江苏省梁丰高级中学2013届高三数学附加题训练022
2013年江苏高考数学模拟试卷及参考答案【最后一卷
2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。
2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。
选择题答案填涂在．．．．．．．．答题卡对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考试结束后，上交答题卡和答卷纸。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．.1.设复数满足（是虚数单位），则复数的模=___▲____.2.已知，则___▲_____.3.抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线x212–y24= 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2 SS+IEnd forPrint SEnd输出的结果是▲．5.设集合，则=____▲_______.6.设等比数列{a n}的公比q = 12，前n项和为S n，则S4a4= ____▲_______.7.在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于x的不等式的一个解的概率大小为__▲_____.8.已知向量，，则的最大值为▲．9.已知A(2,4)，B(–1,2)，C(1,0)，点P(x,y)在△ABC内部及边界上运动，则z = x–y的最大值与最小值的和为___▲___10.设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数，若关于x 的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为___▲_____.12.函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是 ．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，，则 ▲ ．14.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知，设，均为锐角. （1）求；（2）求两条向量的数量积的值.16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计P A C B A BC D EF算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩， 第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系： .（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18.（本小题满分16分） 设圆，动圆，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *). ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，试确定实常数p，使得{b n}为等比数列；⑶设，问：数列{a n}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数，（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（加试部分）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2= EB·EC.B．矩阵与变换已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A，B两点，求线段ABB C EDA的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为. （1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.P B CDA M a b c d n=1 a b c d n=2 a c da b d abc2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10题号 6 7 8 9 10答案15 0.7 6 –2 ④题号11 12 13 14答案815.解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以.所以，………………………………………2分cos cos()PBCPBPCαβ∠=-===，所以，………………………………………………………………4分，…………………………6分又，所以.………………………………………………………8分（2）…………………………11分……………………………………………14分16. ⑴解:取CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP//DE,且FP =12DE,…2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD .因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分 又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17． 解：（1）当且时，，当且时， 所以…××；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： ×5121152⨯+⨯；………………………4分 所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人. ……………6分 （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当时， 令时，，即在下午点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人；（2）在下午点整时，园区人数达到最多. 18.解（1）将方程化为，令得或，所以圆2C 过定点和，……………4分将代入，左边=1644012320+--+==右边，故点在圆1C 上，同理可得点也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，…………………………8分， …………………………………10分 即，整理得（*）………………………………………………12分 存在无穷多个圆2C ，满足的充要条件为有解，解此方程组得ABCDEFP或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分 故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足，点P 的坐标为.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列， 则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，……………12分 化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的 左边，右边，所以（*）式不可能成立， 故数列{a n }中不存在三项，，，使数列，，是等差数列. ……………16分 20．解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分所以，…………………………………………………………………4分 解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分 (2)①当时， a )时，，，所以 ， b )时，，所以 ……8分 ⅰ当即时，对，，所以 在上递增，所以 ，综合a ) b )有最小值为与a 有关，不符合……10分 ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a ) b ) 有最小值为与a 无关，符合要求．………12分 ②当时， a ) 时，，，所以 b ) 时，，，所以 ，在上递减，所以 ，综合a ) b ) 有最大值为与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选．做两题．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA . 又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分 又EA 2 = EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分 B ．矩阵与变换：解：由题意得，…………………………………………………5分 ，………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2=3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分 D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.证明 因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3 + b 3 + c 3≥33a 3b 3c 3 = 3abc >0…………………………5分 又3abc + 1abc ≥23abc ·1abc = 2 3.所以a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.…………………………………………………………………10分B C ED A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M →= (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →|=22·3= 63. 所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明： （ⅰ）当时，因为，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设时，等式正确，即， 那么，时，因为， 这说明时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确. ……………………………5分 （2）易知，①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.……………………………10分温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
江苏省梁丰高级中学2013届高三数学期末模拟试卷
20130113 2013届梁丰高级中学期末模拟试卷一（试题卷） 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1．若{2,3,4}A =，{|,,,}B x x n m m n A m n ==⋅∈≠， 则集合B 的元素个数为 ． 2．已知复数512iz i+=，则它的共轭复数z 等于 ． 3. 为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株 树木的底部周长（单位：cm).所得数据如图，那么在这100 株树木中，底部周长不小于110cm 的有 株. 4．将一颗骰子投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by -= 与圆()2222x y -+=相交的概率为 ． 5．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++ 的值，则在判断框中应填写 ． 6．设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线， 现给出下列四个命题：①若//,m n αα⊂,则//m n ； ②若,m n m α⊥⊥，则//n α；③若,,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥则n β⊥； ④若//,,//,m n n ααβ⊥则m β⊥. 其中,所有真命题的序号是 .7．设x,y 满足约束条件360212020,0x y x y x y y x y --≤⎧--⎪-+≥⎨-⎪≥≥⎩,则的取值范围是 ． 8．设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设 线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ． 9．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点 A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB OC 的最大值是________．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=,若C 上存在点P ,使得过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率的取值范围是 . 11．已知*n N ∈，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成n a 部分，则12a =，26a =，314a =，426a =，…，n a ，… ，则n a = ．12．已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为 ．13. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、 △CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +的取值范围是 ． 14．若直角坐标平面内的两个不同点M 、N 满足条件：① M 、N 都在函数()y f x =的图像上； ② M 、N 关于原点对称.则称点对[,]M N 为函数()y f x =的一对“友好点对”.（注：点对[,]M N 与[,]N M 为同一“友好点对”），已知函数32log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨-- ⎩≤，此函数的“友好点对”有 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分14分）已知函数),3cos(2cos 2)(2πωω++=x xx f （其中)0>ω的最小正周期为π。
江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试卷含解析
江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x=对称C．关于点（，0）对称D．关于x=对称参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin[2?（﹣）+φ]=0，即φ﹣=kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ=，故f（x）=sin（2x+），∵当2x+=+kπ，即x=+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D2.已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：答案：A3. 的展开式中的系数是（）B. C.5 D.20参考答案：A4. 若直线与圆交于两点,且关于直线对称,动点P在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D5. 等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( ）A． 7 B． 8 C． 16 D．15参考答案：D6. 已知两个单位向量，满足，则的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．7. 如图，F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则等于A．6 B．4C．3 D．2参考答案：A8. 复数A．i B．－i C．D．参考答案：C据已知得：【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9. 设全集，集合则集合（A）（B）（C）（D）参考答案：B略10. 定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 。
江苏省梁丰高级中学高三数学第一学期期末考全真模拟卷【会员独享】
江苏省梁丰高级中学2012届高三数学第一学期期末考全真模拟卷（必做题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．． 1．若复数3(,12a ia R i i+∈+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ .2．已知集合22{|30},{|2,[2,1]}A x x x B y y x x =-≤==-+∈-， 则AB = ▲ .3．已知函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><的部分图象如图，则ω= ▲ .4．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差2s = ▲ ． （参考公式：2211()ni i s x x n ==-∑）5．已知直线,m l ，平面,αβ，且,m l αβ⊥⊂. 下列命题中，其中正确命题的个数是 ▲ .①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥.6．与双曲线1422=-y x 有相同的焦点，且过点P 的双曲线的标准方程是 ▲ .7．已知11tan ,tan()23ααβ=-=- ，,αβ 均为锐角，则β 等于 ▲ . 8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6次．循环输出结果，则a = ▲ ．9. 在ABC ∆中，3,1,AB AC D ==为BC 的中点，则AD BC ⋅= ▲ .10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）， 若骰子朝上的面的点数记为,a b ，则事件||2a b -=的概率为 ▲ ．11．已知两圆222(1)(1)x y r -+-=和222(2)(2)x y R +++=相交于,P Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为 ▲ ．12.数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++， 则数列{}n a 的前2012项的和为 ▲ .13．点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅的最大值是 ▲ .14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线24()13f x x =-的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，则O M N ∆（O 为坐标原点）的面积的最小值为 ▲ .二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知(2cos )m A A =，(cos ,2cos )n A A =-，1m n ⋅=-．（1）若a =2c =，求ABC ∆的面积； （2）求2cos(60)b ca C -+的值．16．在三棱柱111ABC A BC -中，AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ，11AA AC BC ===，21=B A ．（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ；（2）如果D 为AB 的中点，求证：1BC ∥平面1ACD ．17．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围 均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =． （1）试用,x y 表示S ；（2）若要使S 最大，则,x y 的值各为多少？18．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若1120OF AF +=（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．19．设函数2()(1)f x x x =-． （1）求()f x 的极值；（2）讨论函数2()()22ln F x f x x x ax x =+--零点的个数，并说明理由；（3）设函数2()24(x g x e x x t t =-++为常数），若使3()()f x x m g x -≤+≤在[0,)+∞上 恒成立的实数m 有且只有一个，求实数t 的值．（7310e >）20．已知等比数列{}n a 的首项12011a =，公比12q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T ．（1）证明：21n S S S ≤≤；（2）判断n T 与1n T +的大小，并求n 为何值时，n T 取得最大值；（3）证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若 所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．． 1．若复数3(,12a ia R i i+∈+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ .6-2．已知集合22{|30},{|2,[2,1]}A x x x B y y x x =-≤==-+∈-， 则A B = ▲ .[]0,23．已知函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><的部分图像如图，则ω= ▲ .23 4．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差2s = ▲ ． （参考公式：2211()n i i s x x n ==-∑）15；5．已知直线,m l ，平面,αβ，且,m l αβ⊥⊂. 下列命题中，其中正确命题的个数是 ▲ .2 ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ；④若//m l ，αβ⊥ 6．与双曲线1422=-y x 有相同的焦点，且过点P 的双曲线的标准方程是 ▲ .1422=-y x ； 7．已知11tan ,tan()23ααβ=-=- ，,αβ 均为锐角，则β 等于 ▲ . 4π；8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6．次．循环输出结果，则a = ▲ ．27 7 98 5 7 7 7 7 9 1 3 6（第8题）C9.在ABC ∆中，3,1,AB AC D ==为BC 的中点，则AD BC ⋅= ▲ . 4- 10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），若骰子朝上的面的点数记为,a b ，则事件||2a b -=的概率为 ▲ ．29； 11．已知两圆222(1)(1)x y r -+-=和222(2)(2)x y R +++=相交于,P Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为 ▲ ．(2,1)12.数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++， 则数列{}n a 的前2012项的和为 ▲ .20122013； 假设1,n n b na =∴111,(1)n n b n a ++=+ ………1分 ∵()()111nn n na a n na +=++，∴111111(1)(1)(1)(1)n n nn n n n b b na n a na na n n na ++-=-=-++++＝111n n nna na na +-= …………………………………3分∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列. ………………………………4分2(1)11,n b n n =+-⋅=+ 11(1)n n a nb n n ∴==+=111n n -+, …………6分 11111(1)()(2231n S n n ∴=-+-++-+=1111n n n -=++. …………8分13．点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅的最大值是 ▲ .613．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为 ▲ ．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线24()13f x x =-的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，则OM N ∆（O 为坐标原点）的面积的最小值为 ▲ .某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值. （1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+=(2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值 已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,23a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知(2cos )m A A =，(cos ,2cos )n A A =-，1m n ⋅=-．（1）若a =2c =，求ABC ∆的面积； （2）求2cos(60)b ca C -+的值．（1）由22cos cos 1A A A -=-可知，sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……………4分因为0A π<<，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以262A ππ-=，即3A π=……6分由正弦定理可知：sin sin a c A C =，所以1sin 2C =，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以6C π=，所以2B π=……………………8分所以12232ABC S ∆==……………………10分（2）原式()0sin 2sin sin cos 60B CA C-=+==0=3sinC C -==0602C +==……………………14分16．在三棱柱111ABC A BC -中，AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ，11AA AC BC ===，21=B A ．（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ；（2）如果D 为AB 的中点，求证：1BC ∥平面1ACD ．（1）在011160,1,A AC A AC AA AC ∆∠===中，11,AC ∴=……………………2分 111,1,A BC AC ∆==中，BC 11BC AC ∴⊥A B ，……………………4分又111,,AA BC BC ACC A ⊥∴⊥平面 ……………………6分1BC A BC ⊂平面.111A BC ACC A ∴⊥平面平面. ……………………8分 （2）连接11,AC AC O 交于，连接DO,则由D 为AB 中点，O 为1AC 中点得，OD ∥1BC , ……………………11分⊂OD 平面⊄11,BC DC A 平面DC A 1，∴1BC ∥平面DC A 1……………………14分17．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =． （1）试用,x y 表示S ；（2）若要使S 最大，则,x y 的值各为多少？(1)由题可得：1800,2xy b a ==， 则333y a b a =++=+ …………………………4分3(2)(3)(38)(38)3y S x a x b x a x -=-+-⨯=-=-8180833x y =--.……8分 (2)方法一:818004800180831808(3)3S x x x x =--⨯=-+……………10分180818082401568,≤-=-=……………12分当且仅当48003x x =,即40x =时取等号,S 取得最大值.此时180045y x==. 所以当40,45x y ==时，S 取得最大值 …………………………14分方法二:设 4800()1808(3)S f x x x==-+(0)x >，……………10分 2248003(40)(40)()3x x f x x x -+'=-=，……………12分令()0f x '=得40x =，当040x <<时,()0f x '>,当40x >时,()0f x '<. ∴当40x =时,S 取得最大值.此时45y =所以当40,45x y ==时，S 取得最大值. …………………………14分x 米18．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若1120OF AF +=（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．（1）由题设知，2A ⎛⎫⎪⎭，)1F ，………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………4分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．………………………………………6分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ()()NF NP NF NP =--⋅-2221NP NF NP =-=-．………………………………………………10分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P所以1262020=+y x ，即202036y x -=．因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………15分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………16分方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ，因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ……………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--…………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．…………10分 因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………11分 所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，…………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．……………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=--⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭………………9分所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ．………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．……………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．……………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………13分综上可知，⋅的最大值为11．……………………………………………14分19．设函数2()(1)f x x x =-． （1）求()f x 得极小值；（2）讨论函数2()()22ln F x f x x x ax x =+--零点的个数，并说明理由？（3）设函数2()24(x g x e x x t t =-++为常数），若使3()()f x x m g x -≤+≤在[0,)+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数t 的值．（7310e >） （1）()f x 的极大值为14()327f =；()f x 的极小值为(1)0f =．……………………3分（2）当0a e ≤<时，函数零点的个数为0；当0a <或a e =时，函数零点的个数为1；当a e >时，函数零点的个数为2． ……………………11分（3）2t =． ……………………16分20．已知等比数列{}n a 的首项12011a =，公比12q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T ．（1）证明：21n S S S ≤≤；（2）判断n T 与1n T +的大小，并求n 为何值时，n T 取得最大值；（3）证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列．（1）证：12111111[1()]112[1()]1321()2n n n a S S S a S ----=+=-----≤，当n = 1时，等号成立………………2分23222121[1()]112[1()]1621()2n n n a S S S a S ----=+=+----≥，当n = 2时，等号成立∴S 2≤S n ≤S 1． ………………4分（2）解：1121112||||2011||||||2n n n n n n n T a a a a a T a a a +++=== ∵111020112011122<<，∴当n ≤10时，|T n + 1| > |T n |，当n ≥11时，|T n + 1| < |T n | 故|T n | max = |T 11| ………………7分 又T 10 < 0，，T 11 < 0，T 9 > 0，T 12 > 0，∴T n 的最大值是T 9和T 12中的较大者 ∵1031210111291[2011()]12T a a a T ==->，∴T 12 > T 9 因此当n = 12时，T n 最大． ………………10分（3）证：∵112011()2n n a -=-，∴| a n |随n 增大而减小，a n 奇数项均正，偶数项均负①当k 是奇数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，，则 1111111()()222k k k k k a a a a a -++=-+-=，1121122()22k k k a a a ++=-=，∴122k k k a a a +++=，因此12k k k a a a ++，，成等差数列， 公差112111311[()()]222k k k k k k a d a a a ++++=-=---=………………12分②当k 是偶数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，，则 1111111()()222k k k k k a a a a a -++=-+-=-，1121122()22k k ka a a ++=-=-， ∴122k k k a a a +++=，因此21k k k a a a ++，，成等差数列， 公差111211311[()()]222k k k k k k a d a a a +-++=-=---=………………14分综上可知，{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且1132k k a d +=∵12n nd d -=，∴数列{d n }为等比数列． ………………16分。
数学-梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷1
数学-梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷120120909 江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷一1.已知集合{}a A ,1-=，{}b B a ,2=，若{}1=B A ， 则=B A ．2．函数)82ln()(2++-=x x x f 的单调增区间是 ．3．已知i 是虚数单位，复数2(1)1i z i+=-，则z 等于 ．4．右图程序运行结果是 ．5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 ．6．已知12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差是3，则123,,,,n x x x x 的标准差为 ．7. 已知α为锐角，cos α=，则tan()4απ+= ． 8．若当1[,2]2x ∈时，函数2()f x x px q =++与函数212)(xx x g +=在同一点处取得相同的最小值，则函数)(x f 在1[,2]2上的最大值是 ．9．函数()()sin f x x x x R ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为 ．10．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2=++，||||=， 则CA CB ⋅= ．11．设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 ．12.设曲线()x e ax y 1-=在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()xex y --=1在点()20,y x B 处的切线为2l .若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,00x ,使得21l l ⊥,则实数a 的取值范围为 ．13. 数列{}n a 满足(]10,1a a =∈，且11,12,1n n nn nn a a a aa a +-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩. 若对于任意的n N *∈，总有3n n a a +=成立，则a 的值为 ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，a ←1b ←1 i ←4 WHILE i ≤6 a ←a +b则线段MN 长度的最大值是 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin 23C A B π-==. （1）求sin A 的值；（2）设AC =求ABC ∆的面积．16．如图，已知三棱锥P —ABC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC =4，AB =20，求三棱锥D -BCM的体积．17．某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知2,6,4,AB km BC km AE BF km ====其中AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．第16题PA MBC D18．如图，,A B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是椭圆上异于,A B 的任意一点，已知椭圆的离心率为e（1）若12e =，4m =，求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交于Q ，若直线PQ 恰过原点，求e .19．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n nn N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+. （1）求1S ,2S 及n S ；（2）设1,2n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63nk k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围.第18题20．设()ln af x x x x=+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围的取值范围.20120909 江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷一附加题21．B．选修4—2矩阵与变换已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．C．选修4—4参数方程与极坐标已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l 与C 相交于AB两点，且AB =（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数m 的值．22．必做题（本小题满分10分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC AB AC ===⊥，，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且满足111B A P A λ=．（1）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为 45，试确定点P 的位置．1A 1B P N M A B C1C23. 必做题（本小题满分10分）已知n 是不小于3的正整数，1C nkn nk a k ==∑，21C nkn n k b k ==∑．（1）求n a ，n b ；(2) 设nn n a c b =，求证：()112nk k k c c +=<∑ 答案：1.已知集合{}a A ,1-=，{}b B a ,2=，若{}1=B A ，则=B A ▲ ． {}1,1,2-【解答】由{}1=B A 知，1a b == ，{}{}{}1,1,2,11,1,2A B A B =-==-。
2013年高考数学真题江苏卷教师版含解析有附加题
2013年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 答案：π解析：函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．答案：5解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|5=＝5.3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：34y x =±解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集． 答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.6．(2013答案：2解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2s 甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2s 乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由22>s s 乙甲，可知乙运发动成果稳定．故应填2.7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以随意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种状况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种状况，故m ，n 的取值状况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满意条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063. 8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的间隔 与点A 1到面ABC 的间隔 之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝132AED ABCAF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24. 9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的随意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．答案：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影局部所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 获得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 获得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．答案：12解析：由题意作图如图．∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+12()23AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴λ1＝16-，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的间隔 为d 1，F 到l 的间隔 为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知1bcd a ==，22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d =，∴2b c =，即2ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝13.∴3e =.13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短间隔为，则满意条件的实数a 的全部值为__________．答案：－1解析：设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则 |P A |2＝22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥，则|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2(t ≥2)．结合题意可知(1)当a ≤2，t ＝2时，|P A |2获得最小值．此时(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝－1，a ＝3(舍去)． (2)当a ＞2，t ＝a 时，|P A |2获得最小值．此时a 2－2＝8，解得aa＝舍去)．故满意条件的实数a1.14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满意a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．答案：12解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由⊂，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51(12)13221232n n --=--.∵512a =，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝26a ＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.(2)解：因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos0, sin sin1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=.16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，＝1，解得k ＝0或34-， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即13≤.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种途径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲动身2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的间隔 最短？(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应限制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 63sin 565AC AB C B=⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙动身t min 后，甲、乙两游客间隔 为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙间隔 A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客间隔 最短． (3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B⨯=⨯＝500(m)．乙从B 动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应限制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． 19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2nn nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.证明：由题设，(1)2n n n S na d -=+. (1)由c ＝0，得12n n S n b a d n -==+.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以22b ＝b 1b 4，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于全部的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于全部的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即2nnS n c+＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于全部的n ∈N *，有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝c (d 1－b 1)．令A ＝112d d -，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于全部的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有111 730, 1950, 2150,A B cdA B cdA B cd++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即11 2d d-＝0，b1－d1－a＋12d＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由11 2d d-＝0，得d＝0，与题设冲突，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解：(1)令f′(x)＝11axax x--=＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝e x－a＞0，解得a＜e x，即x＞ln a.因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.结合上述两种状况，有a≤e－1.①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x＞0，得f(x)存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x＞0时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．事实上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不连续，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的状况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)＜0.为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x＞1时，l′(x)＝e x－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)＝e x－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，h(x)＝e x－x2＞h(e)＝e e－e2＞0.即当x＞e时，e x＞x2.当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不连续，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝1x－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以BC ACOD AD=.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2 2a bc d--⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的一般方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l的一般方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的一般方程为y 2＝2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C D A B C D⋅=， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为10. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝12122||||3⋅==n n n n ，得sin θ因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为3. 23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，＋1)＋j当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j.又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。
江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试题含解析
江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合A={1,2},则满足的集合B的个数是A.8B.3C.1D.4参考答案：D略2. 将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：C【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.4. 设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若与在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是A、[0，2]B、[0，1]C、[1，2]D、[-1，0]参考答案：B略5. 设向量，，则“”是“//”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A当时，有，解得；所以，但，故“”是“”的充分不必要条件6. 已知函数f（x）=（0＜a＜3），若＜，+=1-a ，则（）A．f（）＜f（） B．f （）=f（）C．f（）＞f（） D．f （）与f（）的大小不能确定参考答案：A略7. 已知全集为实数集R,集合A={x|x2－3x＜0}，B={x|2x＞1},则(C R A)∩B（A）(－∞,0]∪[3,+∞)（B）(0,1]（C）[3,+∞)（D）[1,+∞)参考答案：C本题考查集合的运算.集合,集合.所以或,所以,故选C.8. （5分）已知程序框图如图则输出的i为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10参考答案：C【考点】：程序框图．【专题】：计算题．【分析】：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果．解：由程序框图可得解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体此时i=9故选C．【点评】：考查程序框图的基本内容，考查简单的逻辑推理能力．模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．9. 过点（5，0）的椭圆与双曲线有共同的焦点，则该椭圆的短轴长为A． B． C．D．参考答案：B10. 复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则|z1?z2|=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则z1?z2=cosxsinx﹣cosxsinx+i （﹣cos2x﹣sin2x）=﹣i．则|z1?z2|=1．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是参考答案：12. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，则曲线C1上的点到曲线C2的最远距离为。
江苏省梁丰高级中学高三数学10月月考试题苏教版
2012-2013学年高三数学十月月考试卷（试题卷一）一、填空题：1. 已知集合{}2|1A y y x ==+，{|B x y ==，则AB =_________.2. 函数221xx y =+的值域为 ．3．若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ．4．若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为____ . 5．“1=a ”是“函数aax f x x +-=22)(在其定义域上为奇函数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）6．已知函数212()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数，则函数a 的取值范围是____ .7．方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 ． 8．设323log ,log log a b c π===a ，b ，c 的大小关系是 ． 9．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则((5))f f = ． 10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数1y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .11．已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n最小时实数a 的值为 . 12．如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形 ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则S l -的最大值为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ．14．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ． 二、解答题：15． 在△ABC 中， ,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos A =，tan 3B =． （1）求角C 的值；（2）若4a =，求△ABC 面积．16．如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=．（1）求证：ED AB ⊥；（2）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．17．某企业拟建造如上图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为()3c c >．设该容器的建造费用为y 千元． （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列．（1）求1a 的值；（2）求证：数列{}nn a 2+是等比数列；（3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<．20．设二次函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈≠满足条件： （1）当x R ∈时，(4)(2)f x f x -=-且()f x x ≥；（2）当(0,2)x ∈时，21()()2x f x +≤； （3）()f x 在R 上的最小值为0． （I ）求,,a b c 的值；（II ）试求最大的(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤．2012-2013学年高三数学十月月考试卷（答题卷一） 一、填空题二、解答题姓名 班级 准考号 班内学号ADCBE．rrrrl．2012-2013学年高三数学十月月考试卷（试题卷二）1．已知矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．2．在极坐标系中，圆C的方程为)4ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,12x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），判断直线l 和圆C的位置关系．姓名 班级 准考号 班内学号3．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ， 点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． （1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．4．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． （1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．P BC D AM答案： 1． []1,2 2．(0,1) 3．-6 4． 1(,0)(0,)2-+∞5．充分不必要 6.5a ≥7．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． a b c >>9．51-10． ()()1,11,3-11．2-12．π4513．14． 4-提示：设20ax bx c ++=的两根为12,x x ，由题得12max ||()x x f x -=，=||a =4a =-．二、解答题：15．解：（1）由cos 5A =得sin 5A =，tan 2A ∴=，…………………………3分 tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+=-+=-=-，……………………………………… 5分又0C π<<，∴ 4C π=。
高三数学附加题练习(5套)
所以设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
则 ， ，①所以 ，所以 ，②…4分
因为 ，所以 ，将①②代入并整理得， ，
所以 .………………………………………………………………………………6分
⑵因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取等，所以 ，所以 的最大值为 .……………………10分
⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 ， ， ，该参加者有资格闯第三关为事件 ．
则 ．…………………………………………………4分
(2)由题意可知， 的可能取值为 ， ， ， ， ，
， ，
，
， ，
所以 的分布列为
……………………………………………………………8分
所以 的数学期望 .……………………………10分
已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C'.
(1)求实数a,b的值;(2)求曲线C'的方程.
2（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线 被圆 截得的弦长为 ,求 的值.
【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ,
则 ，
，
因为 ，
所以 是平面 法向量，………2分
又因为 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角正弦值为 ．…………………5分
（2）设 ．
因为 ，所以 ．
解得 ，故存在满足条件的点P为AC的中点．……………10分
4已知动圆 过点 且与直线 相切.
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作一条直线交轨迹 于 两点，轨迹 在 两点处的切线相交于点 ， 为线段 的中点，求证： 轴.
梁丰高级中学2014届高三4月份质量检测数学试卷
江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期高三数学4月质量检测 2014.4.12数学Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1.已知集合(){}{}ln 1,=xM x y x N y y e x R ==-=,∈集合，M N ⋂=则 .2.复数11,z i z z=-+=则. 3.“22a b>”是“ln ln a b >”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）4.从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ．5.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 .6.执行右面的框图，若输出p 的值是24，则输入的正整数N 应为________.7.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 .8.在直角三角形ABC 中，090C ∠=，2AB =，1AC =，若32A D AB =，则C D C B ⋅= ．9.已知cos()4πθ+=，(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ．11.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为 ．12.已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,nk k k k a a a a 成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ．13.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 .14.若关于x 的不等式（组）()2*272209921n n x x n N ≤+-<∈+对任意恒成立，则所有这样的解x 构成的集合是____________.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15.（本小题满分14分）已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中，若1,,4262C BC A C AB ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭锐角满足f 求的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形， AD ∥BC ，∠ADC ＝090，BC ＝21AD ，PA ＝PD ，Q 为AD 的中点。
江苏省2013届高三高考压轴数学试题.pdf
1．{1，2，3}
2．
3．2
.
4. 7
5.
6. 3
7.
8. 3
9.
10.
11. .
12.
13. 16
14. 3
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 16． 17. 18． 19. 20.【答案】解：（1）当时，=， --------------2分 令，解得. 当时，得或； 当时，得. 当变化时，，的变化情况如下表： 1+00+单调递增极大单调递减极小单调递增第Ⅱ部分 附加题 （满分40分，答卷时间30分钟） 21.A． 证明：（Ⅰ）解法一： ∵PA与圆O相切于点A，∴ ∵BC是圆O的直径，∴ ∴∵，∴ 又∵∴ ∴PA=PD 解法二： 连接OA B．由题意得 化简得所以 C． D． 22．(本小题满分10分)抛物线上有两点且(为坐标原点) （1）求证：∥ (2)若,求AB所在直线方程。 23．（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标 系. 因为AC＝2，∠ABC＝90o，所以AB＝BC＝， 从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E． 所以， 设AF＝x，则F(，0，x)， . ，所以 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F. 由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2， 故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF． （2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）． 设平面B1CF的法向量为，则由得 令z=1得， 所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 B A （第23题图） D F A1
B1 C1 C B A G C B D E A C C1 B1 A1 F D x y z
江苏省梁丰高级中学高三数学周日测试试卷2苏教版
20120916 江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷二1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为 ．2．已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝ ．3．已知集合{}2|1,M yy x x R ==+∈，{}|1,N y y x x R ==+∈，则M N = ．4．已知{}2|320A x x x =-+=，{}|20B x ax =-=，且A B A =，则实数a 形成的集合C = ．5．已知集合{}2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ． 6．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为 ．7．若集合{}21,A a =，{}2,4B =，则“{}4AB =”是“2a =”的条件．（填充要关系）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为 ．9．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是 ．12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ． 其中是真命题的有 ．(填写所有正确命题的序号)13．设246,0()2 4 0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若存在互异的三个实数123,,,x x x使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是 ．14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为 ．15．已知集合[]{}|2,2,3x A y y x ==-∈，{}22|330B x x x a a =+-->，（1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围16．如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点． （1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2）求证：A 1B//平面ADC 1．17．设有两个命题：:p 不等式21()423x m x x +>>-对x R ∈恒成立，:()(72)x q f x m =--是R 上的减函数；如果“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围．ABC DA 1B 1C 1(第16题)18．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ． （1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数； （2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若→AM ＝→MP ，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； （3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．(第19题)20．设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．答案：1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为 ．4 2．已知2＋3ii＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝ ．－63．已知集合{}2|1,M y y x x R ==+∈，{}|1,N y y x x R ==+∈，则M N = ．[)1,+∞4．已知{}2|320A x x x =-+=，{}|20B x ax =-=，且AB A =，则实数a 形成的集合C = ．{}0,1,25．已知集合{}2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ．3m ≤ 6．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为 ．87．若集合{}21,A a =，{}2,4B =，则“{}4AB =”是“2a =”的 条件．（填充要关系）必要不充分8．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为 ▲ ．729．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ▲ ．1110．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 211．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是 ．1)12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ． 其中是真命题的有 ▲ ．(填写所有正确命题的序号) ②③④13．设246,0()2 4 0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若存在互异的三个实数123,,,x x x 使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是 ▲ (3,4)(第8题)14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ． (－∞，－12－ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知集合[]{}|2,2,3x A y y x ==-∈，{}22|330B x x x a a =+-->，（1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围解：（1）[]8,4A =--，当4a =时，()(),74,B =-∞-+∞，由数轴图得：[)8,7A B =--（2）方程22330x x a a +--=的两根分别为,3a a --， ①当3a a =--时，33,,22B ⎛⎫⎛⎫=-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足A B ⊆； ②当32a <-时，3a a <--，()(),3,B a a =-∞--+∞，则4a >-或38a --<-， 得342a -<<-；③当32a >-时，3a a >--，()(),3,B a a =-∞--+∞，则8a <-或34a -->-得312a -<<综上所述，实数a 的取值范围是()4,1- 16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点． （1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2）求证：A 1B//平面ADC 1．16．（本小题满分14分） 证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ． 因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1． …………………7分 （2）(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ， 则O 为A 1C 的中点．因为D 为BC 的中点，所以OD//A 1B ． …………………11分因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B /⊂平面ADC 1， ABC D A 1B 1C 1(第16题)所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分 (证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．则D 1C 1＝∥BD ． 所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B// C 1D ．因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B /⊂平面ADC 1， 所以D 1B//平面ADC 1．同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1，所以平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分 因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分17．设有两个命题：:p 不等式21()423x m x x +>>-对x R ∈恒成立，:()(72)x q f x m =--是R 上的减函数；如果“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 解：表示p 假而且q 假当p 真：14m <≤，则p 假：1m ≤或4m >； 当q 真：3m <，则q 假：3m ≥ 实数m 的取值范围为4m >18．（本小题满分14分）经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数； （2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?ABC DA 1B 1C 1（第16题图）OABCD A 1B 1C 1（第16题图）D 118．（本小题满分14分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时间为t ＝100v －3． …………………2分 所以E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝100kv3v －3(v ∈(3，＋∞))． …………………6分（2）E '＝100k 3v 2(v －3)－v 3(v －3)2＝100k 2v 2(v －4.5)(v －3)2． …………………10分 令E '＝0，解得v ＝4.5或v ＝0(舍去)．因为k ＞0，v ＞3，所以当v ∈(3，4.5)时，E '＜0，当v ∈(4.5，＋∞)时，E '＞0． 故E ＝100kv3v －3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋∞)上单调递增．…………13分所以，当v ＝4.5时，E 取得最小值．即v ＝4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若→AM ＝→MP ，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； （3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）解：（1）由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．所以b 2＝3．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1． …………………4分(第18题)（2）因为→AM ＝→MP ，所以x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，32)，所以直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，3)，所以→BM ＝(－1，32)，→BP ＝(2，3)． …………………8分因为→BM ·→BP ＝52≠0，所以点B 不在以PM 为直径的圆上． …………………10分（3）因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)．直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以y p ＝6y 1x 1＋2， 直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，所以y p ＝－2y 1x 1－2， …………………12分 所以6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2．因为y 1≠0，所以6x 1＋2＝－2x 1－2．解得x 1＝1． 所以点M 的坐标为(1，±32)． …………………16分20．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值． 20．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间． ………………4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， …………………6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分（3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t327． (10)分令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）． (12)分因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ， 所以(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． …………………16分数学附加题21．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上， 所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程． ………………6分所以⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝2，b ＝3． ………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33． ………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为23，求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2a ＝0． ………………4分 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2 ＝|1＋a |． ………………6分因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，所以r 2－d 2＝3．即4－(1＋a )2＝3．解得a ＝0，或a ＝－2． ………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．PADE22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 所以→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ． ………………4分 （2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0．因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，所以－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0． 令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量． ………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，所以→AE 是平面PBC 的法向量． 所以cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．根据图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和． （1）求概率P (X ≥7)；（2）求X 的概率分布列，并求其数学期望E (X )．23．解（1）P (X ＝7)＝C 23C 12 + C 22C 12C 37＝835，P (X ＝8)＝C 22C 13C 37＝335． 所以P （X ≥7）＝1135. ………………………4分（2）P (X ＝6)＝C 12C 13C 12 + C 33C 37＝1335，P (X ＝5)＝C 22C 12 + C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335． 所以随机变量X 的概率分布列为…………………………………………8分所以E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6． ………………………10分。
江苏省梁丰高级中学2013届高三数学期中试卷一
江苏省梁丰高级中学高三数学期中考试复习卷一徐燕编制 姓名 学号 1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝{}2,a a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 ．2．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是 ． 3．已知命题：“[]21,2,20x x x a ∃∈++≥使”为真命题，则a 的取值范围是 ．4．在ABC ∆中,13sin ,sin 2A B ==，则C ∠= .5．已知向量,a b 夹角为45︒ ,且1,210a a b =-=，则b = .6．各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，， 函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，则1()2f '= ． 7．设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则nm n m 344-的最小值为 ． 8．如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上, 若2AB AF =,则AE BF 的值是__ .9．()f x 是定义在()0,+∞上的非负可导函数，且满足()()/0xf x f x ->，对任意正数,a b ，若a b <，则()bf a ，()af b 的大小关系为___ ．10．已知f (x ) = ax + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 则)3(f 的范围是 ．11．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 ．12．已知数列{}n a 的通项公式是22n a n kn =++，若对于*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k 的取值范围是 ．13．设函数()2x f x x x =⋅+,0A 为坐标原点,n A 为函数()y f x =图像上横坐标为*()n n N ∈ 的点,向量11nn k k k a A A -==∑ ,设n θ为n a 与x 轴的夹角,则1tan nkk θ=∑= ．14．如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相 邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 ．15．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32． (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．16．在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =；(2)若5cos C =，求A 的值.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ．18．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1) 求函数M(x)＝f x＋g x－|f x－g x|2的最大值；(2) 如果对f(x2)f(x)>kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．19．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：Array 20．已知函数()|2|lnf x ax b x=-+（x＞0）．（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；（2）若a≥2，b＝1，求方程1在（0，1]上解的个数．f x()x答案：1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝{}2,a a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 ．1 2．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是 ．53．已知命题：“[]21,2,20x x x a ∃∈++≥使”为真命题，则a 的取值范围是 ． 8a ≥-4．在ABC ∆中,13sin ,sin 2A B ==，则C ∠= .6π或2π5．已知向量,a b 夹角为45︒ ,且1,210a a b =-=，则_____b =. 32 6．各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，，若函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x '，则1()2f '= ．5547．设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n m n m 344-的最小值为 . 803- 8．如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是__ . 2 9．()f x 是定义在()0,+∞上的非负可导函数，且满足()()/0xf x f x ->，对任意正数,a b ，若a b <，则()bf a ，()af b 的大小关系为_____ ．)(a bf <)(b af10．已知f (x ) = ax + xb ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 则)3(f 的范围是 ．11．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 ．23+ 12．已知数列{}n a 的通项公式是22n a n kn =++，若对于*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k 的取值范围是 ．3k >-13．设函数()2x f x x x =⋅+,0A 为坐标原点,n A 为函数()y f x =图像上横坐标为*()n n N ∈ 的点,向量11nn k k k a A A -==∑ ,设n θ为n a 与x 轴的夹角,则1tan nkk θ=∑= ．211tan (22...2)22nn n kk n n θ+==++++=+-∑14．如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相邻两个 零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 ．2+4π15、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32． (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域． 【答案】(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12cos2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3． 所以f (x )的最小正周期为π.令sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k 2π＋π6，k ∈Z.故所求对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π6，0，(k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3． ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．16．在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =；(2)若5cos C =，求A 的值. 解:(1)∵3AB AC BA BC=,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ,即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =. (2)∵ 5cos 0C <C <π=，,∴2525sin 1=5C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =. ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--.由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. ∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； （2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ．17．（1）∵2112223a S a =+=+=，∴232a =． ……………… 1分∵321292222a S a a =+=++=，∴394a =． ……………… 2分 ∵122n n a S +=+，∴122n n a S -=+（n ≥2）， 两式相减，得1122n n n n a a S S +--=-．∴122n n n a a a +-=．则132n n a a +=（n ≥2）． ……………… 4分∵2132a a =，∴132n n a a +=()n *∈N ． ……………… 5分∵110a =≠，∴{}n a 为等比数列，132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………… 6分（2）13233n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，[来源:Z_xx_]∴数列3{}na 是首项为3，公比为23等比数列． ………… 7分数列3{}na 的前5项为：3，2，43，89，1627． {}n a 的前5项为：1，32，94，278，8116． ∴n ＝1，2，3时，13nn i iS a =>∑成立； ………… 10分 而n ＝4时，13nn i iS a =∑≤； ………… 11分∵n ≥5时，3n a ＜1，a n ＞1，∴13nn i iS a =∑≤．………… 13分∴不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N 的解集为{1，2，3}． ………… 14分18．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)求函数M (x )＝f x ＋g x －|f x －g x |2的最大值；(2)如果对f (x 2)f (x )>kg (x )中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．[解答] 令t ＝log 2x ，(1)f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )，当x >2时，f (x )<g (x )；当0<x ≤2时，f (x )≥g (x )， ∴M (x )＝⎩⎨⎧gx ，f x ≥g x ，fx ，f x <g x ，即M (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x >2.当0<x ≤2时，M (x )的最大值为1； 当x >2时，M (x )<1.综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.(2)由f (x 2)f (x )>kg (x )得：(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]，∴(3－4t )(3－t )>kt 对一切t ∈[0,2]恒成立． ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t3－tt 恒成立，即k <4t ＋9t－15，∵4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．∴4t ＋9t－15的最小值为－3，∴k <－3.综上k 的取值范围是k <－3.19．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a 套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x 套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考：解：(1)10年后学生人数为b (1＋4.9‰)10＝1.05b . 又设今年起学校的合格实验设备为数列{}a n ， 则a 1＝1.1a －x ，a n ＋1＝1.1a n －x ，(*)令a n ＋1＋λ＝1.1(a n ＋λ)，则a n ＋1＝1.1a n ＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x ，故数列{}a n －10x 是首项为1.1a －11x ，公比为1.1的等比数列，所以a n －10x ＝(1.1a －11x )·1.1n －1，a n ＝10x ＋(1.1a －11x )·1.1n －1.a 10＝10x ＋(1.1a －11x )·1.19≈2.6a －16x .由题设得2.6a －16x 1.05b ＝2×a b ，解得x ＝132a .即每年更换旧设备为132a 套． (2)全部更换旧设备需12a ÷a32＝16年．即按此速度全部更换旧设备需16年．20．（本小题满分16分）已知函数()|2|ln f x ax b x =-+（x ＞0）．（1）若a ＝1，f (x )在（0，＋∞）上是单调增函数，求b 的取值范围； （2）若a ≥2，b ＝1，求方程1()f x x=在（0，1]上解的个数． 20．（1）2ln ,(02),()|2|ln 2ln ,(2).x b x x f x x b x x b x x -++<<⎧=-+=⎨-+⎩≥① 当0＜x ＜2时，()2ln f x x b x =-++，()1b f x x'=-+． 由条件，得10b x-+≥恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2． …………………… 2分 ② 当x ≥2时，()2ln f x x b x =-+，()1b f x x'=+． 由条件，得10b x+≥恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2． …………………… 4分 综合①，②得b 的取值范围是b ≥2． …………………… 5分（2）令1()|2|ln g x ax x x =-+-，即122ln ,(0),()122ln ,().ax x x x ag x ax x x x a ⎧-++-<<⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≥当20x a <<时，1()2ln g x ax x x =-++-，211()g x a x x '=-++． ∵20x a <<，∴12ax >．则2(2)()244a a a a g x a -'>-++=≥0．即()0g x '>，∴()g x 在（0，2a）上是递增函数． ………………… 7分当2x a ≥时，1()2ln g x ax x x=-+-，211()g x a x x '=++＞0．∴()g x 在（2a，＋∞）上是递增函数．……… 9分 ∵g (x )的图象在（0，＋∞）上不间断，∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数． ………………… 10分 ∵22()ln 2a g a a =-，而a ≥2，∴2ln 0a ≤，则2()g a＜0． …………… 12分 ∵a ≥2，∴3)1(-=a g 当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．…………………………………………… 14分当32<≤a 时，3)1(-=a g <0∴g (x )＝0在]1,0(上无解．………………………………………………… 16分。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编5：数列
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编5：数列一、填空题1 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）若某个实数x 使得含有{}n a x a x a x a 的数列tan ,cos ,sin 321===为等比数列,则使得x a n cos 1+=的n 等于_____________. 【答案】82 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））已知)(,,c b a c b a <<成等差数列,将其中的两个数交换,得到的三个数依次成等比数列,则2222a c b +的值为______________.【答案】103 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≤10,S 5≥15,则a 4的最大值为__________.【答案】在线性约束条件⎩⎨⎧≥+≤+32532y x y x 下,研究y x 3+的最大值,则4a 的最大值为44 ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设x 是一个正数, 记不超过x 的最大整数为[x ], 令{x }=x -[x ],且{x }, [x ], x 成等比数列, 则x =______________.【答案】5＋12,因为{x }, [x ], x 成等比数列, 则1<[x ]{x }=x [x ]={x }＋[x ][x ]=1+{x }[x ]<2,所以1≤[x ]<2{x }<2,于是[x ]=1,从而[x ]{x }=x [x ]化为1{x }=1+{x },注意到0<{x }<1, 解得{x }=5－12,所以x =5＋12. 5 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知等比数列{}n a 满足11a =,102q <<,且对任意正整数k ,12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项,则公比q 的取值集合为____________.【答案】{}12-6 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）对于实数x ,将满足“01y ≤<且x y-为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分,用符号{}x 表示.已知无穷数列{}n a 满足如下条件:①{}1a a =;②11(0)0(0)n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎨⎬⎪=⎨⎩⎭⎪=⎩.当13a >时,对任意*n N ∈都有n a a =,则a 的值为____________.【答案】21-或512- 7 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在数列{}n a 中,已知13a =,22a =,当2n ≥时,1n a +是1n n a a -⋅的个位数,则2013a =________.【答案】68 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f (x )g (x )=a x，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x ),f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52,若有穷数列{f (n )g (n )}（n ∈N *））的前n 项和等于3132，则n 等于 . 【答案】59 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是________.【答案】221-+n10．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n kn k *=-+∈N ,且n S 的最大值为8,则=2a___.【答案】5211．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）数列{}n a 中,16a =,且111n n n a a a n n---=++(*n ∈N ,2n ≥),则这个数列的通项公式n a =______________. 【答案】(1)(2)n n ++12．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）对任意x ∈R ,函数()f x 满足21(1)()[()]2f x f x f x +=-+,设)()]([2n f n f a n -=,数列}{n a 的前15项的和为3116-,则(15)f =__________.【答案】3413．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）设a 1,a 2,,a n 为正整数,其中至少有五个不同值. 若对于任意的i ,j (1≤i <j ≤n ),存在k ,l (k ≠l ,且异于i 与j )使得a i +a j =a k +a l ,则n的最小值是____【答案】 1314．（江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a =_.【答案】2n15．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a 中,若11,65n a a ==,则n d +的最小值等于______.【答案】1716．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知一个数列只有21项,首项为1100,末项为1101,其中任意连续三项a ,b ,c 满足b =2aca ＋c,则此数列的第15项是_____. 【答案】10100717．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc ）在递增等比数列{a n }中,4,2342=-=a a a ,则公比q =______【答案】218．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc ）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-,()n N +∈,且122012111a a a +++=2,则201314a a -的最小值为_________.【答案】27-19．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,则{}n a 的通项公式是______.【答案】22n a n n =-+20．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若77S =,1575S =,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_______.【答案】5521．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a b c ++的值为_______.【答案】1622．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知等差数列{}n a ()12011nnS n a ≤≤的最大值为中,20110S >,20120S <,则___________.10050a >,100510060a a +<,所【答案】解析:由题设有时,{}n a 为减且0n a >,{}n S 递以10060a <,当11005n ≤≤时10051005S a 最大,当增且0n S >,所以当11005n ≤≤10062011n ≤≤时,0nnS a <,所以所求的最大值为10051005S a . 23．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________.【答案】4124．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）设7531721,,,,1a a a a a a a 其中≤⋅⋅⋅≤≤=成公比为q 的等比数列,642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最大值是_________ 【答案】225．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则77b a +=______.【答案】4926．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）在如右图所示的数表中,第i 行第j 列的数记为a i ,j ,且满足a 1,j =2j -1,a i ,1=i ,a i +1,j +1=a i ,j +a i +1,j (i ,j ∈N *);又记第3行的数3,5,8,13,22,39,.则第3行第n个数为_________.1 2 0.5 1ab[来源:Z |x x |k .C o m ]c【答案】121++-n n27．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*).若S 3,S 9,S 6成等差数列,则 a 8a 2＋a 5的值是_____.【答案】1228．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc ）定义映射:f A B →,其中{(,),}A m n m n =∈R ,B =R ,已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =;②若n m >,(,)0f m n =;③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-, 则(2,2)f =___,(,2)f n =___.【答案】2 22n-29．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若3S n ,4S n +1,5S n +2成等差数列,则q 的值为 .【答案】8S n +1=3S n +5S n +2, 即8(S n +a n +1)=3S n +5(S n +a n +2), 所以8a n +1=5a n +2, q =a n +2a n +1=85. 30．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n 项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<1125的最小整数n 是______. 【答案】7 二、解答题31．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）设非常数数列{a n }满足a n +2=αa n +1＋βa nα＋β,n ∈N*,其中常数α,β均为非零实数,且 α+β≠0.(1)证明:数列{a n }为等差数列的充要条件是α+2β=0;(2)已知α=1,β=14, a 1=1,a 2=52,求证:数列{| a n +1-a n -1|} (n ∈N*,n ≥2)与数列{n +12} (n ∈N*)中没有相同数值的项.【答案】 (1)解:已知数列}{n a ,12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性:若βα2-=,则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--,得n n n n a a a a -=-+++112,所以}{n a 为等差数列②必要性:若}{n a 为非常数等差数列,可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+,得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+,即02=+βα.因此,数列{a n }为等差数列的充要条件是α+2β=0 (2)由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-又因为21302a a -=≠,可知数列}{1n n a a -+(n ∈N*)为等比数列,所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N*).从而有n ≥2时, 1131()52n n n a a -+--=⋅,2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式,得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=(2n ≥)由指数函数的单调性可知,对于任意n ≥2,| a n +1-a n -1|=65·2)51(-n ≤65·22)51(-=65.所以,数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时,n +12≥1+12>65,所以数列{n +12}(n ∈N*)中项均大于65.因此,数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n +12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.32．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设{a n }是正数数列, 其前n 项和S n 满足S n =14(a n -1)(a n +3).[来源:](1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =1S n,试求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】(1)由a 1=S 1=14(a 1-1)(a 1+3)及a n >0得a 1=3.由S n =14(a n -1)(a n +3),得S n 1=14(a n 1-1)(a n 1+3).所以a n =14(a n -1)(a n +3)-14(a n 1-1)(a n 1+3)=14[(a n 2-a n 21)+2(a n -a n 1)].整理得2(a n +a n 1)=(a n +a n 1)(a n -a n 1).因为a n +a n 1>0,所以a n -a n 1=2, 即{a n }是以3为首项公差为2的等差数列,于是 a n =2n +1.(2)因为a n =2n +1,所以S n =n (n +2), b n =1S n =1n (n ＋2)=12(1n -1n ＋2),T n =k ＝1∑n b k =12k ＝1∑n(1k -1k ＋2)=12(1+12―1n ＋1―1n ＋2)=34-2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).33．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）【必做题】设a 为实数,若数列{a n }的首项为a ,且满足a n +1=a n 2+a 1(n ∈N*),称数列{a n }为理想数列. 若首项为a的理想数列满足:对于任意的正整数n ≥2,都有|a n |≤2,称实数a 为伴侣数.记M 是所有伴侣数构成的集合.(1)若a ∈(-∞,-2),求证:a ∈∕M ;(2)若a ∈(0,14],求证:a ∈M .【答案】【必做题】证明(1)假设a ∈M ,则由M 的定义知对于任意正整数n ≥2,都有|a n |≤2,从而知|a 2|≤2由a 1=a ,a 2=a 12+a 1=a (a +1),又a ∈(-∞,-2),得a <-2,a +1<-1,所以| a 2|=| a (a +1)|=| a |·| a +1|>| a |·1>2,即| a 2|>2,这与|a 2|≤2矛盾. 故当a ∈(-∞,-2)时,a ∈∕M (2)由a 2=a 2+a =(a +12)2-14,又a ∈(0, 14],所以a 2∈(0, 516].同理可得,a 3∈(0, 1332]≤12.猜想0<a n ≤12下面用数学归纳法证明. ①当1n =时,|a 1|=|a |≤12成立.②假设n =k (k ≥1)时|a k |≤2成立, 所以,当n =k +1时, a k +1=a k 2+a 1≤(12)2+14=12.故,对任意n ∈N *,|a n |≤12<2,所以a ∈M34．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知等差数列{}n a 的首项为a ,公差为b ,等比数列{}n b 的首项为b ,公比为a ,其中a ,b 都是大于1的正整数,且1123,a b b a <<. (1)求a 的值;(2)若对于任意的n +∈N ,总存在m +∈N ,使得3m n a b +=成立,求b 的值;(3)令1n n n C a b +=+,问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由已知,得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅.由1123,a b b a <<,得,2a b ab a b <<+.因a ,b 都为大于1的正整数,故a ≥2.又b a >,故b ≥3 再由2ab a b <+,得 (2)a b a -<. 由b a >,故(2)a b b -<,即(3)0a b -<. 由b ≥3,故30a -<,解得3a <于是23a <≤,根据a ∈N ,可得2a =(2)由2a =,对于任意的n *∈N ,均存在m +∈N ,使得1(1)52n b m b --+=⋅,则1(21)5n b m --+=.又3b ≥,由数的整除性,得b 是5的约数. 故1211n m --+=,b =5.所以b =5时,存在正自然数12n m -=满足题意(3)设数列{}n C 中,12,,n n n C C C ++成等比数列,由122n n C nb b -=++⋅,212()n n n C C C ++=⋅,得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅.化简,得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅. (※)当1n =时,1b =时,等式(※)成立,而3b ≥,不成立 当2n =时,4b =时,等式(※)成立当3n ≥时,112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥,这与b ≥3矛盾. 这时等式(※)不成立综上所述,当4b ≠时,不存在连续三项成等比数列;当4b =时,数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列,这三项依次是18,30,5035．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知等差数列{a n }的首项a 1为a (,0)a R a ∈≠.设数列的前n项和为S n ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;(2) 是否存在正整数n 和k ,使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】36．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知无穷数列{a n }中,a 1,a 2,,a m 是首项为10,公差为-2的等差数列;a m +1,a m +2,,a 2m 是首项为12,公比为12的等比数列(其中 m ≥3,m ∈N*),并对任意的n ∈N*,均有a n +2m =a n 成立.(1)当m =12时,求a 2010; (2)若a 52=1128,试求m 的值; (3)判断是否存在m (m ≥3,m ∈N*),使得S 128m +3≥2010成立?若存在,试求出m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)m =12时,数列的周期为24.∵2010=24×83+18,而a 18是等比数列中的项, ∴a 2010=a 18=a 12+6=611()264=.(2)设a m +k 是第一个周期中等比数列中的第k 项,则a m +k =1()2k .∵711()1282=,∴等比数列中至少有7项,即m ≥7,则一个周期中至少有14项. ∴a 52最多是第三个周期中的项. 若a 52是第一个周期中的项,则a 52=a m +7=1128. ∴m =52-7=45;若a 52是第二个周期中的项,则a 52=a 3m +7=1128.∴3m =45,m =15; 若a 52是第三个周期中的项,则a 52=a 5m +7=1128.∴5m =45,m =9; 综上,m =45,或15,或9. (3)2m 是此数列的周期,∴S 128m +3表示64个周期及等差数列的前3项之和. ∴S 2m 最大时,S 128m +3最大. ∵S 2m =2211[1()](1)11112512210(2)111()12224212m m mm m m m m m --+⨯-+=-++-=--+--, 当m =6时,S 2m =31-164=633064; 当m ≤5时,S 2m <633064; 当m ≤7时,S 2m <211125(7)24--+=29<633064. ∴当m =6时,S 2m 取得最大值,则S 128m +3取得最大值为64×633064+24=2007. 由此可知,不存在m (m ≥3,m ∈N*),使得S 128m +3≥2010成立.37．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc ）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若数列{}n a 是等比数列,满足23132a a a =+, 23+a 是2a ,4a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,依题意,有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a由 )1(得 0232=+-q q ,解得1=q 或2=q .当1=q 时,不合题意舍;当2=q时,代入(2)得21=a ,所以,n n n a 2221=⋅=-(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{}n a ,设此数列的公差为d ,则211(1)[(1)][]2(1)2n n a n d a n d n n ++-+=+,得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立, 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =,或2n a n =-.故存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =, 或2n a n =-38．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知数列{}n a ,其前n 项和为n S .⑴若对任意的n *∈N ,2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列,且1=1a ,220132nS n=,求n 的值; ⑵若数列{+}nnS a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列,a 为常数,求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a.【答案】⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列,所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （, 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列,且 2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++,又因为11a =,所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++, 所以22320132nS n n==+,所以1005n = ⑵因为1(1)n nnS a a q a -+=+,所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-, ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-, ②②-①,得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+, ③ (ⅰ)充分性:因为11q a=+,所以0,1,1a q a aq ≠≠+=,代入③式,得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-,因为1q ≠-,又1q ≠,所以11n n a a q+=,*n ∈N ,所以{}n a 为等比数列, (ⅱ)必要性:设{}n a 的公比为0q ,则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+,整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-,此式为关于n 的恒等式,若1q =,则左边0=,右边1=-,矛盾;1q ≠±若,当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立,所以11q a =+.由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a39．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第i 行共有12i -个正整数,设(),*ij a i j N ∈表示位于这个数表中从上往下数第i 行,从左往右第j 个数. (1)求69a 的值; (2)用,i j 表示ij a ; (3)记()112233*n nn A a a a a n N =++++∈,求证:当4n ≥时,3.n n A n C >+【答案】解:(1)5692(91)40a =+-=(2)因为数表中前1i -行共有221122221i i --++++=-个数,则第i 行的第一个数是12i -,所以121i ij a j -=+-(3)因为121i ij a j -=+-,则()121*n nn a n n N -=+-∈, 所以()()2112220121n n A n -=+++++++++-⎡⎤⎣⎦()1212nn n -=-+当4n ≥时,()()11112nn n n A -=+-+()0123112n n n n n n C C C C ->+++-+23nn C =+. 40．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ,满足a b c ≤<(1)在,a b 之间插入2011个数,使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ,且它们的和为2013,求c 的最小值;(2)已知,,a b c 均为正整数,且,,a b c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列n S S S S ,,,,321 ,且n n n S S S S T )1(321-++-+-= ,求满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值;(3)已知,,a b c 成等比数列,若数列{}n X 满足5()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:数列{}n X 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且n X 是正整数.【答案】解:(1){}n a 是等差数列,∴20132)(2013=+⋅b a ,即2=+b a所以2222≥=+= b a c ,c 的最小值为2;(2)设,,a b c 的公差为()d d Z ∈,则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴= 设三角形的三边长为3,4,5d d d ,面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈,26n S n =,])2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-= n n n 612)24321(62+=++++++=由1226+⋅>n n T 得n n n 2212>+, 当5≥n 时, n n n n n n n n n 21)(222)1(1222+>-++≥+-++= ,经检验当4,3,2=n 时,n n n 2212>+,当1=n 时,n n n 2212<+综上所述,满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值为2、3、4 (3)证明:因为,,a b c 成等比数列,ac b =2.由于,,a b c 为直角三角形的三边长,知22c ac a =+,251+=a c , 又5()nnn c a X n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得nnn X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515, 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n nnn n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X12+n n n X X X ++∴=,则有()()()22212+nn n X X X ++∴=.故数列{}n X 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形因为 11155115=1522X ⎧⎫⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪=- ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎭,22255115=1522X ⎧⎫⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪=- ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎭*∈=+=⇒N X X X 2213,由21++=+n n n X X X ,同理可得*+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,, 故对于任意的n N *∈都有n X 是正整数 数学附加题部分41．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）数列{}n a 的前n 项和为n S ,存在常数A,B,C ,使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立. ⑴若数列{}n a 为等差数列,求证:3A-B+C=0; ⑵若13,,1,22A B C =-=-=设,n n b a n =+数列{}n nb 的前n 项和为n T ,求n T ;⑶若C=0,{}n a 是首项为1的等差数列,设20122211111i i i P a a =+=++∑,求不超过P 的最大整数的值. 参考参【答案】⑴因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,由2n n a S An Bn C +=++,得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++, 即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立.所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=. [来源:学§科§网Z§X§X§K]⑵ 因为213122n n a S n n +=--+,所以112a =-, 当2n ≥时,21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+,所以121n n a a n --=--,即12()1n n a n a n -+=+-,所以11(2)2n n b b n -=≥,而11112b a =+=, 所以数列{}n b 是首项为12,公比为12的等比数列,所以1()2n n b =.于是2n n n nb =.所以231232222n n n T =++++①,2341112322222n n n T =+++++,②由①-②,得23111111[1()]1111112221()11222222222212n n n n n n n n n n n n T -=-=-=--=--+++++++++. 所以222n nnT =-+. ⑶ 因为{}n a 是首项为1的等差数列,由⑴知,公差1d =,所以n a n =.2222222211(1)(1)1(1)(1)n n n n n n n n ++++++++ (1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++,所以111111111(1)(1)(1)(1)2013122334201220132013P =+-++-++-+++-=-, 所以,不超过P 的最大整数为2012.42．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设k 为正整数,若数列{a n }满足a 1=1,且 (a n +1-a n )2=(n +1)k (n ∈N*),称数列{a n }为“k 次方数列”.(1)设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”,且数列{a n n}为等差数列,求a 4的值; (2)设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”,且存在正整数m 满足a m =15,求m 的最小值; (3)对于任意正整数c ,是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ,满足a p =c . 【答案】解(1)因为数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”,所以a 1=1, (a n +1-a n )2=(n +1)2(n ∈N*). 于是a 2-a 1=±2,得a 2=-1或a 2=3当a 2=3时, 若数列{a n n }为等差数列,则数列{a n n }以1为首项,12为公差,于是a n =12(n 2+n ),经检验,满足题意;当a 2=-1时,若数列{a n n }为等差数列,则数列{a n n }以1为首项,-32为公差,于是a n =-32n 2+52n ,经检验,不合题意,舍去.综上所述,所求的数列通项为a n =12(n 2+n ),故a 4=10.(2)因为数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”, 所以a 1=1,a n +1-a n =±(n +1),所以a n =1±22±32±±n 2.因为a m =15,当m ≤3时,a m 的最大值是1+22+32=14,不可能成立.当m =4时,在算式1±22±32±42中,因为1±22±32±42等于-28,-20,-10,-2,4,12,22,30, 所以m =4时,不可能成立.当m =5时,因为1-22+32-42+52等于15, 所以m 的最小值为5(3)因为n 2-(n +1)2-(n +2)2+(n +3) 2=4, 故只要c 被4除余数分别1,2,3或整除存在即可因为a 1=1,故当c 被4除余1时,存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p , [来源:学科网ZXXK] 使得a p =c .因为1-22+32=6,故当c 被4除余2时,存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整 数p ,使得a p =c .因为1-22+32-42+52=15,故当c 被4除余3时,存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*) 和正整数p ,使得a p =c .因为1-22-32+42=8,故当c 能被4整除时,存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和 正整数p ,使得a p =c .综上所述,对任意正整数c ,存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ,使得 a p =c43．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知数列{}n a 满足1111n n n na a n a a +++-=-+(n ∈N*),且a 2=6.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设nn a b n c=+(n ∈N*,c 为非零常数),若数列{b n }是等差数列,记c n =b n 2n ,S n =c 1+c 2++c n,求S n .【答案】解:(1)由1111n n n n a a n a a +++-=-+,得(n -1)a n +1-(n +1)a n =-(n +1),当n ≥2时,有a n ＋1 n ＋1-a n n －1=-1n －1,所以,a n ＋1 n (n ＋1)-a n (n －1)n =-1 n (n －1)=-(1 n －1-1n),由叠加法,得 当n ≥3时,a n =n (2n -1) 把n =1,a 2=6代入1111n n n n a a n a a +++-=-+,得a 1=1,经验证:a 1=1,a 2=6均满足a n =n (2n -1).综上,a n =n (2n -1),n ∈N* (2)由(1)可知:b n =n (2n －1)n ＋c ,于是b 1=11＋c ,b 2=62＋c ,b 3=153＋c, 由数列{b n }是等差数列,得b 1+b 3=2 b 2,即11＋c +153＋c =122＋c ,解得c =-12(c =0舍去). 此时,b n =2n ,所以,数列{b n }是等差数列.所以c =-12满足题意所以,c n =n2n －1.所以S n =1+221+322++n 2n －1,由错位相减法,得S n =4-n ＋22n －144．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知数列{}n a ,{}nb 满足:31=a,当2≥n 时,n a a n n 41=+-;对于任意的正整数n ,11222n n n b b b na -+++=.设{}n b 的前n 项和为n S .(Ⅰ)计算32,a a ,并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求满足1413<<n S 的n 的集合.【答案】(Ⅰ)在n a a n n 41=+-中,取2=n ,得821=+a a ,又,31=a ,故.52=a 同样取3=n 可得.73=a 2分由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减可得:411=--+n n a a ,所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为4,而212=-a a ,故{}n a 是公差为2的等差数列,∴.12+=n a n 5分 注:猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分;用数学归纳法证明不扣分. (Ⅱ)在1122+2n n n b b b na -++=中令1=n 得.311==a b 6分 又121122(1)n n n b b b n a +++++=+,与11222n n nb b b na -+++=两式相减可得:34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n,nn n b 2341+=+,即当2≥n 时,1214--=n n n b 经检验,31=b 也符合该式,所以,{}n b 的通项公式为1214--=n n n b11137(41)()22n n S n -=+⋅++-⋅.2121111137()(45)()(41)().2222n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 相减可得:211111134[()()](41)()22222n n n S n -=++++--⋅利用等比数列求和公式并化简得:127414-+-=n n n S 可见,+∈∀N n ,14<n S 经计算,13323114,1316271465>-=<-=S S ,注意到 {}n b 的各项为正,故n S 单调递增,所以满足1413<<n S 的n 的集合为{}.,6N n n n ∈≥ 45．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）【必做题】在数列{a n }(n ∈N*)中,已知a 1=1,a 2k =-a k ,a 2k -1=(-1)k +1a k ,k ∈N*. 记数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求S 5,S 7的值;(2)求证:对任意n ∈N*,S n ≥0.横山桥高级中学2013年高考数学模拟试 【答案】解:(1)S 5=3,S 7=1(2)由题设i a 的定义可知,对于每个正整数k ,有241234----==k k k a a a . ① k k k k a a a a =-==-2414. ②则 ∑=---+++=ki i i i i k a a a aS 141424344)]()[(k ki i S a 2)20(1=+=∑=,③k k k k k S a a S S 42414424)(=++=+++. ④下面证明对于所有的n ≥1,S n ≥0. 对于k ,用数学归纳法予以证明.当i =1,2,3,4,即k =0时,S 1=1,S 2=0, S 3=1, S 4=2.假设对于所有的i ≤4k ,S i ≥0,则由①、②、③、④知, S 4k +4=2S k +1≥0, S 4k +2=S 4k ≥0,S 4k +3=S 4k +2+a 4k +3=S 4k +2+a 4k +4=S 4k +2+(S 4k +4-S 4k +3),S 4k +3=S 4k +2＋S 4k +42≥0.接下来证明:S 4k +1≥0.若k 是奇数,则S 4k =2S k ≥2.因为k 是奇数,所以由题设知数列的各项均为奇数,可知S k 也是一个奇数. 于是 S 4k ≥2. 因此,S 4k +1=S 4k +a 4k +1≥1.若k 是偶数,则a 4k +1=a 2k +1=a k +1. 所以S 4k +1=S 4k +a 4k +1=2S k +a k +1=S k +S k +1≥0. 综上,对于所有的n ≥1,S n ≥046．（江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）设同时满足条件:①122++≥+n n n b b b ;②n b M ≤(N n +∈,M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足: (1)1n n aS a a =--(a 为常数,且0a ≠,1a ≠).(1)求{}n a 的通项公式;(2)设21nn n S b a =+,若数列{}n b 为等比数列,求a 的值,并证明此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列. 【答案】解析:(1)因为11(1)1aS a a =--,所以1a a = 当2n ≥时,1111n n n n n a aa S S a a a a a --=-=-=--,即{}n a 以a 为首项,a 为公比的等比数列. 所以,1n n n a a a a -=⋅=(2)由(1)知,2(1)(31)211(1)n n n n naa a a a ab a a a ⨯----=+=-, [来源:学科网] 若{}n b 为等比数列,则有2213b b b =,而21232323223,,a a a b b b a a +++=== 故22232322()3a a a a a +++=⋅,解得13a =再将13a =代入得:3n n b =,其为等比数列,所以13a =成立由于①2211111133223n n n n n b b +++++=>==11n b +②11133n n b =≤,故存在13M ≥所以,符合①②,故1{}nb 为“嘉文”数列. 47．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知数列{}n a 中,,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且 求函数)(n f 的最小值; (3)设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和.试问:是否存在关于n 的整式()n g ,使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出()n g 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.【答案】{},11111()101,1111(1)1(2),1.n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-⋅=≥=∴=解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。
江苏省梁丰高级中学高三数学4月份质量检测试卷苏教版
江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期高三数学4月质量检测数学Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1.已知集合(){}{}ln1,=xM x y x N y y e x R ==-=,∈集合，M N⋂=则 .2.复数11,z i zz=-+=则.3.“22a b>”是“ln lna b>”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）4.从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为．5.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 .6.执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.7.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 .8.在直角三角形ABC中，090C∠=，2AB=，1AC=，若32AD AB=u u u r u u u r，则CD CB⋅=u u u r u u u r．9.已知10cos()410πθ+=-，(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-=．10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为．11.双曲线)0,0(12222>>=-babyax右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为 ． 12.已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n k k k k a a a a L L成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ．13.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+，则方程()()f xg x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 .14.若关于x 的不等式（组）()2*272209921n n x x n N ≤+-<∈+对任意恒成立，则所有这样的解x 构成的集合是____________. 二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15.（本小题满分14分）已知函数()2sin sin ,63f x x x x Rππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中，若1,,4262C BC A C AB ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭锐角满足f 求的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝090，BC ＝21AD ，PA ＝PD ，Q 为AD 的中点。
江苏省梁丰高级中学高三数学11月周日试卷八苏教版
20121111 江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷八姓名 学号1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x，则B A ⋂= 2、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 3、已知复数1=1-z i ，2=1+z i ,那么21z z = 4、若角α的终边落在射线=(0)y x x ≥—上，则22sin 1-cos +cos 1-sin αααα= 5、用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________． 6、1()=21x f x a ——是定义在][)11+∞⋃∞（—，—，上的奇函数, 则()f x 的值域为_____ 7、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是①若cos =cos , =2k , k Z αβαβπ∈则— ②函数=2cos (2+)3y x π的图象关于=12x π对称； ③函数=cos(sin ) ()y x x R ∈为偶函数，④函数=sin||y x 是周期函数，且周期为2π。
8、 把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是 9、函数3()=f x x kx —在区间(－3，－1)上不单调，则实数k 的取值范围是10、设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41b a --的取值范围是 11、已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈，对任意*,N n m ∈都有：（1） 2),()1,(+=+n m f n m f ；（2）)1,(2)1,1(m f m f =+.则)11,11(f 的值为12、已知函数2()=1f x ax —的图象在点A 1())f n （，处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2012S 的值为_______ 13、已知正项等比数列{}n a 满足：765=+2a a a ，若存在两项,m n a a 1m n a a a 使得1=4m n a a a ，则14+m n的最小值为14、在面积为2的ABC ∆中，,E F 分别是AC AB ，的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB+BC •u u u v u u u v u u u v 的最小值是15、已知集合}145|{2--==x x y x A ，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C .（1）求A B I ； （2）若A C A =Y ，求实数m 的取值范围.16、设函数()=f x m n •u r r , 其中向量 =(2cos ,1),=(cos ,32),m x n x x x R ∈u r r，(1)求()f x 的最小正周期； (2)ABC ∆中， ()=2,=3,+=3(>)f A a b c b c 求,b c 的值。
江苏省梁丰高级中学2013届高三周日测试数学试卷2
20120916江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷二徐燕 编制 李萍校对1．已知集合A ＝｛x |x 2＜3x ＋4,x 错误!R ｝，则A ∩Z 中元素的个数为 ．2．已知错误!＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)则ab ＝ ．3．已知集合{}2|1,M y y x x R ==+∈，{}|1,N y y x x R ==+∈，则M N = ．4．已知{}2|320A x x x =-+=,{}|20B x ax =-=,且A B A =，则实数a 形成的集合C = ． 5．已知集合{}2|3100A x x x =--≤,集合{}|121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ．6．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为 ． 7．若集合{}21,A a =,{}2,4B =，则“{}4A B =”是“2a =”的 条件．（填充要关系）8．在平面直角坐标系xOy 中,已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为错误!，则线段PF 的长为 ．9．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B （3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切,则圆C 的半径为 ．11．已知函数f (x ）＝错误!是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是 ．12．已知α,β为平面,m ,n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α,则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；(第9题)③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β,m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有 ．(填写所有正确命题的序号） 13．设246,0()2 4 0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若存在互异的三个实数123,,,x x x 使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是 ．14．已知函数f （x ）＝2x 2＋m 的图象与函数g （x )＝ln ｜x ｜的图象有四个交点,则实数m 的取值范围为 ． 15．已知集合[]{}|2,2,3xA y y x ==-∈,{}22|330B x x x a a =+-->，（1）当4a =时，求AB ;(2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围16．如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2)求证：A 1B//平面ADC 1．ABC DA 1B1C 1(第16题)17．设有两个命题：:p 不等式21()423xm x x +>>-对x R ∈恒成立，:()(72)x q f x m =--是R 上的减函数;如果“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间（单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ． （1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数； （2)v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ，离心率为错误!,右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ,B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若错误!＝错误!，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上,并说明理由；（3）连结PB 并延长交椭圆Cx 轴，求点M 的坐标．20．设t ＞0，已知函数f (x ）＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）求函数f （x )的单调区间;（2)设函数y ＝f （x ）在点P (x 0,y 0）处的切线的斜率为k ，当x 0∈（0,1］时,k ≥－错误!恒成立,求t 的最大值;(3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x ）的图象有两(第19题)个不同的交点C,D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．答案：1．已知集合A＝｛x|x2＜3x＋4，x，∈R｝，则A∩Z中元素的个数为．42．已知错误!＝a＋b i(a，b∈R，i为虚数单位），则ab＝．－63．已知集合{}2|1,M y y x x R ==+∈，{}|1,N y y x x R ==+∈，则MN = ．[)1,+∞4．已知{}2|320A x xx =-+=，{}|20B x ax =-=，且AB A =，则实数a 形成的集合C =．{}0,1,25．已知集合{}2|3100A x x x =--≤,集合{}|121B x m x m =+≤≤-,且B A ⊆，则实数m的取值范围是 ．3m ≤ 6．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为 ．87．若集合{}21,A a =，{}2,4B =，则“{}4AB =”是“2a ="的 条件．（填充要关系）必要不充分8．在平面直角坐标系xOy 中,已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为错误!,则线段PF9．右图是一个算法的流程图，最后输出的k10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C C 与x 轴交于A (1,0），B (3,0)两点,且与直线x C 的半径为 ▲ ．，211．已知函数f (x ）＝错误!是R 上的增函数,是 ．［错误!，1)12．已知α，β为平面,m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有 ▲ ．（填写所有正确命题的序号） ②③④(第8题)13．设246,0()2 4 0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若存在互异的三个实数123,,,x x x 使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是▲(3,4)14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g （x )＝ln|x ｜的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ． （－∞，－错误!－ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知集合[]{}|2,2,3xA y y x ==-∈，{}22|330B x xx a a =+-->,（1）当4a =时，求A B ;(2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围解：（1）[]8,4A =--，当4a =时，()(),74,B =-∞-+∞，由数轴图得：[)8,7AB =--（2）方程22330xx a a +--=的两根分别为,3a a --，①当3a a =--时，33,,22B ⎛⎫⎛⎫=-∞--+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，满足A B ⊆; ②当32a <-时，3a a <--，()(),3,B a a =-∞--+∞，则4a >-或38a --<-,得342a -<<-;③当32a >-时，3a a >--，()(),3,B a a =-∞--+∞，则8a <-或34a -->-得312a -<<综上所述,实数a 的取值范围是()4,1- 16．（本小题满分14分） 如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．（1)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,求证：AD ⊥DC 1；ABCD A 1B 1C 1(第16题)（2）求证：A1B//平面ADC1．16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点,所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC,AD 平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1． (5)分因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…………………7分(2）（证法一)连结A1C,交AC1于点O,连结OD, 则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分因为OD错误!平面ADC1，A1B错误!平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分(证法二）取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1错误!BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．因为C1D错误!平面ADC1,D1B错误!平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1错误!平面A1BD1，D1B错误!平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1,所以平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分因为A 1B错误!平面A 1BD 1，所以A 1B//平面ADC 1． …………………14分17．设有两个命题：:p 不等式21()423xm x x +>>-对x R ∈恒成立，:()(72)x q f x m =--是R 上的减函数；如果“p 或q ”为假命题,求实数m 的取值范围． 解:表示p 假而且q 假当p 真：14m <≤，则p 假:1m ≤或4m >； 当q 真:3m <，则q 假:3m ≥ 实数m 的取值范围为4m >18．（本小题满分14分)经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ,其中v 为鲑鱼在静水中的速度,t 为行进的时间（单位：h ）,k为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数;ABCDA 1B 1C 1（第16题图）OABC DA 1B 1C 1（第16题图）D 1（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少？ 18．（本小题满分14分）解：(1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时间为t ＝错误!． …………………2分所以E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝错误!(v错误!（3，＋））． …………………6分 (2）E ＝100k3v 2（v －3）－v 3（v －32）＝100k错误!错误!． …………………10分令E ＝0,解得v ＝4.5或v ＝0（舍去）．因为k ＞0，v ＞3，所以当v 错误!(3，4。
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21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．．．．
区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换
设
A=1
2
2
122
⎤
⎥⎢⎢⎢⎣⎦
，则6
A 的逆矩阵是 。
答案要点：6
A
= 1 00 -1-⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
，相当于关于直线y x
=
-对称，其逆变换自然还是关于直
线y x
=-对称。
其逆矩阵为自身 1 00 -1-⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦。
选修4-4：坐标系与参数方程
(盐城市2012届二模) 已知点),(y x P 在椭圆112
16
2
2
=+
y
x
上，试求y
x z 32-
=的
最大值. 答案要点：∵
112
16
2
2
=+
y
x
的参数方
程
4c o s
s i n
x y θθ=⎧⎪⎨
=⎪⎩（θ是参数）∴设
P (4c o
s 3s i n
)
θθ
∴28cos 6sin 10sin()10z x θθθϕ=-=-=+≤ ∴10z 的最大值是
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22. （本小题满分10分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC
⊥，顶点1A 在底面A B C 上的射影恰为点
B ，且12AB A
C A B =
==．
（第4题）
B
A
C
A 1
B 1
C 1
（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小； （2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A -
-的平面
角的余弦值．
答案要点（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则
()()()()
11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，，
()
1022AA
=，，
，
(
)
11220BC B C ==-，，
．1111cos 2
AA BC
AA BC AA BC
⋅〈〉==
=-
⋅，
，
故1AA 与棱BC 所成的角是π3
．
（2）设()111220B P B C λλλ==-，，
，则()2422P λλ-，，．
于是1442
AP λ=
==
（32
λ
=
舍
去）
，
则P 为棱1
1B C 的中点，其坐标为()132P ，，
． 设平面1P AB A -
-的法向量为n 1()
,,x y z =，
则11032022
0.0.0
AP x y z x z y y AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，
n n 故n 1
()201=-，，． 而平面
1
ABA 的法向量是n 2=(1,0,0)，则
121212
cos
,5
⋅〈〉=
=
=-
⋅n n n n n n ，
故二面角1P AB A -
-5
．
23. （本小题满分10分）
已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M . （1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）
（2）设,A B 为抛物线上两点，且A B 不与x 轴垂直，若线段A B 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段A B 中点的横坐标为定值.（6分）
A C 1
答案要点 （1）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-， 由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， 因为点F 到直线l
=
答案要点得2
k =±
，所以直线l
的斜率为2
±
.
（2）设线段A B 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，
因为AB 不垂直于x 轴，则直线M N 的斜率为
004
y x -，直线A B 的斜率为
4x y -，
直线A B 的方程为0
000
4()x y y x x y --=-，
联
立方程
0000
2
4(),4,
x y y x x y y x -⎧
-=-⎪
⎨⎪=⎩ 消去
x
得
22
00000(1)(4)0
4
x y y y y x x -
-++-=，
所以0120
44y y y x +=
-，因为N 为AB 中点，所以
12
02
y y y +=，即
000
24y y x =-，
所以02x =.即线段A B 中点的横坐标为定值2.。