高考数学试卷解析1448
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
浙江省金华市(新版)2024高考数学部编版考试(评估卷)完整试卷
浙江省金华市（新版）2024高考数学部编版考试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题甲､乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲､乙两人恰好选择同一岗位的选择方法有（）种.A．18B．27C．36D．72第(2)题函数的定义域为D，若对于任意，，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（）A．B．C．1D．第(3)题已知边长为的菱形，，沿对角线把折起，二面角的平面角是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．第(4)题已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（）A．B．C．D．第(5)题已知复数z为纯虚数，且满足，则实数m的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知函数无最大值，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．第(7)题在中，角所对应的边分别为，点为边的中点，若，，则（）A．B．C．D．第(8)题设，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（）A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4第(2)题已知递增等比数列的公比为，且满足，下列情况可能正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．的图像关于轴对称B．是周期为的周期函数C．的值域为D ．不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)．①平均数； ②标准差； ③平均数且极差小于或等于2；④平均数且标准差； ⑤众数等于1且极差小于或等于4．第(2)题在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，，的面积为，则的周长是______．第(3)题已知向量，，若，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图1所示，在边长为3的正方形ABCD 中，将△ADC 沿AC 折到△APC 的位置，使得平面平面ABC ，得到图2所示的三棱锥.点E ，F ，G 分别在PA ，PB ，PC 上，且，，.记平面EFG 与平面ABC 的交线为l.(1)在图2中画出交线l ，保留作图痕迹，并写出画法.(2)求点到平面的距离.第(2)题某校举行中国共产主义青年团成立100周年知识竞赛，随机抽取300名学生的竞赛成绩（总分：100分），统计结果如下．分数段男生3030女生1040(1)当时，分别估计男、女生竞赛成绩的中位数与．(2)该校竞赛委员会规定成绩不低于80分者为优秀，否则为非优秀．根据所给数据，完成下面的列联表．优秀非优秀总计男生女生总计300设，，若有的把握认为男、女生竞赛成绩有差异，求的最小值．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.828第(3)题已知动圆与轴相切于点，过点，分别作动圆异于轴的两切线，设两切线相交于，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过的直线与曲线相交于不同两点，若曲线上存在点，使得成立，求实数的范围.第(4)题已知函数.（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围.第(5)题在直角坐标系中，已知直线的方程为．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)射线与曲线和直线分别交于点，点是曲线上一点，求面积的最大值．。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
1998年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ． 2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+i cosθ(π2<θ<π)，求z的共轭复数－z的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ≤ 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试二、（满分50分）设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n∈[1，2]且nΣi=1a2i=nΣi=1b2i，求证：nΣi=1a3ib i≤1710nΣi=1a2i．并问：等号成立的充要条件．三、（满分50分）对于正整数a、n，定义F n(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有F n6(F n5(F n4(F n3(F n2(F n1(a))))))=1．证明你的结论．一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）2．若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø 【答案】B【解析】A ⊆B ，A ≠Ø．⇒ 3≤2a +1≤3a －5≤22，⇒6≤a ≤9．故选B ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件【答案】D【解析】若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为－1，否定A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37【答案】B【解析】8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3【解析】 →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z=(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.【答案】8【解析】设其首项为a ，项数为n ．则得a 2+(n －1)a +2n 2－2n －100≤0．△=(n －1)2－4(2n 2－2n －100)=－7n 2+6n +401≥0．∴ n ≤8． 取n=8，则－4≤a ≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a +n －12)2+2n 2－2n －100－(n －12)2≤0．解2n 2－2n －100－(n －12)2≤0仍得n ≤8．)6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于 ．【答案】223【解析】由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，则AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC 2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33． ∴ AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°．∵ AD 2=AE 2+ED 2，⇒AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263． S △BCM =3，V A —BCM =223．三、（本题满分20分）2223222EBCAMD23222AEMDCB四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax2 +8x+3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论．五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2． 求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。
1998年全国高考文科数学试题及其解析
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21 (C) 23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2325ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) －2123±I (C) ±2123+I (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种(11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )(A) ±43 (B) ±23 (C) ±22(D) ±43(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)251- (B) 2252- (C) 215- (D) 2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－21，前n 项的和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么11a 的值为 ( )(A)3± (B)±23(C) 2± (D) 26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题 ①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06，π对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π，求sin B 的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+， 2s i n2c o s 2s i n s i nϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-．(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋nb 1)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与21lg b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+． 由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B =sin B ，∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B ．∵ 0＜2B ＜2π， 2cos B ≠0，∴sin2B =43， 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839 (22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P)2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ． ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=22DA AM -=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4． =|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3． 故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值．这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2ab ， ∴ 22ab ＋ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得 b 1=1， 10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2． ∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n ) =lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]，21lg b n ＋1=lg 12+n ． 因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n 的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅，取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅ 由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定： S n ＞21lgb n ＋1． 下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立． (ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ，那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k ) =1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k=121+k ＞0， ∴1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ．因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ． 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：S n >21lg b n ＋1．。
2024年上海夏季高考数学真题卷(含答案与解析)_3100
机密★启用前上海市2024年普通高中学业水平等级性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设全集{}1,2,3,4,5U=，集合{}2,4A=，则A=______．2. 已知()0,1,0xf xx>=≤⎪⎩则()3f=______．3. 已知,x∈R则不等式2230x x--<的解集为______．4. 已知()3f x x a=+，x∈R，且()f x奇函数，则=a______．5. 已知()(),2,5,6,k a b k∈==R，且//a b，则k的值为______．6. 在(1)nx+的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为______．7. 已知抛物线24y x=上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______．8. 某校举办科学竞技比赛，有、、A B C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．9. 已知虚数z，其实部为1，且()2z m mz+=∈R，则实数m为______．10. 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．是11. 已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=______(精确到0.1度)12. 无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14. 下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ） A. sin cos x x + B. sin cos x x C. 22sin cos x x +D. 22sin cos x x -15. 定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A. ()0,0,0∈ΩB. ()1,0,0-∈Ω C ()0,1,0∈ΩD. ()0,0,1-∈Ω16. 已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得的.[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A. 存在()f x 是偶函数B. 存在()f x 在2x =处取最大值C. 存在()f x 是严格增函数D. 存在()f x 在=1x -处取到极小值三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．（1）若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； （2）若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18. 若()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；（2）存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩 [)0,0.5 [)0.5,1 [)1,1.5 [)1.5,2 [)2,2.5优秀5 44 42 3 1 不优秀 1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？的（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20. 已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q两点.（1）若离心率2e =时，求b 值．（2）若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． （3）连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21. 对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． （1）对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； （2）对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；（3）已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =______．【答案】{}1,3,5 【解析】【分析】根据补集的定义可求A .的【详解】由题设有{}1,3,5A =， 故答案为：{}1,3,52. 已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f =______．【解析】【分析】利用分段函数的形式可求()3f .【详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3. 已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为______． 【答案】{}|13x x -<< 【解析】【分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.4. 已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ______．【答案】0 【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数a .【详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.5. 已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为______．【答案】15 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =． 故答案为：15．6. 在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为______． 【答案】10 【解析】【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【详解】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x-+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．故答案为：10．7. 已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为______．【答案】 【解析】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =-，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =， 代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±， 则点P 到x 轴距离为．故答案为：8. 某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【解析】的【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 故答案为：0.85．9. 已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为______． 【答案】2 【解析】【分析】设1i,R z b b ∈=+且0b ≠，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =， 故答案为：2.10. 设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______． 【答案】329 【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个； ②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 故答案为：329．11. 已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=______(精确到0.1度)【答案】7.8︒ 【解析】【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CDD CAD=∠，()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+，两式相除即可得到答案. 【详解】设,90BCA ACD θθ∠=∠=- ，在DCA △中，由正弦定理得sin sin CA CDD CAD=∠， 即()sin 37.0sin 1809037.0CA CDθ-=⎡⎤-+⎣⎦’ 即()sin 37.0sin 9037.0CA CD θ=-+① 在BCA V 中，由正弦定理得sin sin CA CBB CAB=∠， 即()sin16.5sin 18016.5CA CB θ=⎡⎤+⎦-⎣，即()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+ ，② 因为CD CB =，②①得()()sin 9037.0sin 37.0sin16.5sin 16.5θθ-+=+，利用计算器即可得7.8θ≈ ， 故答案为：7.8 .12. 无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是______． 【答案】2q ≥ 【解析】【分析】当2n ≥时，不妨设x y ≥，则[][][]2121110,,0,n n n n x y a a a a a a a a ++-∈---- ，结合n I 为闭区间可得212n q q--≥-对任意的2n ≥恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有11n n a a q-=，因为10,1a q >>，故1n n a a +>，故[]1111,,n nn n a a a q a q -+⎡⎤=⎣⎦，当1n =时，[]12,,x y a a ∈，故[]1221,x y a a a a -∈--，此时1I 为闭区间， 当2n ≥时，不妨设x y ≥，若[]12,,x y a a ∈，则[]210,x y a a -∈-， 若[][]121,,,n n y a a x a a +∈∈，则[]211,n n x y a a a a +-∈--， 若[]1,,n n x y a a +∈，则[]10,n n x y a a +-∈-，综上，[][][]2121110,,0,n n n n x y a a a a a a a a ++-∈---- ，又n I 为闭区间等价于[][][]2121110,,0,n n n n a a a a a a a a ++-⋃--⋃-为闭区间， 而11121n n n a a a a a a ++->->-，故12n n n a a a a +-≥-对任意2n ≥恒成立， 故1220n n a a a +-+≥即()11220n a q q a --+≥，故()2210n q q --+≥，故212n q q--≥-对任意的2n ≥恒成立，因1q >，故当n →+∞时，210n q --→，故20q -≥即2q ≥.故答案为：2q ≥.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A 气候温度高，海水表层温度就高B. 气候温度高，海水表层温度就低C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB ，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB 错误. 对于CD ，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C 正确，D 错误. 故选：C.14. 下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ） A. sin cos x x + B. sin cos x x C. 22sin cos x x + D. 22sin cos x x -【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A，πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误； 对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误， .15. 定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A. ()0,0,0∈ΩB. ()1,0,0-∈ΩC. ()0,1,0∈ΩD. ()0,0,1-∈Ω【答案】C 【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当()()()1,0,0,0,0,1,0,1,0Ω∈时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量123,,OP OP OP 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A ，由空间直角坐标系易知()0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当()1,0,0,(1,0,0)Ω-∈无法推出(0,0,1)Ω∉，故A 错误；对B ，由空间直角坐标系易知()1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)-三个向量共面，则当()0,0,0,(1,0,0)Ω∈无法推出(0,0,1)Ω∉，故B 错误；对C ， 由空间直角坐标系易知()()()1,0,0,0,0,1,0,1,0三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由()()1,0,0,0,1,0Ω∈能推出()0,0,1Ω∉，对D ，由空间直角坐标系易知()()()1,0,0,0,0,1,0,0,1-三个向量共面， 则当()0,0,1(1,0,0)Ω-∈无法推出(0,0,1)Ω∉，故D 错误. 故选：C ．16. 已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A. 存在()f x 是偶函数B. 存在()f x 在2x =处取最大值C. 存在()f x 是严格增函数D. 存在()f x 在=1x -处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数()2,1,111,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩即可判断.【详解】对于A ，若存在 ()y f x = 是偶函数, 取 01[1,1]x =∈-,则对于任意 (,1),()(1)x f x f ∈-∞<, 而 (1)(1)f f -=, 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数()2,1,,11,1,1,x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩满足集合[]1,1M =-，当1x <-时，则()2f x =-，当11x -≤≤时，()[]1,1f x ∈-，当1x >时，()1f x =， 则该函数()f x 的最大值是()2f ，则B 正确；对C ，假设存在()f x ，使得()f x 严格递增，则M =R ，与已知[]1,1M =-矛盾，则C 错误； 对D ，假设存在()f x ，使得()f x 在=1x -处取极小值，则在1-的左侧附近存在n ，使得()()1f n f >-，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．（1）若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成几何体的体积； （2）若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 【答案】（1）12π的（2）π4【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形POA 的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接,,EA EO EC ，可先证BE ⊥平面ACE ，根据线面角的定义得出所求角为∠BOE ，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】正四棱锥满足且PO ⊥平面ABCD ，由AO ⊂平面ABCD ，则PO AO ⊥，又正四棱锥底面ABCD 是正方形，由=AD 3AO =，故4PO ==，根据圆锥的定义，POA 绕PO 旋转一周形成的几何体是以PO 为轴，AO 为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为4PO =，底面半径为3AO =，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是21π3412π3⨯⨯⨯= 【小问2详解】连接,,EA EO EC ，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由E 是PB 中点，则,AE PB CE PB ⊥⊥，又,,AE CE E AE CE =⊂ 平面ACE ， 故PB ⊥平面ACE ，即BE ⊥平面ACE ，又BD 平面ACE O =， 于是直线BD 与平面AEC 所成角的大小即为∠BOE ，不妨设6AP AD ==，则3BO BE ==，sin BOE ∠==， 又线面角的范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故π4BOE ∠=.即为所求.18. 若()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；（2）存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}|12x x <<（2）1a > 【解析】【分析】（1）求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列等价于22131248a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围． 【小问1详解】因为()y f x =的图象过()4,2，故log 42a =，故24a =即2a =（负的舍去）， 而()2log f x x =在()0,∞+上为增函数，故()()22f x f x -<， 故022x x <-<即12x <<，故()()22f x f x -<的解集为{}|12x x <<. 【小问2详解】因为存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，故()()()212f ax f x f x =+++有解，故()()()2log log 1log 2a a a ax x x =+++， 因为0,1a a >≠，故0x >，故()()2212a x x x =++在()0,∞+上有解，由2222232321311248x x a x x x x ++⎛⎫==++=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+上有解， 令()10,t x ∞=∈+，而231248y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,∞+上的值域为()1,∞+，故21a >即1a >.19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩 [)0,0.5 [)0.5,1 [)1,1.5 [)1.5,2 [)2,2.5优秀 5 44 42 3 1 不优秀 1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）【答案】（1）12500（2）0.9h（3）有 【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比17943282558058++=，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为25290001250058⨯=． 【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为10.50.511 1.5 1.522 2.5139191179432858022222++++⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦0.9≈． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. 【小问3详解】 由题列联表如下：.[)1,2其他 合计 优秀4550 95 不优秀 177 308 485 合计222358580提出零假设0H ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中0.05α=．22580(4530817750) 3.976 3.84195485222358χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．则零假设不成立，即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20. 已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q两点.（1）若离心率2e =时，求b 的值．（2）若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． （3）连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．【答案】（1）b =（2）(2,P（3）( 【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my =-，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【小问1详解】由题意得21c ce a ===，则2c =，b == 【小问2详解】当b =时，双曲线22Γ:183y x -=，其中()2,0M -，()21,0A ， 因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x =-上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去； ②当以2A P 为底时，23MP MA ==，设(),P x y ，则 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩,联立解得2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩， 因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知2MP MA >，矛盾，舍去）； ③当以MP 为底时，223A P MA ==，设()0,Px y ，其中000,0xy >>，则有()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即(2,P ．综上所述：(2,P . 【小问3详解】由题知()()121,0,1,0A A -，当直线l 斜率为0时，此时120A R A P ⋅=，不合题意，则0l k ≠， 则设直线:2l x my =-，设点()()1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ， 根据双曲线对称性知()22,R x y --，的联立有22221x my y x b =-⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩()222221430b m y b my b --+=， 显然二次项系数2210b m -≠， 其中()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>，2122241b m y y b m +=-①，2122231b y y b m =-②，()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-，则()()122112111A R A P x x y y ⋅=-+--=，因为()()1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my =-，222x my =-，即()()2112331my my y y ----=，即()()2121213100y y m y y m +-++=，将①②代入有()2222222341310011b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--，即()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=化简得2223100b m b +-=，所以 22103m b =-, 代入到 2210b m -≠, 得 221031b b =-≠, 所以 23b ≠, 且221030m b =-≥，解得2103b ≤，又因为0b >，则21003b <≤，综上知，()2100,33,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(b ∴∈ ．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my =-，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21. 对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． （1）对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； （2）对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；（3）已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，()0,1P（3）严格单调递减 【解析】【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得()22(1)e xs x x =-+，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到()()10200s x s x =''=，对两等式化简得()01()f xg t '=-，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t =，最后得到函数单调性. 【小问1详解】当(0,0)M 时，()222211(0)02s x x x x x ⎛⎫=-+-=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当221x x=即1x =时取等号， 故对于点()0,0M ，存在点()1,1P ，使得该点是()0,0M 在()f x 的“最近点”． 【小问2详解】由题设可得()()2222(1)e 0(1)e x x s x x x =-+-=-+，则()()2212e xs x x '=-+，因为()221,2e xy x y =-=均为R 上单调递增函数，则()()2212e xs x x '=-+在R 上为严格增函数，而()00s '=，故当0x <时，()0s x '<，当0x >时，()0s x '>， 故()()min 02s x s ==，此时()0,1P ，而()()e ,01xf x k f ='=='，故()f x 在点P 处的切线方程为1y x =+.而01110MP k -==--，故1MP k k ⋅=-，故直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直． 【小问3详解】设()()()()221(1)()s x x t f x f t g t =-++-+，()()()()222(1)()s x x t f x f t g t =--+--， 而()()()()()12(1)2()s x x t f x f t g t f x ''=-++-+， ()()()()()22(1)2()s x x t f x f t g t f x ''=--+--， 若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”， 设()0,Px y ，则0x 既是()1s x 的最小值点，也是()2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点， 则存在0x ,使得()()10200s x s x =''=，即()()()()10000212()()0s x x t f x f x f t g t ''=-++-+=⎡⎤⎣⎦①()()()()20000212()()0s x x t f x f x f t g t ''=--+--=⎡⎤⎣⎦②由①②相等得()044()0g t f x '+⋅=，即()01()0f x g t '+=， 即()01()f xg t '=-，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正， 则()010()f xg t '=-<恒成立， 接下来证明0x t =，因为0x 既是()1s x 的最小值点，也是()2s x 的最小值点， 则()()1020(),()s x s t s x s t ≤≤，即()()()()()()()2220011x t f x f t g t g t -++-+≤+，③()()()()()()()2220011x t f x f t g t g t --+--≤+，④③+④得()()222200222()2()22()x t f x f t g t g t ⎡⎤-++-+≤+⎣⎦即()()()()22000x t f x f t -+-≤，因为()()()()2200,00x t f x f t --≥≥ 则()()0000x t f x f t -=⎧⎨-=⎩，解得0x t =， 则()10()f tg t '=-<恒成立，因为t 的任意性，则()f x 严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到()01()f x g t '=-，再利用最值点定义得到0x t =即可.。
2024届高三数学仿真模拟卷(天津卷)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
2020年浙江省高考数学真题（含解析）
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（）A.{|12}x x <≤B.{|23}x x <<C.{|34}x x ≤< D.{|14}<<x x2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（）A.1B.–1C.2D.–23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A.(,4]-∞ B.[4,)+∞ C.[5,)+∞ D.(,)-∞+∞4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A.73B.143C.3D.66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A .2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.2428a a a = D.2428b b b =8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A.2 B.5C.D.9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A.a <0B.a >0C.b <0D.b >010.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈的前3项和是________．12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2+a 3=________．13.已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan(4θ-=______．14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．16.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e为单位向量，满足21|2|-≤ e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A -=．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．19.如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．*()n N ∈21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：012(1)a x a -≤≤-；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（）A.{|12}x x <≤B.{|23}x x <<C.{|34}x x ≤< D.{|14}<<x x【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I 故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（）A.1B.–1C.2D.–2【答案】C 【解析】【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A.(,4]-∞B.[4,)+∞ C.[5,)+∞ D.(,)-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：31030x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，可得点A的坐标为：()2,1A，据此可知目标函数的最小值为：min2214z=+⨯=且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞.故选：B.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.4.函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A.73B.143C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.6.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A.2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.2428a a a = D.2428b b b =【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+．∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a da d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP |=（）A.222B.5C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A.a <0 B.a >0C.b <0D.b >0【答案】C【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.10.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A 【解析】【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T = ，包含4个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T = ，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T = ，包含7个元素，排下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈的前3项和是________．【答案】10【解析】【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出．【详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===．即312313610S a a a =++=++=．故答案为：10.【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2+a 3=________．【答案】(1).80(2).122【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.13.已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan(4θ-=______．【答案】(1).35-(2).13【解析】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan(4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan(41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.15.设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】(1).3(2).3-【解析】【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可.【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，1=，1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得,33k b ==-.故答案为：;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.16.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．【答案】(1).13(2).1【解析】【分析】先确定0ξ=对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：1;13.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|2|-≤ e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥u r u r ，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|e e -≤u r u rQ ，124412e e ∴-⋅+≤u r u r，1234e e ∴⋅≥u r u r ，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅u r u r u r u r r r u r u r u r u r u r u rr r 12424228(1(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯u r u r .故答案为：2829.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A -=．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】【分析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，1313sin ,2232A π⎛⎤+⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19.如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）33【解析】【分析】（I ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；（II ）由//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H = ，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DHHG BD⋅==，∴sin3HG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3．【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+ ．*()n N ∈【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）根据1236b b b +=，求得q ，进而求得数列{}n c 的通项公式，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（II ）利用累乘法求得数列{}n c 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=.所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c b c b ++=，所以111n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈，故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅ 1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即1211n c c c d++⋯+<+，*n N ∈.【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ）1040【解析】【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y m λλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m m y y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm m p λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y px y p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+.由2222142, 22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，1040p ≤，所以，p的最大值为40，此时(55A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mt y m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m +=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，所以当5m t ==时，p取到最大值为40.【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II ）（i ）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii ）先根据零点条件转化：0000()()xx f e x f x a =+，再根据12a <≤放缩，转化为证明不等式224(2)(1)(1)a e e a -≥--，最后构造差函数，利用导数进行证明.【详解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴Q Q 在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<Q ，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；（II ）（i ）000()0,0x f x e x a =∴--=Q ，002000012(1)x x x e x x e x ≤≤--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2x xx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--=1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤Q ，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=，当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>，所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<Q ，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x x e x x e x x ∴--≤≤--∴≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]x a a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->Q 0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)a e e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--，即只需证明224(2)(1)(1)a e e a -≥--，令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤，则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a ≥--.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.。
2024年江苏省高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2024年江苏省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。
1988年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1988年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【】[Key] (2)C(3)集合{1,2,3}的子集总共有(A)7个 (B)8个(C)6个 (D)5个【】[Key] (3)B(A)10 (B)5【】[Key] (4)A(5)在的展开式中,x6的系数是【】[Key] (5)D(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是(A)π(B)2π【】[Key] (6)A(7)方程的解集是【】[Key] (7)C(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【】[Key] (8)D(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (11)C(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线【】[Key] (12)B(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(A)(1,1) (B)(-1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)【】[Key] (13)D(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有【】[Key] (14)B(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB 上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定【】[Key] (15)A二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{a n}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE 绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=log a x是减函数,当a>1时,y=log a x是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1. ③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得 3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p-4<0, 解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.以下同解法一．。
1988高考数学全国卷及答案文
1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ D ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（4）函数)1a 0(a y x <<=的图象是 （ B ）（5）已知椭圆方程111y 20x 22=+，那么它的焦距是 （ A ）（A ）6 （B ）3 （C ）312 （D ）31（A ） （B ） （C ） （D ） X X X（6）在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于（ B ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （7）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（8）函数)6x 52cos(3y π-=的最小正周期是 （ D ）（A ）π52（B ）π25（C ）π2 （D ）π5（9）)619sin(π-的值等于 （ A ） （A ）21 （B ）21- （C ）23 （D ）23- （10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 （A ）21a =（B ）21a -= （C ）1a = （D ）1a -= （ C ）（11）函数)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且的反函数是 （ A ）（A ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且 （B ）)2x ,R x (2x 1x 2y ≠∈--=且 （C ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈-+=且 （D ）)2x ,R x (2x 1x 2y -≠∈+-=且 （12）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线D ' C '（13）函数)4x sin(y π+=在闭区间 （ B ）（A ）]2,2[ππ-上是增函数 （B ）]4,43[ππ-上是增函数 （C ）]0,[π-上是增函数 （D ）]43,4[ππ-上是增函数（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）（A ）219733319723C C C C +种 （B ）319723C C 种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtg 的值等于 （ C ） （A ）43（B ）53 （C ）773 （D ）731 二．（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值[答]2;π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 [答]-3（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积[答]3cm 548π（未写单位，只给3分） （5）求.1n 3n n 2n 3lim 22n-++∞→[答]3三．（本题满分10分）证明α-α=αcos 3cos 43cos 3 证明：略四．（本题满分10分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αs i n的值解：因为SB 垂直于底面ABCD ，所以斜线段SA 在底面上的射影为AB ，由于DA ⊥AB所以 DA ⊥SA 从而.SD1SD AD sin ==α 连结BD ，易知BD=2由于SB ⊥BD ，所以5)2()3(BD SB SD 2222=+=+=因此，.55151sin ==α 五．（本题满分11分）在双曲线x 2-y 2=1的右支上求点P （a,b ），使该点到直线y=x 的距解：由题意，点P （a,b ）是下述方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(,22|b a |)1(,1b a 22并且a>0.由（1）式得,b 1a 22+=因为a>0，所以|b |b b 1a 22=>+=，从而a>b ，于是由（2）式得SαB AC Da-b=2 （3）把（3）式代入得,1b )2b (22=-+ 解得.45a )3(,43b =-=得代入 ∴所求的点P 的坐标为).43,45(- 六．（本题满分12分）解不等式.0)x1x lg(<-解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.1x1x ,0x1x 22情形1 当x>0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+<>.1x x ,1x 22解得：.251x 1+<< 情形2 当x<0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+><.1x x ,1x 22解得.251x 1-<<- 所以原不等式解集为}251x 1|x {}251x 1{|+<<⋃-<<- 七．（本题满分12分）一个数列}a {n ：当n 为奇数时，;1n 5a n +=当n 为偶数时，.2a 2nn =求这个数列的前2m 项的和（m 是正整数）解：因为,10]1)1k 2(5[]1)1k 2(5[a a 1k 21k 2=+--++=--+ 所以1m 2531a ,a ,a ,a - 是公差为10的等差数列因为,2)2()2(a a 2k 222k 2k 22k 2=÷=÷++所以m 2642a ,a ,a ,a 是公比为2的等比数列从而数列}a{n的前2m项和为：.22mm521)21(22m]1)1m2(56[)a,a,a,a()a,a,a,a(S1m2mm26421m2531m2-++=--++-+=+=+-。
2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)含答案
大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ ．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i=1,第i局乙当裁判0,第i局甲或丙当裁判,i=1,2,⋅⋅⋅,n，p i=P X i=1，X表示前n局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n=3且X=1”的概率；(2)求p i；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n充分大时E X 的实际含义.附：设X，Y都是离散型随机变量，则E X+Y=E X+E Y.8(2024·安徽池州·二模)学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E X ；(2)规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P Y=k取最大值时的整数k.9(2024·辽宁·二模)一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为-2的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．10(2024·广东湛江·一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，⋯，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为P n n=1,2,3,⋅⋅⋅,25．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；(2)证明：数列P n-P n-1n=2,3,⋅⋅⋅,24为等比数列．11(2024·广东韶关·二模)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．12(2024·河北邢台·一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k=0，1，2，⋯，10)的概率为P k，则当k为何值时，P k最大？13(2024·湖南衡阳·模拟预测)某电竞平台开发了A､B两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n(n∈N*且n≥2)关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为23，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩A､B两款游戏.(1)电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为23，求甲可以进入第三关的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为X i i=1,2,⋯,n，求E X i关于i的解析式，并求E X8的值.(精确到0.1，参考数据：2 37≈0.059.)14(2024·湖南邵阳·模拟预测)2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场(停车时间不超过60分钟)，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟0,1515,30 30,45 45,60甲143a14a 乙162b13b设此次停车中，甲所付停车费用为X ，乙所付停车费用为Y ．(1)在X +Y =18的条件下，求X ≥Y 的概率；(2)若ξ=X -Y ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．15(2024·湖北·一模)2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生12n710n高中生合计3 5 n附：α0.10.050.00250.010.001χα 2.706 3.841 5.024 6.63510.828χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．(1)完成上述列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是34，23，12，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由)16(2024·湖北·二模)吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x 与损伤度y ，数据如下表：吸烟量x 1456损伤度y3867(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；(2)在实际应用中，通常用各散点(r ,y )到直线y =bx +a 的距离的平方和S =ni =1(bx i +a -y i )2 来刻画“整体接近程度”.S 越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程y =b x +a.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．附：b =ni =1(x i -x )(y i -y)ni =1(x i -x)2，a =y -b x.17(2024·山东枣庄·一模)有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为12．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第n n ∈N *,n ≥5 次答题后游戏停止的概率为a n ．①求a n ；②a n 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．18(2024·安徽合肥·二模)树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为x 1,x 2,x 3,⋯,x n ，其平均数记为x，方差记为s 21；把第二层样本记为y 1,y 2,y 3,⋯,y m ，其平均数记为y，方差记为s 22；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为s 2．(1)证明：s 2=1m +nn s 21+x -z 2 +m s 22+y -z 2 ；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1)；(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N μ,σ2 ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A ,B ,C ,D 四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1)．附：P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.68,302≈17,322≈18,352≈19．19(2024·福建福州·模拟预测)甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布N0,0.22，规定X∈-0.2,0.2的零件为合格品．的零件为优等品，X∈-0.6,0.6(1)从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数(精确到整数)；(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率(精确到0.01)．(附：若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.9545，=0.6827，Pμ-2σ<ξ<μ+2σPμ-3σ<ξ<μ+3σ=0.9973)20(2024·河北保定·二模)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A =“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B =“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P (A |B )=23，P (B |A )=56，P B =23.(1)求P A 和P A B .(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立未建立合计(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k 的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的k 倍，且新列联表中的数据都为整数).若要使得依据α=0.001的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定k 的最小值参考公式及数据：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，n =a +b +c +d .α0.010.0050.001x a6.6357.87910.82821(2024·浙江绍兴·模拟预测)书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了《天才麻将少女》，发现超能力麻将和现实麻将存在着诸多不同.为了研究超能力麻将，他使用了一些”雀力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与个人值和该桌平均值之差存在着较大的关系.(注：平均值指的是该桌内四个人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，个人值类似.)为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：个人值与平均值之差x-9-6-30369得分y-38600-23100-10900+11800+24100+36700(1)①计算x ,y 的相关系数r ，并判断x ,y 之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.②求出y 与x 的经验回归方程.③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：角色宫永照园城寺怜花田煌松实玄雀力值249104能力值241636试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分(近似至百位)(2)在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准差来源自两个方面：一方面是在(1)②问当中方程斜率b 存在的标准差Δb ；另一方面则是在不影响平均值的情况下，实际表现“个人值”X 符合正态分布规律X ~N μ,σ2 .(μ为评估得出的个人值.)已知松实玄实际表现个人值满足P X >10.5 =0.02275，求(1)③中其得分的标准差.(四舍五入到百位)(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能力值”均会提升至原来的43.我们设进行了i 轮之后，在前i 轮内该参赛者的总得分为E X i ；若园城寺怜参加了此比赛，求ni =1E X i2i参考数据和公式：①7i =1x i y i =1029000；7i =1y 2i =4209320000.②相关系数r =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2ni =1y i -y2；经验回归方程y =b x +a ，b =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2，a =y -b ⋅x；Δbb=1r 2-1n -2，其中n 为回归数据组数.③对于随机变量X~Nμ,σ2，Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.④x <<1时，1+xα≈1+αx，α∈R；⑤对间接计算得出的值f=xy有标准差Δf满足Δff=Δx x 2+Δy y 2.⑥13136≈3.2×10-4；6.8≈2.6；2946524≈1715×1+9×10-422(2024·江苏南通·模拟预测)“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前k1≤k<n条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设k=tn，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.①若n=4，k=2，求P；②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k+1k+1+⋯+1n-1=ln nk)23(2024·安徽·模拟预测)某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为12，每次答题是否答对互不影响.(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．(2)记甲第i次答题所得分数X i i∈N*的数学期望为E X i．(ⅰ)求E X1，E X2，E X3，并猜想当i≥2时，E X i与E X i-1之间的关系式；(ⅱ)若ni=1E X i>320，求n的最小值．24(2024·辽宁·模拟预测)某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i i =1,2,⋯,20 .设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N (M ，N 均大于100)，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E X i +X j =E X i +E X j ，D X i +X j =D X i +D X j (i )证明：E X =E X 1 ，D X =120D X 1 ；(ii )该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i i =1,2,⋯,20 .数据x i i =1,2,⋯,20 的平均值x =30，方差s 2=1.采用x和s 2分别代替E X 和D X ，给出M ，N 的估计值.(已知随机变量x 服从超几何分布记为：x ∼H P ,n ,Q (其中P 为总数，Q 为某类元素的个数，n 为抽取的个数)，则D x =nQ P 1-QPP -nP -1 )25(2024·广东广州·一模)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n (n ≥3,n ∈N *)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n =3，用X 表示A 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X 的均值；(2)记A 团队第k (1≤k ≤n -1,k ∈N *)位成员上场且闯过第二关的概率为p k ，集合k ∈N *p k <3128中元素的最小值为k 0，规定团队人数n =k 0+1，求n .26(2024·广东深圳·二模)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A =“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B =“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<P B <1，证明：P A B >P A B．27(2024·湖南·二模)某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为12，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X ，已知X 的分布列如下：(其中a >0,0<p <1)X0123Pa (1-p )2apa a 1-p(1)记事件A i 表示王同学假期三天内去运动场锻炼i 次i =0,1,2,3 ，事件B 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当p =12时，试根据全概率公式求P B 的值；(2)是否存在实数p ，使得E X =53若存在，求p 的值：若不存在，请说明理由；(3)记M 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，0<P M <1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：P M ∣N >P M ∣N.28(2024·山东济南·二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为14.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在1,0,-1,0,0,1,0,-1四点处.(1)设粒子在第2秒末移动到点x,y，记x+y的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望E X ；(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为p n.(i)已知nk=0(C k n)2=C n2n求p3,p4以及p2n；(ii)令b n=p2n，记S n为数列b n的前n项和，若对任意实数M>0，存在n∈N*，使得S n>M，则称粒子是常返的.已知2πnnen<n!<6π 142πn n e n，证明：该粒子是常返的.29(2024·山东潍坊·二模)数列a n 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列a n +1-a n 称为a n 的一阶差数列，记为a 1 n ，依此类推，a 1 n 的一阶差数列称为a n 的二阶差数列，记为a 2n ，⋯．如果一个数列a n 的p 阶差数列a pn 是等比数列，则称数列a n 为p 阶等比数列p ∈N * ．(1)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1．(ⅰ)求a 1 1，a 1 2，a 13；(ⅱ)证明：a n 是一阶等比数列；(2)已知数列b n 为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求b n 及满足b n 为整数的所有n 值．。
浙江省部分学校联考2025届高三上学期返校考试数学试卷(含答案与解析)_8000
2024年8月浙江省普通高等学校招生全国统一考试模拟预测数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分第1至3页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|2,}A y y m m Z ==∈，{|3,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂（ ） A. {|2,}x x k k Z =∈ B. {|2x x m =或3,,}n m Z n Z ∈∈ C. {|6,}x x k k Z =∈D. {|3,}x x k k =∈Z2. 若在复平面内，点()3,2A -所对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ） A. 12B. 5C. 5-D. 12-3. 已知平面向量()1,2AB = ，()3,4AC = ，则向量CB =（ ）A. ()4,6--B. ()4,6C. ()2,2--D. ()2,24. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.12+C.34D.12-5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测是海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）A. 2540πB. 449πC. 562πD. 561π6. 已知实数0a >，且满足不等式()()33log 32log 41a a +>+，若x y a a x y -<-，则下列关系式一定成立的是（ ） A. 0x y +> B. 1x y +> C. 0x y ->D. 1->x y7. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137,62⎛⎤⎥⎝⎦B. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦C. 2511,62⎛⎤⎥⎝⎦D. 1137,26⎛⎤⎥⎝⎦8. 已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面正确的是（ ） A. 若()22,N ξσ ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<= B. 若()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)0.9P ξ>=C. 若()0,1X N ，且(1)P X m >=，则1(10)2P X m -<<=- D. 若()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-，则4a = 10. 已知函数()e sin 2x f x x =-，则（ ） A. ()f x 在(0,)+∞上单调递增B. 当π-,+6x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >-C. ()f x 在(-2022π,2022π)存在2022个极小值点 D. ()f x 的所有极大值点从大到小排列构成数列{}n x ，则101140π3i i x =<-∑ 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，动点(),P x y 满足212PF PF a ⋅=（0a ≥且a 为常数），化简可得曲线C：222x y c ++= ）A. 原点O 在曲线C 的内部B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若a c =，则OP的最大值为 D.若0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________. 13. 已知点P 在曲线2()y f x x ==上，过点P 的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标是_________. 14. 现有n （3n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1k =，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n =______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且()()1cos 2sin 5B B ππ-++=． （1）求sin B ； （2）若5cos 13A =-，5a =，求ABC V 的面积． 16. 椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆的的2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴12A A 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且52PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 为直线4x =上一点，且Q 不在x 轴上，直线1QA ，2QA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12QA A △，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222PC AB AD CD ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；（3）直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，若存在，求出PF 的长，若不存在，请说明理由.18 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =n nS a (n N *).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．（1）求数列{b n }通项公式； （2）证明：数列{a n }是等差数列；.的（3）记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2 N *(k 1 k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|2,}A y y m m Z ==∈，{|3,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂是（ ） A. {|2,}x x k k Z =∈ B. {|2x x m =或3,,}n m Z n Z ∈∈ C. {|6,}x x k k Z =∈ D. {|3,}x x k k =∈Z【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义直接判断即可.【详解】因为A B ⋂是6倍数，所以{|6,}A B x x k k Z ⋂==∈， 故选：C.2. 若在复平面内，点()3,2A -所对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ） A. 12 B. 5C. 5-D. 12-【答案】D 【解析】【分析】先求复数z ，再求复数2z ，再求它的虚部.【详解】由题意，得2232i (32i)512i z z =-⇒=-=-，所以它的虚部为12-. 故选：D3. 已知平面向量()1,2AB = ，()3,4AC = ，则向量CB =（ ）A. ()4,6--B. ()4,6C. ()2,2--D. ()2,2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与坐标表示，求解即可．【详解】()()()1,23,42,2CB AB AC =-=-=--，故选：C ．的4. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.12+C.34D.12-【答案】A 【解析】【分析】将已知等式切化弦可求得sin cos θθ，根据二倍角公式可求得结果.【详解】1tan 4tan θθ+= ，22sin cos cos 14cos sin sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ+∴+===， 解得：1sin cos 4θθ=，21cos 21111112cos sin 2sin cos 42222424πθπθθθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+==-⎛⎫ ⎪⎝⎭+=-+=-+=． 故选：A .5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）A. 2540πB. 449πC. 562πD. 561π【答案】C 【解析】【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米， 所以半球的表面积为214π8128π2⨯⋅=（平方米），圆柱的侧面积为2π813208π⋅⋅⨯=（平方米），圆台的侧面积为()π81225π+=（平方米），故该组合体的表面积为2128π+208π+225π+π1562π⨯=（平方米）． 故选：C6. 已知实数0a >，且满足不等式()()33log 32log 41a a +>+，若x y a a x y -<-，则下列关系式一定成立的是（ ） A. 0x y +> B. 1x y +> C. 0x y -> D. 1->x y【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性得出01a <<，再构造函数结合函数单调性求解即可. 【详解】因为0a >，又函数3log y x =单调递增，所以3241a a +>+，即01a <<， 对于不等式x y a a x y -<-，移项整理得x ya x a y -<-，构造函数()xh x a x =-，由于ℎ(x )单调递减，所以x y >，即0x y ->，故选:C.7. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137,62⎛⎤⎥⎝⎦B. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦C. 2511,62⎛⎤⎥⎝⎦D. 1137,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于π，第六个正根大于等于π可得.【详解】由()sin 2sin()13f x x x x πωωω==-=-，得：5236x k ππωπ-=-+或2,36x k k Z ππωπ-=-+∈，即22k x ππωω=-+，或2,6k x k Z ππωω=+∈， 易知由小到大第5、6个正根分别为256πω，112πω. 因为方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，所以有256ππω<且112ππω≥，解得251162ω<≤.故选：C.8. 已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】【详解】易知21()(log 3xf x x =-为两个减函数的和，所以其为减函数，又正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，所以0c b a <<<，又()()()0f a f b f c ⋅⋅<，所以()0,()0,()0f a f b f c <<<或()0,()0,()0f a f b f c <>>，所以总有()0f a <，又()0f d =，()()f a f d <，所以d a <成立，故选A ．点睛：本题考查函数的零点及等差数列，属于中档题．解决问题的角度从函数值的大小来判断自变量的大小，因此首先要分析函数的单调性，其次判断函数值的大小要通过分析()()()0f a f b f c ⋅⋅<来实现，结合等差数列判断出()0f a <，从而零点对应的函数值要大于()f a ，再结合单调性即可判断出d a <．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面正确的是（ ） A. 若()22,N ξσ ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<= B. 若()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)0.9P ξ>=C. 若()0,1X N ，且(1)P X m >=，则1(10)2P X m -<<=- D. 若()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-，则4a = 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A ：因为()22,N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)(24)(4)(2)0.80.50.3ξξξξ<<=<<=<-<=-=P P P P ，故A 正确； 对于B ：因为()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)(2)(02)0.50.40.9P P P ξξξ>=>+<<=+=，故B 正确； 对于C ：因为()0,1X N ，且(1)P X m >=，所以()()1(10)(01)012P X P X P X P X m -<<=<<=>->=-，故C 正确； 对于D ：因为()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-， 所以()22a b a b ++-=⨯，解得2a =，故D 错误. 故选：ABC10. 已知函数()e sin 2x f x x =-，则（ ） A. ()f x (0,)+∞上单调递增 B. 当π-,+6x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >-C. ()f x 在(-2022π,2022π)存在2022个极小值点 D. ()f x 的所有极大值点从大到小排列构成数列{}n x ，则101140π3i i x =<-∑ 【答案】BD 【解析】【分析】根据导函数的正负，可判断原函数的单调性，故可判断A ，由单调性的考查可知()f x 的最小值点，进而可求最小值，进而可判断B ，根据函数图像的交点以及极值点的定义即可判断个数，即可判断C ，根据最大极值点的范围，结合函数图像的周期性，即可求解D.【详解】()e sin 2()e 2cos 2xx f x x f x x '=-∴=- ，,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos 2x 单调递减，e x 单调递增，所以()f x '单调递增,且()π6π010,e 106f f ⎛⎫''=-<=->-> ⎪⎝⎭,所以存在00π0,,()06x f x ⎛⎫'∈= ⎪⎝⎭,当()00,,()0x x f x '∈<,此时()f x 单调递减,故A 错误.()e 2cos 20e 2cos 2x x f x x x ='=-=⇒,在同一个直角坐标系中画出21e 2c s 2,o x y x y ==.当在π6ππ,2cos 163x e -⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，因此,当0π,6x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,此时()0f x '<，()f x 单调递减,当()0,x x ∈+∞，()f x 单调递增，0x 满足00e =2cos 2x x 且0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()()00000min e sin 2=2cos2sin 2x f f x x x x x -=-=，()n 00mi 2cos2i =s n 2f x x x -在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00min πs π=2cos2sin 22cos 2in 2661f x x x ⎛⎫⎛⎫->⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >B 正确. 由21e 2c s 2,o x y x y ==的图象可知，存在3ππ,4x *⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，当 πx x *-<<时，e 2cos 2,xx <此时()e 2cos 20x f x x '=-<，()f x 单调递减，当π2x x *<<-，e 2cos 2,x x >此时()e 2cos 20x f x x '=->，()f x 单调递增，所以当π-π,-2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 只有一个极小值点x * ，由于22cos 2y x = 是以周期为π 的周期函数，故当(2022π,0)-，()f x 有2022个极小值点，当()0,πx ∈时，()f x 有一个极小值点，而当πx >，e 2cos 2x x >恒成立，故该区间无极值点，所以()f x 在(2022π,2022π)-存在2023个极小值点，故C 错误.由21e 2c s 2,o xy x y ==图象可知，存在1-,0π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当 1π4x x -<<时，e 2cos 2,x x >此时()e 2cos 20x f x x '=->，()f x 单调递增，当10x x <<，e 2cos 2,x x <此时()e 2cos 20x f x x '=-<，()f x 单调递减，所以当π-,04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 只有一个极大值点1x .当π6ππ,2cos 163x e -⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，由图像可知：1ππ,-46x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由22cos 2y x =是以周期为π 的周期函数，因此ππ+π,π46i x k k ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，其中k 为非正整数.101π7π13πππ109140+--9π10π=π6666623i i x =⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，故D 正确. 的故选：BD【点睛】11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，动点(),P x y 满足212PF PF a ⋅=（0a ≥且a 为常数），化简可得曲线C：222x y c ++= ）A. 原点O 在曲线C 的内部B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若a c =，则OP的最大值为 D.若0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，将原点坐标代入方程判断，对于B ，对曲线方程以x -代x ，y -代y 进行判断，对于C ，利用曲线方程求出x 取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，然后由120PF PF ⋅=化简计算即可判断.【详解】对于A ，将(0,0)O 代入方程，得22c a =，所以当a c =时，原点O 在曲线C 上，所以A 错误， 对于B ，以x -代x，得222()x y c -++=，得222x y c ++=，所以曲线关于y 轴对称，y -代y，得222()x y c +-+=，得222x y c ++=x 轴对称，以x -代x ，y -代y，得222()()x y c -+-+=，得222x y c ++=，所以曲线关于原点对称，所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B 正确，的对于C ，当a c =时，由222x y a ++=，得2220y x a --≥=，解得222x a ≤，所以2222222OP x y a a a =+=≤-=，所以OP ≤，所以OP 的最大值为，所以C 正确，对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为12(,),(,)PF c x y PF c x y =---=-- ，所以2220x c y -+=，所以222x y c +=，所以由222x y c ++=22c =，所以222c a ≥，所以0a <≤，反之也成立，所以当0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥，所以D 正确，故选：BCD非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.【答案】2⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ， 可知直线2PF 的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即2222tan 6032ba b c a e a=⇒=-⇒< ， 设2PF n =，则12PF a n =+，根据1221PF F F PF ∠≥∠可知2122PF F F c ≥=， 在12PF F 中，由余弦定理可知()22222422cos12022b n c a n cn n a c+-+=⨯⇒=-， 即222222222202≥⇒≥-⇒--≥-b c b ac c c ac a a c，则22210--≥⇒≥e e e ，故2>≥e故答案为：2⎫⎪⎪⎭13. 已知点P 在曲线2()y f x x ==上，过点P 的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标是_________. 【答案】11(,)24【解析】【分析】由切线的倾斜角求出切线的斜率，利用切线的斜率等于该点的导函数值，可求得切点坐标. 【详解】设()00,P x y ，由导数的定义易求得()002f x x '=， 由于P 在曲线()2y f x x ==上，函数()f x 为二次函数，过点P 的切线即是点P 处的切线，故0π2tan 14x ==，即012x =，则014y =.故答案为：11,24⎛⎫⎪⎝⎭14. 现有n （3n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1k =，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n =______. 【答案】9 【解析】【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.【详解】设选出的是第k 个袋，连续四次取球的方法数为()(1)(2)3n n n n ---， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：4白，取法数为：()(1)(2)(3)n k n k n k n k -------， 1红3白，取法数为：13C ()(1)(2)k n k n k n k ⋅-----， 2红2白，取法数为：()23C 1()(1)k k n k n k ⋅----，3红1白：取法数为：(1)(2)()k k k n k ---， 所以第四次取出的是白球的总情形数为：13()(1)(2)(3)C ()(1)(2)n k n k n k n k k n k n k n k -------+⋅-----()23C 1()(1)(1)(2)()(1)(2)(3)()k k n k n k k k k n k n n n n k +⋅----+---=----，则在第k 个袋子中取出的是白球的概率为：(1)(2)(3)()(1)(2)(3)k n n n n k n kP n n n n n-----==---，因为选取第k 个袋的概率为1n，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ()211111112nn nk k k k n k n P P n k n n n n n===--=⋅=⋅=-=∑∑∑， 当1429n P n -==时，9n =. 故答案为：9．【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k 值情况下的抽取总数(可直接用k 值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k 的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n 与k 的关系可简化累加步骤.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()1cos 2sin 5B B ππ-++=． （1）求sin B ；（2）若5cos 13A =-，5a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）35；（2）338．【解析】【分析】（1）解法一：利用诱导公式化简得到1cos sin 5B B -=，利用同角三角函数平方关系可构造方程组求得sin B ；解法二：利用诱导公式化简得到1cos sin 5B B -=，平方后可求得242sin cos 25B B ⋅=，由sin cos B B +=可求得sin cos B B +，由此构造方程组求得sin B ；（2）根据同角三角函数关系可求得sin A ，利用正弦定理可求得b ；根据两角和差正弦公式求得sin C 后，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）解法一：()()1cos 2sin cos sin 5B B B B ππ-++=-= 又22cos sin 1B B +=，∴()()225sin 5sin 125sin 35sin 40B B B B +-=-+=，∵B ∈(0,π)，sin 0B ∴>，解得：3sin 5B =. 解法二：()()1cos 2sin cos sin 5B B B B ππ-++=-= …①， 平方可得：112sin cos 25B B -⋅=，242sin cos 25B B ∴⋅= ∵B ∈(0,π)，sin 0B ∴>，cos 0B ∴>，7sin cos 5B B ∴+==…②， 由①②可得：3sin 5B =. （2） 5cos 13A =-，()0,A π∈，∴12sin 13A =，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin 13sin 4a Bb A ==， 由（1）知：4cos 5B =，在ABC V 中，()1245333sin sin sin cos cos sin 13513565C A B A B A B =+=+=⨯-⨯=， 11133333sin 5224658ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯= ． 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，涉及到诱导公式、同角三角函数平方关系、两角和差公式的应用；求解三角形面积的关键是能够通过同角三角函数平方关系和两角和差正弦公式得到两边夹角的正弦值，代入三角形面积公式得到结果.16. 椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴12A A 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且52PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 为直线4x =上一点，且Q 不在x 轴上，直线1QA ，2QA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12QA A △，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）22143x y +=（2）43【解析】【分析】（1）利用长轴长求出a ，利用椭圆定义求出232PF =，进一步求出2b ，即可得椭圆方程；（2）设直线，联立方程求出M 、N 的坐标，把面积比转化为坐标比，进一步转化为分式函数求最值问题 【小问1详解】不妨设F 、2F 是椭圆的左焦点、右焦点， 则2PF x ⊥轴，又因为52PF =，24a =， 所以2232PF a PF =-=，即232b a =，所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】设()()4,0Q t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y 则1QA ：()26ty x =+，2QA ：()22t y x =- 联立()22263412t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2227180t y ty +-=，解得121827t y t =+，同理，联立22223412x y tx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()22360t y ty ++=，解得2263t y t -=+， 所以121212121sin 0021sin 2QA QA Q QA A S t t S QN t y t y QM QN Q Q QM ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()22122218612108111110812(1,09m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，12S S 取得最大值43.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222PC AB AD CD ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；（3）直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，若存在，求出PF 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2.（3）存在，PF =.【解析】【分析】（1）根据直角梯形可得AC BC ⊥，再根据AC PC ⊥即可得出AC ⊥平面PBC ，于是平面EAC ⊥平面PBC ；（2）PCE ∠为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算cos PCE ∠；（3）连接BD 交AC 于O ，过O 作OF PD ，可得PD 平面ACF ，利用相似三角形即可得出PF 的长.【详解】（1）证明：四边形ABCD 是直角梯形，222AB CD AD ===，∴AC BC ==，AC BC ⊥，∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥，又,,PC BC C PC BC =⊂ 平面PBC ， ∴AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）由（1）可知AC ⊥平面PBC ， ∴AC PC ⊥，A C C E ⊥，∴PCE ∠为二面角P AC E --的平面角，∵2PC =，BC =，∴1122CE PE PB ====，∴222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅.∴二面角P AC E --. (3)连接BD 交AC 于O ，过O 作OF PD 交PB 于F ，连接AF ，CF .则PD 平面ACF .∵AB CD ∥，∴2OB ABOD BC ==， 又OF PD ，∴2OB BFOD PF==，∴13PF PB ==.所以直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，且PF .【点睛】本题考查了空间面面垂直的判定和线面平行的判定，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18. 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； （3）①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭，理由见解析；②答案见解析. 【解析】【分析】（1）当e a =时，求得()e e x x f x k -'=-⋅，分0k ≤和0k >，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）根据题意，分别结合()()f x f x -=和()()f x f x -=-，列出方程求得k 的值，即可得到结论；（3）根据题意，得到当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 【小问1详解】解：当e a =时，函数 ()e e x x f x k -=+⋅，可得()e e x x f x k -'=-⋅，若0k ≤时，()0f x '>，故函数()y f x =在R 上单调递增，函数()y f x =在R 上无最值；若0k >时，令()0f x '=，可得1ln 2x k =， 当1,ln 2x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，函数()y f x =在1,ln 2k ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦上为严格减函数； 当1ln ,2x k ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，f ′(x )>0，函数()y f x =在1ln ,2k ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为严格增函数，所以，当1ln 2x k =时，函数取得最小值，最小值为1ln 2f k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无最大值．综上：当0k ≤时，函数()f x 在R 上无最值；当0k >时，最小值为 【小问2详解】解：因为“()y f x =为偶函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=” 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a --+⋅=+⋅； 即对于任意的x ∈R ，(1)()0x x k a a ---=，可得1k =， 所以1k =是()y f x =为偶函数的充要条件．因为“()y f x =为奇函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=-”， 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a ----⋅=+⋅， 即对于任意的x ∈R ，(01)()x x k a a -++=，可得1k =-， 所以1k =-是()y f x =为奇函数的充要条件， 当1k ≠±时，()y f x =是非奇非偶函数. 【小问3详解】解：①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 证明：当0k <时，令()0f x =，解得1log ()2a x k =-为函数()y f x =的零点， 由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log ())a f k x --=log ()(log ())a a k x k x a k a -----+⋅x x k a a -=-⋅-()f x =-；② 答案1：当0k >时，函数()y f x =有对称轴1log 2a x k =． 即当0k >时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log )a f k x -=()f x ，参考证明：当0k >时，由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log )a f k x -=log (log )a a k x k x a k a ---+⋅x x k a a -=⋅+()f x =，答案2：当1k =时，()y f x =的图象关于y 轴对称，即对于任意的R x ∈，都有()()f x f x -=，答案3：当0k <时，函数()y f x =的零点为1log ()2a x k =-，即1log ()0.2a f k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =n nS a (n N *).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11． （1）求数列{b n }通项公式；（2）证明：数列{a n }是等差数列；（3）记c n =2n na S ，若存在k 1，k 2 N *(k 1 k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）2(0log 3]，． 【解析】【分析】 (1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式.(2）利用递推关系式的应用和等差数列的定义的应用求出数列为等差数列.(3）利用分类讨论思想的应用和存在性问题的应用及假设法的应用求出实数a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，的因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+. （2）由（1）知，1(1)2n n S n a =+，n N *∈， 即有2(1)n n S n a =+， ①所以112(2)n n S n a ++=+，② ②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+．两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n N *∈）， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列． 所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列．（3） 因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)1()22222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++-=-=-+， 当n N *∈时，2111223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭，． 显然10a ≠， ①若10a <，则1112a >，11022a n n ->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n N *∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =；②若12log 3a >，则11123a <， 11022a n n -<+恒成立，所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n N *∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =；③若21log 3=a ，则11123a =，所以当n =1，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =．④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且n N *∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且n N *∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取0120002log (2)k a k k k *+=∈N ，≥，则001k k c c +=． 综上，若存在12k k *∈N ，，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是2(0log 3]，． 【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，分类讨论思想的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.。
浙江省宁波市(新版)2024高考数学人教版真题(提分卷)完整试卷
浙江省宁波市（新版）2024高考数学人教版真题(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．第(2)题设集合，，若，则（）A．B．C．D．第(3)题抛物线上的点到其焦点的距离是到y轴距离的2倍，过双曲线的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题命题“”的否定是（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题已知全集，集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知向量，，，则下列命题正确的是（）A ．当且仅当时，B．在上的投影向量为C．存在θ，使得D．存在θ，使得第(2)题在直三棱柱中，，，，三棱锥的体积为，点M，N，P分别为AB，BC，的中点，则下列说法正确的是（）A ．B．直线与直线PN为异面直线C．平面ABP⊥平面D．三棱柱外接球的体积为第(3)题在棱长为1的正方体中，若点为四边形内（包括边界）的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（）A．若，则平面截正方体所得截面的面积为B ．若直线与所成的角为，则点的轨迹为双曲线C．若，则点的轨迹长度为D．若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是120三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，且，则的最小值为______．第(2)题已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_________．第(3)题若，则____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.（1）求的周长；（2）求面积的最大值.第(2)题已知函数，，，是函数的导函数.（1）当时，证明：函数在区间没有零点；（2）若在上恒成立，求的取值范围.第(3)题已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：条件①：；条件②：；条件③：．（1）的值；（2）数列中的最大项．第(4)题如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上．（1）求证：平面平面；（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．第(5)题已知三棱锥中,，，为的中点，四边形为平行四边形．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．。
吉林省松原市(新版)2024高考数学部编版考试(评估卷)完整试卷
吉林省松原市（新版）2024高考数学部编版考试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若集合，则（）A．B．C．D．第(2)题公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3第(3)题设随机变量服从正态分布，若，则的值为（）A．9B．7C．5D．4第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题抛物线y2＝x的焦点坐标是（）A．B．C．D．第(6)题古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（）（参考公式：）A．1450B．1490C．1540D．1580第(7)题纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（）A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15第(8)题已知点是抛物线上不同的两点，，若的焦点到直线的距离为3，则直线的斜率为（ ）A ．或B．或C ．或D ．或二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．是奇函数D ．若，则第(2)题一个复数集X 称为某种运算的“和谐集”是指X 满足性质:①X ⊆C ；②∀a ，b ∈X 对某种规定的运算a ⊕b ，都有a ⊕b ∈X .则下列数集X 是相应运算的“和谐集”的是（ ）A ．，其中i 是虚数单位，规定运算:a ⊕b =a ×b ，(∀a ，b ∈X )B．，规定运算:C．，规定运算:a ⊕b =a ×b ，(∀a ，b ∈X )D．，规定运算:a ⊕b =a +b ，(∀a ，b ∈X )第(3)题给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（ ）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．第(2)题已知，则______．第(3)题设函数.有下列五个命题：①若对任意，关于的不等式恒成立，则；②若存在，使得不等式成立，则；③若对任意及任意，不等式恒成立，则；④若对任意，存在，使得不等式成立，则；⑤若存在及，使得不等式成立，则.其中，所有正确结论的序号为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.第(2)题设函数，，．(1)求函数的单调递增区间；(2)已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．第(3)题设数列的前项和为，．（1）求证：是等比数列；（2）求的通项公式，并判断中是否存在三项成等差数列？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．第(4)题已知等差数列{a n }满足：a 4＝7，a 10＝19，其前n 项和为S n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及S n ；（2）若b n＝，求数列{b n }的前n 项和为T n ．第(5)题“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练的天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计参考公式及数据：，其中．。
浙江Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题(解析版)
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合{}2,0,2,{2}M N =−=<，则M N ∩=（ ）A. {}2,0,2-B. {}2,0−C. {}0,2D. {}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x −<≤，则{22}N xx −<≤∣， 故M N ∩={}0,2， 故选：C2. 已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m −+=的一个根，则m =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m −+=的一个根， 所以()()2012i 12i 2m +−++=，整理得到: 50m −=即5m =， 故选：D.3. 已知向量()()1,1,2,0a b =−=，向量a 在向量b 上的投影向量c =（ ） A. ()2,0− B. ()2,0 C. ()1,0− D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =−=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=− ， 故选：C4. 已知直线0x my −=交圆22:((1)4C x y −+−=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y −+−=的圆心为，半径为2r =， 当0m =时，直线0x =，则到直线0x =此时||2AB =，而||||2CACB ==，即ACB △为正三角形， 故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB的距离为sin 60dr =即圆心C 到直线0x my −=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A5. 已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a −−−−−+≥∈N ，则n a =（ ）A. 22n −B. 22n n −C. 21n −D. 2(21)n −【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n−为等差数列，即可求解. 【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n −−−−−+−−，所以112123n n a a n n −−=−−，111a =，所以21n a n −为等差数列，且公差为1，首项为1， 故1+121na n n n =−=−，即()2212n a n n n n =−=−， 故选：B6. 函数()()2ln 21f x x x x =−−+的单调递增区间是（ ） A. ()0,1B. 1,12C.D. 12 【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x '>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =−−+的定义域为1,2 +∞，且()()22212212121x f x x x x −−′=−+==−− 令()0fx '>，解得12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为12 .故选：D 7. 已知ππ,π,0,22αβ ∈∈，若()1sin ,cos 3αββ+==，则cos2α=（ ） A.13 B. 13−C.2327 D. 2327−【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案. 【详解】由于ππ,π,0,22αβ ∈∈，则π3π,22αβ+∈， 而()1sin 3αβ+=，故π,π,cos()2αβαβ+∈∴+由0c ,2s πo ββ ∈ =，可得sin β=， 则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+−=+++13=+，故2223cos22cos 12(127αα=−=×−=−， 故选：D8. 假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Ybx e E e D e σ=+ == .要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==−∑取最小值时的b 的值，则（ ）A. 121ˆni ii nii x ybx===∑∑B. 121ˆni ii nii x yby===∑∑Cˆnb =D.ˆnx x y y b −−=【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值. 【详解】因为()()222211(,)2n ni iii i i i i Q a b y bx ybx y b x ===−=−+∑∑2221112nn ni i i i i i i b x b x y y ====−+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆni ii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共45分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（ ）A.时速在[)70,80的数据有40个B. 可以估计该组数据的第70百分位数是65C. 时速在[)50,70的数据的频率是0.07.D. 可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040××−=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确； 对于B ，1100.040.020.010.03a =÷−−−=， 所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +×+−×=，解得67.5x =，故B 错误； 对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+×=，故C 错误； 对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ×+×+×+××=，故D 正确. 故选：AD.10. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f −=+=−，以下结论正确的是（ ） A. ()30f =B. ()40f =C.20231()0k f k ==∑D.20231(21)0k f k =−=∑ 【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解. 【详解】由条件()()11f x f x −=+，可知()()()2f x f x f x +=−=−，所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =−=−=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x −=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f = =++++++ ∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =−，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =−=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误. 故选：BC11. 曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（ ） A. 点T 的坐标是()0,2−B. 2l 的方程是2120x y +−=C. 2||TGPA PB =⋅D. 过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条 【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x xyy ′=，当4x =时，2y ′= 故1l 的方程为()424y x −=−，令0x =，则4,y =−∴点T 的坐标是()0,4−，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x −=−−，整理得2120x y +−=，故B 正确； 对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6， 联立221204x y x y +−== ，解得69x y =− = 或44x y = =. 与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9−，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确； 对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点， 当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x −=−−， 将点()2,5M 代入得，()000252y x x −=−−， 又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x −−=∴−+=， 故04x =或2,−∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确. 故选：BCD12. 已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ−是空间中一个动平面，下列结论正确的是（ ） A. 设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++= B. 设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++= C. 正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D. 四面体11A B CD −的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8 【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A ，以点A 坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，为则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB =，()()10,1,0,0,0,1ADAA ==，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB n a a b c AB nα⋅==++⋅ ，同理可得2222222222sin ,sin ,b c a b c a b c βγ==++++， 222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B ，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=−+−+−=−=，故B 错误； 对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==− ，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ， 则()()22222222222()()sin ,sin 22AC n a b a b a b c a b c AC nθϕ⋅+−===++++⋅ ， 2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++， 11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为 ()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=−+ 22222224a b a b c+=−++， 则四面体11A B CD −的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c+++−+−+−=−= ++++++，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 422x x +的展开式中x 的系数是__________. 【答案】8 【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x +展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x −−+ =⋅⋅=⋅⋅ ，(其中0,1,2,3,4r =)， 令431r −=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28×=. 故答案为：814. 已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c −，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a==，由||||BC CD =，得222b c a =， 结合222b a c =−，得220c ac a +−=，即210e e +−=，解得e =（负值舍），故E ，15. 设函数()πsin (0)6f x x ωω=−>，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________. 【答案】4(,)3+∞ 【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω−∈−，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω=−>，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω−∈−， 根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6−, 故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω−−∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞ 16. 已知函数()2212exf x x =+，()2lng x m x =−，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________. 【答案】12##0.5 【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x −−≥−−−有解，令2ln t x x =−−，()e t g t t =−，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln exx x m x +≤−，显然0x >， 所以()2ln 2122ln e 2ln ex x xm x x x x x −−≥++=−−−有解， 令2ln t x x =−−，则t ∈R ，令()e tg t t =−，则()e 1tg t ′=−，所以当0t <时()0g t ′<，当0t >时()0g t ′>，所以()g t 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x −−−−−≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 最小值是12. 故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x −−≥−−−有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x −− −−−.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.的（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17. 21na n =−，1(1)n nb −− 18. ()11n n −−【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n −−=−=+−+≥∈得到na和1n a −的关系式，同理得到n b 和1n b −的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n −=⋅=−−，对n 分偶数和奇数讨论即可. 【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n −−=−=+−+≥∈得：()()1120n n n n a a a a −−+−−=， 10n n a a −∴+=或12n n a a −−=， 同理：10n n b b −∴+=或12n n b b −−=， {}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n −∴−=∴=∴=−，{}n b 是等比数列1101(1)n nn n bb q b −−∴+=∴∴=−；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n −=⋅=−−，其前n 项和为n H ， 当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c −=++++++++()()()()()135********n n n =−+−+−++−−−=−⋅ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=−=−−−−+=.综上所述，1(1)n n H n −−.18. 如图，已知三棱锥,P ABC PB −⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz −，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解. 【小问1详解】 连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz −，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =−=− .AB BC CA === ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC=×+=−=−， ()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO =+=+−=,所以444,,333O. 144,,333QO ∴=，又()0,4,4BC=−，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =−=− ，144,,333QO =，QO =， 设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n BC n QC ⋅= ⋅=，得：44040y z x y −= −+= ， 则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=×+×+×= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos QO θ= . 故直线OQ 与平面BCQ. 19. 在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +−=. （1）求tan A 的值； （2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1； （2. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；的（2）根据同角三角函数关系求出cos A A=再利用余弦定理求出,b c值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a+−=()2cos sin1cos22sinA B a B a B∴=−=由正弦定理得：22sin2sin sinA B A B=，()0,πB∈，则sin0B>，sinA A=，cos A不等于0，tan A∴【小问2详解】sintancosAAA==()0,Aπ∈，所以0,2Aπ∈，联立22sin cos1A A+=，cos A A∴==，在ABC中，由余弦定理得：222222cos22b c a b cAbc bc+−+−==①在AMC中，由余弦定理得：222212222cos222c cb bAc bcb+−+−==⋅②由①=②式得：b=故222cos12b cA c bbc+−==∴==，1sin2ABCS bc A∴===20. 已知双曲线2222:1x yCa b−=的左右焦点分别为12,F F，点()1,2P−在C的渐近线上，且满足12PF PF⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x −=； （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解. 【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c −，()()121,2,1,2PF c PF c =−+−=+−，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=−+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为22220x y a b−=，由点()1,2P −在C 2220b=，即224b a =，因此221,4a b ==， 所以C 的方程为2214y x −=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q −，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y −=+，由()222144y k x x y −=+ −=消去y 得：()()2222424480k x k k x k k −−+−−−=， 则221212222448,44k k k k x x x x k k+−−−+==−−， 113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k −−−+++++−=−−−+++−1644==−−， 所以MN 的中点T 为定点()0,2−.21. 某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： ①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ∼.它的均值()1prE pξ=−，方差()2.(1)prDp ξ=−）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =. 【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即 可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===−，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案. 【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =−×=； 【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2 张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A =⋅=⋅⋅=，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB=−=−⋅=⋅⋅=，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===− 则()()()52111116116prE X E X E pξ−+++−， ()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ+⋅−.22. 已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x =+−−∈，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e（2）2a ≤ 【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2x x f x x x x x x x x=++−=+>∈′，易得()f x 在π0,2∈x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+−′+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f=≥成立，当π0,2x ∈ 时，转化为e sin 1cos x x a x x+−≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+−−， 所以()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x=++−=+>∈′， ()f x ∴在π0,2 ∈ x 上单调递增又()π2π00,e 2f f==，()f x ∴的值域是π20,e.【小问2详解】 方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x+−−≥−≥∈在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x =++−=++−>−>∈′， ()f x ∴在π0,2 ∈x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立. ③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++−′， 则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+−++>′， 所以()g x π0,2∈ x 上单调递增，即()f x ′在π0,2 ∈x 上单调递增， ()π2ππ020,e 022f a f a =−=+ ′′ ， 0π0,2x ∴∃∈使得当()00,x x ∈时()0f x ′<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减， 则()()000,f x f <=不成立， ④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++−′， 则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+−++>′， 所以()g x 在π0,2 ∈x 上单调递增，即()f x ′在π0,2 上单调递增， ()()020f x f a ∴=′−′≥≥，即()f x 在π0,2上递增，则()()00f x f ≥=成立. 综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f =≥ 成立， 当π0,2x ∈ 时，e sin 1cos x x a x x+−≤恒成立， 令()e sin 1cos x x g x x x+−=，则min ()a g x ≤， 在又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +−+−>∴=> ， 令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x +⋅−+−+==′， 222sin sin cos cos x x x x x x x+−=， 当π0,2x∈时，sin x x >， ()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x−++−∴>=>′， ()h x ∴在π0,2上单调递增. 00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==−， ，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x+−∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x x →→+−+==− ， min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为 ()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。
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高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
【主要错误】{2,4}，{1,6}。
2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。
【主要错误】24,25,20等。
3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为▲．【答案】8。
【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。
【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。
4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．【答案】5。
【主要错误】4，10，1，3，等。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+循环前0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
5．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．【答案】(0。
【主要错误】（0，6），(]{}6,0，{}6/≤x x ，{}6,0/≠>x x x 等。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．【答案】35。
【主要错误】52，43，54，21，107。
【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。
7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cmAB AD ==，12cmAA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为▲cm3．【答案】6。
【主要错误】26，3，72，30。
【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是322cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。
∴四棱锥11A BB D D -的体积为133222=632⨯⨯⨯。
8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为▲．【答案】2。
【主要错误】2，5，3，1。
【解析】由22214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。
∴24===5c m m e a m++，即244=0m m -+，解得=2m 。
9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是▲．【答案】2。
【主要错误】22-，22，3，2,32，2，1，2等20余种。
【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得cos =AF FAB DF ∠。
∵AB=2DF =，∴1DF =。
∴1CF =。
记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。
又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。
∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BFθαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =1221AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
10．设()f x 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为▲． 【答案】10。
【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。
【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=2b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴141=23b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。
∴3=10a b +-。
11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为▲．【答案】，50578。
【主要错误】2524，25217，50231，53，50587，等30余种。
【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。
∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2427217==225225250-。
12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则K 的最大值是▲．【答案】43。
【主要错误】1，2，43，21，5等。
【解析】∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。
∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。
∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离2421k k -+，∴24221k k -≤+，解得403k ≤≤。
∴k 的最大值是43。
13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为▲． 【答案】9。
【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。
【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=，即24a b =， ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭。
∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。
∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622a a c c c ----==，解得9c =。
14．已知正数a b c，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba 的取值范围是▲．【答案】[] 7e ，。
【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。
【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。
设==a bx y c c，，则题目转化为： 已知x y ，满足35400xx y x y y ex >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，，求y x 的取值范围。
作出（x y ，）所在平面区域（如图）。
求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥，则00000==y ex m me x x x ++，要使它最小，须=0m 。
∴yx的最小值在()00P x y ，处，为e 。
此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。
当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩， ∴yx的最大值在C 处，为7。
∴y x 的取值范围为[] 7e ，，即ba的取值范围是[] 7e ，。
【注】最小值e 的主要求法：法一，c c a b c ln ln +≥⇒cbc c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒cbc bc a c b a b ln ≥=。
令x c b =，x x cb c b ln ln=，导数法e x x ≥ln 。
法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， xe e a c a b xx =≥，令x e y x=，则0)1(2'=-=xx e y x ， 驻点x=1，x>1⇒0'>y ; x<1⇒0'<y故e xe y x ≥=。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A=；（2）若cos 5C =，求A 的值．【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。
……2分由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B 。
……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。
∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =。
……2分（2）∵cos 0C <C <π=，∴sin C = ∴tan 2C =。
……2分∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。