解； (4)整体代换，换元思想和方程思想的体现．
1 1 已知 sin(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ ，求 2 3 tanα＋β－tanα－tanβ 的值． 2 tan βtanα＋β
① ②
展评
3x x 2sinx 1．求证：tan －tan ＝ . 2 2 cosx＋cos2x
3x x sin sin 2 2 3x x 证明：tan －tan ＝ － x 2 2 3x cos cos 2 2 3x x 3x x sin cos －cos sin 2 2 2 2 ＝ 3x x cos cos 2 2 3x x sin － 2 2 sinx ＝ ＝ 3x x 3x x cos cos cos cos 2 2 2 2
π π 2 已知函数 f(x)＝ 3sin(2x－ )＋2sin (x－ )(x∈R)． 6 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
[提示] 利用辅助角公式把f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B＝ 3sin(2x－ )＋1－cos[2(x－ )] 6 12
二倍角公式是由两角和的正弦、余弦和正切公式推 导出来的，其变换更加灵活，应用更加广泛． cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1 1＋cos2α 2 cos α＝ ， 2 2 1－cos2α 2 ， ＝1－2sin α⇒sin α＝ 2 2 1－cos2α tan α＝1＋cos2α.